انهدام نظریه غلظت و حل شبه پارادوکس های نسبیت


Re: انهدام نظریه غلظت و حل شبه پارادوکس های نسبیت

نوشتهاز سوی paradoxy در سه شنبه 21 آبان 1398 - 16:01

این چند وقته انقدر مشغول به کارای مختلف بودم که خسته شدم، گفتم برای تفریح یه شبه پارادوکسی که M_J1364@yahoo.com چند سال پیش مطرح کرده بود و بدون جواب مونده بود رو حل کنم. تاپیکش توی هوپا قبلا زده شده، ولی چون چند سال گذشته هرچی گشتم پیدا نکردم.

سوال از این قراره: یک فیبر نوری دایره ای شکل داریم که توش یه پرتوی نوری قرار دادیم. نور در مسیر دایره ای شکل حرکت میکنه و دوره تناوبش از دید ناظر $a$ که نسبت به این فیبر نوری ساکنه، برابر با $T$ هستش. ثابت کنید از دید ناظر $b$ که با سرعت $-v_x$ نسبت به این ساعت در حال حرکته، دوره تناوب با ضریب $\gamma$ افزایش پیدا میکنه. در واقع ناظر $b$ می بینه که ساعت با سرعت $v_x$ در حال حرکته و بنابرین انتظار داریم که صرف نظر از شکل ساعت، دوره تناوب از دید ناظر b دقیقا $\gamma T$ بشه.

چون مسیری که نور درش حرکت می کنه دایره ای شکله، نمیتونیم خیلی راحت تبدیل لورنتس بزنیم. برای همین میاییم از دید ناظر $a$ یه جزء دیفرانسیلی خیلی کوچولو رو روی این دایره انتخاب میکنیم و اسمش رو میزاریم $dL$. می دونیم اگر کل دایره رو به این $dL$ ها تقسیم کنیم، با انتگرال گیری از روی تمام $dL$ ها، محیط دایره رو پیدا می کنیم. علاوه بر این میدونیم که
$$dL=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}|dx|$$
چون مسیر دایره ای هستش، بهترین کار استفاده از مختصات قطبیه و تغییر متغیر زیر:

$$x = r\cos\theta \to dx=-r\sin\theta d\theta$$
$$y = r\sin\theta \to dy=r\cos\theta d\theta$$

اگر از تغییر متغییر بالا برای $dL$ استفاده کنیم میبینیم که
$$dL=rd\theta$$
همون فرمول معروف!

تبدیل لورنتس برای هر جزء دیفرانسیلی از این دایره صادقه، یعنی میتونیم بنویسیم:

$$dx'=\gamma(dx+vdt)$$
$$dt'=\gamma(dt+\frac{vdx}{c^2})$$

از دید ناظر $a$ مدت زمانی که طول میکشه نور هر جزء دیفرانسیلی از این دایره رو طی کنه، برابر هستش با $dt=dL/c$ و برای یک تناوب کامل داریم $T=2\pi r/c$. از تبدیل لورنتس زمانی استفاده میکنیم و جای $dL$ ورژن تغییر متغییر پیدا کردش رو جاگذاری میکنیم:

$$dt'=\gamma(\frac{rd\theta}{c}+\frac{v(-r\sin\theta d\theta)}{c^2}) \, \, \, \,(*)$$

حالا از معادله بالا برای پیدا کردن مدت زمان تناوب نور در هر دوره انتگرال میگیریم:

$$ \int_0^{T^{\prime}} dt'=\gamma( \int_0^{2\pi} \frac{rd\theta}{c}+ \int_0^{2\pi} \frac{v(-r\sin\theta d\theta)}{c^2})$$

جمله دوم صفر میشه پس به عبارت خواسته شده میرسیم:

$$T'=\gamma \frac{2\pi r}{c}$$

اگر در معادله (*) فرض کنیم تغییرات تتا خیلی خیلی کوچکه، یعنی فرض کنیم نور تقریبا مسیر بدون خمیدگی رو طی میکنه (و این قضیه برای هر بازه زمانی خیلی کوچک درسته)، همچنان جمله دوم صفر میشه (چون کسینوس اپسیلون به تقریب میشه یک و کسینوس صفرم که یکه، و حاصل انتگرال میشه صفر). نکته جالبی که در مورد معادله (*) وجود داره اینه که اگر یک تناوب کامل رو در نظر نگیریم، و در عین حال تغییرات تتا هم کوچک نباشه، ارتباط بازه زمانی یک ناظر و ناظر دیگه با ضرب یک گاما بدست نمیاد و جمله سینوسی مهم میشه.
نماد کاربر
 
سپـاس : 975

ارسـال : 1871


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

قبلی

بازگشت به نسبیت

چه کسی هم اکنون اینجاست ؟

کاربرانی که در این تالار هستند: بدون کاربران عضو شده و 12 مهمان