Re: نیروی وارد بر قاعده از طرف آب
ارسال شده: پنجشنبه ۱۳۹۹/۱۱/۲۳ - ۱۲:۱۲
فشار کمیت اسکالر هست و فشار مطلق $\large P_{total}=\rho gh +P_{atm} $ منظور شمااستفاده از قانون توریچلی (Torricelli’s Law)و معادله هاگن-پوزویل هست $\large v = \varphi \sqrt { 2 g h } , $ سرعت سیال به شکل و اندازه دهانه، ویسکوزیته سیال و مد جریان بستگی دارد در نشتی سیالی که درون یک مخروط هست معادله سیال $ \large S \left ( z \right ) \frac { { d z } } { { d t } } = q \left ( z \right ) ,$ و قانون توریچلی برقرار است $\large q \left ( z \right ) = – \pi { a ^ 2 } \sqrt { 2 g z } , $ شعاع دهانه در کف مخروط است$\large \frac { R } { H } = \frac { r } { z } . $, و $\large { S \left ( z \right ) = \pi { r ^ 2 } }
= { \pi { \left ( { \frac { { R z } } { H } } \right ) ^ 2 } }
= { \frac { { \pi { R ^ 2 } { z ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } . } $ساحت سطح سیال در ارتفاع z هست پس $\large { \frac { { \pi { R ^ 2 } { z ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } \frac { { d z } } { { d t } } } = { – \pi { a ^ 2 } \sqrt { 2 g z } . } $سطحی که سیال از نقطه اولیه H در زمان Tبه 0 کاهش پیدا میکند،$\large \begin {align*} & \int \limits _ H ^ 0 { { z ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } d z } = { – \int \limits _ 0 ^ T { \frac { { { a ^ 2 } { H ^ 2 } } } { { { R ^ 2 } } } \sqrt { 2 g } d t } ,\; \; } \\ & \Rightarrow
{ { \left . { \left ( { \frac { { { z ^ { \large \frac { 5 }{ 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 5 } { 2 } } } } \right ) } \right | _ 0 ^ H } = { \frac { { { a ^ 2 } { H ^ 2 } } }{ { {R ^ 2 } } } \sqrt { 2 g } \left [ { \left . { \left ( t \right ) } \right | _ 0 ^ T } \right ] , \; \; } } \\ & \Rightarrow
{ \frac { 2 } { 5 } { H ^ { \large \frac { 5 } { 2 } \normalsize } } = \frac { { { a ^ 2 } { H ^ 2 } } } { { { R ^ 2 } } } \sqrt { 2 g } T , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ \frac { 1 } { 5 } \sqrt { \frac { { 2 H } } { g } } = \frac { { { a ^ 2 } } } { { { R ^ 2 } } } T , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ T = \frac { { { R ^ 2 } } } { { 5 { a ^ 2 } } } \sqrt { \frac { { 2 H } } { g } } . } \end {align*}$زمان سقوط سیال و اما سرعت و فشار در سیال $ z_1 \rho g + {v_1^2 \rho \over 2} + P_1 = z_2 \rho g + {v_2^2 \rho \over 2} + P_2$ ببینید یک مخزن پر از آب با سطح مقطع ثابت A1 را که به صورت عمودی روی زمین قرار داده شده در نظر بگیرید. حال کسی یک سوراخ از منطقه A2 را در کف مخزن حفاری می کند ، و مایع با سرعت v2 از طریق سوراخ شروع به فرار می کند. در همان زمان سطح باز آب در مخزن با سرعت v1 کاهش می یابد. برای اینکه جرم حفظ شود ، موارد زیر باید درست باشد (فرض می شود آب غیر قابل تراکم باشه فرض حالت پایدار را با جزئیات بیشتر در نظر بگیرید. v2 سرعت نهایی است که پس از گذشت زمان کافی برای وقوع شتاب از سوراخ عبور می کند. درست بعد از باز کردن سوراخ ، همه چیز ثابت است. یک مرحله شتاب وجود دارد که به طور معمول زمان کمی طول می کشد.
این فرض از فرض A1≫A2 متمایز است ، اما ترکیبی از آنها خرابی در فهم ودرک اول ایجاد می کند که در آن سوراخ بزرگ است در مقایسه با سطح آب. از این گذشته ، h1 در بیان v2 است. این بدان معناست که ما در کار دو عامل داریم: 1) شتاب اولیه مایع سرعت را در اوایل مهار می کند و 2) کاهش سطح آب سرعت را به سمت پایان جریان مهار می کند. بنابر این برای پاسخ به پرسش من:ما می توانیم بدن مایع را برای مدت کوتاهی Δt و رابطه انرژی کار را برای آن در نظر بگیریم. (توجه داشته باشید که مخزن ممکن است شکل پیچیده ای داشته باشد ، دارای کناره های خمیده و پایین باشد). استخراج TL در زیر به صورت همزمان با مشتق برای یک لوله جریان تحت جریان ثابت است ، اما من در مورد جزئیات بیشتر در مورد فرضیات ساده مورد نیاز برای TL در مورد نیروهای وارد بر و درون مایع بحث کرده ام ، و اشاره کردم که چگونه تقریب جریان ثابت برای ساده سازی محاسبه ΔKE مورد نیاز است. این نشان می دهد که چرا TL در موقعیت های خاص ، مانند موقعیت موجود در پست شما ، اعمال نمی شود. رابطه انرژی کار است $W^{(NC)} = \Delta ME $و $\Delta ME = \Delta KE + \Delta PE$تعداد تغییرات در انرژی Kinetics و انرژی بالقوه سیال ، با گذشت زمان Δt. و $\begin{eqnarray*}
W^{(NC)} &=& p_{1}A_{1}\Delta s_{1} - p_{2}A_{2}\Delta s_{2} \\
&=& \Delta V(p_{1} - p_{2}),
\end{eqnarray*} $اینها توسط عناصر سیال مجاور روی یک عنصر سیال اعمال می شوند. در یک جریان آرام ، یک عنصر مجاور یا با عنصر در حال حرکت است ، در این صورت نیروهای داخلی برابر و مخالف کار خالص صفر را انجام می دهند ، زیرا نقطه کاربرد آنها مشترک است ، یا با نیروی چسبناک صفر بر روی عنصر کشویی می شود ، از این رو کار صفر انجام می شود Component عادی بین عناصر در طول کشویی کار نمی کند زیرا عمود بر حرکت است). (توجه داشته باشید چنین عناصری که با هم حرکت می کنند شبیه عناصر یک بدن سفت و سخت کلی هستند - و در حالت دوم ما می توانیم نشان دهیم که کار خالص نیروهای داخلی صفر است زیرا این نیروها در جفتهای برابر و متضاد قرار می گیرند که در چهره های داخلی بین عناصر عمل می کنند ، هر جفت دارای یک نقطه مشترک از برنامه)
بنابراین ، در کل ، W (NC) صرفاً به دلیل دو نیروی فشاری است که به طور عادی در سطوح سیال عمل می کنند ، p1 در جهت حرکت و p2 در برابر آن: -$\begin{eqnarray*}
\Delta PE &=& \rho g \Delta V(y_{2} - y_{1}) \\
&=& -\rho g \Delta V h
\end{eqnarray*} $پس س $\Delta KE = \frac{1}{2}\rho\Delta V v_{2}^{2} - \frac{1}{2}\rho\Delta V v_{1}^{2}. $در استفاده از BE به طور مستقیم برای استخراج قانون Torricelli (TL) ، ما مایع موجود در مخزن را طوری تحت درمان قرار می دهیم که گویی چنین لوله ای جریانی است. به طور خاص نیاز به جریان پایدار بدان معنی است که ما باید A21A1 داشته باشیم و از این رو v1≪v2 داریم ، به طوری که طی یک بازه زمانی کوچک Δt سطح مایع فقط مقدار بسیار کمی کاهش می یابد. وقتی یک سرعت قابل توجه v1 وجود داشته باشد ، این فرض خراب می شود - تقریب جریان ثابت دیگر فرض خوبی نیست. یک آزمایش ساده نشان می دهد که در عمل سرعت خروج با کاهش ارتفاع متفاوت است و از این رو جریان ثابت واقعی وجود ندارد ، بلکه تقریباً در A2≪A1 جریان تقریباً زیادی وجود دارد. همچنین با A2 بیشتر احتمال تلاطم قابل توجهی در جریان وجود دارد.برای دیدن دقیقاً چگونگی لازم بودن این تقریب جریان ثابت و همچنین پاسخ به Question"چگونه قانون Torricelli را بدون معادله برنولی استخراج کنم.ما می توانیم بدن مایع را برای مدت کوتاهی Δt و رابطه انرژی کار را برای آن در نظر بگیریم. (توجه داشته باشید که مخزن ممکن است شکل پیچیده ای داشته باشد ، دارای کناره های خمیده و پایین باشد). استخراج TL در زیر به صورت مشتق در کتاب فوق BE برای یک لوله جریان تحت جریان ثابت است ، اما من در مورد جزئیات بیشتر در مورد فرضیات ساده مورد نیاز برای TL در مورد نیروهای وارد بر و درون مایع بحث کرده ام ، و اشاره کردم که چگونه تقریب جریان ثابت برای ساده سازی محاسبه ΔKE مورد نیاز است. این نشان می دهد که چرا TL در موقعیت های خاص ، مانند موقعیت موجود در پست شما ، اعمال نمی شود. رابطه انرژی کار است$W (NC) = ΔME$جایی که $W (NC) $ کار تمام نیروهای غیر محافظه کار (NC) بر روی سیال و ΔME = ΔKE + ΔPE = مجموع تغییرات در انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل مایع ، در طول زمان Δt. داریم $ \Delta t = \frac{L}{3A_{H}} \sqrt{\frac{8}{g}} \left[ (D - y_{2})^{3/2} - (D - y_{1})^{3/2} \right ],$ و سرعت $\sqrt{2gh\big(\dfrac{A_1^{2}}{{A_1}^{2}-{A_2}^{2}}\big)} $ رابطه دقیق ان $h(t) = \frac{{A_2}^2 gt^{2}}{2{A_1}^{2}} - \frac{\sqrt{2gH}(A_2 t)}{A_1}+H $و $u(t) = \sqrt{2g \big(\sqrt{H} - \sqrt{\frac{g}{2}}\big(\frac{A_1}{A_2}\big)t\big)^{2}} $ همچنین افت فشار $ \Delta P=f_D\frac{8Q^2}{\pi^2 g D^5}L$ خوب برای افت فشار در یک لوله استوانه ای می توانیم استفاده کنیم$dQ=2 \pi rdr $برای رسیدن به معادله هاگن-پوزویل$ Q= \frac{\pi R^4}{8 \mu} \left( - \frac{dp}{dx} \right)$اما من هم پیدا کردم$ Q=\frac{\pi d^2}{4} U$Q = πd24Uدر ادبیات چرا دو فرمول متفاوت برای سرعت جریان حجمی Q وجود دارد؟معادله هاگن-پوزویل$-\frac{d p}{dx} = \frac{8 \mu Q}{\pi R^4} $با فرض جریان حالت پایدار آرام یک مایع تراکم ناپذیر و نیوتنی در لوله ای از سطح مقطع ثابت می توان از نظر تحلیلی بدست آورد. از آنجا که تقارن محور و حالت پایدار در استخراج فرض می شود ، توضیح در ویسکوزیته های کم μ ("میرایی کم") و شعاع های بزرگ R شکست می خورد زیرا جریان لوله ممکن است متلاطم شود $ Re_D \geq Re_D^{crit} \approx 4000$
با تعداد رینولدز از نظر قطر لوله D = 2R داریم$ Re_D := \frac{U D}{\nu} = \frac{\rho U D}{\mu}.$
به شما امکان می دهد برای هر جریانی که مفروضات قبلی را برآورده کند ، افت فشار را از میزان جریان حجمی یا بالعکس تعیین کنید. برای هر جریانی که این الزامات را برآورده نکنند ، ممکن است همبستگی های تجربی (تقریب ها) مانند معادله تجربی دارسی-وایزباخ را پیدا کنید که ممکن است جریان آشفته لوله را بازگو کند (دوباره با مقطع ثابت) یا معادله ارگون برای جریان در محیط متخلخل.$Q = \frac{dV}{dt} = \frac{d (A x)}{dt} = A \underbrace{\frac{dx}{dt}}_U = A U. $وبه ویژه برای یک جریان لوله ، $A = \frac{\pi D^2}{4} $ بدست می آورید. این یک جلوه اساسی از تداوم تراکم ناپذیر یک بعدی است $ \dot m = \frac{dm}{dt} = \frac{d (\rho V)}{dt} = \frac{d \rho}{dt} V + \rho \frac{d V}{dt}$و $ dQ=2\pi r v(r) dr$و $v(r)=2U\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] $و جایی که U سرعت متوسط است. این منجر به معادله سوم شما می شود$Q=\pi R^2U=\pi\frac{d^2}{4}U $معادله هاگن-پوزویل سرعت متوسط را به عنوان تابعی از گرادیان فشار می دهد:$ U=\frac{R^2}{8\mu \left(-\frac{dp}{dz}\right)}$از سیستم ثابت زیر استفاده کنید ، جایی که مایعی وارد مخزن می شود و از طریق یک لوله عمودی به طول L و قطر D = 2R خارج می شود. ارتفاع مایع در مخزن ثابت و برابر با H. چگالی و ویسکوزیته مایع به ترتیب ρ و μ هستند. اگر جریان آرام است Q را پیدا کنید.حال اگر معادله برنولی را برای سطح آزاد مخزن و نقطه خروجی لوله بنویسم ، می فهمم $\frac{P_{atm}}{\gamma}+\frac{v_0^2}{2g}+z_0=\frac{P_{atm}}{\gamma}+\frac{v^2}{2g}+z+h_l, $ ،
که در آن hL سر کاهش اصطکاک لوله خروجی و $ v=Q/(\pi R^2)$ و $ \gamma= \rho g$ است. ما می دانیم که v0≈0 ، بنابراین$ H+L=\frac{v^2}{2g}+h_L$
حال باید رابطه دیگری بین v و hL پیدا کنیم. آیا می توانیم از معادله دارسی-وایزباخ استفاده کنیم؟ من فکر می کنم ما نمی توانیم به دلیل جریان عمودی! من علاقه مندم که توازن حرکت را بنویسم و رابطه بین از دست دادن اصطکاک و سرعت را بدست آورم (مانند معادله هاگن-پوزویل) ، اما نمی دانم چگونه اصطلاحات فشار را حل کنم آیا توزیع فشار در امتداد لوله خروجی وجود دارد؟$v_z(r)=\frac{R^2}{4 \mu}\left(-\frac{dp}{dz}+ \rho g \right) \left(1-\frac{r^2}{R^2} \right) $تعادل لحظه ای برای جریان آرام در لوله سرعت را به همان اندازه می دهدو یکپارچه سازی سطح مقطع لوله برای سرعت جریان $Q=\pi r^2 v=\int_{0}^{R} 2 \pi r v_z(r) \ dr=\frac{\pi R^4}{8 \mu} \left(-\frac{dp}{dz}+ \rho g \right) $و $ -\frac{dp}{dz}+ \rho g=\frac{32 \mu v}{D^2}$1
شما می توانید از معادله دارسی-وایزباخ استفاده کنید ، اما باید برای جریان عمودی آن را کمی تغییر دهید. در جریان عمودی ، تعادل نیروی دیفرانسیل روی جریان:
$ (P(z+\Delta z)-P(z))\frac{\pi D^2}{4}+\rho g \frac{\pi D^2}{4}\Delta z=\tau_w\Delta z \pi D$
جایی که z ارتفاع بالای پایین لوله است و $\tau_w $ تنش برشی در دیواره است. بنابراین،$ \frac{d(P+\rho gz)}{dz}=\frac{4}{D}\tau_w$و $\tau_w=\frac{f}{4}\frac{\rho v^2}{2} $و $\frac{d(P+\rho gz)}{dz}=\frac{f}{D}\frac{\rho v^2}{2} $ و $\frac{dP}{dz}=\frac{f}{D}\frac{\rho v^2}{2} $بنابراین سرعت جریان و فشارگر جریان آرام باشد ، یعنی آشفته نباشد ، پس رابطه بین سرعت جریان و فشار توسط معادله هاگن-پوزویل ارائه می شود : $\text{Flow rate} = \frac{\pi r^4 (P - P_0)}{8 \eta l} $ و $P - P_0 = f_D \frac{l}{2r} \frac{\rho V^2}{2} $ شکل زیر ببینید شکل 1: یک قیف با شکل مخروطی. شعاع دهانه قیف b و شعاع ساقه a است. ارتفاع اولیه مایع h0 است که همان ارتفاع خود قیف است. در زمان t ، ارتفاع سیال $r(t) $ و شعاع سطح سیال $r(t) $ است.
در اینجا فرض می شود که سطح بالای مایع بسیار آرام به سمت پایین حرکت می کند. این فرض خوب خواهد بود به شرطی که h (t) خیلی کوچک نباشد ، اما به صورت h (t) → 0 شکسته خواهد شد. با این فرض ، مسئله به مشکل "روزنه در مخزن" تبدیل می شود ، به این معنی که می توانیم جریان را به صورت ثابت ثابت کنیم. این مزیت این است که ما می توانیم از معادله برنولی استفاده کنیم. برای دقیق تر شدن ، نقاط A و B را در شکل 1 در نظر بگیرید. ما می توانیم فرض کنیم که هر دو نقطه در یک جریان ساده (خط تیره) قرار دارند ، به این معنی:$ \displaystyle\frac{v_A^2(t)}{2} + \frac{p_A}{\rho} + gh_A(t)
= \frac{v_B^2(t)}{2} + \frac{p_B}{\rho} + gh_B(t)
$جایی که ρ چگالی سیال است ،$v_A(t) $ سرعت سیال در A است ، pA فشار در A و$ h_A(t)$ ارتفاع نقطه A است (تمام مقادیر اشاره شده به B به طور معادل تعریف شده اند). از آنجا که هر دو نقطه A و B در تماس مستقیم با هوای اطراف هستند ، ما $ p_A = p_B = p_0$ داریم ، جایی که p0 فشار جوی است. همچنین ، تنظیم $ h_B(t) = 0$به ما $ h_A(t) = h(t)$ می دهد. سرانجام ، از آنجا که تصور می کنیم سطح مایع به آرامی به سمت پایین حرکت می کند ، می توانیم $ v_A(t) \approx 0$ را بگیریم. معادله (1) سپس تبدیل می شود:$\frac{p_0}{\rho} + gh(t) = \frac{v_B^2(t)}{2} + \frac{p_0}{\rho} $و $v_B(t) = \sqrt{2gh(t)} $
و $\displaystyle\frac{r(t)}{h(t)} = \frac{b}{h_0} \Longrightarrow r(t) = h(t)\frac{b}{h_0} $حجم کل مایعات موجود در قیف در زمان t توسط (به عنوان یک یادآوری ، حجم گردن قیف ناچیز فرض می شود) داده می شود:$ V(t) = \displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2(t) h(t)
= \frac{\pi}{3}\left(\frac{b}{h_0}\right)^2h^3(t)$ این تقریب تا زمانی که r (t) ≫a باشد ، خوب خواهد بود ، به این معنی که حجم "نوک برداشته شده" مخروط با توجه به حجم سیال$ V(t)$ ناچیز است. همانطور که h (t) → 0 ، r (t) → a بنابراین این تقریب ضعیف می شود ، اما در آن زمان مقدار کمی مایع باقی مانده نباید به اندازه کافی بزرگ باشد تا تخمین زمان را بشکند.
از معادله ، سرعت حجمی که مایع از روزنه تونل می گذرد برابر است با:$\Phi(t) = A v(t) = (\pi a^2) v(t) = \pi a^2 \sqrt{2gh(t)} $
جایی که $A = \pi a^2 $ سطح مقطع ساقه قیف است. از آنجا که این میزان جریان ، نرخی است که مایع از قیف خارج می کند ، بنابراین (در زیر نماد $\dot{q} $ برای نشان دادن $ dq/dt$ استفاده می شود):$\dot{V}(t) = -\Phi(t) $,و$ \dot{V}(t) = \frac{\pi}{3}\left(\frac{b}{h_0}\right)^2 3 h^2(t) \dot{h}(t)$و$\pi\left(\frac{b}{h_0}\right)^2 h^2(t) \dot{h}(t) = -\pi a^2 \sqrt{2gh(t)} $و$ \left(\frac{b}{h_0}\right)^2 h^{3/2}(t) \dot{h}(t) = -a^2 \sqrt{2g}$و$h^{3/2}(t) \dot{h}(t) = \displaystyle\frac{2}{5}\frac{d}{dt}h^{5/2}(t) $و$\displaystyle\frac{d}{dt}h^{5/2}(t) = -\frac{5}{2} \left(\frac{h_0}{b}\right)^2 a^2 \sqrt{2g} $ادغام هر دو طرف با توجه به بازده زمان:$ \begin{eqnarray}
\int_{t'=0}^{t'=t} \displaystyle\frac{d}{dt'}h^{5/2}(t')dt' &=&
-\int_{t'=0}^{t'=t} \frac{5}{2} \left(\frac{h_0}{b}\right)^2 a^2 \sqrt{2g} dt'
\nonumber\\[5pt]
h^{5/2}(t)\bigg|_{t'=0}^{t'=t} &=& -\frac{5}{2} \left(\frac{h_0}{b}\right)^2 a^2 \sqrt{2g} t
\nonumber\\[5pt]
h^{5/2}(t) - h_0^{5/2} &=& -\frac{5}{2} \left(\frac{h_0}{b}\right)^2 a^2 \sqrt{2g} t
\end{eqnarray}$و$\begin{eqnarray}
\displaystyle
h(t) &=& \left[ h_0^{5/2} - \frac{5}{2} \left(\frac{h_0}{b}\right)^2 a^2 \sqrt{2g} t \right]^{2/5}
\\[5pt]
&=& h_0 \left[ 1 - \frac{5}{2} \frac{1}{\sqrt{h_0}b^2} a^2 \sqrt{2g} t \right]^{2/5}
\\[5pt]
\end{eqnarray} $زمان T برای عبور مایعات از قیف به گونه ای است که h (T) = 0 ، به این معنی است:$1 - \displaystyle \frac{5}{2} \left(\frac{a}{b}\right)^2 \sqrt{\frac{2g}{h_0}} T = 0
\Longrightarrow
\boxed{
\displaystyle T = \frac{2}{5} \left(\frac{b}{a}\right)^2 \sqrt{\frac{h_0}{2g}}
} $سپس می توانم به شکل ساده تری بنویسم$\displaystyle h(t) = h_0\left( 1 - \frac{t}{T} \right)^{2/5} $ نمودار
سطح مایع به آرامی به سمت پایین حرکت می کند تا حدود t = 0.95T. بعد از آن نقطه ، $h(t) $ خیلی سریع شروع به کاهش می کند ، به این معنی که بعضی از تقریب های ما مناسب نیستند. اما همانطور که در ابتدا انتظار می رفت
= { \pi { \left ( { \frac { { R z } } { H } } \right ) ^ 2 } }
= { \frac { { \pi { R ^ 2 } { z ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } . } $ساحت سطح سیال در ارتفاع z هست پس $\large { \frac { { \pi { R ^ 2 } { z ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } \frac { { d z } } { { d t } } } = { – \pi { a ^ 2 } \sqrt { 2 g z } . } $سطحی که سیال از نقطه اولیه H در زمان Tبه 0 کاهش پیدا میکند،$\large \begin {align*} & \int \limits _ H ^ 0 { { z ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } d z } = { – \int \limits _ 0 ^ T { \frac { { { a ^ 2 } { H ^ 2 } } } { { { R ^ 2 } } } \sqrt { 2 g } d t } ,\; \; } \\ & \Rightarrow
{ { \left . { \left ( { \frac { { { z ^ { \large \frac { 5 }{ 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 5 } { 2 } } } } \right ) } \right | _ 0 ^ H } = { \frac { { { a ^ 2 } { H ^ 2 } } }{ { {R ^ 2 } } } \sqrt { 2 g } \left [ { \left . { \left ( t \right ) } \right | _ 0 ^ T } \right ] , \; \; } } \\ & \Rightarrow
{ \frac { 2 } { 5 } { H ^ { \large \frac { 5 } { 2 } \normalsize } } = \frac { { { a ^ 2 } { H ^ 2 } } } { { { R ^ 2 } } } \sqrt { 2 g } T , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ \frac { 1 } { 5 } \sqrt { \frac { { 2 H } } { g } } = \frac { { { a ^ 2 } } } { { { R ^ 2 } } } T , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ T = \frac { { { R ^ 2 } } } { { 5 { a ^ 2 } } } \sqrt { \frac { { 2 H } } { g } } . } \end {align*}$زمان سقوط سیال و اما سرعت و فشار در سیال $ z_1 \rho g + {v_1^2 \rho \over 2} + P_1 = z_2 \rho g + {v_2^2 \rho \over 2} + P_2$ ببینید یک مخزن پر از آب با سطح مقطع ثابت A1 را که به صورت عمودی روی زمین قرار داده شده در نظر بگیرید. حال کسی یک سوراخ از منطقه A2 را در کف مخزن حفاری می کند ، و مایع با سرعت v2 از طریق سوراخ شروع به فرار می کند. در همان زمان سطح باز آب در مخزن با سرعت v1 کاهش می یابد. برای اینکه جرم حفظ شود ، موارد زیر باید درست باشد (فرض می شود آب غیر قابل تراکم باشه فرض حالت پایدار را با جزئیات بیشتر در نظر بگیرید. v2 سرعت نهایی است که پس از گذشت زمان کافی برای وقوع شتاب از سوراخ عبور می کند. درست بعد از باز کردن سوراخ ، همه چیز ثابت است. یک مرحله شتاب وجود دارد که به طور معمول زمان کمی طول می کشد.
این فرض از فرض A1≫A2 متمایز است ، اما ترکیبی از آنها خرابی در فهم ودرک اول ایجاد می کند که در آن سوراخ بزرگ است در مقایسه با سطح آب. از این گذشته ، h1 در بیان v2 است. این بدان معناست که ما در کار دو عامل داریم: 1) شتاب اولیه مایع سرعت را در اوایل مهار می کند و 2) کاهش سطح آب سرعت را به سمت پایان جریان مهار می کند. بنابر این برای پاسخ به پرسش من:ما می توانیم بدن مایع را برای مدت کوتاهی Δt و رابطه انرژی کار را برای آن در نظر بگیریم. (توجه داشته باشید که مخزن ممکن است شکل پیچیده ای داشته باشد ، دارای کناره های خمیده و پایین باشد). استخراج TL در زیر به صورت همزمان با مشتق برای یک لوله جریان تحت جریان ثابت است ، اما من در مورد جزئیات بیشتر در مورد فرضیات ساده مورد نیاز برای TL در مورد نیروهای وارد بر و درون مایع بحث کرده ام ، و اشاره کردم که چگونه تقریب جریان ثابت برای ساده سازی محاسبه ΔKE مورد نیاز است. این نشان می دهد که چرا TL در موقعیت های خاص ، مانند موقعیت موجود در پست شما ، اعمال نمی شود. رابطه انرژی کار است $W^{(NC)} = \Delta ME $و $\Delta ME = \Delta KE + \Delta PE$تعداد تغییرات در انرژی Kinetics و انرژی بالقوه سیال ، با گذشت زمان Δt. و $\begin{eqnarray*}
W^{(NC)} &=& p_{1}A_{1}\Delta s_{1} - p_{2}A_{2}\Delta s_{2} \\
&=& \Delta V(p_{1} - p_{2}),
\end{eqnarray*} $اینها توسط عناصر سیال مجاور روی یک عنصر سیال اعمال می شوند. در یک جریان آرام ، یک عنصر مجاور یا با عنصر در حال حرکت است ، در این صورت نیروهای داخلی برابر و مخالف کار خالص صفر را انجام می دهند ، زیرا نقطه کاربرد آنها مشترک است ، یا با نیروی چسبناک صفر بر روی عنصر کشویی می شود ، از این رو کار صفر انجام می شود Component عادی بین عناصر در طول کشویی کار نمی کند زیرا عمود بر حرکت است). (توجه داشته باشید چنین عناصری که با هم حرکت می کنند شبیه عناصر یک بدن سفت و سخت کلی هستند - و در حالت دوم ما می توانیم نشان دهیم که کار خالص نیروهای داخلی صفر است زیرا این نیروها در جفتهای برابر و متضاد قرار می گیرند که در چهره های داخلی بین عناصر عمل می کنند ، هر جفت دارای یک نقطه مشترک از برنامه)
بنابراین ، در کل ، W (NC) صرفاً به دلیل دو نیروی فشاری است که به طور عادی در سطوح سیال عمل می کنند ، p1 در جهت حرکت و p2 در برابر آن: -$\begin{eqnarray*}
\Delta PE &=& \rho g \Delta V(y_{2} - y_{1}) \\
&=& -\rho g \Delta V h
\end{eqnarray*} $پس س $\Delta KE = \frac{1}{2}\rho\Delta V v_{2}^{2} - \frac{1}{2}\rho\Delta V v_{1}^{2}. $در استفاده از BE به طور مستقیم برای استخراج قانون Torricelli (TL) ، ما مایع موجود در مخزن را طوری تحت درمان قرار می دهیم که گویی چنین لوله ای جریانی است. به طور خاص نیاز به جریان پایدار بدان معنی است که ما باید A21A1 داشته باشیم و از این رو v1≪v2 داریم ، به طوری که طی یک بازه زمانی کوچک Δt سطح مایع فقط مقدار بسیار کمی کاهش می یابد. وقتی یک سرعت قابل توجه v1 وجود داشته باشد ، این فرض خراب می شود - تقریب جریان ثابت دیگر فرض خوبی نیست. یک آزمایش ساده نشان می دهد که در عمل سرعت خروج با کاهش ارتفاع متفاوت است و از این رو جریان ثابت واقعی وجود ندارد ، بلکه تقریباً در A2≪A1 جریان تقریباً زیادی وجود دارد. همچنین با A2 بیشتر احتمال تلاطم قابل توجهی در جریان وجود دارد.برای دیدن دقیقاً چگونگی لازم بودن این تقریب جریان ثابت و همچنین پاسخ به Question"چگونه قانون Torricelli را بدون معادله برنولی استخراج کنم.ما می توانیم بدن مایع را برای مدت کوتاهی Δt و رابطه انرژی کار را برای آن در نظر بگیریم. (توجه داشته باشید که مخزن ممکن است شکل پیچیده ای داشته باشد ، دارای کناره های خمیده و پایین باشد). استخراج TL در زیر به صورت مشتق در کتاب فوق BE برای یک لوله جریان تحت جریان ثابت است ، اما من در مورد جزئیات بیشتر در مورد فرضیات ساده مورد نیاز برای TL در مورد نیروهای وارد بر و درون مایع بحث کرده ام ، و اشاره کردم که چگونه تقریب جریان ثابت برای ساده سازی محاسبه ΔKE مورد نیاز است. این نشان می دهد که چرا TL در موقعیت های خاص ، مانند موقعیت موجود در پست شما ، اعمال نمی شود. رابطه انرژی کار است$W (NC) = ΔME$جایی که $W (NC) $ کار تمام نیروهای غیر محافظه کار (NC) بر روی سیال و ΔME = ΔKE + ΔPE = مجموع تغییرات در انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل مایع ، در طول زمان Δt. داریم $ \Delta t = \frac{L}{3A_{H}} \sqrt{\frac{8}{g}} \left[ (D - y_{2})^{3/2} - (D - y_{1})^{3/2} \right ],$ و سرعت $\sqrt{2gh\big(\dfrac{A_1^{2}}{{A_1}^{2}-{A_2}^{2}}\big)} $ رابطه دقیق ان $h(t) = \frac{{A_2}^2 gt^{2}}{2{A_1}^{2}} - \frac{\sqrt{2gH}(A_2 t)}{A_1}+H $و $u(t) = \sqrt{2g \big(\sqrt{H} - \sqrt{\frac{g}{2}}\big(\frac{A_1}{A_2}\big)t\big)^{2}} $ همچنین افت فشار $ \Delta P=f_D\frac{8Q^2}{\pi^2 g D^5}L$ خوب برای افت فشار در یک لوله استوانه ای می توانیم استفاده کنیم$dQ=2 \pi rdr $برای رسیدن به معادله هاگن-پوزویل$ Q= \frac{\pi R^4}{8 \mu} \left( - \frac{dp}{dx} \right)$اما من هم پیدا کردم$ Q=\frac{\pi d^2}{4} U$Q = πd24Uدر ادبیات چرا دو فرمول متفاوت برای سرعت جریان حجمی Q وجود دارد؟معادله هاگن-پوزویل$-\frac{d p}{dx} = \frac{8 \mu Q}{\pi R^4} $با فرض جریان حالت پایدار آرام یک مایع تراکم ناپذیر و نیوتنی در لوله ای از سطح مقطع ثابت می توان از نظر تحلیلی بدست آورد. از آنجا که تقارن محور و حالت پایدار در استخراج فرض می شود ، توضیح در ویسکوزیته های کم μ ("میرایی کم") و شعاع های بزرگ R شکست می خورد زیرا جریان لوله ممکن است متلاطم شود $ Re_D \geq Re_D^{crit} \approx 4000$
با تعداد رینولدز از نظر قطر لوله D = 2R داریم$ Re_D := \frac{U D}{\nu} = \frac{\rho U D}{\mu}.$
به شما امکان می دهد برای هر جریانی که مفروضات قبلی را برآورده کند ، افت فشار را از میزان جریان حجمی یا بالعکس تعیین کنید. برای هر جریانی که این الزامات را برآورده نکنند ، ممکن است همبستگی های تجربی (تقریب ها) مانند معادله تجربی دارسی-وایزباخ را پیدا کنید که ممکن است جریان آشفته لوله را بازگو کند (دوباره با مقطع ثابت) یا معادله ارگون برای جریان در محیط متخلخل.$Q = \frac{dV}{dt} = \frac{d (A x)}{dt} = A \underbrace{\frac{dx}{dt}}_U = A U. $وبه ویژه برای یک جریان لوله ، $A = \frac{\pi D^2}{4} $ بدست می آورید. این یک جلوه اساسی از تداوم تراکم ناپذیر یک بعدی است $ \dot m = \frac{dm}{dt} = \frac{d (\rho V)}{dt} = \frac{d \rho}{dt} V + \rho \frac{d V}{dt}$و $ dQ=2\pi r v(r) dr$و $v(r)=2U\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] $و جایی که U سرعت متوسط است. این منجر به معادله سوم شما می شود$Q=\pi R^2U=\pi\frac{d^2}{4}U $معادله هاگن-پوزویل سرعت متوسط را به عنوان تابعی از گرادیان فشار می دهد:$ U=\frac{R^2}{8\mu \left(-\frac{dp}{dz}\right)}$از سیستم ثابت زیر استفاده کنید ، جایی که مایعی وارد مخزن می شود و از طریق یک لوله عمودی به طول L و قطر D = 2R خارج می شود. ارتفاع مایع در مخزن ثابت و برابر با H. چگالی و ویسکوزیته مایع به ترتیب ρ و μ هستند. اگر جریان آرام است Q را پیدا کنید.حال اگر معادله برنولی را برای سطح آزاد مخزن و نقطه خروجی لوله بنویسم ، می فهمم $\frac{P_{atm}}{\gamma}+\frac{v_0^2}{2g}+z_0=\frac{P_{atm}}{\gamma}+\frac{v^2}{2g}+z+h_l, $ ،
که در آن hL سر کاهش اصطکاک لوله خروجی و $ v=Q/(\pi R^2)$ و $ \gamma= \rho g$ است. ما می دانیم که v0≈0 ، بنابراین$ H+L=\frac{v^2}{2g}+h_L$
حال باید رابطه دیگری بین v و hL پیدا کنیم. آیا می توانیم از معادله دارسی-وایزباخ استفاده کنیم؟ من فکر می کنم ما نمی توانیم به دلیل جریان عمودی! من علاقه مندم که توازن حرکت را بنویسم و رابطه بین از دست دادن اصطکاک و سرعت را بدست آورم (مانند معادله هاگن-پوزویل) ، اما نمی دانم چگونه اصطلاحات فشار را حل کنم آیا توزیع فشار در امتداد لوله خروجی وجود دارد؟$v_z(r)=\frac{R^2}{4 \mu}\left(-\frac{dp}{dz}+ \rho g \right) \left(1-\frac{r^2}{R^2} \right) $تعادل لحظه ای برای جریان آرام در لوله سرعت را به همان اندازه می دهدو یکپارچه سازی سطح مقطع لوله برای سرعت جریان $Q=\pi r^2 v=\int_{0}^{R} 2 \pi r v_z(r) \ dr=\frac{\pi R^4}{8 \mu} \left(-\frac{dp}{dz}+ \rho g \right) $و $ -\frac{dp}{dz}+ \rho g=\frac{32 \mu v}{D^2}$1
شما می توانید از معادله دارسی-وایزباخ استفاده کنید ، اما باید برای جریان عمودی آن را کمی تغییر دهید. در جریان عمودی ، تعادل نیروی دیفرانسیل روی جریان:
$ (P(z+\Delta z)-P(z))\frac{\pi D^2}{4}+\rho g \frac{\pi D^2}{4}\Delta z=\tau_w\Delta z \pi D$
جایی که z ارتفاع بالای پایین لوله است و $\tau_w $ تنش برشی در دیواره است. بنابراین،$ \frac{d(P+\rho gz)}{dz}=\frac{4}{D}\tau_w$و $\tau_w=\frac{f}{4}\frac{\rho v^2}{2} $و $\frac{d(P+\rho gz)}{dz}=\frac{f}{D}\frac{\rho v^2}{2} $ و $\frac{dP}{dz}=\frac{f}{D}\frac{\rho v^2}{2} $بنابراین سرعت جریان و فشارگر جریان آرام باشد ، یعنی آشفته نباشد ، پس رابطه بین سرعت جریان و فشار توسط معادله هاگن-پوزویل ارائه می شود : $\text{Flow rate} = \frac{\pi r^4 (P - P_0)}{8 \eta l} $ و $P - P_0 = f_D \frac{l}{2r} \frac{\rho V^2}{2} $ شکل زیر ببینید شکل 1: یک قیف با شکل مخروطی. شعاع دهانه قیف b و شعاع ساقه a است. ارتفاع اولیه مایع h0 است که همان ارتفاع خود قیف است. در زمان t ، ارتفاع سیال $r(t) $ و شعاع سطح سیال $r(t) $ است.
در اینجا فرض می شود که سطح بالای مایع بسیار آرام به سمت پایین حرکت می کند. این فرض خوب خواهد بود به شرطی که h (t) خیلی کوچک نباشد ، اما به صورت h (t) → 0 شکسته خواهد شد. با این فرض ، مسئله به مشکل "روزنه در مخزن" تبدیل می شود ، به این معنی که می توانیم جریان را به صورت ثابت ثابت کنیم. این مزیت این است که ما می توانیم از معادله برنولی استفاده کنیم. برای دقیق تر شدن ، نقاط A و B را در شکل 1 در نظر بگیرید. ما می توانیم فرض کنیم که هر دو نقطه در یک جریان ساده (خط تیره) قرار دارند ، به این معنی:$ \displaystyle\frac{v_A^2(t)}{2} + \frac{p_A}{\rho} + gh_A(t)
= \frac{v_B^2(t)}{2} + \frac{p_B}{\rho} + gh_B(t)
$جایی که ρ چگالی سیال است ،$v_A(t) $ سرعت سیال در A است ، pA فشار در A و$ h_A(t)$ ارتفاع نقطه A است (تمام مقادیر اشاره شده به B به طور معادل تعریف شده اند). از آنجا که هر دو نقطه A و B در تماس مستقیم با هوای اطراف هستند ، ما $ p_A = p_B = p_0$ داریم ، جایی که p0 فشار جوی است. همچنین ، تنظیم $ h_B(t) = 0$به ما $ h_A(t) = h(t)$ می دهد. سرانجام ، از آنجا که تصور می کنیم سطح مایع به آرامی به سمت پایین حرکت می کند ، می توانیم $ v_A(t) \approx 0$ را بگیریم. معادله (1) سپس تبدیل می شود:$\frac{p_0}{\rho} + gh(t) = \frac{v_B^2(t)}{2} + \frac{p_0}{\rho} $و $v_B(t) = \sqrt{2gh(t)} $
و $\displaystyle\frac{r(t)}{h(t)} = \frac{b}{h_0} \Longrightarrow r(t) = h(t)\frac{b}{h_0} $حجم کل مایعات موجود در قیف در زمان t توسط (به عنوان یک یادآوری ، حجم گردن قیف ناچیز فرض می شود) داده می شود:$ V(t) = \displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2(t) h(t)
= \frac{\pi}{3}\left(\frac{b}{h_0}\right)^2h^3(t)$ این تقریب تا زمانی که r (t) ≫a باشد ، خوب خواهد بود ، به این معنی که حجم "نوک برداشته شده" مخروط با توجه به حجم سیال$ V(t)$ ناچیز است. همانطور که h (t) → 0 ، r (t) → a بنابراین این تقریب ضعیف می شود ، اما در آن زمان مقدار کمی مایع باقی مانده نباید به اندازه کافی بزرگ باشد تا تخمین زمان را بشکند.
از معادله ، سرعت حجمی که مایع از روزنه تونل می گذرد برابر است با:$\Phi(t) = A v(t) = (\pi a^2) v(t) = \pi a^2 \sqrt{2gh(t)} $
جایی که $A = \pi a^2 $ سطح مقطع ساقه قیف است. از آنجا که این میزان جریان ، نرخی است که مایع از قیف خارج می کند ، بنابراین (در زیر نماد $\dot{q} $ برای نشان دادن $ dq/dt$ استفاده می شود):$\dot{V}(t) = -\Phi(t) $,و$ \dot{V}(t) = \frac{\pi}{3}\left(\frac{b}{h_0}\right)^2 3 h^2(t) \dot{h}(t)$و$\pi\left(\frac{b}{h_0}\right)^2 h^2(t) \dot{h}(t) = -\pi a^2 \sqrt{2gh(t)} $و$ \left(\frac{b}{h_0}\right)^2 h^{3/2}(t) \dot{h}(t) = -a^2 \sqrt{2g}$و$h^{3/2}(t) \dot{h}(t) = \displaystyle\frac{2}{5}\frac{d}{dt}h^{5/2}(t) $و$\displaystyle\frac{d}{dt}h^{5/2}(t) = -\frac{5}{2} \left(\frac{h_0}{b}\right)^2 a^2 \sqrt{2g} $ادغام هر دو طرف با توجه به بازده زمان:$ \begin{eqnarray}
\int_{t'=0}^{t'=t} \displaystyle\frac{d}{dt'}h^{5/2}(t')dt' &=&
-\int_{t'=0}^{t'=t} \frac{5}{2} \left(\frac{h_0}{b}\right)^2 a^2 \sqrt{2g} dt'
\nonumber\\[5pt]
h^{5/2}(t)\bigg|_{t'=0}^{t'=t} &=& -\frac{5}{2} \left(\frac{h_0}{b}\right)^2 a^2 \sqrt{2g} t
\nonumber\\[5pt]
h^{5/2}(t) - h_0^{5/2} &=& -\frac{5}{2} \left(\frac{h_0}{b}\right)^2 a^2 \sqrt{2g} t
\end{eqnarray}$و$\begin{eqnarray}
\displaystyle
h(t) &=& \left[ h_0^{5/2} - \frac{5}{2} \left(\frac{h_0}{b}\right)^2 a^2 \sqrt{2g} t \right]^{2/5}
\\[5pt]
&=& h_0 \left[ 1 - \frac{5}{2} \frac{1}{\sqrt{h_0}b^2} a^2 \sqrt{2g} t \right]^{2/5}
\\[5pt]
\end{eqnarray} $زمان T برای عبور مایعات از قیف به گونه ای است که h (T) = 0 ، به این معنی است:$1 - \displaystyle \frac{5}{2} \left(\frac{a}{b}\right)^2 \sqrt{\frac{2g}{h_0}} T = 0
\Longrightarrow
\boxed{
\displaystyle T = \frac{2}{5} \left(\frac{b}{a}\right)^2 \sqrt{\frac{h_0}{2g}}
} $سپس می توانم به شکل ساده تری بنویسم$\displaystyle h(t) = h_0\left( 1 - \frac{t}{T} \right)^{2/5} $ نمودار
سطح مایع به آرامی به سمت پایین حرکت می کند تا حدود t = 0.95T. بعد از آن نقطه ، $h(t) $ خیلی سریع شروع به کاهش می کند ، به این معنی که بعضی از تقریب های ما مناسب نیستند. اما همانطور که در ابتدا انتظار می رفت