اثبات نابرابری در ترمودینامیک

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2472

سپاس: 4615

جنسیت:

تماس:

اثبات نابرابری در ترمودینامیک

پست توسط rohamavation »

در حین حل تمرین ترمودینامیک، تلاش برای اثبات افزایش آنتروپی به مشکل بخوردم
$\Delta S = T_{final}^{1/2} - \frac{T_1^{1/2} + T_2^{1/2}}{2}, T_{final} = \Big( \frac{T_1^{3/2} + T_2^{3/2}}{2} \Big)^{2/3}$
جایی که T1،T2 اعداد مثبت واقعی هستند به طوری که$T_1 > T_2 > 0$و من می خواهم ثابت کنم که ΔS
بزرگتر از 0 است.من سعی کردم از Lp استفاده کنم
هنجارها و نابرابری هایی مانند نابرابری هولدر و مینکوفسکی یا نابرابری مثلثی اما هیچ چیز برای من کارساز نبود. من این نابرابری را به صورت عددی آزمایش کردم و تا آنجا که می توانم بگویم پابرجاست.
برای p≠0، اجازه دهید$M_p(x,y)=(x^p+y^p)^{1/p}$
با x,y>0 سپس، با نابرابری میانگین توان، اگر p≥q سپس$M_{p}(x,y)\geq M_{q}(x,y)$
تساوی اگر و فقط اگر x=y برقرار است.بنابراین، برای T1>T2>0،
$\Delta S=\Big( \frac{T_1^{3/2} + T_2^{3/2}}{2} \Big)^{1/3} - \frac{T_1^{1/2} + T_2^{1/2}}{2}=M_{3/2}(T_1,T_2)^{1/2}-M_{1/2}(T_1,T_2)^{1/2}>0.$
در نظر گرفتن
$\Delta S = \Bigg( \frac{T_1^{3/2} + T_2^{3/2}}{2} \Bigg)^{1/3} -\Bigg( \frac{T_1^{1/2} + T_2^{1/2}}{2}\Bigg)$
بگذارید $T_2=k^2 \,T_1$ با (0<k<1) که می دهد
$\frac 2 {\sqrt{T_1}} \Delta S = \sqrt[3]{4(k^3+1)}-(k+1)$و rhs همیشه مثبت است (کاهش از $[2^{2/3}-1]$ به 0) و مشتق آن در محدوده لغو نمی شود.
تصویر

ارسال پست