پاسخ کامل مساله:فرضیات مساله: فرض کنیم در فضای خلاء،
چینش مشخص و
ثابتی از رویه های
رسانای [tex]C_1,~C_2,~...~,~C_i,~...~,~C_n[/tex] را داریم.
[tex]C_i[/tex] یک رویه در فضای [tex]\Re^3[/tex] است:
[tex]C_i~:~~~~~f_i(x,y,z)=0[/tex]
روی هر رویه مانند [tex]C_i[/tex] بار [tex]q_i[/tex] قرار دارد.
پتانسیل الکتریکی هر کدام از رویه های [tex]C_i[/tex]
معین، و برابر [tex]V_i[/tex] است.
در فضای میان این رویه ها هیچ بار دیگری وجود ندارد.
..........................................................................................................................................................................................
هدف نخست: می خواهیم
پتانسیل الکتریکی کل [tex]V(\vec{r})[/tex]، را در فضای میان رویه ها بدست آوریم.
هدف دوم: می خواهیم
میدان الکتریکی کل [tex]\vec{E}(\vec{r})[/tex]، را در فضای میان رویه ها بدست آوریم.
هدف سوم: می خواهیم چگالی بار الکتریکی [tex]\rho_i[/tex] را روی هر رویه ی [tex]C_i[/tex] بدست آوریم.
هدف چهارم: می خواهیم نیروی الکتریکی وارد بر رویه [tex]C_i[/tex] را بدست آوریم.
..........................................................................................................................................................................................
راه حل توسط معادله های لاپلاس: ببینید ما دو سری شرط مرزی داریم:
روی رویه ها، پتانسیل معلوم، و در بی نهایت نیز صفر است.
[tex]V(\vec{r})|_{C_i}~=~V_i~~~~~~~~~~V(\vec{r})|_{\infty}~=~0[/tex]
از قانون اول ماکسول در الکترومغناطیس داریم:
[tex]\nabla^2V~=~0[/tex]
این معادله جواب یکتا دارد. دقیقاً یک جواب یکتا.
علت وجود جواب در معادله، و علت یکتا بودنش در شرایط مرزی است.
پس تا کنون پتانسیل را بدست آوردیم...........................................................................................................................................................................................
از تعریف پتانسیل در الکترومغناطیس داریم:
[tex]\vec{E}~=~-\nabla{V}[/tex]
پس میدان الکتریکی نیز در جهان معلوم است...........................................................................................................................................................................................
برای بدست آودن [tex]\rho[/tex] روی هر رویه از قانون گوس در الکترومغناطیس داریم:
[tex]{\epsilon_{0}}~\vec{E}(\vec{r})|_{C_i}~{=}~\rho_i(\vec{r})}[/tex]
پس حالا چگالی بار روی هر رویه را می دانیم...........................................................................................................................................................................................
برای بدست آوردن نیروی الکتریکی بر رویه ی [tex]C_i[/tex]، کار ساده است.
از میدان الکتریکی، روی رویه انتگرال می گیریم:
[tex]\vec{F_i}=\int_C_i \vec{E}(\vec{r}) \rho_i~dv[/tex]
به هر چهار هدف رسیدیم.
کار تمام است.جناب
Paradoxy، شما برای جواب خود کافی است بگذارید: [tex]n=2[/tex]
