فنر در میدان الکتریکی (سوالی نسبیتی)


فنر در میدان الکتریکی (سوالی نسبیتی)

نوشتهاز سوی M_J1364@yahoo.com در پنجشنبه 17 مرداد 1398 - 17:17

سلام smile020
به لطف خدا تونستم یه مسئله ای رو طراحی کنم که البته در صورت درستیِ محاسباتم، تناقضی رو توی نسبیت نشون می ده. ولی قبل از این که به مسئله ی اصلی بپردازم، یه مسئله ی دیگه که در اصل یه شبهِ پارادوکس هست رو اینجا طراحی و حل می کنم تا دوستان با روش حل این جور مسایل آشنا بشن.

فرض کنید بار الکتریکی $q^\prime$ (بدون جرم) با سرعت ثابتِ $u$ (در راستای $x^\prime$) نسبت به ناظر $A$ و درون دو میدان متعامدِ الکتریکی و مغناطیسی $E^\prime_{y^\prime}=E^\prime$ و $B^\prime_{z^\prime}=B^\prime$ در حال حرکته. دستگاه مختصات $x^\prime y^\prime z^\prime$ راستگرد و متصل به ناظر $A$ هست. (به شکل زیر نگاه کنید) تنها شرط لازم برای اینکه ناظر $A$ مشاهده کنه که بار الکتریکی مذکور در حین حرکت با سرعت $u$ به بالا و پایین منحرف نمیشه اینه که نیروهای الکتریکی و مغناطیسی، همدیگه رو خنثی کنن یا به عبارتی باید شرط زیر برقرار باشه:

فنر در میدان الکتریکی 1-هوپا.png
فنر در میدان الکتریکی 1-هوپا.png (16.81 KIB) بازدید 116 بار


(1) $$F^\prime_E=F^\prime_B \rightarrow E^\prime_{y^\prime} q^\prime=q^\prime u B^\prime_{z^\prime} \rightarrow E^\prime = u B^\prime$$

حالا فرض کنید که کل این سیستم نسبت به ناظر $D$ در حال حرکت با سرعت ثابت $v$ در راستای $x$ هست. اگر نسبیت بخواد پارادوکسیکال نباشه، باید از دید ناظر $D$ هم انحرافی برای مسیر بار الکتریکی رخ نده یا به عبارتی از دید $D$ باید همچنان برایند نیروهای وارد بر $q^\prime$ در راستای $y$ صفر باشه. ولی واقعیت اینه که ناظر $D$ وضعیت پیچیده تری رو برای میدان ها می بینه. این ناظر طبق تبدیلات لورنتس مقادیر زیر رو برای میدان های الکتریکی و مغناطیسی محاسبه می کنه:

(2) $$E_y=\gamma_v (E^\prime + vB^\prime)$$
(3) $$B_z=\gamma_v [B^\prime + (v/c^2)E^\prime]$$
اما نکته ی مهمِ دیگه اینه که بار $q^\prime$ با سرعت نسبیتی $w$ که عملاً از جمع نسبیتی سرعت ها پیروی می کنه، داره از ناظر $D$ دور میشه که از رابطه ی زیر به دست میاد:

(4) $$w=\frac{v+u}{1+uv/c^2}$$
یا به عبارتی $D$ ادعا می کنه که بار $q^\prime$ داره با سرعت $w$ داخل میدان های الکتریکی و مغناطیسی فوق حرکت می کنه. از طرفی چون توی نسبیت مقدار بار الکتریکی از دید همه ی ناظرا کمیتی ناورداست (بدون تغییره)، این ناظر شرط تعادل نیروها در راستای $y$ رو به شکل زیر می نویسه:

(5) $$F_E=F_B \rightarrow E_y q^\prime =q^\prime w B_z \rightarrow E_y = w B_z $$
با جایگذاری معادلات 2 و 3 در معادله ی 5 به دست میاریم:
(6) $$E_y = w B_z \rightarrow \gamma_v (E^\prime + vB^\prime)=w\gamma_v [B^\prime + (v/c^2)E^\prime] $$

که بعد از ساده سازی به رابطه ی زیر می رسیم:

(7) $$ E^\prime=\frac{w-v}{1-vw/c^2} B^\prime$$
حالا با جایگذاری معادله ی 4 در معادله ی 7 و پس از ساده سازی به دست میاریم:

(8) $$E^\prime=uB^\prime$$
که این همون رابطه ی یک هست یعنی شرطی که دو ناظر برای میدان ها میذارن یکسانه و نسبیت در این مثال پارادوکسیکال نیست. [دقت کنین که دستگاه های مختصات و جهت سرعت ها طوری در نظر گرفته شدن که با تبدیلات لورنتس در کتاب رزنیک توافق دارن: آشنایی با نسبیت خاص، رابرت رزنیک، مرکز نشر دانشگاهی، تهران، 1383، صفحه ی 179]

حالا به مسئله ی اصلی می پردازیم:
فرض کنید که توی مثال قبل، به جای میدان مغناطیسی، فنری با ثابت $k^\prime$ از سقف اتاق آویزونه و بار الکتریکی مذکور بر روی کفّه ی متصل به فنر با سرعت ثابت $u$ در حال حرکته. (به شکل زیر نگاه کنید) فرض کنید جرمِ ماندِ زمین (یا سیاره ی خیالی که آزمایش بر روی اون انجام میشه) زیاده ولی اونقدر زیاد نیست که میدان گرانشی قابل ملاحظه ای رو ایجاد کنه. برای همین، میدان الکتریکی که در مثال قبل در نظر گرفته شده بود، فنر رو به سقف فشرده می کنه بدون اینکه نیازی باشه اثر گرانش رو دخیل کنیم. اگر مقدار فشردگی فنر از دید ناظر $A$، $\Delta x^\prime$ باشه، شرط تعادل نیروها در راستای $y^\prime$ ایجاب می کنه که ناظر $A$ رابطه ی زیر رو به رسمیت بشناسه:

فنر در میدان الکتریکی 2-هوپا.png
فنر در میدان الکتریکی 2-هوپا.png (19.56 KIB) بازدید 116 بار


(9) $$F^\prime_E=E^\prime q^\prime=k^\prime \Delta x^\prime$$
اما از دید ناظر $D$ میدان الکتریکی مذکور خودشو به دو شکل میدان الکتریکی و مغناطیسی با تبدیلات زیر نشون میده:

(10) $$E_y=\gamma_v E^\prime$$
(11) $$B_z=({v \gamma_v}/c^2) E^\prime$$
که شرط تعادل نیروها در راستای $y$ از دید $D$ به شکل زیره:

(12) $$F_E+F_B=k \Delta x \rightarrow q^\prime E_y - q^\prime w B_z=k\Delta x$$
از طرفی می دونیم که از دید ناظر $D$ ثابت فنر با ضریب "عکس گاما" کاهش یافته ($k={k^\prime}/{\gamma_v}$) و مقدار جابجایی فنر هم دست نخوره باقی می مونه ($\Delta x=\Delta x^\prime$). با جایگذاری این روابط و روابط 10 و 11 در معادله ی 12 به دست میاریم:

(13) $$q^\prime E^\prime {\gamma_v}^2 (1-vw/c^2)=k^\prime \Delta x^\prime \rightarrow E^\prime q^\prime=\frac{c^2+uv}{c^2} k^\prime \Delta x^\prime $$
اما این معادله با معادله ی 9 سازگار نیست و نشون دهنده ی پارادوکسی توی نسبیته، ایراد کار کجاست؟ smile042
.
.
در ضمن، از آقای عارفی و حاجی تقی تهرانی بابت راه اندازی Mathjax در هوپا متشکرم smile072
واپسین ویرایش بدست M_J1364@yahoo.com در جمعه 18 مرداد 1398 - 10:48, رویهم 1 بار.
ای که مجنون گشته ای در عشقِ ما............کِی بُوَد.. لیلی.. تو را.. نامی.. سزا؟!
سویِ.. من... پروانه.. شو... پروا مکن............در..... میانِ.... آتشم.... رقصان.... بیا
نماد کاربر
 
سپـاس : 441 times

ارسـال : 1213


نام: محمّد جوانشیری
سن: 33 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 90/9/24

ذکر نشده

Re: فنر در میدان الکتریکی (پارادوکسی نسبیتی)

نوشتهاز سوی paradoxy در پنجشنبه 17 مرداد 1398 - 18:07

امیدوار بودم که فنر هم همراه $q$ با سرعت $u$ از دید ناظر ساکن نسبت به آزمایشگاه در حال حرکت باشه تا یکم پیچیدگی مسئله کاهش پیدا کنه که فنر احیانا در طول فشرده شدن "خم" نشه.
فشرده شدن فرآیند زمان گیری هست و آنی رخ نمیده؛ و بنابرین وقتی از دیدگاه ناظر $D$ مسئله رو بررسی میکنیم؛ برای نیروی میدان مغناطیسی حق نداریم بنویسیم $F=q\omega\times B$ چون $\omega$ سرعت اولیه بار $q$ هست؛ وقتی که هنوز در تعادل قرار نگرفته. به عبارت دیگه حتی توی ساده‌ترین مسئله کلاسیکی هم که حرکت ذره باردار رو در میدان مغناطیسی بررسی می‌کنیم؛ اگر فرض کنیم که سرعت ذره $\vec{u}=|u|\hat{i}$ و میدان $\vec{B}=|B|\hat{k}$ باشه حق نداریم بنویسیم $F=qu\times B=-quB\hat{j}$ این معادله فقط و فقط در یک لحظه برقراره؛ باید بنویسیم $F=qv\times B$ که $\vec{v}=v_x \hat{i}+ v_y \hat{j} + v_z\hat{k}$ و بنابرین $F=qv\times B=-qvB\hat{j}+qvB\hat{i}$ و بعدا در شرایط اولیه در نظر می گیریم که $\vec{v}(t=0)=|u|\hat{i}$ توی لحظه اولیه برقراره. توی مسئله اول میشه $F=q\omega\times B$ نوشت؛ چون ذره هیچ وقت قرار نیست در محور های دیگه به حرکت در بیاد و توی ایکس میمونه. ولی اینجا؛ ذره به شکل عمودی هم به حرکت میوفته و باید معادله رو درست نوشت. (این $v$ اشتباه گرفته نشه با $v$ ای که توی مسئله طرح شده. مثال زدم فقط)

اما حل مسئله. نیروی فنر در محور ایگرگ هست:

$$F_y=\frac{F'_y}{\gamma_v(1+\frac{uv}{c^2})}=\frac{k'\Delta x'}{\gamma_v(1+\frac{uv}{c^2})}$$

پس
$$k=\frac{k'}{\gamma_v(1+\frac{uv}{c^2})}$$

اما با جایگزاری $\omega$ در معادله زیر

$$F_E + F_B=q'E'\gamma_v(1-v\omega/c^2)=\frac{q'E'}{\gamma_v(1+\frac{uv}{c^2})}$$

پس

$$F_E + F_B=F_y\rightarrow \frac{q'E'}{\gamma_v(1+\frac{uv}{c^2})}=\frac{k'\Delta x}{\gamma_v(1+\frac{uv}{c^2})}$$

که یعنی

$$q'E'=k'\Delta x'$$
پارادوکسی در کار نیست. تبدیل نیرو درست انجام نشده برای فنر. ولی به کل تمام این ها فقط و فقط برای یک لحظه درسته. یعنی فشرده شدن فنر در یک لحظه بینهایت کوچک. برای در نظر گرفتن کل حرکت و حالت واقعی؛ باید به مواردی که بالا گفتم توجه بشه. فنر هم خم میشه.
سلامت باشی؛ اینطوری راحت تر میتونیم روابط رو ویرایش کنیم؛ راحت شدیم دیگه. مرسی از مسئله ای که گذاشتی.
نماد کاربر
 
سپـاس : 936 times

ارسـال : 1823


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: فنر در میدان الکتریکی (پارادوکسی نسبیتی)

نوشتهاز سوی M_J1364@yahoo.com در جمعه 18 مرداد 1398 - 00:32

paradoxy نوشته است:پارادوکسی در کار نیست. تبدیل نیرو درست انجام نشده برای فنر.

فکر کنم بعدِ عمری بالاخره یه حرف درست و حسابی زدی! smile015 آره، ظاهراً حلّت درسته و من تبدیل نیرو رو برای فنر درست ننوشتم. اتفاقاً الان با نیما رفته بودیم بیرون و به مدت قابل توجهی روی این مسئله فکر کردیم همونجا جوابتو خوندم و متوجه اشتباهم شدم، ولی حالا نیما توصیه کرده که فنر رو هم با بار متحرک فرض کنم (همون چیزی که خودتم بهش اشاره کردی) و مسئله رو دوباره بررسی کنم.
paradoxy نوشته است:ولی به کل تمام این ها فقط و فقط برای یک لحظه درسته. یعنی فشرده شدن فنر در یک لحظه بینهایت کوچک. برای در نظر گرفتن کل حرکت و حالت واقعی؛ باید به مواردی که بالا گفتم توجه بشه. فنر هم خم میشه.

نه این بخش از حرفت درست نیست چون در همه ی لحظات تغییری در رفتار فنر از دید دو ناظر به وجود نمیاد. اصلاً فرض کن که بار اولش نسبت به $A$ ساکنه و فنر هم در حالت فشرده به تعادل رسیده، بعد با یه تلنگور، بار در راستای $x^\prime$ حرکت می کنه. چون از دید $A$ شرط تعادل تغییری نمی کنه پس وضعیت فنرِ فشرده تغییری نمی کنه و $D$ هم باید همین موضوعو تأیید کنه.

بذارید بیشتر روی این مسئله فکر کنم.
ای که مجنون گشته ای در عشقِ ما............کِی بُوَد.. لیلی.. تو را.. نامی.. سزا؟!
سویِ.. من... پروانه.. شو... پروا مکن............در..... میانِ.... آتشم.... رقصان.... بیا
نماد کاربر
 
سپـاس : 441 times

ارسـال : 1213


نام: محمّد جوانشیری
سن: 33 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 90/9/24

ذکر نشده

Re: فنر در میدان الکتریکی (پارادوکسی نسبیتی)

نوشتهاز سوی paradoxy در جمعه 18 مرداد 1398 - 01:52

نه این بخش از حرفت درست نیست چون در همه ی لحظات تغییری در رفتار فنر از دید دو ناظر به وجود نمیاد. اصلاً فرض کن که بار اولش نسبت به A ساکنه و فنر هم در حالت فشرده به تعادل رسیده، بعد با یه تلنگور، بار در راستای x′ حرکت می کنه. چون از دید A شرط تعادل تغییری نمی کنه پس وضعیت فنرِ فشرده تغییری نمی کنه و D هم باید همین موضوعو تأیید کنه.

نگاه کن ذره باردار در میدان مغناطیسی می‌چرخه. منم قبول نداری از نیما بپرس. علتش اینه که نیرویی که میدان مغناطیسی وارد می‌کنه همیشه عموده به سرعت ذره، هرچی نباشه $F=qv\times B$ هست. بنابرین وقتی ذره رو در محور ایکس به حرکت میندازی اتوماتیک نیروی مغناطیسی در محور ایگرگ وارد میشه؛ و بعد که ذره توی محور ایگرگ به حرکت افتاد (و توی محور ایکسم همزمان داشت میرفت جلو) نیروی مغناطیسی در محور ایکس هم بهش نیرو وارد می کنه و هم در محور ایگرگ. البته من نگفتم چنین مسئله ای پارادوکس میسازه؛ بلکه منجر به این میشه که ذره در راستای ایکس هم شتاب دار حرکت کنه همین؛ در نتیجه سرعت ذره در محور ایگرگ یک حرکت شتاب دار معمولی نیست که اندازش به شکل خطی قابل محاسبه باشه یعنی مثل میدان الکتریکی؛ بلکه افت و خیز داره!، وقتی سرعت ذره در محور ایکس ماکسیمومه (مثل اول مسئله) نیروی مغناطیسی در راستای ایگرگ ماکس میشه؛ و وقتی که نیروی مغناطیسی انقدر سرعت ذره رو در محور ایکس کاهش داد و همش رو تبدیل کرد به سرعت در محور ایگرگ؛ نیروی مغناطیسی صرفا در محور ایکس وارد میشه. یک حرکت دایره‌ای هست یکجورایی. و ضمنن فنر هم قوس بر میداره اگر اون بخش سیاهی که الان اضافه کردی رو فرض نکرده باشی. این قضیه خطرناکه چون اون تبدیل هایی که ما نوشتیم رو بهم میزنه. مثلا $u$ که من نوشتم درواقع $u_x$ ه که حالا با توجه به چیزایی که گفتم خودش متغییره.
نماد کاربر
 
سپـاس : 936 times

ارسـال : 1823


نام: داود حاجي تقي تهراني
سن: 15 سال
نام نویسی: 93/10/22

ذکر نشده

Re: فنر در میدان الکتریکی (سوالی نسبیتی)

نوشتهاز سوی M_J1364@yahoo.com در جمعه 18 مرداد 1398 - 11:20

paradoxy نوشته است:نگاه کن ذره باردار در میدان مغناطیسی می‌چرخه. منم قبول نداری از نیما بپرس. علتش اینه که نیرویی که میدان مغناطیسی وارد می‌کنه همیشه عموده به سرعت ذره، هرچی نباشه F=qv×B هست. بنابرین وقتی ذره رو در محور ایکس به حرکت میندازی اتوماتیک نیروی مغناطیسی در محور ایگرگ وارد میشه؛ و بعد که ذره توی محور ایگرگ به حرکت افتاد (و توی محور ایکسم همزمان داشت میرفت جلو) نیروی مغناطیسی در محور ایکس هم بهش نیرو وارد می کنه و هم در محور ایگرگ.

درست نمی فهمم چی می خوای بگی. ولی توی حالت دوم که توش فنر داره (از دید ناظر $A$) که ما اصلاً نیروی مغناطیسی نداریم که بخواد به بار نیرو وارد کنه. (دقت کن که من توی حالت دوم دارم می گم بار رو از حالت سکون حرکتش بدی و نه توی حالت اول.) اگرم منظورت دیدگاه ناظر $D$ توی حالت دوم هست، این دیدگاه باید منطبق با دیدگاه ناظر $A$ باشه یعنی با اینکه ناظر $D$ داره یه میدان مغناطیسی هم می بینه ولی این میدان مغناطیسی چون تابعی از میدان الکتریکی هست، در هر لحظه طوری رفتار می کنه که مشاهدات ناظر $D$ با $A$ بخونه و چون $A$ انحرافی رو برای بار به خاطر حرکتش توی $E^\prime$ نمی بینه، $D$ هم انحرافی رو نباید ببینه. در ضمن از اثرات میدان مغناطیسی خودِ بار که ناشی از حرکتش در اطرافش به وجود میاد صرف نظر کردیم که البته لحاظ کردن این اثر هم ظاهراً تغییری در نیروها به وجود نمیاره.
M_J1364@yahoo.com نوشته است:حالا نیما توصیه کرده که فنر رو هم با بار متحرک فرض کنم (همون چیزی که خودتم بهش اشاره کردی) و مسئله رو دوباره بررسی کنم.

این قضیه رو هم بررسی کردم و ظاهراً پارادوکسی در کار نیست.
ای که مجنون گشته ای در عشقِ ما............کِی بُوَد.. لیلی.. تو را.. نامی.. سزا؟!
سویِ.. من... پروانه.. شو... پروا مکن............در..... میانِ.... آتشم.... رقصان.... بیا
نماد کاربر
 
سپـاس : 441 times

ارسـال : 1213


نام: محمّد جوانشیری
سن: 33 سال
شهر: تهران
نام نویسی: 90/9/24

ذکر نشده


بازگشت به نسبیت

چه کسی هم اکنون اینجاست ؟

کاربرانی که در این تالار هستند: بدون کاربران عضو شده و 8 مهمان