هوپا، انجمن علم ایران

سلام،فرض کنید انتگرال منحنی میدانی(مثل F) که روی آن درحرکت هستیم رو میخواهیم محاسبه کنیم حال می توان تغییرات دیفرانسیلی طول جزمسیر(مثل dl) را برداری درنظر نگیریم؟،یعنی تابع انتگرالده برداری باشد ولی جزطول برداری نباشد

در انتگرال گیری مهم نیته باقیش بهونست
شما وقتی از بردار سرعت انتگرال برحسب زمان میگیری تا بردار مکان رو پیدا کنی، دیفرانسیل انتگرال گیریت که اینجا زمان هست برداری نیست، در نتیجه جواب انتگرال یک بردار میشه و نه یک عدد. اما خب یک زمان میخوایم مثلا مقدار کار یک نیرو رو حساب کنیم، اینجا نیازه که جهتی که نیرو وارد شده رو همراه با جهت حرکت جسم همزمان در نظر بگیریم، نتیجه انتگرالمون هم یک عدد میشه برای انرژی و نه یک بردار.

سپاس،دراینجا منظور صرفا یک بردار نیست بلکه یک میدان برداری مدنظر است وآیا جزطول رومیشه یک کمیت غیربرداری درنظرگرفت؟

سرعت هم صرفا یک بردار نیست، اتفاقا یک میدان برداری هست. دقت کنید ممکنه سرعت به مکان هم وابستگی صریح داشته باشه، مثل ذره ای که روی فنر نوسان میکنه.
شدن که میشه منتهی من نمونش رو ندیدم، یا الان در ذهنم نیست. وقتی مساحت زیر منحنی بدست میاریم مثلا، جزء طول رو برداری در نظر نمی‌گیریم، منتهی چیزی که ازش درونجا انتگرال میگیریم هم یک تابع اسکالره و نه بردار.

انتگرال خطی دریک صفحه 2بعدی میشه همون انتگرال معمولی درجهت dx وبدلیل محدودیت دامنه درصفحه نمیشه روی منحنی های دیگری انتگرال یک میدان(یاتابع)رو بدست بیاریم. برای جزطول غیر برداری،آیا محاسبه کار که درآن نیرو یک تابع برداری است نمی شود جزطول رو اسکالرفرض کرد؟ آیادرانتگرال خطی روی یک تابع برداری اگرازیک مسیر فقط درجهت های مخالف انتگرال بگیریم،تفاوت جهت های مخالف فقط با کران های انتگرال قابل بیان است؟ واینکه درموردانتگرال سطح چگونه می توان یک رویه را دریک ناحیه پارامتری 2بعدی(صفحه) تعریف کرد؟

نه نمیشه، چون نیرو برداره و انتگرال اون مدلی بگیریم، کار بدست اومده هم برداری میشه که معنا نداره، انرژی عدده و جهت نداره. هرچند توی مثالای ساده و ابتدایی کتابای دبیرستان فکر میکنم نیرو رو هم از حالت برداری در میارن و دقیقا همین کارو میکنن که شما داری میگی، یعنی دیفرانسیل طول رو اسکالر میگیرند ولی نیرو رو هم اسکالر میگیرن. منتهی اون کار تنها وقتی جواب میده که جهت حرکت ذره در یک خط صاف باشه.

نمیدونم سوال رو فهمیدم یا نه اما بسیاری از میدان های برداری هستند که پایستار نیستند و مهمه که روی چه مسیری در اون ها حرکت کنیم. یعنی تنها حالتی که کران هاشون رو عوض کنیم، جهت مخالف بدست میاریم. اما برای نیرو های پایستار، در یک مسیر کاملا متفاوت هم به نقطه بازگشت برگردیم جوابمون یکی میشه با زمانی که روی همون مسیر قبلی برگردیم (یعنی کران هارو عوض کنیم).

این یکیو اصلا نفهمیدم.