نوسانات آونگی

[اندیشه73]

می شه برا حل این سوال بهم کمک کنید؟
در ساعت های دیواری قدیمی زمان با نوسانات اونگی به جرم گلوله mو طول Lسنجیده می شود که البته اثر اصطکاک در حرکت نوسانی اونگ را با مکانیزمی حذف می کنند هر بار که اونگ از نقطه تعادل می گذرد یک چرخ دندگی را فعال می کند که وجب می شود در فاصله Lاز نقطه اویز ضربه کوچکی به اونگ وارد می شود انرژی منتقل شده از این ضربه ،انرژی تلف شده به وسیله اصطکاک جبران می کند و بنابراین دامنه ثابت می ماند اگر دامنه نوسانات تتا و ضریب کیفیت Qباشد ضربه مورد نیاز برای تداوم نوسان با دامنه تتا بیابید

[ehsan.helli1]

ضریب کیفیت چیه دیگه!؟

[N@DER]

ضریب کیفیت چیه دیگه!؟

توصیه می کنم یه نگاهی به اخرای فصل 10 کلپنر بندازی اونجا گفته Q چیه

[اندیشه73]

ضریب کیفیت چیه دیگه!؟

توصیه می کنم یه نگاهی به اخرای فصل 10 کلپنر بندازی اونجا گفته Q چیه

ضریب کیفیت برابر است با :
نرژی ذخیره شده در نوسانگر تقسیم بر انرژی تلف شده در یک دوره تناوب
هم تو کتاب کلپنر هست هم کتاب ماریون فصل سه ویرایش سه

[Sdf]

چرا نوسانات باید کم دامنه باشد؟

[amirzarei069]

جوابش این هست اگر پاندول است، دامنه باید کوچک باشد زیرادوره زمانی به دامنه بستگی ندارد یعنی فقط در صورتی اعمال می شود که آونگ حرکت هارمونیک ساده ای داشته ..من فکر کردم که این ممکن است یک سوال اثر Oberth باشد، که مربوط به این مفهوم است که یک ضربه ثابت می تواند مقادیر متفاوتی انرژی را به اجسامی که با سرعت های مختلف حرکت می کنند منتقل کند یک تکانه ثابت یک تغییر تکانه ثابت ایجاد می کند
دوره یک آونگ ساده است
$T=2\pi\sqrt{\ell/g},$می بینید، وقتی آونگی با اصطکاک دارید، آن را با وارد کردن نیروی $\vec{F}_r=-b\vec{v}$محاسبه می کنید. سپس معادله دیفرانسیل شما برای آونگ است
$ml\ddot{\theta}=-mg\theta-bl\dot{\theta}\iff\ddot{\theta}+\frac{b}{m}\dot{\theta}+\frac{g}{l}\theta=0$
حل این معادله دیفرانسیل به مقادیر b، m و l بستگی دارد، اما از آنجایی که شما یک نقطه می‌خواهید، فرض می‌کنیم که آونگ نوسان می‌کند. سپس راه حلی با فرکانس زاویه ای دارید
$\omega=\sqrt{\frac{g}{l}-\frac{b^2}{4m^2}}$
بنابراین دوره این نوسان ساز است
$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{l}-\frac{b^2}{4m^2}}}$
این نشان می دهد که چگونه دوره در مقایسه با آونگ بدون میرا تغییر می کند.هنگامی که یک نوسان ساز کمی میرا دارید، یک اصلاح کوچک در فرکانس تشدید وجود دارد. این به طور مفصل در صفحه ویکی نوسانگر هارمونیک مشتق شده است.
شکلی که می دهند این است
$\omega = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$جایی که Q (ضریب کیفیت) نوسانگر با$Q=\frac{1}{2\zeta}$ داده می شود.
از طریق ذخیره انرژی: ضریب Q برابر نسبت انرژی ذخیره شده به انرژی تلف شده در هر چرخه نوسان است، یا معادل آن نسبت انرژی ذخیره شده به انرژی تلف شده در هر رادیان نوسان است.
ضریب Q و فرکانس تشدید fr ویژگی های سیستم هستند، بنابراین به فرکانس نیروی محرکه بستگی ندارند. برای یک سیستم جرم (m) - فنر (k) - دمپر (γ) ساده، این چنین است
$f_r=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$و
$Q=\frac{2\pi f_r}{\gamma}$
اما برای سیستمی با میرایی، فرکانس تشدید همان فرکانس طبیعی سیستم متناظر بدون میرایی است $\gamma = 0$، یعنی عبارت fr در بالا. در مقابل، هنگامی که میرایی در نظر گرفته می شود (γ≠0)، فرکانس طبیعی فرکانس ارتعاشات میرا شده است، یعنی.
$f_n=f_r\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$
این فرکانس گاهی اوقات «فرکانس تشدید میرا» نامیده می شود.
تا آنجا که به آونگ مربوط می شود در یک ساختار مکانیکی، به طور کلی حداقل دو نوع انرژی مکمل وجود دارد: یکی که در ساختار تغییر شکل یافته ذخیره می شود (بسیار شبیه یک فنر توده ای)، به نام انرژی کرنش/الاستیک/پتانسیل، و همتای آن، انرژی جنبشی، که ذخیره شده در حرکت حوزه های عنصری (بسیار شبیه انرژی جنبشی در سیستم های مقیاس بزرگ، به عنوان مثال یک ماشین متحرک). این دو به صورت دوره ای از یکی به دیگری تبدیل می شوند. میله پرچم یا خط کش پلاستیکی را نگاه کنید که از حالت تعادل کمی خم شده است و آزاد می شود: ساختار خمیده انرژی الاستیک را ذخیره می کند و به محض آزاد شدن، انرژی الاستیک به انرژی جنبشی تبدیل می شود که جسم تلاش می کند. تا به حالت اولیه خود برگردد. تکانه آن آن را از حالت تعادل به سمت دیگر سوق می دهد، در حالی که انرژی جنبشی دوباره به انرژی کرنش تبدیل می شود. و در دنیای ایده آل بدون کاهش، این برای همیشه ادامه دارد.در اینجا توجه داشته باشید که Q در حین کار دستگاه تغییر نمی کند. این بدان معناست که با کاهش انرژی ذخیره شده به دلیل اتلاف، تلفات نیز کاهش می یابد. کل ringdown یک فرآیند نمایی است که به صورت تقریبی است که در آن f فرکانس درایو است. برای درک این موضوع، تصور کنید که مواد معمولاً میرایی چسبناکی از خود نشان می دهند: اتلاف با سرعت متناسب است که به نوبه خود به انرژی جنبشی ذخیره شده مربوط می شود. هر چه انرژی ذخیره شده بزرگتر باشد، تلفات آن بیشتر است. مثال‌های واقعی عبارتند از دوچرخه‌سواری یا مخلوط کردن مواد برای کیک: در هر دو مورد، هنگام تلاش برای سریع بودن، انجام کار دشوارتر است. نیروهای متقابل و تلفات بیشتر است.$Q = 2\pi\frac{Energy \; Stored}{ Energy \;Dissipated \; per \;cycle }$
Q = 1⁄2 --> میرایی بحرانی
Q > ​1⁄2 --> بیش از حد مرطوب شده است
Q < 1⁄2 --> تحت میرایی
انرژی کل یک نوسان ساز میرایی مجموع انرژی های جنبشی و پتانسیل آن است:
نتیجه می‌گیریم که وجود میرایی باعث می‌شود انرژی نوسانگر به‌طور یکنواخت در زمان کاهش یابد، و از این رو، باعث می‌شود دامنه نوسان در نهایت به مقدار ناچیزی کوچک شود$\nu\ll\omega_0$) به راحتی بر حسب پارامتر $Q$ که به عنوان ضریب کیفیت شناخته می شود مشخص می شود. این پارامتر به صورت $2\pi$ برابر انرژی ذخیره شده در نوسانگر، تقسیم بر انرژی از دست رفته در یک دوره نوسانی تعریف شده است. اگر نوسانگر ضعیف میرا شود، انرژی از دست رفته در هر دوره نسبتاً کم است و بنابراین Q بسیار بزرگتر از واحد است. به طور کلی، $Q$ تعداد نوساناتی است که نوسانگر معمولاً پس از به حرکت در آمدن، قبل از اینکه دامنه آن به مقدار ناچیز کاهش یابد، کامل می کند. اجازه دهید یک عبارت برای $Q$ پیدا کنیم.

[Sdf]

ممنون از جوابتون عالی بود

[rohamavation]

خوب میبینم امیر اونجا غیر بشین پاشو درسم میدن اخه فقط شما بلدی قد دراز کنی الان معلومه قد فقط دراز نکردی اخه با این همه کلاسهای اموزشی و تمرین و رژه کی بهتون درس میدن یادم نمیره اون روزی که 18 کیلومتر پیاده اومدیم یادم نمیره از بلوار کتابی تا کاوه واسه همین میگم .وای خانی هم جذاب بود رفتی فیلتر اسپلیت کولر باز کردی معصومی نژاد گفت با ولی بیا گفتی غلط کردم بعد به خانی گفتی حیاط جارو میزنم و دهقانی خندید و شما جارو کردی وای خندیدیم . بحرحال موفق باشی دوست من در تکمیل جواب امیر منم چند نکته عرض کنم
اول شرط برای اینکه حرکت آونگ یک حرکت هارمونیک ساده (S.H.M.) باشه لازم است که یک آونگ دامنه کوچک یا S.H.M داشته باشه خوب میشه در دامنه های بزرگ نیزبوجود اورد میدونیم در دامنه های بزرگ نیروی بازگرداننده ای وجود دارد که آونگ را به سمت موقعیت متوسط می کشد و شتاب آن مستقیماً با جابجایی متناسب است پس برای داشتن حرکت هارمونیک ساده،SHM باید شتابی متناسب با جابجایی داشته باشیم.
$\frac{d^2\theta}{dt^2} \propto -\sin(\theta)$
جایی که θ زاویه ای است که آونگ با عمود ایجاد میکنه فقط زوایای sin(θ)∼θ، که سپس منجر به حرکت هارمونیک ساده می شود.
ابتدا بگم یک سیستم پاندولی همیشه دارای مقدار پایداری انرژی مکانیکی است منظورم بقای انرژی را در نظر بگیرین حالت ایده ال میگه یعنی کل انرژی جنبشی به اضافه پتانسیل. آونگ به جلو و عقب حرکت میکنه و تعادل بین دو نوع انرژی دائما تغییر می کند. معادله حرکت آونگ از بقای انرژی انرژی جنبشی یک آونگ ساده فرمولش این هست .$K=\frac{1}{2}mL^2(\frac{d\theta}{dt})^2$
انرژی پتانسیل آونگ هم این هست .$U=mgL(1-cos\theta)$
خوب کل انرژی آونگ میشه این رابطه
$E=K+U=K=\frac{1}{2}mL^2(\frac{d\theta}{dt})^2+mgL(1-cos\theta)$
بازم میگم این فرضم انرژی کل سیستم ثابت است.$\frac{dE}{dt}=0$
آونگ ساعت پاندولی هر بار که از قائم عبورمیکنه مکانیزم فرار را فعال می کند. گریز تحت کشش است (که توسط یک وزنه آویزان ارائه می شود) و به پاندول یک تکانه کوچک در فاصله l از محور می دهد. انرژی منتقل شده توسط آن ضربه انرژی تلف شده توسط اصطکاک را جبران میکنه به طوری که آونگ با دامنه ثابتی نوسان می کند.حالا میریم سراغ فاکتور کیفیت در مکانیک ارتعاشات که خوندیم ضریب کیفیت یک معیار یا سنجشی هستش برای تلفات انرژی یک تشدیدگر که میرایی مکانیکی را تعیین می‌کند. اگر$ {\displaystyle \tau }\tau$ ثابت زمانی تشدیدگر و ${\displaystyle f_{0}}$ بسامد تشدیدگر بدون بار باشد، ضریب کیفیت به صورت زیر تعریف میشه
${\displaystyle Q=\pi f_{0}\tau }$
هر چه ثابت زمانی بزرگ‌تر باشد، ضریب کیفیت نیز بزرگ‌تر خواهد بود و تلفات انرژی کمتر است. هر چه فاکتور کیو بیشتر باشد، پاسخ سامانهٔ دارای قله‌ی نوک‌تیزتری خواهد بود یعنی پایداری فرکانسی بهتری داره و میگه که سامانه به خوبی از محیط اطرافش جداسازی شده و تأثیر عوامل خارجی بر آن کمینه است.
ضریب Q به صورت زیر تعریف می شود:
$Q=2\pi\frac{\mathrm{energy \, \, stored}}{\mathrm{energy \, \,dissipated \, \, per \, \, cycle}}.$
منظور میگه انرژی تلف شده در هر چرخه فرض را بر این قرار میده که دامنه از یک چرخه به چرخه دیگر ثابت است؟
آیا همیشه در فرکانس رزونانس محاسبه می شود؟
برای یک سیستم نوسان ساز اجباری با ضریب میرایی γ و فرکانس طبیعی ωo، ضریب کیفیت $Q=\omega_o/\gamma$ است و نه بیان پیچیده تر که شامل فرکانس تشدید واقعی باشد (که اینطور نیست. کاملا ωo و توسط $\omega_r=(\omega_0^2-\frac{\gamma^2}{2})^{\frac{1}{2}}$
این فقط یک تقریب است یعنی ما فرض می کنیم که در $\omega_o$ طنین انداز می شود اما در واقع بیان واقعی بسیار پیچیده تر است؟
با استفاده از مقدار واقعی ωr میبینم:$Q=(\omega_0^2-\frac{\gamma^2}{2})^{\frac{1}{2}}/\gamma$ این درست تر است ضریب Q میگه چه مقدار از انرژی نوسانگر به دلیل اصطکاک در یک چرخه نوسانات از بین میره. برای اینکه فاکتور Q بتواند کاربرد عملی داشته باشه، باید تابعی ثابت (به عنوان مثال مستقل از زمان) از پارامترهای نوسانگر باشهیعنی این باید به همان اندازه برای نوسانات میرا شده و همچنین نوسانات رانده شده در حالت پایدار قابل استفاده باشه . در مورد دوم، انرژی و همچنین از دست دادن انرژی نوسانگر علاوه بر این به فرکانس نیروی خارجی ω بستگی دارد. از آنجایی که ω پارامتر سیستم نیست، در ضریب Q جایی ندارد. بنابراین، برای نوسانات رانده شده، ما ضریب Q را برای فرکانس تشدید $\omega = \omega_0$ محاسبه می‌کنیم، که در آن ω0 فرکانس (تامید نشده) نوسانگر است.
ببینید ابتدا ضریب Q را برای نوسانگر میرا محاسبه کنیم. در اینجا، انرژی نوسانگر E(t) وابسته به زمان است (در نوسان با دامنه در حال فروپاشی $\sim e^{-t/\tau}$)، بنابراین تعریف طبیعی ضریب Q خواهد بود.
$Q = 2\pi \frac{E(t)}{E(t) - E(t+T)} = \omega_d \frac{E(t)}{\langle P \rangle (t)}.$در اینجا $T = 2\pi/\omega_d$ دوره است و $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - (1/2\tau)^2}$ بسامد نوسانات میرا شده است. ⟨P⟩(t) میانگین تلفات توان ناشی از اصطکاک است. حال از آنجایی که$E(t+T) = E(t) e^{-\frac{2\pi}{\omega_d \tau}}$، برای ضریب Q داریم.
$Q = \frac{2\pi}{1 - e^{-\frac{2\pi}{\omega_d \tau}}} \approx \omega_d \tau + \pi + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega_d \tau}\right)\approx \omega_d \tau,$،که در آن تقریب برای میرایی بسیار ضعیف برقرار است. تعریف جایگزین
$Q = \omega_d \frac{E(t)}{- \frac{d E}{dt}} = \omega_d \frac{E(t)}{P(t)}$به فاکتور Q مستقل از زمان منجرنمیشه
برای نوسانگر رانده حالت پایدارداریم
$Q = \omega_0 \frac{E(t)}{\langle P \rangle (t)} = \omega_0 \frac{E}{\langle P \rangle} = \omega_0 \tau,$،
یعنی از این واقعیت استفاده کردیم که $P = \frac{2}{\tau} E_\text{kin}$ و $\langle E_\text{kin} \rangle = \frac{1}{2} E$ برای یک نوسانگر که در فرکانس طبیعی خود نوسان می کند.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا