مسئله کپلر

[shahrzad.d]

سلام.در مورد مدارهای بیضی ـ مسئله ی کپلر یه کم توضیح ساده می خواستم.

[shahrzad.d]

چرا سرعت زمین در نزدیکی خورشید افزایش می یابد؟

[shahrzad.d]

چرا مدار سیارات به دور خورشید بیضی است؟
بین سرعت و اندازه ی مدار سیارات چه رابطه ای برقرار است؟

[shahrzad.d]

هیچ کس نمی خواد کمک کنه؟ بابا بی خیال هرچی میدونید بگید، لطفا!

[Angel!]

سلام.در مورد مدارهای بیضی ـ مسئله ی کپلر یه کم توضیح ساده می خواستم.

قانون اول کپلر یا قانون بیضوی ها

مدار هر سیاره به شکل یک بیضی است که خورشید در یکی از کانونهای آن قرار دارد.‌(قانون مدار‌ها)

ابتدا تعریف بیضی: بیضی به بیان ساده مکان هندسی نقاطی از صفحه است که مجموع فاصله هر نقطه از آن تا دو نقطه ثابت (که کانون بیضی نامیده میشوند) برابر مقدار ثابتی است. معمولا این مقدار را با2a نشان میدهند . در ضمن فاصله بین دو کانون را هم با 2c نشان می‌دهند. اگر بیضی‌ای رسم کنید که مرکز بیضی روی مبدا باشد و قطر بزرگ بیضی را روی y=0 و قطر کوچک را روی x=0 در نظر بگیرید، شکلی شبیه به شکل 1خواهید داشت.

نقاط دو سر قطر بزرگ که به آن محور اطول میگویند راس‌های بیضی نام دارد. البته در این نمودار مختصات این رئوس با (‌۰وa) و (0وa-) مشخص شده‌اند. محور کوچکتر محور اقصر نام دارد. رئوس این محور در شکل با (0وb-) و (bو‌۰) مشخص شده‌اند.

اگر هر نقطه بیضی را به کانون‌ها وصل کنیم، بین این دو نقطه و مبدا یک مثلث قائم الزاویه درست می شود.

یک نسبت مهم در بیضی « خروج از مرکز بیضی » می‌باشد که فرمول آن به این صورت است :e=c/a . اگرe=0 باشد، بیضی یک حالت خاص یعنی دایره است و اگر e=1 باشد، حالت خاص دیگر یعنی یک پاره خط داریم. هر چه e بیشتر باشد، کشیدگی بیضی بیشتر است.

به راحتی می‌توان مشخصات مسیر حرکت سیارات به دور خورشید از قبیل خروج از مرکز و دیگر پارامتر‌ها را محاسبه کرد.

از این مطلب که مسیر حرکت سیارات به دور خورشید بیضی شکل است می‌توان این را نتیجه گرفت که فاصله سیاره تا خورشید به لحاظ واقع بودن بر مدار بیضی دارای حداقل و حداکثر است.

کپلر بیش از 20 سال برای درک چگونگی مدارات سیارات زحمت کشید. او مدلهای مختلفی را امتحان نمود ولی سرانجام نشان داد که صفحه مداری سیاره ها از خورشید می گذرد و کشف کرد که شکل مداری سیارات به صورت بیضی است. این قانون در سال 1609 میلادی انتشار یافت.

[Angel!]

هر کاری میکنم عکسش اپلود نمیشه توی مطلب بالا اما مشکلی نیست

[shahrzad.d]

مدار مریخ و معمّاهای یوهان کپلر
یوهان کپلر(1571-1630) یکی از دستیاران تیگو براهه منجم مشهور دانمارکی بود. وی تلاش می کرد تا تا از طریق ریاضیات، منظومه خورشید مرکزی را توجیه و ثابت کند. به همین دلیل کپلر، هندسه را برای توجیه این مسئله انتخاب کرد. او همچنین از طریق هندسه توانست، مدار سیارت و دوره تناوب آن ها را با درصد خطای کمترمحاسبه کند. کپلر پیش از آنکه به عنوان دستیار تیگو براهه درآید، الگویی برای محاسبه نسبت فواصل بین سیارت ارائه کرد.

در این الگو، کپلر پنج چند وجهی منتظم ( نوعی چند وجهیست که اضلاع و زاویه های تمام وجوه آن یکسانند) را با ترتیب خاصی به صورت تو در تو، در درون یکدیگر قرار داد. بین هر دو چند وجهی منتظم فضای خالی وجود داشت که در میان آن ها نیم کره هایی گنجانده شده بود. در این الگو، پنج چند وجهی منتظم و شش نیم کره تعبئه شده بود که نخستین و کوچکترین نیم کره در درون داخلیترین چند وجهی منتظم و ششمین و بزرگترین نیم کره در خارج از الگو قرار داشت به طوری که تمام الگو در این نیم کره واقع بود. این نیم کره ها نقش مدار سیارات را داشتند. و به این ترتیب کپلر توانست نسبت فواصل مدار سیارات را با 5 درصد خطا محاسبه کند. کپلر با ارائه این الگو مهارت و قدرت ریاضی خود را نشان داد و به همین دلیل به عنوان دستیار تیگو براهه در اورانیبورگ، که رصد خانه ای بود در جزیره هون که توسط پادشاه دانمارک ساخته شده بود، منصوب شد. نخستین ماموریتی که به کپلر داده شد، محاسبه و تعیین مدار مریخ بود. وی در تعیین مدار مریخ از منظومه خورشید مرکزی استفاده کرد. او به مدت یک سال و نیم مشغول رصد و محاسبه مدار مریخ بود.
امّا او به نتیجه شگفت آوری دست یافت. حرکت طولی مریخ (شرق وغرب دایره البروج ) که کپلر محاسبه کرد با حرکت طولی که تیگو براهه بدست آورده بود، حدود 8 دقیقه قوسی اختلاف داشت . دیگر دستیاران تیگو علت این اختلاف را خطای ابزار می دانستند. امّا کپلر این طور فکر نمی کرد، چون ابزار های آزمایشگاه تیگو براهه حداکثر خطایی که داشتند دو یا سه دقیقه بود. کپلر می پنداشت که مسیر حرکت مریخ نبایستی دایره باشد. به همین خاطر به دنبال شیوه دیگری برای محاسبه و تعیین مدار مریخ برآمد. موضع رصد و محاسبه مدار مریخ توسط تیگو براهه و کپلر از زمین متحرک بود.
و به همین خاطر کپلر در صدد بر آمد تا چارچوب خود را از زمین متحرک به خورشید که ثابت است، منتقل کند. کپلر برای این کار، بایستی مدار زمین را به طور دقیق تعیین کند. او برای تعیین مدار زمین، فرض مسئله خود را چنین قرار داد که در لحظه ابتدا، زمین، خورشید و مریخ در یک راستا قرار دارند. دوره تناوب مریخ که او بدست آورده بود، 687 روز بود. پس از یک دوره مریخی (یعنی 687 روز) مریخ دوباره به موضع خود می رسد، امّا در این لحظه زمین در موضع قبلی نبوده یعنی زمین، مریخ و خورشید در یک راستا قرار ندارند. چون دوره زمینی 365 روز می باشد.
از این طریق کپلر توانست مدار زمین را مشخص کند. او مدار زمین را دایره بدست نیاورد بلکه مدار زمین را بیضی نزدیک به دایره یافت. او مشاهده کرد که سرعت زمین در نزدیکی خورشید افزایش می یابد. و این مسئله ذهن کپلر را مشغول کرده بود. و او برای حل مسئله خود به دنبال علت فیزیکی آن می گشت. وی فکر می کرد که خورشید بر سیارات نیرو وارد می کند که آن ها را در مدار نگه داشته. امّا روشی برای اثبات عقیده خود نداشت. امّا شیوه اثبات هندسیّه مدار زمین موجب شد که کپلر قانون اول خود را تدوین کند. مطابق این قانون خط واصل سیاره و خورشید در بازه زمانی یکسان، مساحت یکسانی را جارو می زند. و به عبارتی این قانون نشان می دهد که سرعت سیارات در نقاط مختلف مدار در یک دوره تغییر می کند.
کپلر با تعیین مدار نسبتاً دقیق زمین، اکنون می توانست مدار مریخ را محاسبه کند. او در روشی مشابه با روش قبلی، مدار مریخ را تعیین کرد. او مدار مریخ را بیضی مایل به دایره بدست آورد. امّا شکل بیضی مدار زمین با بیضی مدار مریخ متفاوت بود. هر چند که بیضی ها از نظر شکل متفاوتند امّا در یک خواص کلی متشابه اند و اینکه هر نقطه واقع بر بیضی مجموع فاصله شان از دو نقطه ثابت به نام کانون، همواره یکسان و ثابت است. با کشف مدار بیضی مریخ و زمین، کپلر قانون دوم خود را توانست تدوین کند. به موجب این قانون، مدار سیارات به دور خورشید، بیضی می باشند و خورشید در یکی از کانون های بیضی قرار دارد.
کپلردر سال 1609 پس از آنکه دو قانون خود را تدوین کرد با دو مسئله مهم رو به رو شد و اینکه چرا مدار حرکت سیارات به دور خورشید بیضی است. و همچنین سرعت و مدار سیارات نبایستی تصادفی و مستقل از یکدیگر باشند. و به همین دلیل تلاش می کرد تا بتواند بین سرعت و اندازه مدار سیارات رابطه را بیابد. کپلر پس از ده سال محاسبه و بررسی توانست به رابطه ای میان اندازه مدار و دوره سیارات دست یابد.
کپلر در سال 1619 در کتاب هماهنگی جهان می نویسد:" پس از آنکه با تلاش و کوشش خود در مدتی طولانی، و با استناد به رصد های تیگو براهه، رابطه درست و حقیقی را پیدا کردم..."(1) این قانون که به قانون هماهنگی یا دوره تناوب نیز معروف است بدین شرح است: مربع دوره گردش سیارات با مکعب فاصله میانگین آن ها از خورشید متناسب است و یا به عبارتی دیگر، نسبت مربع دوره گردش سیارات به مکعب فاصله میانگین آن ها از خورشید همواره ثابت است. این رابطه همیشه یک مقدار ثابتی است: T^2/R^3
سیاره مریخ
کپلر در واقع حرکات اجرام آسمانی را بر اساس هندسه و ریاضیات توصیف کرد و هرگز در مورد علت های آن چیزی نگفت. او دوست داشت که پدیده های آسمانی و حرکات اجرام آسمانی را بر اساس علت های فیزیکی توضیح دهد. تا اینکه نیوتون با ظهور خود در میدان رقابت، توانست با ارائه چهار قانون مهم خود( قانون چهارم همان قانون گرانش است) به این مسائل از دید فیزیکی و ریاضی پاسخ دهد.
در پایان این نکته را مستلزم می دانم که عامل مشترکی میان نیوتن و کپلر در کشف حقایق طبیعت وجود دارد البته شاید این عامل با دانشمندان دیگری نیز در اشتراک باشد، اما چون بحثمان درمورد کپلر هست این نسبت را به وی می دهیم. و اینکه افتادن سیب در برابر چشمان نیوتن منجر به این شد که نیوتن به فکر قانون گرانشی بیفتد و این امر سبب مشهور شدن او شد که تحول عظیمی را در فیزیک ایجاد کرد. و کپلر هنگامی که به دستیاری تیگو براهه منصوب شد اولین ماموریت او رصد مدار مریخ بود، و این مدار مریخ بود که باعث شد کپلر به معمّاهایی برخورد کند، و در حل این معمّا ها قوانینی را تدوین نمود که با استناد به این قوانین توانست به این پرسش ها پاسخ دهد. مردم هم عصر نیوتن و همچنین مردمان قبل از او هیچگاه با افتادن سیب از درخت نتوانستند به فکر نیروی گرانشی بیفتند و مانند نیوتن شوند.
تی دانشمندان هم عصر کپلر مانند تیگو براهه و حتی دانشمندان ومنجمان قبل از او که مشغول رصد مدار سیارات بودند، نتوانستند مانند کپلر در مورد مدار سیارات این گونه فکر کنند.

[shahrzad.d]

مریم عزیز از شرکتت متشکرم. در این مورد توضیحی داری؟
چرا سرعت زمین با نزدیک شدن به خورشید افزایش می یابد؟
مرسی!

[Angel!]

نگاهی کلی و مختصر بر قوانین کپلر

در اواخر قرن شانزدهم و اوایل قرن هفدهم یوهان کپلر ستاره شناس معروف آلمانی توانست با استفاده از تجربیات بیست ساله منجم دانمارکی تیکوبراهه سه قانون زیر را بدست آورد. بعدا ایزاک نیوتون به تصحیح و تکمیل این قوانین پرداخت.این قوانین از مهمترین و معروفترین قوانین نجوم هستند.

قانون اول کپلر یا قانون بیضوی ها

مدار هر سیاره به شکل یک بیضی است که خورشید در یکی از کانونهای آن قرار دارد .

که میتوان از این مطلب این را نتیجه گرفت که فاصله سیاره تا خورشید به لحاظ واقع بودن بر مدار بیضی دارای حداقل و حداکثر است.(شکل 1) کپلر بیش از 20 سال برای درک چگونگی مدارات سیارات زحمت کشید او مدلهای مختلفی را امتحان نمود ولی سرانجام نشان داد که صفحه مداری سیاره ها از خورشید می گذرد و کشف کرد که شکل مداری سیارات به صورت بیضی است .این قانون در سال 1609 میلادی انتشار یافت.



قانون دوم کپلر یاقانون مسطح معادل

خط مستقیم واصل سیاره و خورشید (شعاع حامل یک سیاره)، در فواصل زمانی مساوی مساحتهای مساوی را در فضا جاروب می کند.

یعنی برای مثال در شکل2سیاره ای در مدت 1 ماه از Aبه B می رود . مدت زمانی که از Cبه D می رود نیز یک ماه است اما اکنون از خورشید دورتر است بنابراین فاصله Aتا B باید بیشتر باشد تا سیاره در همان مدت یک ماه مساحتی برابر با مساحت اول را جاروب کند . به همین دلیل سیاره هنگامی که به خورشید نزدیکتر است با سرعت بیشتری حرکت می کند. برای فهم بیشتر به شکل 3 توجه کنید .



نیوتون به منظور به دست آوردن سه قانون تجربی کپلر ، قوانین حرکت و گرانش اش را با یکدیگر ترکیب کرد : و برای قانون دوم این روابط را برای بدست آوردن سرعت در نقطه اوج و حضیض را بدست آورد:

^V=(2лA/P)[(1+e)/(1-e)]^1/2 برای نقطه حضیض (نزدیکترین فاصله)

^V=(2лA/P)[(1-e)/(1+e)]^1/2 برای نقطه اوج (دورترین فاصله)

که A فاصله متوسط یا همان نیم قطر اطول با واحد AU(فاصله متوسط زمین ) و P دوره تناوب با واحد سال زمینی و e خروج از مرکز بیضی می باشد . که می توان فهمید که سرعت سیاره در نقطه حضیض از نقظه اوج بیشتر است


قانون سوم کپلریا قانون هارمونیک

نسبت مجذور زمان تناوب گردش دو سیاره برابر است با نسبت مکعب نیم قطر اطول آنها

کپلر برای بدست آوردن این فرمول 7 سال تلاش کرد . در آن زمان فاصله واقعی میان خورشید و سیارات معلوم نبود اما محاسبه نسبت فاصله یک سیاره تا خورشید به فاصله زمین تا خورشید میسر بود . مثلا کپلر می دانست که نیم قطر اطول مدار مریخ تقریبا 1.5 برابر نیم قطر اطول مدار زمین است . حال او متوجه شد اگر در هر سیاره نیم قطر اطول را به توان 3 و دوره گردش(p) را به توان 2 برسانیم . دو رقم بدست آمده باهم برابر می شوند و فقط اختلافهای اندکی برای برجیس (مشتری) و کیوان (زحل) دیده می شود .این مطلب را می توان به صورت ^p^2^=r^3 نوشت که درآن p برحسب سال و r برحسب واحد نجومی (نیم قطر اطول زمین) است .می توانیم برای اندازه گیری دور گردش سیاره واحد روز و برای فاصله کیلومتر را انتخاب کنیم . در این صورت نباید انتظار داشته باشیم ^p^2^=r^3 بلکه باید رابطه را بصورت ^p^2^=kr^3 بنوسیم که در آن k ضریب ثابت است و مقدارش به واحد ها بستگی دارد . برای مشخص کردن این موضوع معادله را می توان به این صورت نوشت :

r1)^3^/(r2)^3^=(p1)^2^/(p2)^2^)

که p1وr1 برای جرمی که میخواهیم این مقادیر را برایش بدست آوریم و r2,p2 معمولا برای زمین یا جرمی که این دو مقدار برای آن اندازه گیری شده است .

قانون سوم کپلر

نیوتون توانست این قانون را به صورت زیر درآورد و از قوانین خودش این قاون را اثبات کند :

(p^2^=4л^2^a^3^/G(m1+m2

حال اگر زمان تناوب نجومی pرا بر حسب سال و نیم قطر اطولa را بر حسب AU اندازه بگیریم ، ساده سازی خوبی بدست می آید:

^mp/M+1=a^3^/p^2

این فرمول بالا برای نسبتهای زمینی است. برای تشکیل هر نسبتی می توان از فرمول زیر استفاده کرد :

[(a/A)^3^=(p/P)^2^[(m1+m2)/M1+M2)

که در بالا سیستم دوتایی m1و m2 با دوره تناوب pو نیم محور اطول a با سیستم استاندارد(حروف بزرگ) سنجیده میشود. برای اجسامی که خورشید را دور می زنند یا برای ستارگان دوتایی دستگاه استاندارد سیستم خورشید - زمین است بر حسب سال .Aبرحسب AU و همه اجرام خورشیدی بر حسب جرم خورشید M1 . برای اقمار سیاره ای از سیستم ماه - زمین استفاده می کنیم که P=27.3 ، A=3.84*10^5^ و M1+M2 در مجموع جرم زمین در نظر گرفته می شود (یا ^24^ 10* 5.976 kg )

در مواردی مانند خورشید و یک سیاره یا سیاره و قمر آن معمولا جرم مجموع را همان جرم جرم بزرگتر در نظر می گیریم چون اختلاف فاحشی به وجود نمی آید.
بیضی[/" دربالا توضیح داده شد تکراری است"b]
ابتدا تعریف بیضی:بیضی به بیان ساده یعنی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که مجموع فاصله هر نقطه ازآن تا دو نقطه ثابت (کانون بیضی نامیده میشوند)برابر مقدار ثابتی معمولا این مقدار را با 2a نشان میدهند .ودر ضمن فاصله بین دو کانونم با 2c و البته مقداری دیگر را که در رسم نمودار یه بیضی خیلی مهمه را به این شکل تعریف می کنند (b2=a2 -c2 )اگر اين بيضی را رسم کنيد (مرکز بيضی را روی مبدا و قطر بزرگ بيضی رو روی y=0وقطر کوچکو روی x=0در نظر بگيريد ) نقاط دو سر قطر بزرگ که به آن محور اطول ميگويند راسهای بيضی نام داره البته در اين نمودار مقتصات اين رئوس به (۰وa)و(0وa-)دليل آن واضح است به زيرا طول محور به وضوح با مجموع فاصله راس از دو کانون برابر است . محور کوچکتر محور اقصر نام داره و انتهای اين محور هم (b-و0)و(bو۰)هستند دليل اين هم واضح است اگر از اين نقطه را به يکی از کانونها وصل کنيم بين اين دو نقطه و مبدا يک مثلث قائم الزاويه درست می شه خوب ديگه واضحه .معادله کلی يک بيضی بشکل زيره


1 = (x-x0)2/ b2 )) + (y-y0)2/a2 ))



که در آن (y0وx0 )مختصات مر کز بيضی است.

البته بسياری از معادلات به اين شکل بيان نميشه بلکه به گونه ايه که خودمون با مربع کامل کردن عبارات آن به شکل فوق در مياريم.

يک نسبت مهم در بيضی بنام خروج از مرکز بيضی :e=c/aاگرe=0باشه بيضی يک حالت خاص يعنی دايره است اگه e=1حالت خاص ديگه يعنی يه پاره خط هر چهeبيشتر باشه کشيدگی بيضی t

[Angel!]

مریم عزیز از شرکتت متشکرم. در این مورد توضیحی داری؟
چرا سرعت زمین با نزدیک شدن به خورشید افزایش می یابد؟
مرسی!

به این عکس توجه کن

[shahrzad.d]

ممنون.شکل خیلی گویا و جالبی بود. کاملا مشخص می شه که با نزدیک شدن زمین به خورشید سرعت زاویه ای افزایش پیدا می کنه!یعنی امگا افزایش پیدا می کنه.

[نواختر]

سلام.
میشه درباره اثبات قانون اول کپلر هم بنویسید.منظورم شکل ریاضی اثباتشه.
من همین فرمولو نمی فهمم چطوری انتگرال گیری میشه.یه جایی نوشته معادله حرکت نوسانگر سادس.




لطفا اون فرمول اصلی این انتگرال گیری رو هم بنویسید.ممنون میشم.

[Townsend]

سلام.
میشه درباره اثبات قانون اول کپلر هم بنویسید.منظورم شکل ریاضی اثباتشه.
من همین فرمولو نمی فهمم چطوری انتگرال گیری میشه.یه جایی نوشته معادله حرکت نوسانگر سادس.




لطفا اون فرمول اصلی این انتگرال گیری رو هم بنویسید.ممنون میشم.

خب این فرمول نوسانگر هماهنگ ساده ست دیگه .

شما برای خوندن نجوم اول باید کمی فیزیک بخونید که در این موارد مشکل پیدا نکنید.

البته میتونی با انتگرال گیری هم بهش برسی . چطوری ؟ اینطوری :

که u پریم مشتق u نسبت به تتاست.