میزان حرکت کره تو خالی با وجود یک کره توپر در داخل آن

[rezaksep]

سلام دوستان.
این سوال رو نمیتونم حل کنم. در واقع میدونم که تقریبا باید چیکار کنم ولی به جواب خاصی نمیرسم.
اگه میشه برام حلش کنید..!

[You-See]

اگر سطح بدون اصطکاک باشه که هرگز متوقف نمی شه.

[rezaksep]

خب سوال منظورش این نبوده که چه زمانی کره بزرگ متوقف میشه. میگه وقتی که کره کوچک داخل تا پایین میاد، در طول همین زمان کره بزرگ چقدر جا به جا میشه

[topologist]

خب در این مسئله واضحه که گرانشی ما به دو مولفه عمود و مماس تقسیم میشود نیروی عمودی باعث تغییر شتاب کره تو خالی میشود و نیروی مماس باعث تغییر مسیر کره توپر.
چیزی که در اینجا مهمه نیروی عمودی وارد بر کره توخالی است که به صورت سینوسی میباشد:

بنابرین نیروی عکس العمل هم مساوی با نیروی عمودی است:

خب مولفه افقی یا x نیرو از رابطه زیر محاسبه میشود:

پس بنابر قانون شتاب،شتاب کره تو خالی از رابطه زیر محاسبه میشه:


از آنجایی که شعاع کره داخل نصف شعاع کره بیرونی است نتیجه میگیریم که کره به اندازه یک چهارم محیط کره داخل حرکت کرده و چون در این لحظه مسیر کره داخل عوض میشود نتیجه میگیریم که شتاب کره داخل ضد شتاب کره خارجی میشود

[d.shakeri]

درود فراوان
اگر دقیق به سوال توجه شود . این طور بنظر میرسد که کره بزرگتر که روی سطح بدون اصطکاک قرار گرفته پس از بک ربع حرکت به سمت چپ باید از حرکت به ایستد ولی به دلیل نبودن اصطکاک امکان حرکت کردن بیشتر از ان بعید بنظر نمی رسد.
هر چند در ادامه این حرکت دیگر کره داخلی در انتها قرار گرفته و جابجایی به سمت راست تصویر برایش مقدور نمی باشد. هردو با هم به حرکت بدون اصطکاک خود تا ابد حرکت می کنند. ( حق با آقا یوسف است)

میتوان حرکت این دو را به صورت دو چرخ دنده که یکی داخل دیگری است تصور نمود که چرخ دنده داخلی پس از یک ربع حرکت به سمت پایین باعث می شود چرخ دنده بزرگتر یک چهارم دور به سمت چپ تصویر نشان داده شده حرکت میکند.

[rohamavation]

کره جامد دارای ممان اینرسی است $2mr^2/5 $راتجربه میکنه و کره خالی $2mr^2/3$
. ممان اینرسی برای کره توخالی بزرگتر است و در نتیجه مقاومت بیشتری در برابر حرکت دارد. بنابراین کره جامد سرعت بیشتری خواهد داشت.سرعت جسم غلتان با ممان اینرسی نسبت معکوس دارد.
از آنجایی که ممان اینرسی برای یک کره توخالی بیشتر از یک کره جامد است، کره جامد سریعتر از یک کره توخالی به پایین می غلتد.دقت کنید $I=R^2\int{sin^2θdm},\tag{3}$و $I=\frac{MR^2}{2}\int_{0}^{π}sin^3θdθ=\frac{MR^2}{2}\biggl[\frac{cos^3θ}{3}-cosθ\biggr]_0^π$در نتیجه $I=\frac{MR^2}{2}\biggl[\biggl(\frac{-1}{3}-(-1)\biggr)-\biggl(\frac{1}{3}-1\biggr)\biggr]$
اگر دو کره (توخالی و جامد) با جرم و شعاع مساوی وجود داشته باشد و بخواهیم کره توخالی را بدون استفاده از هیچ وسیله ای پیدا کنیم.
این کاری نداره میزارم هر دو در یک صفحه شیبدار به پایین بغلتند. کره توخالی کندتر از کره جامد شتاب می‌گیرد (به دلیل ممان‌های اینرسی متفاوت).برای یک کره جامد، ممان اینرسی است $I = \frac{2}{5}mr^2$
با جرم m و شعاع r.برای یک کره توخالی است $I = \frac{2}{3}mr^2$
بنابراین، کره توخالی گشتاور اینرسی بیشتری دارد و تحت همان گشتاور، شتاب کمتری خواهد داشت:$M = I \frac{d\omega}{dt}$
با سرعت زاویه ای ω و گشتاور M.
دو کره جامد با اندازه و وزن یکسان ارائه شده است. هر دوی آنها مرکز جرم خود را در مرکز هندسی خود دارند.
یکی از آنها (A)، با این حال، بیشتر جرم خود را در نزدیکی مرکز توزیع می کند (مرکز سنگین، پوسته سبک)،A
در حالی که دیگری (B) بیشتر جرم خود را در پوسته دارد (مرکز سبک، پوسته سنگین).B
اکنون یک نیروی مماسی (F) به آنها اعمال می کنم (آنها در حالت استراحت هستند ). (زمانی که توپ شروع به حرکت می کند، فرض کنیم نیرو مماس بر توپ باقی می ماند، یعنی نقطه روی سطح توپ که نیرو به آن وارد می شود، با چرخش تغییر می کند. بنابراین جهت نیرو ادامه خواهد یافت. همان چیزی که در ابتدا بود.)
با فرض اینکه مقدار کار را روی هر دو یکسان بگذارم (F⋅s)، حدس می‌زنم A سریع‌تر از B بچرخد، زیرا ممان‌های اینرسی متفاوت است.
همچنین، هر دو نه تنها چرخش بلکه انتقال نیز خواهند داشت. آیا هر دو سرعت (انتقالی) یکسانی خواهند داشت یا تفاوت در توزیع جرم در اینجا نیز تفاوتی ایجاد می کند؟
اول، برای ایجاد چرخش (که می شود) نیرو باید کمی با سطح حرکت کند. در غیر این صورت تنها انرژی منتقل شده توسط نیرو در امتداد فاصله انتقال کل خواهد بود، که نمی تواند انرژی کاری را که انرژی جنبشی زاویه ای را ایجاد کرده است، محاسبه کند.
در ابتدا، به نظر می رسد که این می تواند ناشی از برخوردهای کاملاً الاستیک باشد (الاستیک به معنای عدم از دست دادن انرژی در هنگام برخورد، و در نتیجه هیچ انرژی صوتی یا انرژی گرمایی تولید نمی شود،
مفهوم مدل
جدا از مکانیسم، یک مفهوم مهم این است که اگر نیرو فقط با توپ حرکت کند، یعنی به اندازه حرکت مرکز جرم توپ (و در امتداد یک مسیر موازی) انرژی چرخشی منتقل نمی شود. اما به دلیل جابجایی شعاعی نیرو از مرکز می بینیم که انرژی جنبشی زاویه ای ایجاد می شود.
بنابراین، مدل مفهومی باید این باشد که نیروی F یک فاصله بینهایت کوچک dy را حرکت دهد و سپس به پایین همان dy بپرد تا دوباره این کار را انجام دهد و همیشه مماس بماند. توجه داشته باشید که dy هم از تبدیل و هم از چرخش ناشی می شود، به طوری که نیرو دو کار به ظاهر متناقض را انجام می دهد که ما باید انجام دهیم: 1. حرکت با سطح به طوری که بتواند تمام کارهای مورد نیاز را انجام دهد (به اندازه کافی برای تامین انرژی برای چرخش. و انتقال)، و 2. عمودی باقی مانده است. محاسباتی که فقط نیرو را در فاصله ای که توپ حرکت می کند حرکت می دهد، لزوماً پایستگی انرژی را نقض می کند.
تحلیل و بررسی
گشتاور تابع مجموعه ای از نیرو، Fr است، بنابراین شتاب و شتاب زاویه ای هر دو متناسب با نیرو، در کل مسیر هستند. این نسبت ثابت a و α به این معنی است که سرعت های زاویه ای و انتقالی نیز به همان نسبت خواهند بود. یا در ریاضیات:
$T=Fr=I \alpha,, F= \tfrac{I \alpha}{r}=ma$
$a = \frac{I}{mr} \alpha$
$v_0 , \omega_0 =0, a=k \alpha \implies v=k \omega, \forall t$
(زیرا $v = \int adt=\int k \alpha dt = k \omega$ بدون ثابت ادغام. در پایان هر مدت زمان $v_f=k \omega_f$ به معنی ∀t)
انرژی جنبشی:$E = \tfrac{1}{2} (mv^2+I \omega^2)= \tfrac{1}{2} [m( \frac{I}{mr} \omega)^2+I \omega^2]$
$= \tfrac{1}{2} (\frac{I^2}{mr^2} + I) \omega^2)$
برای همان ω، انرژی جنبشی برای مورد B بیشتر است، بنابراین $I_A <I_B,E_A=E_B \implies \omega_A > \omega_B$ این تعجب آور نیست. می گوید توپ با گشتاور اینرسی کمتر در نهایت سریعتر می چرخد. به طور مشخص
$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \sqrt{ \frac{ \tfrac{I_B^2}{m_Br_B^2} + I_B}{\tfrac{I_A^2}{m_Ar_A^2} + I_A}} = \sqrt{ \frac{I_B^2 + I_B m r^2}{I_A^2 + I_A m r^2}}$وقتی $m_A=m_B,r_A=r_B, I_A<I_B$
در عوض، زیرنویسی در $\omega = \frac{mr}{I}v$ را نشان می دهد. و ما یک رادیکال و نسبت مشابه داریم، به جز این زمان بر اساس $m_i+ \tfrac{m_i^2r_i^2}{I_i}$
یادداشت چندین چیز جالب در مقایسه$m_i+\tfrac{m_i^2r_i^2}{I_i}$ (که تغییرات چگونه بر v تأثیر می‌گذارد) با $I_i+\tfrac{I_i^2}{m_ir_i^2}$ (چگونه تغییرات بر ω تأثیر می‌گذارند) وجود دارد. به عنوان مثال، چرا افزایش جرم برای آن حالت ω افزایش می یابد؟ آیا جرم بزرگتر نباید به این معنی باشد که انرژی بیشتری نسبت به قبل برای شتاب دادن به جسم صرف می‌شود و کمتر برای چرخش در دسترس است؟
اولاً، هنگامی که تحت رادیکال قرار می گیرند، هر دو شامل دو عبارت به جای یک عبارت برای چگونگی کاهش آن با مقاومت های اینرسی مربوطه خود (m,I) هستند. به این دلیل که، برای مثال، افزایش m (بدون تغییر I) تأثیر مضاعفی روی v دارد: یک اثر این است که بخشی از انرژی که اکنون به سمت ترجمه می رود باید جرم بزرگ تری (m2 در یک جمله) را شتاب دهد و اثر دیگر این است که از این واقعیت است که m بزرگتر باعث می شود انرژی کمتری به سمت انتقال صرف شود زیرا چرخش نسبتاً آسان تر شده است (اصطلاح m).
این عامل دوم است، یعنی انرژی بیشتر به سمت چرخش هر زمان که m افزایش یابد، باعث می شود ω افزایش یابد اگر m بالا برود (جمله m-1). از آنجایی که I تغییر نکرده است، ω بالاتر به معنای انرژی جنبشی چرخشی بالاتر است، و چون E تغییر نکرده است، همچنین به معنای نسبت بیشتری از انرژی است که به چرخش می رود. به طور خلاصه: افزایش m جرمی را که برای شتاب خطی نیاز داریم افزایش می‌دهد و انرژی انتقالی را کاهش می‌دهد، اثر مضاعف شاهدی است که m در دو جمله در نسبت v ظاهر می‌شود. برای I و ω یکسان است: I در دو عبارت در ω برای دو اثر ظاهر می شود و در یک جمله برای اثر واحد روی v است.
به یک معنا که m دو بار در معادله v و یک بار در ω ظاهر می‌شود، این امکان را فراهم می‌کند که حرکت کلی بیشتری در صورت کاهش m برای همان E اتفاق بیفتد (یعنی یکی بیشتر از دیگری پایین می‌آید). به طور مشابه برای I. این مورد در مورد شعاع نیست. با یادآوری اینکه تغییر نمی کنم و شعاع افزایش می یابد، نباید در حرکت کلی کاهش داشته باشیم. افزایش r باعث ایجاد گشتاور آسان‌تر می‌شود، اما باعث افزایش انرژی یا کاهش مقاومت کلی نمی‌شود موضع نسبت به حرکت این بدان معناست که انرژی بیشتری به سمت شتاب زاویه ای خواهد رفت، اما از آنجایی که m و I تغییر نکرده ایم، v مقدار مربوطه را کاهش می دهد. از این رو، r فقط یک بار در هر نسبت ظاهر می شود، به عنوان r2.دو کره برحسب گشتاور جرمی اینرسی با هم تفاوت دارند و جرم یکسانی دارند و بنابراین برحسب شعاع چرخش g با هم تفاوت دارند.
حال در نظر بگیرید که مرکز چرخش برای این وضعیت کجاست. در شکل زیر COR در نقطه 0 قرار دارد.

بین فاصله تا COR از مرکز جرم a و فاصله ای که نیرو (یا ضربه) b اعمال می شود، رابطه خاصی وجود دارد. این رابطه همیشه هست
$\boxed{ a = \frac{g^2}{b} } \tag{1}$
این بدان معنی است که اگر مرکز جرم دارای سرعت vA باشد، نقطه ای که نیرو در آن اعمال می شود باید دارای سرعت vB=a+bavA یا وابسته به نسبت شعاع هندسی b به شعاع چرخش g باشد.
$v_B = \frac{a+b}{a} v_A$
تحلیل و بررسی
نیروی اعمال شده برای مدت کمی Δt و معادلات حرکت را در نظر بگیرید
$\begin{aligned} m \frac{v_A}{\Delta t} & = F \\ (m g^2) \frac{\omega}{\Delta t} & = b F \end{aligned}$
که رابطه بین سرعت خطی و چرخشی را نشان می دهد
$\omega = \frac{b}{g^2} v_A \tag{3}$
در نهایت انرژی جنبشی کل را در نظر بگیرید$K = \tfrac{1}{2} m v_A^2 + \tfrac{1}{2} I \omega^2$برابر کار انجام شده W=Fs است که در آن s مسافت طی شده با نیرو است و برای هر دو سناریو ثابت است.
$F s = \tfrac{m v_A^2}{2} + \tfrac{m b^2 v_A^2}{2 g^2} \tag{4}$
از (2) برای حل $v_A$ و جایگزینی در بالا استفاده کنید. سپس $Bv_A$ را حل کنید تا سرعت مماسی را بعد از اینکه نیرو مسافت s را به عنوان تابعی از m و g طی کرد به دست آورید.
$v_B^2 = \frac{2 F s}{m} \left( \frac{b^2+g^2}{g^2} \right) \tag{5}$
همچنین توجه داشته باشید که سرعت مرکز جرم برابر است
$v_A^2 = \frac{2 F s}{m} \left( \frac{g^2}{b^2+g^2} \right) \tag{6}$
$\omega^2 = \frac{2 F s}{m} \left( \frac{b^2}{g^2 ( b^2+g^2)} \right) \tag{7}$
خلاصه
با افزایش شعاع چرخش g ↑ (جرم بیشتر به سمت خارج) موارد زیر رخ می دهد:
سرعت لبه بیرونی کاهش می یابد ↓ (معادل 5)
سرعت مرکز جرم افزایش می یابد ↑ (معادل 6)
چرخش کاهش می یابدI hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا