سلام دوستان
تو این تاپیک سوالات ریاضی رو طرح می کنیم و هرکس جواب داد باید سوال بعدی رو بگه تا روال به این چنین پیش بره. از سوالاتی که به طور معمول خروش عزیز می گذاره نزارید و سعی کنید سوالات بیش تر عددی باشن.
اولین سوال از خودم:
اگر:
f(x-1/x+1)+f(-1/x)+f(1+x/1-x)=x
باشد آن گاه:
f(x)=؟
المپیاد ریاضی ایران(سال1369(
ببینم کدوم مخ ریاضی اینو حل می کنه....
سوالات ریاضی با پاسخ تشریحی
سوالات ریاضی با پاسخ تشریحی
I don't know the key to success ,but the key to failure is trying to please every body
خب وقتتان تمام شد. و اما جواب:
ابتدا x-1/x+1 را برابر با t در نظر می گیریم:
t=x-1/x+1 ------ > tx +t=x-1 -------- >x=1+t/1-t , -1/x=t-1/t+1 ,1+x/1-x=-1/t
------->f(t)+f(t-1/t+1)+f(-1/t)=1+t/-t -------->f(x)+f(x-1/x+1)+f(-1/x)=1+x/1-x
حال منفی یک تقسیم بر ایکس را برابر t در نظر می گیریم :
t=-1/x --------->x=-1/t , x-1/x+1=t+1/1-t , 1+x/1-x=t-1/t+1
------->f(t+1/1-t)+f(t)+f(t-1/t+1)=-1/t >f(x+1/1-x)+f(x)+f(x-1/x+1)=-1/x
در انتها 1+x/1-xرا برابر tدر نظر می گیریم :
t=1+x/1-x----------->t-tx=1+x ----->x=t-1/1+t------ > -1/x =t+1/1-t , x-1/x+1=-1/t
------>f(-1/t)+f(t+1/1-t)+f(t)=t-1/t+1------->f(-1/x)+f(x+1/1-x)+f(x)= x-1/x+1
اگر هر یک از معادلات به دست آمده در بالا را در 1-ضرب کرده و با دوبرابر معادله اصلی جمع کنیم :
f(x)3-=2x-1+x/1-x-(-1/x)-(x-1/x+1)=(2xx-2xxxx)-(x+2xx+-)+(1-xx)+(x-2xx+-)/x(1-xx)
----->f(x)=2xxxx+3xx-1/3x-3xxx
اون هایی که ایکس چندبار تکرار شده توان هاشون هستند که نمی شد این جا بنویسیشون..... خب هرکس سوالی داره بزاره تا فردا بزاره .
ابتدا x-1/x+1 را برابر با t در نظر می گیریم:
t=x-1/x+1 ------ > tx +t=x-1 -------- >x=1+t/1-t , -1/x=t-1/t+1 ,1+x/1-x=-1/t
------->f(t)+f(t-1/t+1)+f(-1/t)=1+t/-t -------->f(x)+f(x-1/x+1)+f(-1/x)=1+x/1-x
حال منفی یک تقسیم بر ایکس را برابر t در نظر می گیریم :
t=-1/x --------->x=-1/t , x-1/x+1=t+1/1-t , 1+x/1-x=t-1/t+1
------->f(t+1/1-t)+f(t)+f(t-1/t+1)=-1/t >f(x+1/1-x)+f(x)+f(x-1/x+1)=-1/x
در انتها 1+x/1-xرا برابر tدر نظر می گیریم :
t=1+x/1-x----------->t-tx=1+x ----->x=t-1/1+t------ > -1/x =t+1/1-t , x-1/x+1=-1/t
------>f(-1/t)+f(t+1/1-t)+f(t)=t-1/t+1------->f(-1/x)+f(x+1/1-x)+f(x)= x-1/x+1
اگر هر یک از معادلات به دست آمده در بالا را در 1-ضرب کرده و با دوبرابر معادله اصلی جمع کنیم :
f(x)3-=2x-1+x/1-x-(-1/x)-(x-1/x+1)=(2xx-2xxxx)-(x+2xx+-)+(1-xx)+(x-2xx+-)/x(1-xx)
----->f(x)=2xxxx+3xx-1/3x-3xxx
اون هایی که ایکس چندبار تکرار شده توان هاشون هستند که نمی شد این جا بنویسیشون..... خب هرکس سوالی داره بزاره تا فردا بزاره .
I don't know the key to success ,but the key to failure is trying to please every body
-
مهمان
سلام دوست عزيز.من يه روش ديگه و جالب به ذهنم رسيد براي سوال:F(x-1/x+1)+F(-1/x)+F(x+1/x-1)=x
ببين x=tan a
در اين صورت داريم:
F(tan(a-p/4))+F(-cotg a)+F(tan(a+p/4))=tan a
به جاي a مقدار b+p/4 رو جايگزين مي كنيم داريم:
F(tan b)+F(tan(b-p/4))+F(-cot b)=tan (b+p/4)
به همين ترتيب اگر به جاي a b-p/4 و b+p/2 جايگزين كنيم داريم:
F(-cotb)+F(tan(b+p/4))+F(tan b)=tan(b-p/4)
F(tan(b+p/4))+F(tan b)+F(tan(b-p/4))=-cot b
حالا سه رابطه ي بالا را با هم جمع مي كنيم داريم:
3F(tan b)+2F(tan(b-p/4))+2f(-cotb)+2F(tan(b+p/4))=tan(b+p/4)+tan(b-p/4)-cotb
پس داريم:
3F(tanb)+2tanb=tan(b+p/4)+tan(b-p/4)-cotb
پس داريم:
3F(tanb)+2tanb=(tanb+1)/(1-tanb)+(tanb-1)/(1+tanb)-1/tanb
در واقع داريم :
3F(x)+2x=x+1/1-x+x-1/1+x-1/x
پس تابع f به صورت زير است:
F(x)=(2xxxx+3xx-1)/(3x(1-xx))
دوستان حال كرديد
اين ايده ي خوبي بود 
با سلام
محمد جان خيلي متاثر شدم كه سوال اولت رو از دست دادم .
وجواب سوال دومت :
f(x+y)=f(x)+f(y)-2f(xy)
F(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)-2f(0)=0
F(0)=0
F(n+1)=f(n)+f(1)-2f(n)=f(1)-f(n)
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)-f(1)=0
F(3)=f(1)-f(2)=f(1)
F(4)=f(1)-f(3)=0
و با استقرا مي توان ثابت كرد F(2n)=0 و F(2n+1)=f(1) در نتيجه F(1370)=0 .
و در اينجا از قانونهاي زوجيت و فرديت استفاده شده است .
محمد جان خيلي متاثر شدم كه سوال اولت رو از دست دادم .
وجواب سوال دومت :
f(x+y)=f(x)+f(y)-2f(xy)
F(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)-2f(0)=0
F(0)=0
F(n+1)=f(n)+f(1)-2f(n)=f(1)-f(n)
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)-f(1)=0
F(3)=f(1)-f(2)=f(1)
F(4)=f(1)-f(3)=0
و با استقرا مي توان ثابت كرد F(2n)=0 و F(2n+1)=f(1) در نتيجه F(1370)=0 .
و در اينجا از قانونهاي زوجيت و فرديت استفاده شده است .