برخورد كشسان

مدیران انجمن: parse, javad123javad

نمایه کاربر
You-See

نام: U30

محل اقامت: تهران

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۳/۵/۱۹ - ۱۹:۰۵


پست: 1281

سپاس: 787

جنسیت:

تماس:

Re: برخورد كشسان

پست توسط You-See »

منظور من اینه که اگر در لحظه برخورد توپ اول رو دو توپ در جهت های گفته شده در نظر بگیریم با اندازه حرکت های محاسبه شده که از تجزیه به دست میاد، اون وقت دو برخورد تکی خواهیم داشت در جهت های خودشون.
من اشکال کار رو فهمیدم ولی با تجزیه قبل از برخورد، می تونیم این شبیه سازی رو به خوبی انجام بدیم.
در لحظه برخورد می تونیم توپ اول رو دو توپ با همون جرم و البته با سرعت های تجزیه شده در نظر بگیریم که بصورت جداگانه دو برخورد انجام می دن.
بعد از محاسبه برخورد برای دو توپ سمت راست، و البته توپ های فرضی سمت چپ، برایند دو توپ فرضی می شه اندازه حرکت توپ اول.

می شه به مقاله ی لاینحل بودن این مساله ارجاع بدید؟ یعنی جایی که ادعا کرده این مساله حل تحلیلی نداره..
دوستای گلم حمایت کنید : https://cafebazaar.ir/app/com.nikanmehr.marmarxword/

user41967

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۴/۵/۲۸ - ۱۲:۱۷


پست: 143

سپاس: 42

Re: برخورد كشسان

پست توسط user41967 »

You-See نوشته شده:منظور من اینه که اگر در لحظه برخورد توپ اول رو دو توپ در جهت های گفته شده در نظر بگیریم با اندازه حرکت های محاسبه شده که از تجزیه به دست میاد، اون وقت دو برخورد تکی خواهیم داشت در جهت های خودشون.
من اشکال کار رو فهمیدم ولی با تجزیه قبل از برخورد، می تونیم این شبیه سازی رو به خوبی انجام بدیم.
در لحظه برخورد می تونیم توپ اول رو دو توپ با همون جرم و البته با سرعت های تجزیه شده در نظر بگیریم که بصورت جداگانه دو برخورد انجام می دن.
بعد از محاسبه برخورد برای دو توپ سمت راست، و البته توپ های فرضی سمت چپ، برایند دو توپ فرضی می شه اندازه حرکت توپ اول.

می شه به مقاله ی لاینحل بودن این مساله ارجاع بدید؟ یعنی جایی که ادعا کرده این مساله حل تحلیلی نداره..

يوسف جان حرفت كاملا اشتباهه، و توضيح نوشتني برام مشكله، اگه دوست داشتي بطور تلفني برات كاملا قضيه رو توضيح ميدم و يا داوود برات توضيح ميده.

Paradoxy

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2211

سپاس: 1012

Re: برخورد كشسان

پست توسط Paradoxy »

تمام حقوق مادی و معنوی ماله خود نیماست. ایدشم ماله نیماست. اما یوسف جان نگاه کن :
You-See نوشته شده:در لحظه برخورد می تونیم توپ اول رو دو توپ با همون جرم و البته با سرعت های تجزیه شده در نظر بگیریم که بصورت جداگانه دو برخورد انجام می دن.

از کجا میدونی تکانه توپ تنها، بین دو توپ مماس بر هم به این شکل تقسیم میشه؟
به عبارت دیگه فرض کردی که تکانه توپ تکی اگه مثلا 20 باشه، به هر کدوم از توپای مماس 10 تا میرسه. دلیلش اینه که دوتوپ مماس هردو زاویه 30 میسازن پس بعد از تجزیه ادعا کردی که هر توپ مماس، 10 تا تکانه سهمیه میگیرن، چرا؟

Paradoxy

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2211

سپاس: 1012

Re: برخورد كشسان

پست توسط Paradoxy »

حل نیما زاویه انحراف رو هم پیدا میکنه و زاویه هر سه توپ هر درمیاد. من همه جوره تستش کردم و مطمئنا ازین نظر ها مشکلی نداره. نمیشه کاملا به شکل متنی بازش کرد که دقیقا چیکار کرده، اما منطقش مشکلی نداره، به خصوص که با جوابایی که انتظار داریم، سازگاره

نمایه کاربر
[email protected]

نام: م. ج. معروف به گربه ی زَبادی

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۰/۹/۲۴ - ۱۱:۴۹


پست: 1454

سپاس: 514

جنسیت:

تماس:

Re: برخورد كشسان

پست توسط [email protected] »

paradoxy نوشته شده:تمام حقوق مادی و معنوی ماله خود نیماست. ایدشم ماله نیماست. اما یوسف جان نگاه کن :

نیمارو ول کن داوود جان! مُهره ی سوخته ست! smile055
بیا دو تایی مقالش کنیم، آخر مقاله یا توی پاورقی هم از فردی به اسم "نیما بانسر" یادی می کنیم! smile021

user41967

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۴/۵/۲۸ - ۱۲:۱۷


پست: 143

سپاس: 42

Re: برخورد كشسان

پست توسط user41967 »

smile001
آخرین ویرایش توسط user41967 جمعه ۱۳۹۶/۱/۲۵ - ۲۲:۵۰, ویرایش شده کلا 1 بار

نمایه کاربر
[email protected]

نام: م. ج. معروف به گربه ی زَبادی

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۰/۹/۲۴ - ۱۱:۴۹


پست: 1454

سپاس: 514

جنسیت:

تماس:

Re: برخورد كشسان

پست توسط [email protected] »

nimafat نوشته شده:شما اينو مقالش كنين ، به اسم خودتون، من راضيم، فقط دلم ميخواد اين روش مطرح و نقد بشه اسم كي باشه مهم نيست smile023

وای نیما جون تو چقَذِه از خود گذشته ای smile134

نمایه کاربر
You-See

نام: U30

محل اقامت: تهران

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۳/۵/۱۹ - ۱۹:۰۵


پست: 1281

سپاس: 787

جنسیت:

تماس:

Re: برخورد كشسان

پست توسط You-See »

در موردش فکر کردم. به نظرم میشه با چهار معادله پیادش کرد.
یعنی خود برخورد، و انعکاس برخورد.
این طوری تمام حالات درمیاد.
در خصوص تجزیه اندازه حرکت هم احتمالا حق با من بوده فقط این انعکاس برخورد که ممکنه منجر به افزایش ضربه به توپ سوم بشه رو در نظر نگرفته بودم.
شاید در حالت کلی یک انتگرال بشه که با حدگیری بشه سادش کرد.
وقت کنم بیشتر ریاضیش میکنم.
متاسفانه علیرغم میلم نمیتونم با تلفن همفکری کنم. فشار کارم حساب کتاب نداره و گاهی تا صبح طول میکشه.
خیلی خوبه که چنین مساله ای طرح کردی.
دوستای گلم حمایت کنید : https://cafebazaar.ir/app/com.nikanmehr.marmarxword/

user41967

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۴/۵/۲۸ - ۱۲:۱۷


پست: 143

سپاس: 42

Re: برخورد كشسان

پست توسط user41967 »

You-See نوشته شده:در موردش فکر کردم. به نظرم میشه با چهار معادله پیادش کرد.
یعنی خود برخورد، و انعکاس برخورد.
این طوری تمام حالات درمیاد.
در خصوص تجزیه اندازه حرکت هم احتمالا حق با من بوده فقط این انعکاس برخورد که ممکنه منجر به افزایش ضربه به توپ سوم بشه رو در نظر نگرفته بودم.
شاید در حالت کلی یک انتگرال بشه که با حدگیری بشه سادش کرد.
وقت کنم بیشتر ریاضیش میکنم.
متاسفانه علیرغم میلم نمیتونم با تلفن همفکری کنم. فشار کارم حساب کتاب نداره و گاهی تا صبح طول میکشه.
خیلی خوبه که چنین مساله ای طرح کردی.

يوسف عزيز كاملا اشتباه ميكني، موضع علم مكانيك در برابر اين سوال لاادري هست من از خودم در نياوردم كه گفتم سه معادله و چهار مجهول داريم،در مورد تجزيه اندازه حركت و انعكاس هم حرفات اصلا درست نيست، من فكر ميكنم متاسفانه اصلا متوجه صورت مسئله هم نشده باشي، براي همين از داوود خواهش كردم لااقل صورت مسئله رو برات تفهيم كنه... هرچند كه براي متوجه كردنت حدود ١٠ دقيقه صحبت تلفني كاملا كافي بود( البته در صورتي كه حداقل اطلاعات از مفهوم اندازه حركت و انرژي جنبشي و برخورد كشسان رو داشته باشي) ولي توصيه ميكنم كه جلد اول كتاب هاليدي رو در اين زمينه مطالعه كني مطمئنا متوجه خواهي شد كه قضيه از چه قراره

Squid game

عضویت : پنج‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۹ - ۲۲:۵۸


پست: 89

سپاس: 2

Re: برخورد كشسان

پست توسط Squid game »

به این مسئله علاقه مند هستم ، حتی زمانی که نیما این مسئله رو داشت حل می کرد ، من گفتم از انتگرال استفاده کن و ایده ای که اینجا اورده ، ذکر کرد که تاثیر گرفته از حرف من بوده
حالا که من دارم دوباره به مسئله نگاه می کنم ، به نظر من پیش فرض سوال ناقصه
به نظر من عاملی که باعث میشه دو تا توپ در جهت محور y حرکت کنند و زاویه حرکتشون کاملا متاثر از شکل اون دو توپه
مثال بزنم ، سه توپ با جرم های مساوی و با ابعاد مساوی انتخاب کنید ، زاویه ای که این سه توپ می گیرند قابل محاسبه ست و فک می کنم ۶۰ یا ۳۰ درجه ست
ما در واقع متغییر ی به نام شکل توپ رو نادیده گرفتیم

حل مسئله برا سه توپ هم شکل و هم جرم مشخصه
ولی شاید شما با پیش فرض های غلط این سوال نتوانید همین مسئله واضح رو حل کنید و هر آن احتمال بدید زاویه ی دیگری هم برای مسئله متصوره
با در نظر گرفتن این متغییر قطعا جواب ها پخته تر خواهد بود

برای شروع میشه چگالی یکی از دو توپ رو دو برابر در نظر گرفت ...
محاسبات رو انجام ندادم ولی فکر می کنم احتمالش هست که برخورد سه توپ در حالات غیر قرینه کاملا حالت مشوش پیدا کنه
به نظر من راه حل این مسئله از شکل توپ ها می گذرد که با محاسبات هندسی میشود تغییر زاویه توپ ها رو یافت
برای ساده سازی مسئله میشود برخورد دو توپ با زاویه متفاوت رو در نظر گرفت
هیچ فکر کردید با طرز نگاه شما به مسئله نمیشه مسئله دو توپ رو هم حل کرد؟
آخرین ویرایش توسط Squid game پنج‌شنبه ۱۴۰۲/۲/۲۸ - ۰۳:۲۷, ویرایش شده کلا 1 بار

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3268

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

Re: برخورد كشسان

پست توسط rohamavation »

هنگامی که یک برخورد در یک سیستم ایزوله رخ میده تکانه کل سیستم اجسام حفظ میشه. به شرطی که هیچ نیروی خارجی خالص بر روی اجسام وارد نشه تکانه تمام اجسام قبل از برخورد برابر با تکانه تمام اجسام پس از برخورده
ببین معادله بقای تکانه به این معنی نیستش که انرژی جنبشی قبل و بعد از برخورد برابره در دنیای واقعی اینطور نیست. برای هر پارامتر ورودی $m_1, m_2, u_1, u_2$
، تعداد نامتناهی از و $v_1$$v_2$, ممکن وجود داره
که یک برخورد طبق تعریف الاستیکه به معنای بقای انرژی جنبشیه، اما صرف بقای تکانه به معنای بقای انرژی جنبشی نیستش (برخوردهای غیرکشسان، تکانه را حفظ می کنن اما KE را حفظ نمی کنند)بقای تکانه خطی معادل الاستیک بودن برخورد نیستش پس شما دوست گرامی نمیتونی با استفاده از آن معادله بقای انرژی را ثابت کنی.اگر برای یک سیستم:
$\sum F_{external}=0$سپس$\sum_i(m_iv_i)=constant$
یا به سادگی $m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2$
; برای سیستم دو جرمه اما ما نمیتونم در مورد KE = ثابت نتیجه گیری میکنم
برای بررسی ماهیت برخورد از ضریب بازگرداندن نیوتن استفاده می کنیم (مثلاً
) که به صورت زیر تعریف می شود:$e=\left|\frac{\Delta v}{\Delta u}\right|$
در اینجا $Δv$ سرعت جداسازی (پس از برخورد) و $Δu$ است سرعت نزدیک شدن (قبل از برخورده .
بنابراین به وضوح می تونی بینی که$e\in [0,1]$.بنابراین برای، e=1، برخورد کاملاً الاستیکه و انرژی جنبشی حفظ میشه.
برای سایر مقادیر eما برخورد غیر کشسانی داریم و انرژی تلف میشه بنابراین، برای دنیای واقعی غیر ایده آل ما، e∈(0,1)ب پس رخورد غیر کشسان به برخوردیه که در آن انرژی جنبشی از دست میره همین . در حالی که تکانه سیستم در یک برخورد غیرالاستیک حفظ میشه ، انرژی جنبشی اینطور نیست. بازم قاوانوهای نیوتن عزیز در نظر بگیر.بقای تکانه به سادگی بیانیه قانون سوم حرکت نیوتنه. در هنگام برخورد، نیروهای وارد بر اجسام برخورد کننده همیشه برابر و در هر لحظه مخالفند . این نیروها در هر لحظه در هنگام برخورد نمی توانند چیزی جز برابر و مخالف باشند. بنابراین تکانه ها (نیروی ضرب شده در زمان) روی هر جسم در هر لحظه و همچنین در تمام مدت برخورد برابر و مخالفند . تکانه های اجسام در حال برخورد چیزی نیست جز تغییر در حرکت اجسام در حال برخورد. از این رو تغییرات در تکانه برای اجسام در حال برخورد همیشه برابر و مخالفه . اگر تکانه یک جسم افزایش یابه، تکانه جسم دیگر باید به همان اندازه کاهش بیابه. بنابراین حرکت همیشه حفظ مییشه
به همین دلیل است که تکانه همیشه حفظ می شود اما انرژی جنبشی نیازی به حفظ ندارد.
علاوه بر این، یک برخورد الاستیک به گونه ای تعریف می شود که انرژی آن حفظ بشه هیچ چیز مانند یک برخورد کشسان در طبیعت وجود نداره اینو قبل هم گفتم . این یک مفهوم ایده آله کا تو کتابها میگن که به ${\displaystyle {\begin{aligned}v_{a}&={\frac {C_{R}m_{b}(u_{b}-u_{a})+m_{a}u_{a}+m_{b}u_{b}}{m_{a}+m_{b}}}\\v_{b}&={\frac {C_{R}m_{a}(u_{a}-u_{b})+m_{a}u_{a}+m_{b}u_{b}}{m_{a}+m_{b}}}\end{aligned}}}$va سرعت نهایی اولین جسم پس از برخورده
vb سرعت نهایی جسم دوم پس از برخورد است
ua سرعت اولیه اولین جسم قبل از برخورد است
ub سرعت اولیه جسم دوم قبل از برخورد است
ma جرم اولین جسم است
mb جرم جسم دوم است
CR ضریب استرداد ه. اگر 1 باشد، برخورد الاستیک داریم. اگر 0 باشد، یک برخورد کاملا غیر کشسان داریم، ${\displaystyle {\begin{aligned}v_{a}&=-C_{R}u_{a}\\v_{b}&=-C_{R}u_{b}\end{aligned}}}
$اگر فرض کنیم که اجسام قبل یا بعد از برخورد نمی چرخند، ضربه طبیعی به صورت زیر است:${\displaystyle J_{n}={\frac {m_{a}m_{b}}{m_{a}+m_{b}}}(1+C_{R})({\vec {u_{b}}}-{\vec {u_{a}}})\cdot {\vec {n}}}
$→$\vec{n}$ بردار نرمال است.اگر اصطکاک نباشه ${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {v_{a}}}&={\frac {J_{n}}{m_{a}}}{\vec {n}}\\\Delta {\vec {v_{b}}}&=-{\frac {J_{n}}{m_{b}}}{\vec {n}}\end{aligned}}}$یک برخورد کاملا غیر کشسان زمانی رخ می دهد که حداکثر مقدار انرژی جنبشی یک سیستم از بین برود . در یک برخورد کاملا غیر کشسان، یعنی ضریب بازگشت صفر، ذرات در حال برخورد به هم می چسبند. در چنین برخوردی انرژی جنبشی با پیوند دو جسم به یکدیگر از بین میره . این انرژی پیوند معمولاً منجر به حداکثر اتلاف انرژی جنبشی سیستم میشه . در نظر گرفتن پایستگی تکانه ضروریه: در مثال بلوک لغزشی من تکانه سیستم دو جسم تنها در صورتی حفظ میشه که سطح اصطکاک صفر داشته باشه. با اصطکاک، تکانه دو جسم به سطحی منتقل میشه که به طور مشابه، اگر مقاومت هوا وجود داشته باشه تکانه اجسام را می توان به هوا منتقل کرد.) این به معنای عدم بقای تکانه نیست من ذرات هوارا هم در نظر میگیرم پس حفظ میشه معادله من برای برخورد سیستم دو جسم ( A، B) . . در این مثال، تکانه سیستم حفظ شده است، زیرا اصطکاک بین اجسام های لغزنده و سطح وجود نداره.${\displaystyle m_{a}u_{a}+m_{b}u_{b}=\left(m_{a}+m_{b}\right)v}$و سرعت نهایی ${\displaystyle v={\frac {m_{a}u_{a}+m_{b}u_{b}}{m_{a}+m_{b}}}}$کاهش انرژی جنبشی کل برابر است با کل انرژی جنبشی قبل از برخورد در یک مرکز قاب تکانه نسبت به سیستم دو ذره، زیرا در چنین قابی انرژی جنبشی پس از برخورد صفر ه. در این قاب بیشتر انرژی جنبشی قبل از برخورد مربوط به ذره با جرم کوچکتر است. در قاب دیگری، علاوه بر کاهش انرژی جنبشی ممکن است انتقال انرژی جنبشی از یک ذره به ذره دیگر وجود داشته باشد. این واقعیت که این به قاب بستگی دارد نشان می دهد که این چقدر نسبی است. کاهش انرژی جنبشی${\displaystyle E_{r}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{a}m_{b}}{m_{a}+m_{b}}}|u_{a}-u_{b}|^{2}}$

.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3268

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

Re: برخورد كشسان

پست توسط rohamavation »

مهم فهم این نکته که قانون بقای تکانه را می توان اینطور فهمید . برای برخوردی که بین جسم 1 و جسم 2 در یک سیستم ایزوله انجام میشه تکانه کل دو جسم قبل از برخورد برابر است با تکانه کل دو جسم پس از برخورد.مهم نیست که چه نوع برخوردی داشته باشین تکانه حفظ خواهد شد. این بدان معنی است که تکانه کل تمام اجسام برخورد کننده قبل از برخورد با تکانه کل پس از برخورد برابر خواهد بود دو اصل وجود داره که باید هنگام حل حرکت به خاطر داشته باشید. حفظ انرژی و حفظ تکانه.
$(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 + m_3 v_3^2)_\text{before} = (m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 + m_3 v_3^2)_\text{after}$
$(m_1 \mathbf{v_1} + m_2 \mathbf{v_2} + m_3 \mathbf{v_3})_\text{before} = (m_1 \mathbf{v_1} + m_2 \mathbf{v_2} + m_3 \mathbf{v_3})_\text{after}$
تکانه سیستم خطی چند جرمی
تکانه‌ی خطی یک سیستم چندذره‌ای (سیستم متشکل از دو یا چند ذره) به‌دست‌آمده از جمع تکانه‌های خطی تک‌تک ذرات تشکیل دهنده سیستم تعریف میشه ${\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.}$
${\mathbf {P}}=\sum _{{i=1}}^{N}{\mathbf {p}}_{i}={\mathbf {p}}_{1}+{\mathbf { p}}_{2}+\cdots +{\mathbf {p}}_{N}=m_{1}{\mathbf {v}}_{1}+m_{2}{\mathbf {v}} _{2}+\cdots +m_{N}{\mathbf {v}}_{N}\,\!$
به طور کلی حل مشکل سه جرم بسیار سخته و اگر میتونید بهتره برخورد سه توپ را در سه جفت برخورد مدل کنید. من فکر نمی کنم که حل این معادلات بقای اندازه حرکت در بالا منجر به هیچ فرم فرمول دقیقی بشه که n≥3 باشه
توپ ها در حالی که آنها در یک زمان با هم برخورد می کنند.
شما یک ماتریس با تمام بردارهای سرعت ایجاد کنید
$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \vec{v}_1 \\ \vec{v}_2 \\ \vdots \\ \vec{v}_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{y}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{y}_2 \\ \vdots \\ \dot{x}_N \\ \dot{y}_N \end{pmatrix}$
یک ماتریس قطری Diagonal Matrix با تمام جرم ها ایجاد کن

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} m_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & m_1 & 0 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_2 & 0 & & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & m_2 & & 0 & 0 \\ & & & & \ddots & & \\
0 & 0 & 0 & 0 & & m_N & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & & 0 & m_N
\end{bmatrix}$به طوری که Mv تمام اجزای حرکت هستش
شما به دنبال تغییر در سرعت Δv هستین به دلیل تمام تکانه های ناشی از برخورد. اگر مجموع تمام تکانه ها ℓ را بنامیم
تغییر سرعت اعمال کن $\Delta \mathbf{v} = \mathbf{M}^{-1} \boldsymbol{\ell}$
ماتریس جفت تماس Z. هر ستون نشان دهنده تماس بین دو جسم است $i \rightarrow j$ با بردار نرمال تماسی $\hat{n}_{ij}$ در jموقعیت ماتریس -$i-th$ بردار نرمال منفی$-\hat{n}_{ij}$
در iموقعیت ماتذیس مثلا:
$\mathbf{Z} = \begin{bmatrix}
-\hat{n}_{13} & 0 & -\hat{n}_{14} \\
0 & -\hat{n}_{24} & 0 \\
\hat{n}_{13} & 0 & 0 \\
0 & \hat{n}_{24} & \hat{n}_{14}
\end{bmatrix}$نشان دهنده ماتریس جفت تماس زمانی است که اجسام (1→3، 2 → 3 و 1 → 4) با هم برخورد می کنند. فلش جهتی را که بردار نرمال در آن قرار می گیره و از این رو جهت اعمال ضربه مثبت را نشان میده.دقت کنید که هر بردار نرمال تماسی دارای دو جزء $\hat{n} = ( \cos \psi, \sin \psi )$ است.
بردار مقدار ضربه ناشناخته برای هر جفت تماس.
$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} J_{13} \\ J_{24} \\ J_{14} \end{pmatrix}$
اکنون مجموع تمام تکانه ها $\boldsymbol{\ell} = \mathbf{Z} \,\mathbf{J}$
سرعت نسبی هر جفت تماس را محاسبه کنید با پیش بینی سرعت ها در امتداد تماس عادی
$\mathbf{u}_{imp} = \mathbf{Z}^\top \mathbf{v}$قانون برخورد را بر حسب سرعت های نسبی قبل و بعد از برخورد تعیین کنید.
$\mathbf{Z}^\top \left( \mathbf{v} + \Delta \mathbf{v} \right) = -\epsilon \mathbf{Z}^\top \mathbf{v}$
جایی که ϵ ضریب بازگشت است. معلومات را به سمت راست حرکت دهید و تغییر سرعت نسبی را بر اساس پیدا کنید
$\mathbf{Z}^\top \Delta \mathbf{v} = -(1+\epsilon) \mathbf{Z}^\top \mathbf{v} = -(1+\epsilon) \mathbf{u}_{imp}$
3. 5. و 7. را کنار هم قرار دهید تا درست شود
$\mathbf{Z}^\top \left(\mathbf{M}^{-1} \left( \mathbf{Z} \,\mathbf{J} \right) \right) = -(1+\epsilon) \mathbf{u}_{imp}$
و تکانه های مجهول را حل کنید
$\mathbf{J} = -\left(\mathbf{Z}^\top \mathbf{M}^{-1} \mathbf{Z} \right)^{-1} (1+\epsilon) \mathbf{u}_{imp}$
توجه داشته باشید که $\mathbf{Z}^\top \mathbf{M}^{-1} \mathbf{Z}$ K×K است
ماتریسی که نیاز به وارونگی دارد.
وقتی همه تکانه ها محاسبه می شوند، هر بردار سرعت جسم تغییر می کند
$\Delta \mathbf{v} = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{Z} \,\mathbf{J}$
.در موردی که متوجه شدم، فرض کنید یک جسم A دارم که با سرعت V به سمت 3 جسم در تماس B، C و D حرکت می کند:
من می خواهم چرخش ها را نادیده بگیرم تا مشکل را برای درک شما ساده کنم. شما باید یک سری رابطه غیرکشسان فرم را اعمال کنید
$\vec{n}_{k}^\top (\vec{v}_i^+-\vec{v}_j^+) = 0$جایی که $\vec{n}_k$ جهت نرمال k استتماس$k
-th$ و i,jجرم هایی هستند که این تماس بر آنها تأثیر می گذارد. بالانویس + بیانگر وضعیت پس از ضربه است. شما این رابطه را با یک سری k اعمال می کنید تکانه ها $J_k$
به طوری که$\vec{v}_i^+ = \vec{v}_i + \frac{\vec{n} J_k}{m_i}$
$\vec{v}_j^+ = \vec{v}_j - \frac{\vec{n} J_k}{m_j}$
از آنجایی که همه چیز باید در یک زمان اتفاق بیفتد، بهتر است مسئله را با ماتریس ها شکل دهیم.
ماتریس تماس A را در نظر بگیرید جایی که هر ستون k 1+ در i دارد
ردیف -امین و -1 در j
-پرتاب كردن. به عنوان مثال $A = \begin{pmatrix}0&-1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
به این معنی که دو تماس وجود داره یکی بین جسم 2 و جسم 4 و دیگری بین جسم 1 و 4. (در واقع هر 0 و 1 برای 2 بعدی 2×2 یا برای ماتریس های 3 بعدی صفر و هویت 3×3 هستند).روابط غیر کشسان هستند
$N^\top A^\top v^+ =0$
با ماتریس قطری
$N = \begin{pmatrix} \vec{n}_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \vec{n}_2 & & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \vec{n}_K \end{pmatrix}$
و
$v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_N \end{pmatrix}$
تبادل حرکت با رابطه توصیف می شود
$M v^+ = M v - A N J$
جایی که M ماتریس جرم قطری ماتریس است $M=\begin{pmatrix}m_1& & & \\ &m_2 & & \\& & \ddots & \\ & & & m_N\end{pmatrix}$
و j بردار تکانه ها$J^\top=(J_1\,J_2\,\cdots J_K)$
برای حل مسئله، تکانه را با برخوردهای غیر کشسان ترکیب می کنیم تا به دست بیاوریم

$v^+ = v - M^{-1} A N J$
$N^\top A^\top \left(v - M^{-1} A N J \right) = 0$
(N⊤A⊤M−1AN)J=N⊤Av
$\left(N^\top A^\top M^{-1} A N\right) J = N^\top A v$
مثال
با یک
مانند بالا (4جرم دو بعدی، 2 تماس) و $\vec{v}_i = (\dot{x}_i,\dot{y}_i)^\top$
$\vec{n}_1=(1,0)^\top$
،$\vec{n}_2 = (0,1)^\top$
سپس
$A = \left(\begin{array}{cc|cc} 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ \hline -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$
$N = \left(\begin{array}{c|c} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \hline 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)$
$M = \left(\begin{array}{cc|cc|cc|cc} m_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & m_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & m_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & m_{2} & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & m_{3} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m_{3} & 0 & 0\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m_{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m_{4} \end{array}\right)$
$v = \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{y}_1 \\ \hline \dot{x}_2 \\ \dot{y}_2 \\ \hline \dot{x}_3 \\ \dot{y}_3 \\ \hline \dot{x}_4 \\ \dot{y}_4 \end{pmatrix}$
$N^\top A^\top M^{-1} A N = \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{4}} & 0\\ 0 & \frac{1}{m_{2}} + \frac{1}{m_{4}} \end{array}\right)$
$N^\top A^\top v = \begin{pmatrix} \dot{x}_4-\dot{x}_2 \\ \dot{y}_4 - \dot{y}_2 \end{pmatrix}$
$J = \begin{pmatrix} \frac{\dot{x}_4-\dot{x}_2}{\frac{1}{m_2}+\frac{1}{m_4}}
\\ \frac{\dot{y}_4-\dot{y}_1}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_4}} \end{pmatrix}$
سپس
$v^+ = v - M^{-1} A N J = \begin{pmatrix}
\dot{x}_1 \\
\frac{m_1 \dot{y}_1 + m_4 \dot{y}_4}{m_1+m_4} \\
\frac{m_2 \dot{x}_2 + m_4 \dot{x}_4}{m_2+m_4} \\
\dot{y}_2 \\
\dot{x}_3 \\
\dot{y}_3 \\
\frac{m_2 \dot{x}_2 + m_4 \dot{x}_4}{m_2+m_4} \\
\frac{m_1 \dot{y}_1 + m_4 \dot{y}_4}{m_1+m_4} \end{pmatrix}$
میشه شون جرم یکسانی داشته باشه و دو توپ من در حالت سکون باشند و توپ دیگر من با سرعت v در حالت حرکت هست.
. تکانه کل سیستم mv است و انرژی کل $\frac{1}{2}mv^2$. فرض میکنم که برخوردکاملا الاستیک است.
فرض من اینکه که توپ های A و B جرم یکسانی دارن و توپ B ابتدا در حالت سکونه (سرعت صفر). سرعت اولیه توپ $V_1A$ است. پس از برخورد توپ A با سرعت$ V_2A$ در جهت نشان داده شده و توپ B با سرعت$ V_2B$ در جهتی که تو شکل اوردم حرکت میکنه.خط L1 به صورت مماس بر هر دو توپ در نقطه تماس رسم میکنیم. به دلیل هندسهL1 بر خطی که از مرکز دو توپ و نقطه تماس CP می گذرد عموده. به دلیل هندسه L1 نیز با عمود زاویه θ و خطی که از مرکز توپ ها می گذره زاویه θ را با افقی ایجاد میکنه
پس از برخورد در CP، توپ B طبق شکل در جهت خطی که به مرکز دو توپ می‌پیونده حرکت می‌کنه. این به این دلیل است که نیروی (ضربه) وارد شده توسط توپ A به توپ B به طور طبیعی روی سطح توپ B عمل می کنه با فرض اینکه بین توپ ها اصطکاک وجود نداشته باشه پس توپ B در جهت این ضربه حرکت می کند.تصویر
مساله بعدی فهم سرعت در فضای 2 بعدی و سه بعدی هست حرکت تک بعدی
حرکت یک جسم یک بعدی اگر فقط یکی از سه مختصات مورد نیاز برای تعیین موقعیت جسم در فضا در زمان واقعی تغییر کنه. در چنین حرکتی جسم در امتداد یک خط مستقیم حرکت میکنه حرکت یک قطار در امتداد یک مسیر راه آهن مستقیم سقوط آزادانه جسم تحت نیروی جاذبه و خیلی چیزهای دیگه خوب در حرکت شتابدار $\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{a}(t_2-t_1) ........(ii)$حالا حرکت دوبعدی مثل همون توپ بیلیارد $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_x}+\overrightarrow{v_y}=\frac{\overrightarrow{x_2}-\overrightarrow{x_1}}{t_2-t_1}+\frac{\overrightarrow{y_2}-\overrightarrow{y_1}}{t_2-t_1}=\frac{\triangle{\overrightarrow{x}}}{\triangle{t}}+\frac{\triangle{\overrightarrow{y}}}{\triangle{t}}$و حرکت شتابدار $(\overrightarrow{v_{2x}}+\overrightarrow{v_{2y}})=(\overrightarrow{v_{1x}}+\overrightarrow{v_{1y}})+(\overrightarrow{a_x}+\overrightarrow{a_y})(t_2-t_1)$یا $(\sqrt{v_{2x}^2+v_{2y}^2})=(\sqrt{v_{1x}^2+v_{1y}^2})+(\sqrt{a_x^2+a_y^2})(t_2-t_1)$
به طور کلی سرعت متغییر در دوبعد $\overrightarrow{v}=Lt_{\triangle{t}\rightarrow0}(\frac{\triangle{\overrightarrow{x}}}{\triangle{t}})+Lt_{\triangle{t}\rightarrow0}(\frac{\triangle{\overrightarrow{y}}}{\triangle{t}})=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}+\frac{d\overrightarrow{y}}{dt}$
خیلی ساده در سه بعد هم $(\overrightarrow{v_{2x}}+\overrightarrow{v_{2y}}+\overrightarrow{v_{2z}})=(\overrightarrow{v_{1x}}+\overrightarrow{v_{1y}}+\overrightarrow{v_{1z}})+(\overrightarrow{a_x}+\overrightarrow{a_y}+\overrightarrow{a_z})(t_2-t_1)$و$(\sqrt{v_{2x}^2+v_{2y}^2+v_{2z}^2})=(\sqrt{v_{1x}^2+v_{1y}^2+v_{1z}^2})+(\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2})(t_2-t_1)$و$\overrightarrow{v}=Lt_{\triangle{t}\rightarrow0}(\frac{\triangle{\overrightarrow{x}}}{\triangle{t}})+Lt_{\triangle{t}\rightarrow0}(\frac{\triangle{\overrightarrow{y}}}{\triangle{t}})+Lt_{\triangle{t}\rightarrow0}(\frac{\triangle{\overrightarrow{z}}}{\triangle{t}})=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}+\frac{d\overrightarrow{y}}{dt}+\frac{d\overrightarrow{z}}{dt}$
پس از برخورد توپ های قرمز من به صورت سکون به طور متقارن حرکت می کنند و توپ آبی همون توپ در حال حرکت مستقیماً به ست توپها پرتاب میشه. همه اینها باید با تقارن در مورد برخوردهای الاستیک باشه. در نقطه برخورد مرکز توپ ها یک مثلث متساوی الاضلاع را تشکیل میدنتصویر
فرض کنین سرعت نهایی (به سمت بالا) توپ آبی $v_b$ باشد ، مولفه افقی سرعت توپ قرمز سمت راست$ v_x $باشه
و سرعت عمودی (به سمت بالا) آن$ v_y$ باشه . سپس ممن میتونم بقای انرژی و تکانه را بنویسم
$0 = mv_x - mv_x$
$mv = mv_y + mv_y + mv_b$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_b^2 + 2\left(\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)\right)$
بعد ساده سازی$v = 2v_y+v_b$و $v^2 = v_b^2 + 2v_x^2+2v_y^2$
این دو معادله برای سه مجهول است که نمی تواند پاسخ منحصر به فردی بده. با این حالمن هنوز از این واقعیت استفاده نمیکنم که در هنگام تماس سه توپ یک مثلث متساوی الاضلاع را تشکیل میدن به این معنی که$v_y = \sqrt{3}v_x$
. با استفاده از این من میتونم راحتر حل کنم
$v_x = \frac{\sqrt{3}}{5} v$
$v_y = \frac{3}{5} v$
$v_b = -\frac{1}{5}v$
در شرایطی که جرم ها همه متفاوتند، فقط باید از طریق این محاسبه نسبت جرم رادنبال کن. اگر شعاع ها متفاوتند، باید پیکربندی هندسی توپ ها را در هنگام تماس آن ها تجزیه و تحلیل کنی و نحوه هدایت نیروها را برای تعیین جهت هایی که هر توپ در آن حرکت می کنه تعیین کنی. خیلی مشکل میشه جهت برای توپ نشانه باقی می ماند. از نظر ریاضی:
$m_{cue} \pmatrix{v_{2a} \\ v_{2b}} + m_{ball} \pmatrix{0 \\ 0} = m_{cue}\pmatrix{v_{2a} \\ 0} + m_{ball} \pmatrix{0 \\ v_{2b}}$
خواهید دید که این شرایط برای برخوردهای الاستیک مطابقت داره
بهتره شما واقعاً باید انرژی دورانی (قبل از برخورد و پس از برخورد) را نیز در نظر بگیرید.
من مثالی ساده میزنم سه ذره دارم به جرم mو 2m , 3m حالا جسم a با سرعت $u \, \mathrm m \mathrm s^{-1}$به b, c برخورد میکنه من کسر سرعت ها رو میخوام محاسبه کنم خوب جهت اطلاع دوستان فیزیکدانم در برخورد الاستیک کامل ضریب بازگشت e=1 گرفته میشهدر حال حاضر ما داریم1 برخورد A و B: اجازه بدین $V_A & V_B$
سرعت A و B درست پس از برخورد باشن سپس با استفاده از قانون بقای تکانه خطی من محاسبه میکنم که
$mu+0=mV_A+2mV_B\tag 1$
حال با استفاده از معادله برخورد نیوتن به دست می آوریم
$\frac{V_B-V_A}{u-0}=e=1\tag roham2$
در حل (1) و (2) به دست می آوریم
$V_A=\frac{-u}{3}, \ V_B=\frac{2u}{3}$
2.) برخورد B & C: اجازه بدین $V′_B & V_C$
سرعت های B و C درست پس از برخورد باشن سپس با استفاده از قانون بقای تکانه خطی محاسبه میکنم
$(2m)\frac{2u}{3}+0=2mV_B'+3mV_C\roham 3$
حال با استفاده از معادله برخورد نیوتن به دست می آوریم
$\frac{V_C-V_B'}{\frac{2u}{3}-0}=e=1\tag roham4$
در حل (3) و (4) به طور مشابه $V_B'=\frac{-2u}{15}, \ V_C=\frac{8u}{15}$
تصویر

نمایه کاربر
[email protected]

نام: م. ج. معروف به گربه ی زَبادی

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۰/۹/۲۴ - ۱۱:۴۹


پست: 1454

سپاس: 514

جنسیت:

تماس:

Re: برخورد كشسان

پست توسط [email protected] »

Squid game نوشته شده:
چهارشنبه ۱۴۰۲/۲/۲۷ - ۰۸:۱۲
به این مسئله علاقه مند هستم ، حتی زمانی که نیما این مسئله رو داشت حل می کرد ، من گفتم از انتگرال استفاده کن و ایده ای که اینجا اورده ، ذکر کرد که تاثیر گرفته از حرف من بوده
حالا که من دارم دوباره به مسئله نگاه می کنم ، به نظر من پیش فرض سوال ناقصه
به نظر من عاملی که باعث میشه دو تا توپ در جهت محور y حرکت کنند و زاویه حرکتشون کاملا متاثر از شکل اون دو توپه
هادی جان، من فکر کنم نیما توی مسئله ش توپ‌ها رو دایره ای یا کُروی در نظر گرفته بود که در حین برخورد هم تغییر شکل ملموسی نمی دادن ولی یادم میاد که توی حل نیما و توی اون مسئله ی کاملاً متقارن، وابستگی تکانه به "چگالی" مطرح می شد. یعنی تکانه به صورت سنتی ارتباطی به چگالی نداره و فقط تابعی از جرم و سرعته ولی توی اون حالت متقارن با الزاماتِ هندسی خاص، انگار پیشفرض های منطقی که نیما طرح کرده بود در نهایت منجر به درگیری چگالی توی حل مسئله می شد.

نیما و رامین مقاله رو یادم میاد دادن "مانی" (داداشِ نیما که از اساتید مکانیک خواجه نصیره)، به انگلیسی نوشتشو مقاله ش کرد ولی عدم انگیزه ی کافی و یه سِری مسائلِ دیگه، مانع از ارسالش به یه مجله ی مناسب شد. یادش بخیر! آغاز این بحثا مال چهار پنج سال پیشه که داوود و مرحوم ماجد هم درگیرش بودن.

Squid game

عضویت : پنج‌شنبه ۱۴۰۰/۷/۲۹ - ۲۲:۵۸


پست: 89

سپاس: 2

Re: برخورد كشسان

پست توسط Squid game »

محمد جان اون مقاله رو نخوندم ولی با توضیحاتی که شنیدم ، احتمال میدم غلط ه
یک نکته اساسی که نادیده می گیره ، همون هندسه و زوایای برخورده
میشه سه تا مربع همین داستان برخورد رو داشته باشن و بدون انحراف از محور ایکس به حرکت ادامه بدن
شما رو به مسئله ساده شده ارجاع میدم
برخورد های زاویه دار دو توپ بیلیارد چگونه قابل حله ؟
با چشم پوشی که شما از هندسه توپ ها دارید ، زاویه ی توپ ها و مسیرشون یه مقاله پیچیده (غلط) لازم داره
هر وقت زاویه حاصل از برخورد دو توپ حل شد ، برخورد سه توپ هم حل خواهد شد
و زاویه برخورد دو توپ و سه توپ با دخالت هندسه حل میشه
سه توپ هم شکل و هم جرم باشند و برخورد همزمان باشه ، زاویه ، ۳۰ درجه خواهد بود

اگه بیلیارد بازی کرده باشید می دونید چی میگم
زاویه ی حاصل از برخورد ، به سرعت و ... مربوط نیست
به زاویه ای که با توپ می سازیم مربوطه
t.png
این عکس یافتم
خلاصه میگم زاویه دو توپ ساکن به همدیگه ربطی نداره ، چون دقت کنید ، هیچ نیرویی به هم اعمال نمی کنن
میشه در نظر گرفت که دو توپ ساکن یک اپسیلون فاصله دارن
با این کیفیت برخورد ، دو توپ ساکن هیچ بر هم کنشی ندارن
با توجه به هندسه سه توپ ، زاویه دو توپ ساکن می تونه مختلف از هم باشه و کاملا بی ارتباط به همن

حالا مسائل پیچیده تر به ذهنم میاد که بعدا میگم بهتون
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.

ارسال پست