درجه آزادی در مبحث لاگرانژی

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
اندیشه73

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۲/۴/۲۵ - ۱۶:۰۹


پست: 17

سپاس: 2

جنسیت:

درجه آزادی در مبحث لاگرانژی

پست توسط اندیشه73 »

چگونه می توانیم تعداد درجه ازادی را مشخص کنیم؟ smile079 smile079 smile079
انسان تا وقتی فکر می کند نارس است به رشد و کمال خود ادامه می دهد و به محض آنکه گمان کرد رسیده شده است ، دچار آفت می شود .گابریل گارسیا مارکز

نمایه کاربر
نوآور

محل اقامت: اصفهان

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۸/۱۶ - ۱۹:۱۵


پست: 948

سپاس: 1311

جنسیت:

Re: در جه ازادی

پست توسط نوآور »

اندیشه73 نوشته شده:چگونه می توانیم تعداد درجه ازادی را مشخص کنیم؟
منظورتان در چه حوزه ای است؟ علوم سیاسی، رباتیک؟ شیمی مولکولی؟....
ایران تبدیل شده به واحه ای دانشگاهی در میان یک برهوت صنعتی

نمایه کاربر
اندیشه73

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۲/۴/۲۵ - ۱۶:۰۹


پست: 17

سپاس: 2

جنسیت:

Re: در جه ازادی

پست توسط اندیشه73 »

نوآور نوشته شده:
اندیشه73 نوشته شده:چگونه می توانیم تعداد درجه ازادی را مشخص کنیم؟
منظورتان در چه حوزه ای است؟ علوم سیاسی، رباتیک؟ شیمی مولکولی؟....
توی فیزیک مبحث لاگرانژی با ضرایب نامعین
انسان تا وقتی فکر می کند نارس است به رشد و کمال خود ادامه می دهد و به محض آنکه گمان کرد رسیده شده است ، دچار آفت می شود .گابریل گارسیا مارکز

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 623

سپاس: 391

جنسیت:

تماس:

Re: در جه ازادی

پست توسط rohamjpl »

در فیزیک ، درجه آزادی (DOF) یک سیستم مکانیکی تعداد پارامترهای مستقلی است که پیکربندی یا حالت آن را تعریف می کند. ... موقعیت یک ریل واگن (موتور) که در امتداد یک مسیر حرکت می کند دارای یک درجه آزادی است زیرا موقعیت ماشین با فاصله در امتداد مسیر مشخص می شود..درجه آزادی به عنوان حداقل تعداد متغیرهای مستقل مورد نیاز برای تعریف موقعیت یک بدن صلب در فضا تعریف می شود. به عبارت دیگر DOF تعداد جهاتی را که بدن می تواند حرکت دهد تعریف می کند. مفهوم درجه آزادی در سینماتیک برای محاسبه پویایی بدن استفاده می شود.برای تعریف موقعیت نقطه "P" در فضای 2 بعدی فقط فاصله آن از مبدا در محور x و y مورد نیاز است. بنابراین نقطه P دارای 2 DOF در فضای 2 بعدی است.
درجه آزادی یک خط در صفحه 2 بعدی
بدنه خطی یا صلب دارای 3 DOF در فضای 2 بعدی است.
برای محدود کردن موقعیت یک خط (L) یا جسم صلب در فضای 2 بعدی ، فاصله آن از مبدا در محور X و Y و زاویه از محور x لازم است. بنابراین خط (L) یا بدنه صلب دارای 3 DOF در فضای 2 بعدی است.
آزادی آزادی یک بدن صلب درصفحه سه بعدی
برای تعریف / محدود کردن موقعیت یک بدن صلب در فضای 3 بعدی. فاصله آن از مبدا در محور X ، Y ، Z و زاویه از صفحه XY ، XZ ، YZ مورد نیاز است. بنابراین یک بدن صلب دارای 6 DOF در فضای سه بعدی است.
درجه آزادی پیوندهای حرکتی
محدودیت های حرکتی بین اجسام صلب / پیوندها منجر به کاهش درجات آزادی سیستم می شود.
محاسبه درجه آزادی برای پیوندهای حرکتی
DOF یک پیوند حرکتی را می توان با استفاده از Grubler’s Rule محاسبه کرد.
Grubler’s Rule (فرمول درجه آزادی)
DOF = 3 (n-1) - 2 × l - h
جایی که
n = تعداد کل پیوندها
l = تعداد جفت های پایین تر.
h = تعداد جفت های بالاتر (اگر برای محدود کردن پیوند بیش از یک ورودی لازم باشد)
برای N تعداد ذرات در حال حرکت آزادانه درd درجات فضای بعدی از طریق معادله زیر نشان داده شده است پس تحت محدودیت $f=Nd-k$
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 623

سپاس: 391

جنسیت:

تماس:

درجه آزادی در مبحث لاگرانژی

پست توسط rohamjpl »

در بهینه سازی ریاضی ، روش ضرایب لاگرانژ یک استراتژی برای یافتن حداکثر و حداقل های محلی یک تابع است که تحت محدودیت های برابری قرار دارد (یعنی با این شرط که یک یا چند معادله دقیقاً با مقادیر انتخاب شده متغیرها من ${\displaystyle f(x)}$که تحت محدودیت ${\displaystyle g(x)=0}$قرار دارداینطور میگم ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\lambda )=f(x)-\lambda g(x)}$
حالا اگه من چند قید داشته باشم ضرایب لاگرانژ: بیش از یک محدودیت
جایی که بیش از یک محدودیت داریم ، گسترش دهم. به عنوان مثال ما سعی می کنیم f (x) را با توجه به g (x) = 0 و h (x) = 0 به حداکثر برسانیم. تا آنجا که من می بینم ، کاری که باید در این مورد انجام دهیم ساختن تابع لاگرانژ است
$L(x,\alpha,\beta) = f(x) + \alpha g(x) + \beta h(x)$
و سپس سعی کنید این تابع را با توجه به محدودیت های g (x) = 0 و h (x) = 0 به ماکسیمم و مینیمم برسانم
برای توجیه این شکل از تابع لاگرانژ $L(x,\alpha,\beta)$ ، به موارد زیر فکر کردم: فرض کنید که یک نقطه $x'$ داریم که$g(x')=0$ و $h(x')=0$ را برآورده می کند. اگر این نقطه در هر دو محدودیت g (x) و h (x) یک نقطه افراطی باشد ، این چنین است
$\nabla f(x') = \lambda_1 \nabla g(x')$
$\nabla f(x') = \lambda_2 \nabla h(x')$
. ما می توانیم اینها را در یک معادله واحد به صورت زیر قرار دهیم:
$\nabla f(x') = \lambda_1 \nabla g(x')+\lambda_2 \nabla h(x')\ .$
این تا حدی $L(x,\alpha,\beta) = f(x) + \alpha g(x) + \beta h(x)$ را برای من توجیه می کند:$\nabla_{x}L(x,\alpha,\beta)$ را محاسبه کنید ، آن را برابر با صفر قرار دهید و حل کنید. با استفاده از g (x) = 0 و h (x) = 0 نیز استفاده کنید.
ضریب لاگرانژ و نیروی محدود کننده الف) اگر اگر U را در موقعیت تعادل صفر انتخاب کنیم ، یک انرژی پتانسیل متناظر با$U = \frac{1}{2}kx^2$ نشان می دهد که یک فنر مطابق با قانون هوک است.
ب) اگر این فنر به صورت عمودی با جرم m معلق از انتهای دیگر آویزان شده و محدود به حرکت در جهت عمودی باشد ، پسوند $x_0$ موقعیت تعادل جدید را پیدا کنید. اگر از مختصات y برابر با جابجایی اندازه گیری شده از موقعیت تعادل جدید در $x=x_0$ استفاده کنیم ، پتانسیل کل (فنر به علاوه گرانش) همان فرم $\frac{1}{2}ky^2$ را دارد و دوباره نقطه مرجع خود را تعریف کنیم تا U = 0 در y = 0
من می دانم که ما پتانسیل یک میدان را به عنوان کار انجام شده برای انتقال یک شی از طریق میدان از یک نقطه مرجع $x_0$ تعریف می کنیم که در آن پتانسیل 0 را تعیین می کنیم
$U(\vec{r}) = -\int_{\vec{r_0}} ^{\vec{r}}\vec{F}\cdot{d\vec{r}}~~$
من در مورد آن به عنوان کاربردی از قضیه اساسی حساب $U(\vec{r}) = -\int_{\vec{r_0}} ^{\vec{r}}\vec{F}\cdot{d\vec{r}} = -[U(\vec{r}) - U(\vec{r_0})]~~$
انتگرال کامل برابر با PE منفی است. اگر ابتدای انتگرال P (r) باشد ، انتگرال مشخص در سمت راست P (r) -P (ro) خواهد بود و منفی این انرژی پتانسیل است. اما P (r) و P (ro) به خودی خود انرژی پتانسیل نیستند.
برای قسمت دوم ، این واقعیت را در نظر بگیرید که نیروی الاستیک نسبت به حالت تغییر شکل یافته به اعوجاج فنر بستگی دارد. بنابراین نیروی الاستیک توسط ky در جایی که y جابجایی از تعادل جدید است ، داده نمی شود.برای فنر بدون جرم متصل شده ، $U(x)= -\int_0^xF(x)dx = -\int_0^x kx dx = -\frac{1}{2} kx^2|^x_0=-[\frac{1}{2} kx^2-0]=-\frac{1}{2} kx^2$ خواهد بود
این فقط یک مورد خاص از موارد کلی تر است: $\Delta U= -\int_{x_1}^{x_2}F(x)dx = -\frac{1}{2} kx^2|^{x_2}_{x_1}=-[\frac{1}{2} kx_2^2- \frac{1}{2} kx_1^2]$
این تغییر PE است که جسم از 1 به 2 منتقل می شود.
تصویر
تعریف انرژی پتانسیل موثر ناشی از لاگرانژی انچه من به عنوان پتانسیل موثرمی خوانم ، پتانسیلی است که در ابعاد کاهش یافته دیده می شود. به همین دلیل روش صحیح شناسایی پتانسیل موثر بررسی معادله حرکت است نه لاگرانژی .
ساده ترین مثال ممکن است یک اسیلاتور هارمونیک در دو بعد باشد:
$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)-\frac{1}{2}kr^2$
جایی که k ثابت فنر است که توسط جرم تقسیم می شود. واضح است که لاگرانژی در دو بعددیده میشه ، با این حال ، ما مقدار کمتری داریم ، یعنی $\frac{dl}{dt}=0\quad,\quad l=r^2\dot{\theta}$
از این رو حرکت در یک بعد با EOM زیر صورت می گیرد:$\ddot{r}=-kr+\frac{l^2}{r^3}$
اما این EOM را می توان از یک بعدی لاگرانژی دریافت کرد$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\dot{r}^2-\left(\frac{1}{2}kr^2+\frac{l^2}{2r^2}\right)$
از این رو پتانسیل موثر است$V_\text{eff}=\frac{1}{2}kr^2+\frac{l^2}{2r^2}$
دلیل اشتباه داشتن علامت منهای در پتانسیل موثر در صورت قرار دادن $\dot{\theta}=lr^{-2}$ در لاگرانژی اصلی ساده است: این شرط فقط در EOM معتبر است ، که فقط یک راه حل برای$\delta\mathcal{L}=0$ است. وقتی محدودیت 1d را برای آن اعمال کنید ، نمی توانید انتظار داشته باشید که $\mathcal{L}$ در 2 بعد هست
سیستم پاندول فنر معادلات حرکت لاگرانژی و معادلات حرکتی را برای سیستم توصیف شده با استفاده از روش ضریب لاگرانژ پیدا کنید. جرم m می تواند بدون اصطکاک در امتداد میله سفت و سخت بدون جرم آونگ M سر بخورد. فنر دور میله صلب پیچیده شده و به جرم m متصل می شود. آونگ M به فنر متصل نیست. ثابت فنر k است.لاگرانژی این سیستم از طریقتصویر
$T = \frac{1}{2}[M(r_1\dot\theta)^2 + m_2(\dot{r_2}^2 +(r_2\dot\theta)^2)]$و$V = -(Mr_1+mr_2)g\cos\theta + \frac{1}{2}k(r_2-l_0)^2$که $L = \frac{1}{2}[M(r_1\dot\theta)^2 + m_2(\dot{r_2}^2 +(r_2\dot\theta)^2)] + (Mr_1+mr_2)g\cos\theta - \frac{1}{2}k(r_2-l_0)^2$
جایی که $l_0$طول اولیه فنر است ، r1 فاصله M از محور است ، r2 فاصله متغیر m از محور است ، θ جابجایی زاویه ای سیستم از حالت عمودی است (برای هر دو جرم یکسان است زیرا محدودیت توده فنر آغشته به میله سفت و سخت).
با حل معادلات اولر-لاگرانژ برای هر متغیر ، به دست می آوریم:$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot\theta}\right)- \frac{\partial L}{\partial \theta}= (Mr_1^2+mr_2^2)\ddot{\theta} +2mr_2\dot{r_2}\dot\theta + (Mr_1+mr_2)g\sin\theta=0$
و$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot r_2}\right)- \frac{\partial L}{\partial r_2} = m\ddot{r}_2 - mr_2\dot{\theta}^2+mg\cos\theta-k(r_2-l_0)=0$
تصویر

ارسال پست