تعریف فاصله در نسبیت و سازگاری نسبیت عام با مکانیک نیوتونی

[Paradoxy]

محمدجان داری اشتباه میزنی. معادله اینشتین اصلا قرار نیست که حرکت یک جسم در فضا رو توصیف کنه، که بعد بخواد معادله نیوتونی بده یا نده، متمم بخواد یا نخواد. معادله اینشتین تنها کاری که قراره انجام بده اینه که به ما میگه چطور فضا خمیده شده در حضور جرم و انرژی. حالا ما میخوایم بدونیم که یک جسم چطور در این فضای خمیده حرکت میکنه؟ معادله ژئودزیک میزنیم. میخوایم رفتار امواج الکترومغناطیسی رو ببینیم؟ قوانین ماکسول تعمیم یافته (که درش خمش فضا هم لحاظ شده و خمشه از معادله اینشتین درومده) استفاده میکنیم. میخوایم ببینیم یک شاره، مثلا پلاسمای داغی که از یه ستاره میزنه بیرون چه جور رفتاری داره؟ معادله پیوستگی میزنیم، اما خمشی که از معادله اینشتین بدست اومده رو درش لحاظ میکنیم. نه که نسبیت عام این باشه، نسبیت خاصم که میدونی همینطوریه. الان مثلا جمع سرعتای نسبیتی، عین همون گالیله ایش هست دیگه یه ضریب بالا پایین داره، پس بگیم نسبیت خاصم ناقصه و نیاز به متمم گالیله ای داره. نشد که. زمانی میشد بگیم نسبیت عام متمم میخواد، که اصلا معادله اینشتین قرار بود خودش حرکت جسمی رو توصیف کنه، بعد نمیتونست، و مجبور میشدیم از معادلات کمکی استفاده کنیم برای این موضوع. منتهی نسبیت عام اصلا این نیست. نسبیت عام صرفا راهی برای کار کردن با مراجع شتاب داره. راهی برای محاسبه خمش فضا زمانه و ...، اینکه چطوری از نتایجش استفاده کنیم دست خودمونه. برعکس فیزیک نیوتونی که اصلا برای توصیف حرکت اجسام پایه گذاری شده.

ضمن اینکه در نظر داشته باش، هرچند سال ها قبل از اینشتین معادلات ژئودزیک بودن و فلان، منتهی هیچ کس پا نشده بود بره ورژن معمولیش رو عمومیت بده به فضای خمیده، در واقع نسبیت عام این نیاز رو ایجاد کرد که معادلات معمولی، فرم عمومی تری بگیرند و در نتیجش نه تنها فیزیک بلکه ریاضیاتم پیشرفت کرد.

عدم رضایت اینشتین برای این بودش که معادلاتش جهان منبسط شونده رو پیشبینی میکردن، اینشتین ایستا میخواست. یه جمله اضافه کرد به معادلش به شکل نسبتا مصنوعی به اسم ثابت کیهانی که این قضیه رو حل کنه ، ولی بدتر شد. بعدا مشخص شد که نه جهان واقعا منبسط میشه و اون ثابت کیهانم خوب چیزیه.

[[email protected]]

محمدجان داری اشتباه میزنی. معادله اینشتین اصلا قرار نیست که حرکت یک جسم در فضا رو توصیف کنه، که بعد بخواد معادله نیوتونی بده یا نده، متمم بخواد یا نخواد. معادله اینشتین تنها کاری که قراره انجام بده اینه که به ما میگه چطور فضا خمیده شده در حضور جرم و انرژی.

اگه اینطوری باشه، باهات موافقم. ولی همینکه میگیم معادله ی میدان اینشتین صرفاً برای محاسبه ی مقدار خمش فضا زمانه (که به احتمال قوی هم درسته) داریم خواسته یا ناخواسته نسبیت رو محدود می کنیم. بذار یه مثال قیاسیِ بهتر بزنم. همون نظریه ی غلظتِ منو در نظر بگیر. این نظریه هم صرفاً داره مقدار غلظت فضا-زمان رو در اطراف اجرام محاسبه می کنه که این غلظت عملاً همون حکم خمش فضا-زمان توی نسبیت عام رو داره ولی نظریه ی غلظت با اینکه تغییرات غلظت رو وابسته به جرم گرانشی می دونه با این حال نمی شه قانون گرانش نیوتن رو مستقیم از اون نتیجه گرفت هر چند که پذیرشِ قانون عکس مجذور فاصله طیِ اصل هم ارزی تعمیم یافته، نقش مهمی در تعیین غلظت داره.

می خوام بگم تعاریفی مثل خمش یا غلظت یا مفاهیم مشابه، یه جورایی با هم هم ارزن و یه اثر مازادی رو دارن به فضا-زمان تحمیل می کنن بدونِ اینکه به طور خالص بتونن برای توجیه قانون عکس مجذور، فلسفه یا یک چرایی رو ارائه بدن.

نه که نسبیت عام این باشه، نسبیت خاصم که میدونی همینطوریه. الان مثلا جمع سرعتای نسبیتی، عین همون گالیله ایش هست دیگه یه ضریب بالا پایین داره، پس بگیم نسبیت خاصم ناقصه و نیاز به متمم گالیله ای داره. نشد که.

نه اینطوری نیست. با این مثال نمیشه گفت که نسبیت خاص ناقصه. نسبیت عملاً با تعریف جدید مفاهیم اساسی مثل زمان یا فضا داره دوباره جمع نسبیتی سرعت ها رو مستقل از ورژنِ نیوتنی یا گالیله ایش تعریف می کنه. ما توی تعریف نسبیتی سرعت ها، جمعِ گالیله ایشون رو به عنوان یه اصلِ ثانوی یا کمکی در نظر نمی گیریم. مثال دیگش، تعریف انرژی جنبشی نسبیتیه. اگه به یاد بیاری متوجه می شی که فُرم نسبیتی انرژی جنبشی طوریه که اصلاً به ذهن آدم خطور نمی کنه که این معادله در سرعت های پایین، همون مقدار نیوتنیش رو می ده. برای همین من فکر می کنم اتفاقاً نسبیت خاص داره مستقل از ورژنِ نیوتنیش همه ی معادلات نیوتنی رو از اساس ویرایش می کنه. به نظرت این طوری نیست؟

ضمن اینکه در نظر داشته باش، هرچند سال ها قبل از اینشتین معادلات ژئودزیک بودن و فلان، منتهی هیچ کس پا نشده بود بره ورژن معمولیش رو عمومیت بده به فضای خمیده، در واقع نسبیت عام این نیاز رو ایجاد کرد که معادلات معمولی، فرم عمومی تری بگیرند و در نتیجش نه تنها فیزیک بلکه ریاضیاتم پیشرفت کرد.

ببین من اصلاً نمی خوام نسبیت رو دست کم بگیرم. بلکه می خوام موضع این نظریه و متودولوژیش مشخص بشه.

عدم رضایت اینشتین برای این بودش که معادلاتش جهان منبسط شونده رو پیشبینی میکردن، اینشتین ایستا میخواست. یه جمله اضافه کرد به معادلش به شکل نسبتا مصنوعی به اسم ثابت کیهانی که این قضیه رو حل کنه ، ولی بدتر شد. بعدا مشخص شد که نه جهان واقعا منبسط میشه و اون ثابت کیهانم خوب چیزیه.

نه منظورم این نبود. اون متنو پیدا کردم و ظاهراً عدم رضایت اینشتین سر پیوند دادنِ معادله ی میدانش با معادلات میدان ماکسول بود.

[Paradoxy]

آهان اصلش رو که بخوای بدونی، معادله اینشتین اصلا پارامتر آزاده و مثلا با حل کردنش ما میرسیم به یه چیزی مثل K/r^2 منتهی ثوابتش رو جوری انتخاب میکنیم که با هم تای نیوتونیش بخونه، دستکم توی متریک شوارتز همچین داستانی هست. این که اون عکس مجذور فاصله از کجا ناشی میشه توی نسبیت عام اساسا به خاطر انتخاب مختصاته کرویه! دقت کن ما میتونیم مختصه هارو بهم تبدیل کنیم بدون این که معنای فیزیکی قضیه بهم بخوره، منتهی این کار رو صرفا بعد از حل معادلات اینشتین میتونیم انجام بدیم نه قبلش. اگه قبلش از اول با مختصه مثلا قطبی بریم جلو کلا به یه جواب دیگه میرسیم. دو عامل عکس مجذور فاصله میده، یکی انتخاب مختصات خاص کروی (یعنی جرممون کرویه) دو اینکه بیرون جسم، تانسور استرس انرژی تماما صفره، پس اسکالر ریچی هم میشه صفر و در نهایت ازین دو عامل میرسیم به عکس مجذور فاصله. در واقع هندسه جسمی که گرانش رو داره ایجاد میکنه و نحوه تجمع انرژی توی اون ناحیه از فضا عامل تعیین کننده شکل فرمول جاذبست. الان با یه دکتری که تخصصش توی گرانشم بود اتفاقا صحبت میکردم، میگفت الان ما نمی‌تونیم گرانش یک سکه رو محاسبه کنیم توی نسبیت عام! به خاطر هندسه خاص سکه لازمه مثلا از مختصات قطبی بریم و همین باعث میشه که روی لبه های سکه بینهایت های عجیبی پدید بیاد که باید با زور ریاضی حلش کرد که سخته و نشده هنوز بجز حالت عددی. حالا توی نیوتونی خودمون عین هلو المان المان میکنیم سکه رو و گرانش رو توی یه نقطه دلخواه با انتگرال گیری روی این المان ها حساب میکنیم. درد نسبیت عام حل معادلات دیفرانسیل ترسناکشه. فلسفی ملسفی چیزی کم نمیزاره در جای خودش
مثلا اینو بخون صفا کن: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hole_argument

[[email protected]]

والّا من که چیز زیادی از لینکی که دادی نفهمیدم. جز اینکه متریک های مختلفی برای یه منبع گرانشی میشه نوشت که ظاهراً همه هم با همدیگه هم ارزن و پارادوکسی در کار نیست. ولی روی همرفته واقعاً نمی دونم این ناوردایی دستگاه مختصات که از اصل اول نسبیت خاص هم منشأ گرفته واقعاً چرا باید اینقد جدی گرفته بشه که یه همچین داستانای پیچیده و عجیب غریبی رو به وجود بیاره!

[Paradoxy]

همون اولش رو دیدی وحشت کردی ادامش رو نخوندی؟ فلسفه نسبیت عام به خوبی توی این لینک دیده میشه، مثلا زیر بخش Einstein's resolution، خود اینشتین راه حلش برای این پارادوکس رو deepest insight of general relativity میدونه! ببین داستان این جاست که وقتی شما یک معادله دیفرانسیل حساب میکنی، مجموعه ای از جواب ها رو بدست میاری. حالا اگه شرایط مرزی رو بزاری، یک جواب یکتا میگیری که میتونه (فرضا) حرکت ذره یا موج رو در هر لحظه ای از آینده بهت بگه. منتهی همیشه اینطوری نیست، مثلا بردار پتانسیل مغناطیسی ای که توی معادلات ماکسول هستش رو دیده باشی، جواب یکتا نداره حتی با شرایط مرزی خاص. شما میتونی بهش به هر اندازه که میخوای (بازم فرضا) مقدار ثابت اضافه کنی بدون این که فیزیک قضیه (یعنی خود میدان مغناطیسی) رو بهم زده باشی. بسته به اون پیمانه ای که انتخاب میکنی جواب های متنوعی میگیری برای پتانسیل مغناطیسی، اونم تازه توی یک نقطه از فضا! برای معادلات اینشتینم همچین داستانی هست، یعنی متریکای مختلفی بدست میاد، این متریکا مجموعه مقادیر متفاوتی رو پیش بینی می کنند و ...؟ نشد که! بالاخره چه هندسه ای به فضا حاکمه؟ بالاخره شدت میدان گرانشی مثلا در فلان نقطه چقدره؟ نمیشه که مجموعه متفاوتی از جوابها همزمان درست باشه. اینه پارادوکسی که سه سال اینشتین رو مشغول خودش کرد. اول اینشتین زور زد که معادلات رو از این حالت ناوردا بودن بکشه بیرون و جواب یکتا گیر بیاره، دید نمیشه، بعد دیدش رو نسبت به قضیه عوض کرد.

Einstein realized that the hole argument makes an assumption about the nature of spacetime: it presumes that there is meaning to talking about the value of the gravitational field (up to mere coordinate transformations) at a spacetime point defined by a spacetime coordinate — more precisely, it presumes that there is meaning to talking about physical properties of the gravitational field, for example if it is either flat or curved (this is a coordinate independent property of the gravitational field), at a spacetime point. By dropping this assumption, general covariance became compatible with determinism

و در نتیجه اینطوری حلش کرد

All our space-time verifications invariably amount to a determination of space-time coincidences. If, for example, events consisted merely in the motion of material points, then ultimately nothing would be observable but the meeting of two or more of these points

یا به زبان ساده تر کارلو رولی

The stage disappears and becomes one of the actors"; space-time as a 'container' over which physics takes place has no objective physical meaning and instead the gravitational interaction is represented as just one of the fields forming the world.

خب فلسفه نسبیت عام و موضعش نسبت به فضا چیه؟ چیزی به نام فضا، با معنای فیزیکی حقیقی که اجرام رو در خودش جا داده باشه وجود نداره. تنها چیزی که معنای فیزیکی داره، برهمکنش بین گرانش و ذره ایه که توی میدان گرانشی قرار گرفته. به عبارت دیگه اصلا چیزی به اسم فضا در نسبیت عام نداریم. فقط ماده داریم و برهمکنشش با میدانای دیگه. نسبیت خاص مرجع مطلق رو ریخت دور، نسبیت عام خود فضا در معنای رایج خودش رو کنار گذاشت و تبدیلش کرد به یک چیز نسبی. مثل مراجع لخت نسبیت خاص. جالبه یه تاپیک زده بودم تحت عنوان رد فرضیه نقطه ای:
viewtopic.php?f=2&t=35214
اون موقع که نسبیت عام نخونده بودم هنوز. من حرفم توی اون تاپیک این بودش که فضای مطلقا خالی هم انقباض طول پیدا میکنه؟ ظاهرا نه چون پارادوکس میوئون داریم اونوقت. خب پس کافیه سه تا سیاره ساکن نسبت بهم داشته باشیم تا یه چارچوب مطلق بر پایه خود فضا بسازیم. خود سیارات سازنده این چارچوب ممکنه نسبت به ناظرا متحرک باشند (و در نتیجه سایز خودشون منقبض بشه)، اما نکته ای که راجبشون هست اینه که فاصله بینشون که فضای خالیه باید از دید همه ناظرا یکی باشه، چون فضای مطلقا خالی قراره منقبض نشه. ودر نتیجه میتونم روی این فاصله فضایی نقطه گذاری انجام بدم و این بشه مبنای محاسباتم.
الان این hole argument قشنگ جواب تاپیک رو میده، شما حتی برای این نقاط، و فواصل بینشون پاسخ های مختلفی میگیری طبق نسبیت عام، کدوم رو میخوای انتخاب کنی وقتی هیچ کدوم به دیگری ارجحیت نداره؟ مطابق کدوم میخوای سرعت بسنجی و فلان؟

[[email protected]]

آهان اصلش رو که بخوای بدونی، معادله اینشتین اصلا پارامتر آزاده و مثلا با حل کردنش ما میرسیم به یه چیزی مثل K/r^2 منتهی ثوابتش رو جوری انتخاب میکنیم که با هم تای نیوتونیش بخونه، دستکم توی متریک شوارتز همچین داستانی هست. این که اون عکس مجذور فاصله از کجا ناشی میشه توی نسبیت عام اساسا به خاطر انتخاب مختصاته کرویه!

ببین یه اثبات ریاضی-محورِ ساده برای قانون عکس مجذور وجود داره که بی ربط به دستگاه مختصات کروی نیست.

الان با یه دکتری که تخصصش توی گرانشم بود اتفاقا صحبت میکردم، میگفت الان ما نمی‌تونیم گرانش یک سکه رو محاسبه کنیم توی نسبیت عام! به خاطر هندسه خاص سکه لازمه مثلا از مختصات قطبی بریم و همین باعث میشه که روی لبه های سکه بینهایت های عجیبی پدید بیاد که باید با زور ریاضی حلش کرد که سخته و نشده هنوز بجز حالت عددی.

خوب ببینم این بی نهایت ها برای لبه ی سکه در نهایت حذف می شن یا نه؟ یا مثلاً برای فواصل دور از مرکزِ سکه (استوانه) آیا به همون قانون ساده ی عکس مجذور می رسیم یا نه؟ (البته قاعدتاً باید جواب این سوالا از دید نسبیت مثبت باشه)

حالا توی نیوتونی خودمون عین هلو المان المان میکنیم سکه رو و گرانش رو توی یه نقطه دلخواه با انتگرال گیری روی این المان ها حساب میکنیم.

توی همین حالتِ نیوتنی هم خیلی وقتا محاسبات دشوار میشه. یعنی با انتگرال گیری روی المان ها ما به توابعی پیچیده برای خیلی از اشکال هندسی می رسیم که چگالی جسم یا ابعادِ اون توی رابطه ی شتاب دیده میشن، یا بعضی وقتا هم تابع اولیه وجود نداره و باید به روش های عددی متوسل شد. می خوام بگم شبیهِ این دردِ سرا توی مکانیک نیوتنی هم وجود داره.

فلسفی ملسفی چیزی کم نمیزاره در جای خودش

به نظر من نمیشه به راحتی در این زمینه نظر داد. تشخیص "فلسفه" یا داشتنِ نگرش فلسفی یا وضع اصول موضوعه ی فلسفی برای یه نظریه کار چندان ساده ای نیست. من معتقدم که توی نسبیت عام، فقط و فقط "اصل هم ارزی" از غنای فلسفی کافی برخورداره و بقیه ی چیزا بیشتر جنبه ی ریاضی دارن تا فیزیکی-فلسفی و متأسفانه چون موضعِ اصل هم ارزی و لزومِ پذیرشِ اون برای فرمولبندی نسبیت عام چندان شفاف نیست، من از این لحاظ نسبت به عمقِ فلسفی نسبیت عام (حداقل به اون شکلی که مورد قبول جامعه ی آکادمیکه) تردید دارم.