یک سیستم 3 جسم پایدار که در یک دایره کامل بچرخد؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1852

سپاس: 3349

جنسیت:

تماس:

یک سیستم 3 جسم پایدار که در یک دایره کامل بچرخد؟

پست توسط rohamjpl »

یعنی سیستمی که دارای 3 جسم با جرم مساوی است که به این صورت در اطراف مرکز ثقل سیستم می چرخندتصویر
بله و خیر - بستگی به این دارد که منظور شما از "پایدار" چیست. به طور دقیق، "پایدار" به معنای مصونیت از آشفتگی های کوچک است. همانطور که در هر متن سال اول حساب دیفرانسیل و انتگرال نشان داده شده است، "تعادل" می تواند "پایدار" یا "ناپایدار" باشد.
آیا می توانید یک مداد را روی نوک آن متعادل کنید؟
اگر شما سه جسم کروی ایده آل (و در غیر این صورت یک جهان خالی) دارید که بر اساس گرانش نیوتنی (یا شاید حتی نسبیت انیشتین) حرکت می کنند و هر جسم دقیقاً با سرعت مناسب حرکت می کند، آنگاه این سیستم می تواند وجود داشته باشد.
با این حال، اگر حتی با کمترین مقدار آن را مختل کنید، به تدریج از این مدار منحرف می شود و احتمالاً با برخورد یا پرتاب یکی از سیارات به پایان می رسد. از این نظر پایدار نیست.
این مانند متعادل کردن یک مداد روی نقطه است. در تئوری ممکن است، اما در عمل مداد همیشه پایین می‌آید. به طور مشابه، این در تئوری (یا در یک مدل کامپیوتری) امکان پذیر است اما در عمل نمی تواند وجود داشته باشد.
شناخته شده ترین راه حل های پایدار برای مشکل سه بدنه سلسله مراتبی هستند. یا یک "خورشید" توسط "سیاره ای" می چرخد ​​که به دور "ماه" می چرخد، یا دو "خورشید" در مداری تنگ قرار دارند که توسط یک "سیاره" می چرخد. در این پیکربندی ها ساختار واضحی وجود دارد و مدارهای هر سطح را می توان با بیضی های کپلین تقریب زد.
این راه حل توسط لاگرانژ پیدا شد و یک مورد خاص از مدارهای L4 و L5 است که در آن سه جسم در یک مثلث متساوی الاضلاع حرکت می کنند. راه‌حل‌های دیگر مسئله سه جسم شناخته شده‌اند، اما راه‌حل‌های غیر سلسله مراتبی که نه تنها دوره‌ای هستند، بلکه در برابر آشفتگی‌های کوچک مقاوم هستند، زمانی وجود ندارند که این سه جسم دارای جرم مساوی باشند.
در فیزیک و مکانیک کلاسیک، مسئله سه جسم، مسئله گرفتن موقعیت‌ها و سرعت‌های اولیه جرم‌های سه نقطه و حل حرکت بعدی آنها بر اساس قوانین حرکت نیوتن و قانون گرانش جهانی نیوتن است مسئله سه جسم یک مورد خاص از مسئله n جسم است. بر خلاف مسائل دو بدنه، هیچ راه حل کلی شکل بسته وجود ندارد، زیرا سیستم دینامیکی حاصل برای اکثر شرایط اولیه آشفته است و به طور کلی روش های عددی مورد نیاز است.
توضیحات ریاضی
بیان ریاضی مسئله سه جسم را می توان بر حسب معادلات حرکت نیوتنی برای موقعیت های برداری ارائه کرد$ {\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i} )}$ از سه جسم متقابل گرانشی با جرم ${\displaystyle m_{i}}$
پس ${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}}$
این مجموعه ای از نه معادله دیفرانسیل مرتبه دوم است. این مسئله همچنین می‌تواند به طور معادل در فرمالیسم همیلتونی بیان شود، که در این صورت با مجموعه‌ای از 18 معادله دیفرانسیل مرتبه اول، یکی برای هر جزء از موقعیت‌های ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} }$ توصیف می‌شود. ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}$
که در آن ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ همیلتونی است:${\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}$
در این مورد ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ صرفاً انرژی کل سیستم، گرانشی به علاوه جنبشی است.
مشکل سه بدنه محدود
مسئله سه جسم محدود دایره ای یک تقریب معتبر از مدارهای بیضوی موجود در منظومه شمسی است، و این را می توان به عنوان ترکیبی از پتانسیل های ناشی از گرانش دو جسم اولیه همراه با اثر گریز از مرکز ناشی از چرخش آنها تجسم کرد (کوریولیس) جلوه ها پویا هستند و نشان داده نمی شوند). سپس نقاط لاگرانژ را می توان به عنوان پنج مکان مشاهده کرد که شیب روی سطح حاصل صفر است (به صورت خطوط آبی نشان داده شده است)، که نشان می دهد نیروها در آنجا در تعادل هستند.
در مسئله سه جسمی محدود، جسمی با جرم ناچیز («سیاره‌نما») تحت تأثیر دو جسم پرجرم حرکت می‌کند. با داشتن جرم ناچیز، نیرویی که سیاره‌نما بر دو جرم پرجرم وارد می‌کند، ممکن است نادیده گرفته شود، و سیستم را می‌توان آنالیز کرد و بنابراین می‌توان آن را بر حسب حرکت دو جسم توصیف کرد. معمولاً این حرکت دو جسمی متشکل از مدارهای دایره‌ای به دور مرکز جرم در نظر گرفته می‌شود و فرض می‌شود که سیاره‌نما در صفحه‌ای که توسط مدارهای دایره‌ای تعریف شده حرکت می‌کند.
تجزیه و تحلیل تئوری مشکل سه بدنه محدود آسان تر از مسئله کامل است. از آنجایی که به طور دقیق بسیاری از مشکلات دنیای واقعی را توصیف می کند، جالب توجه عملی است، که مهمترین مثال آن سیستم زمین-ماه-خورشید است. به این دلایل، نقش مهمی در توسعه تاریخی مسئله سه بدنه ایفا کرده است.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
تصویر

ارسال پست