اثبات قانون دوم نیوتن

مدیران انجمن: javad123javad, parse

Paradoxy

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2211

سپاس: 989

Re: اثبات قانون دوم نیوتن

پست توسط Paradoxy »

ببینید همه چیز تا خط یکی مونده روابط به آخر درسته. در خط یکی مونده به آخر اومدید جای مشتق زمانی سای و سای استار، مقادیری که معادله شرودینگر پیشنهاد میده رو جای گذاری کردید که مشکلی نیست. جمله اول، سوم و چهارم خط یکی مونده به آخری، در واقع حاصل جای گذاری مشتق زمانی سای هست، که بعد از روش یک مشتق مکانی هم گرفته شده و این جملات ساخته شده. جمله دوم و پنجم هم قراره حاصل جایگذاری مشتق زمانی سای استار، با چیزی باشه که معادله شرودینگرش میده اما، گرچه جمله پنجم درسته، جمله دوم رو من متوجه نمیشم که چطوری نوشتید! جمله دوم درواقع (حالا با فراموش کردن ضرایب و اینا) باید میبوده مشتق دوم مکانی سای استار، در مشتق اول مکانی سای، نه چیزی که شما نوشتید (مشتق سوم مکانی سای). تکنیک خاصی زدید روش که مشتق مکانی رو از روی سای استار برداشتید، تازه انداختید روی سای، بعد جوری این مشتق رو انتقال دادید که شده مشتق سوم، نه ضرب مشتق دوم در مشتق اول؟ یا من جا به جا متوجه جملات شما شدم؟ بهرصورت باید اثری از مشتق مکانی سای استار باشه تو معادلتون که نیست.

اما اینا به کنار نتیجه گیریتون درست و قابل تقدیر هست، اما چیز غافل گیر کننده ای نیست. اولا به این چیزی که (تقریبا) بهش رسیدید میگن معادلات اهرنفست https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_theorem که نتایج کاملا طبیعی در کوانتوم محسوب میشه. اونش بخش General example رو ببینید، دقیقا همون چیزیه که شما تلاش کردید اثباتش کنید رو نوشته! اما از دیدن چنین نتیجه ای در کوانتوم نباید غافل گیر بشیم، چون هرچی نباشه معادله شرودینگر چیزی نیست بجز همون معادله پایستگی انرژی ای که من اون بالاتر نوشتم و ازش مشتق زمانی گرفتم! بله معادله شرودینگر هرچند به شکل عملگری درومده و ظاهر معمول همیلتونی رو درش نمیبینیم، اما زمانی که یک معادله ویژه مقداری مینویسیم طبق معادله های همیلتون، 100% باید خیالمون راحت باشه که این با معادله نیوتون سازگاری داره. آخه هرچی نباشه معادلات همیلتون از روی لاگرانژی (اگر اشتباه نکنم با تبدیل لژاندر اون) ساخته شدن، و اصلا در واقع از خود معادلات نیوتون ساخته شدن، پس واضحه باید باهاش سازگار باشند. پس نمیشه با معادله شرودینگر معادله نیوتون رو ثابت کرد، دستکم از جنبه منطقی شما داری دور میزنی.

پ.ن: اوه و نکته دیگه این که علت صفر بودن مشتق زمانی x، بی معنی بودنش نیست. دلیلش این هست که ما پیشاپیش فرض کردیم تحول زمانی بسته موج، در خود سای وارد شده و ایکس رو مستقل از زمان فرض کردیم.

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 635

سپاس: 395

جنسیت:

تماس:

Re: اثبات قانون دوم نیوتن

پست توسط rohamjpl »

راه های زیادی جهت اثبات هست .اتصال با فرمالیسم همیلتون فراهم می شود ، اگر$F = -dV/dx$ نیروی خالصی است که بر ذره ای از جرم m وارد می شود ، پس مقدار
$H(x,p) = \frac{p^2}{2m} + V(x) = E$
اصطلاح براورده میکنه $\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -\frac{dV}{dx} = F$
شما همچنین برای لاگرانژی نیاز به تعبیری دارید که در مکانیک کلاسیک چنین است
$L = T - U$جایی که T انرژی جنبشی است و U انرژی پتانسیل است.
به شرطی که بتوانید یک U پتانسیل را به نیروی $\vec{F}$ مرتبط کنید به طوری که $\vec{F} = - \vec{\nabla} U$ (چنین نیرویی محافظه کار گفته می شود) ، اصل کمترین اقدام و قانون نیوتن دوم برابر است.بقا در انرژی چگونه از قانون دوم نیوتن پیروی می کند؟
سوال: در حالت یک بعدی نشان دهید ، چگونه برای نیروهای پتانسیل$F(x) = \dfrac{−dV (x)}{dx}$ ، بقا در انرژی از قانون دوم نیوتن دنبال می شود
از قانون دوم نیوتن می دانیم
$F=ma=m\ddot{x}$چگونه بقادر معادله انرژی را از این طریق بدست می آوریم؟
تاکنون$F=ma$
$\implies \dfrac{−dV (x)}{dx}=m\ddot{x}$
حالا من نمی دانم چه کاری باید انجام دهم. من می خواهم ادغام شوم ، اما هر دو مشتق متغیرهای مختلف هستند.
$m \ddot x = -\dfrac{dV(x)}{dx}, \tag{1}$
ما داریم$m \ddot x + \dfrac{dV(x)}{dx} = 0; \tag{2}$
ضرب در بازده $\dot x$
$m \ddot x \dot x + \dfrac{dV(x)}{dx} \dot x = 0, \tag{3}$
که با استفاده از قانون زنجیره ای ممکن است دوباره به صورت زیر نوشته شود
$\dfrac{1}{2} \dfrac{d(m\dot x^2)}{dt} + \dfrac{dV(x)}{dt} = 0, \tag{4}$یا$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}( m \dot x^2) + V(x)) = 0. \tag{5}$
اکنون ادغام هر دو طرف با توجه به t نشان می دهد که$\dfrac{1}{2}m \dot x^2 + V(x) = E, \tag{6}$
مکانیک لاگرانژی چگونه با مکانیک نیوتنی برابر است؟معادله اولر-لاگرانژ:
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}$˙
معادل قانون دوم حرکت نیوتن است که می گوید:
$\mathbf{ F}=m\vec a.$
من به روش ریاضی خالص نمی پردازم زیرا فقط روشهایی را ارائه می دهم که نشان می دهد معادله اول ما معادل قانون دوم نیوتن است.
لاگرانژی (نشانگر $\mathcal L$) به سادگی انرژی جنبشی بدن منهای انرژی پتانسیل آن است که می تواند به صورت زیر نوشته شود ، $\mathcal L=1/2mv^2-\mathrm V(x)$. حالا اگر مشتق این لاگرانژی w.r.t x را بگیرید ، مشتق انرژی پتانسیل $\mathrm{V}(x)$ w.r.t x را به دست خواهید آورد که یک نیرو است. بنابراین LHS معادله اول معادل LHS معادله دوم است.
$\dot{x}$ فقط به معنای مشتق x w.r.t است ، بنابراین اگر لاگرانژی را با توجه به$\dot{x}$که سرعت است متفاوت کنید ، $m\dot{x}$ بدست خواهید آورد از
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\dot{x}}\frac12 mv^2-\mathrm{V}(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\dot{x}}\frac12 m\dot{x}^2=m\dot{x}.$
و مشتق دومی w.r.t زمان$m\ddot{x}$ خواهد بود که البته $m\vec{a}$ است. بنابراین RHS معادله اول معادل RHS معادله دوم است. از این رو:
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}\iff \mathbf{ F}=m\vec a.$
استخراج بقا در مصرف انرژی از قانون دوم نیوتن
با توجه به قانون دوم نیوتون:
$\frac {d}{dt} (m \boldsymbol{\dot r}) = \mathbf F$
چگونه می توان بقا در معادله انرژی را با جرم ثابت بدست آورد؟
به این ترتیب چگونه می توان $\mathbf F = - \nabla V(\mathbf r)$ را استخراج کرد که در آن V (r) به عنوان انرژی پتانسیل نشان داده می شود وقتی نیرو محافظه کار است؟
اثبات تلاش:بگذارید $KE = T = \frac {1}{2} m\boldsymbol{\dot r} \cdot \boldsymbol{\dot r}$˙ باشد
یا$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{2}m[\boldsymbol{\dot r} \cdot \frac {d \boldsymbol{\dot r}}{dt} + \boldsymbol{\dot r} \cdot \frac {d \boldsymbol{\dot r}}{dt}] = m \boldsymbol {\dot r} \cdot \frac {d \boldsymbol{\dot r}}{dt}$ و $\nabla V = \frac {\partial V} {\partial{\mathbf r}}$
همچنین ، یک نیروی محافظه کار می گوید $\frac{dE}{dt} = 0$
قانون دوم نیوتن را می توان به صورت زیر نوشت:
$m\boldsymbol{\dot r} \cdot \frac{d\boldsymbol{\dot r}}{dt} = \mathbf F \cdot \boldsymbol{\dot r}$
سوال من این است که چگونه $\mathbf F = - \nabla V(\mathbf r)$ به قانون دوم نیوتن به درستی معرفی شده و سپس برای دستیابی به انرژی یکپارچه می شود
چون من به راحتی می توانم ثابت کنم که $\mathbf F = - \nabla V(\mathbf r)$ اگر $E = T + V(\mathbf r)$ باشد اما سعی می کنم نتیجه بگیرم که V (r) انرژی پتانسیل است ، نه اینکه آن را فرض کنیم
توضیح A نیروی محافظه کار نیرویی با خاصیت است که کل کار انجام شده در انتقال ذره بین دو نقطه مستقل از مسیر طی شده است. به طور معادل ، اگر ذره ای در یک حلقه بسته حرکت کند ، کل کار انجام شده (مجموع نیرویی که در امتداد مسیر ضرب می شود در جابجایی) با یک نیروی محافظه کار صفر است.
در فیزیک ، مهم است که تفاوت بین نیروهای محافظه کار و غیر محافظه کار را بدانید. کار الف نیروی محافظه کار انجام بر روی یک شی مستقل از مسیر است. مسیر واقعی طی شده توسط شی تفاوتی ندارد. پنجاه متر در هوا همان انرژی بالقوه گرانشی را دارد ، چه با قدم برداشتن به آنجا برسید و چه با چرخیدن چرخ و فلک. این متفاوت از نیروی اصطکاک است که انرژی جنبشی را به عنوان گرما پراکنده می کند. وقتی اصطکاک درگیر باشد ، مسیری که طی می کنید مهم است - یک مسیر طولانی تر ، انرژی جنبشی بیشتری را از یک مسیر کوتاه پراکنده می کند. به همین دلیل اصطکاک یک است نیروی محافظه کار
با تعریف$\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ و $\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt},$ ، ما باید:
$\dfrac{dE}{dt}=\dfrac{d}{dt} \left(\frac{1}{2}m\vert \vec{v} \vert^2+V \right)=m\vec{v} \cdot \vec{a}+\dfrac{dV}{dt}.$
توجه بعدی که به دلیل قانون زنجیره ای ما:
$\dfrac{dV}{dt}=\nabla V \cdot \vec{v},$
به طوری که ما داریم:
$\dfrac{dE}{dt}= m\vec{v} \cdot \vec{a}+\nabla V \cdot \vec{v}$
بعد ما از قانون دوم نیوتن استفاده می کنیم ، که عبارت $m\vec{a}=\vec{F}.$ است. اگر فرض کنیم که میدان نیرو محافظه کار باشد ، این بدان معنی است که نیرو گرادیان یک میدان اسکالر (انرژی پتانسیل) است ، ما بیشتر $F=\nabla V,$ خواهیم داشت که در نهایت بازده دارد:
$\dfrac{dE}{dt}=-\vec{v}\cdot \nabla V+\nabla V \cdot \vec{v} = 0$
ما می دانیم که کار انجام شده توسط نیرو ،$dW = \vec{F}\cdot d\vec{r}$. حال ، اگر نیرو محافظه کار باشد ، با تعریف این بدان معنی است که کار انجام شده مستقل از مسیر طی شده است و فقط به وضعیت نهایی بستگی دارد. از این رو$dW = \vec{F}\cdot d\vec{r}$ باید دقیق باشد ، یعنی به صورت$V(\vec r_f) - V(\vec r_o)$ قابل نوشتن باشد.
این به معنی $\vec{F}\cdot d\vec{r}$ برابر با مشتق کل برخی از تابع $V(\vec r)$ است که فقط به موقعیت بستگی دارد.
از این رو ،
$\vec{F}\cdot d\vec{r} = dV(\vec r)$
$\vec{F} = \frac{dV(r)}{d\vec{r}} = \nabla{V(\vec r)}$
اکنون ، می بینیم که کار انجام شده توسط نیروی محافظه کار F با V (r) بیان می شود ، که ما آن را به عنوان انرژی پتانسیل تعریف می کنیم
تصویر

ارسال پست