سوالات ریاضی با پاسخ تشریحی

[پين]

سلام
من راجع به نگاشت در توابع مختلط مشکل دارم مثلا
(w=1/2(z+1/z
به چه شکلی در میاد و آیا کسی راهی برای درک بهتره نگاشت توابع سراغ داره ؟
لطف می کنید کمکم کنید

یک فصل از کتاب دیفرانسیل شهشهانی (احتمالا جلد اول ) به
همین موضوع اختصاص دارد . مقدمات را میتوانید آنجا پیدا کنید .
آن نگاشتی که آوردید از نوع زیرفضای غیر خطیست که میتوانید با
کلیدواژه هایی چون reciprocal transform+complex درباره اش
بخوانید .
تبدیلها (نگاشت) ، یکی از جالب ترین بحث هاست و از ساده ترین
مباحث (مثل دستگاه معادلات) گرفته تا ماتریس یعقوبی (ژاکوبین) و
تصویرسازی نقشه ها را شامل میشود . انگار جایی درباره نقشه های
conformal نوشته بودم .

[asha]

یک فصل از کتاب دیفرانسیل شهشهانی (احتمالا جلد اول ) به
همین موضوع اختصاص دارد . مقدمات را میتوانید آنجا پیدا کنید .
آن نگاشتی که آوردید از نوع زیرفضای غیر خطیست که میتوانید با
کلیدواژه هایی چون reciprocal transform+complex درباره اش
بخوانید .
تبدیلها (نگاشت) ، یکی از جالب ترین بحث هاست و از ساده ترین
مباحث (مثل دستگاه معادلات) گرفته تا ماتریس یعقوبی (ژاکوبین) و
تصویرسازی نقشه ها را شامل میشود . انگار جایی درباره نقشه های
conformal نوشته بودم .

[lebesgue]

نشان دهید برای هر x حقیقی داریم:

gif.gif

[pulsar]

ₑˣ = ∑(xⁿ/n!)l

ₑ-ⁱˣ_ ₑⁱˣ = -2iSinx

----------------------------

ₑᶜᵒˢˣ Sin(Sinx) = iₑᶜᵒˢˣ(ₑ-ⁱˢⁱⁿˣ_ ₑⁱˢⁱⁿˣ)/2

= i(ₑᶜᵒˢˣ-ⁱˢⁱⁿˣ_ ₑᶜᵒˢˣ+ⁱˢⁱⁿˣ)/2

= i∑[(ₑ-ⁱⁿˣ_ ₑⁱⁿˣ)/n!]/2

= ∑[Sin(nx)/n!]l

[lebesgue]

بسیار عالی.

به طور مشابه می توان نشان داد برای هر x حقیقی:

gif.gif

در واقع اینها هر کدام بخش موهومی و حقیقی تابع (e^(e^ix و سری تیلور آن (البته برای اعداد مختلط) می باشند.

[amant de transition]

ثابت کنید بر سه نقطه ی غیر واقع بر یک خط راست یک صفحه ی یکتا می گذرد.

[lebesgue]

ثابت کنید بر سه نقطه ی غیر واقع بر یک خط راست یک صفحه ی یکتا می گذرد.

یادم می آید که در کتاب هندسه2 دوران دبیرستان، این به عنوان یک اصل بیان شده بود، اما در حالت کلی، بسته به سیستم
اصول موضوعی که انتخاب شود، می تواند یک اصل موضوعه یا یک قضیه باشد، که در حالت دوم، باید اصول موضوعه ای که میتوان
روی آنها استنتاج کرد، مشخص باشد.

[BLUE]

درود


فرض می کنیم تابع های (P(x و (Q(x در معادله ی دیفرانسیل
روی بازه ی I پیوسته باشند. اگر y1 و y2، دو جواب این معادله ی دیفرانسیل باشند، مستقل خطی اند
اگر و تنها اگر .

[پين]

مشخص نکرده اید که تابع w چیست . احتمالا مقصودتان دترمینان
رونسکی(Wronskian) باشد.

اگر y1 و y2 ، دو پاسخ مستقل خطی باشند، بدان معناست هیچکدام
از دیگری حاصل نمیشوند یا به عبارتی، "مضرب یکدیگر نیستند" (چرا؟)
و هر پاسخ عمومی معادله را میتوان بصورت ترکیبی خطی از آنها نگاشت*

و در مقابل، اگر y1 و y2 وابسته باشند، آنگاه مضربی از یکدیگر بوده و
نسبت آنها (y1/y2) برابر مقداری ثابت است که در آنصورت مشتق آن
برابر صفر (یا بهتر بگویم، متحد با صفر) خواهد بود:



پس در اینصورت، دترمینان رونسکی متحد صفر است. بررسی حالت
استقلال خطی نیز به همین شیوه است. در محاسبات بالا، میشود
علامت مساوی را با نامساوی جایگزین کرده، نیز فلشها را به وضع
دوسویه نگاشت.



----------------------------------------------------------------------------
* در ریاضیات گسسته، قضیه ای مشابه داریم که به واسطه باورهای
نادرست فروید درباره آن (که بر پایه اش، تا مدتها بر این گمان بود که
در 51 سالگی خواهد مرد!)، بسیار مشهور است.

[lebesgue]

ضمن تشکر از پین گرامی،
ظاهراً Gh-Galaxy حالت خاصی از استقلال خطی y1 و y2 را مد نظر دارند که ایندو، در معادله دیفرانسیل مذکور صدق می کنند.
در این حالت -بنا به ادعای ایشان- رونسکین نه تنها نامتحد با صفر است، بلکه همواره مخالف صفر است.
-------------------------------------
بنا به اتحاد آبل، برای هر x_0 در I داریم:



در نتیجه، رونسکین یا همواره صفر است یا همواره مخالف صفر، که اولی معادل با وابستگی خطی y1 و y2 می باشد.

[lebesgue]

بنا به اتحاد آبل، برای هر x_0 در I داریم:

Untitled.jpg

[pegah.p]

ثابت کنید بر سه نقطه ی غیر واقع بر یک خط راست یک صفحه ی یکتا می گذرد.

اول ثابت می کنیم که از این سه نقطه یک صفحه می گذرد:
این را می دانیم که : در فضا از هر دو نقطه متمایز یک خط یکتا می گذرد.
نقاط A , B , C روی یک خط راست نیستند. بنابراین از A , B خط l1 می گذرد. از A , C هم خط l2 می گذرد. از B , C هم خط l3 می گذرد. چون A عضو هر دو خط l1 , l2 هست، این دو خط متقاطعند و طبق تعریف دو خط متقاطع در یک صفحع واقعند. (چون اگر در یک صفحه نبودند متنافر بودند.) این صفحه را P می نامیم. نقاط B , C از خط l3 درون صفحه ی P واقعند. طبق این قضیه که "اگر دو نقطه از خطی درون یک صفحه باشند آن خط به تمامی در صفحه است" خط l3 هم در صفحه ی P قرار دارد. بنابراین از سه نقطه ی A , B , C یک صفحه می گذرد.

(البته من مطمئن نیستم که میشه از قضیه ای که گفتم برای اثبات این قضیه استفاده کرد یا نه.)

برای اثبات یکتا بودن این صفحه هم از برهان خلف استفاده می کنیم. اگر صفحه ی Q هم از این سه نقطه بگذرد پس می توان نوشت:
l1 عضو P است و l2 عضو Q است. بنابراین این دو خط متنافرند که این با فرض متقاطع بودن دو خط (اشتراک l1 , l2 برابر است با A) در تناقض است.

[salimy]

در دو جعبه به ترتیب 24 و15 عدد لامپ یکسان موجود است. در جعبه ی اول 4 عدد و در جعبه ی دوم 3 عدد لامپ معیوب اند از اولی 8 و از دومی 6 لامپ به تصادف برداشته در جعبه جدید قرار می دهیم با کدام احتمال یک لامپ انتخابی از جعبه جدید معیوب است؟
الف)15/17 ب) 35/8 ج)35/6 د)15/19

[salimy]

این سوال مال کنکور 89 ریاضی کسی بلد نبود حلش کنه؟لطفا

[Vanda]

سلام
هيچكدام!گزينه هات اشتباهند جواب 19/105 ميشه :
8/14*4/24 +6/14*3/15=19/105