فاصله ی بین نقاطِ شتابدار از دیدِ ناظران لَخت (سوالی نسبیتی)

[Paradoxy]

لاقل یه دور بخون ببین چی نوشتم، کجا گفتم شتاب یک پدیده ست؟ برعکس، شتاب مجموعه ای از پدیده هاست و با یک رویداد قابل توصیف نیست. من گفتم زیاد شدن لحظه ای سرعت، در یک لحظه و مکان به خصوص رو رویداد میگیریم. مثلا از مبدا زمانی، تا اندکی بعدش. از اندکی بعدش تا اندکی بعدترش و الا آخر. حالا وقتی زیاد شدن لحظه‌ای سرعت بین دو ناظر رو مقایسه میکنیم میبینیم که یک ناظر میگه همزمان سرعت اینا زیاد میشه(هرچند اختلاف سرعت بین دو موشک داریم از دید این ناظر)، اون یکی میگه خیر. حتی مثال شهودی زدم که اگر خود موشک ها اعلام کنند افزایش سرعتشون رو در هر لحظه، مثلا با یک فلش، اون موقع از دید B فلش ها همزمان نمیشه. حالا دوست داری اسمش رو طوطی وار بزار.

اشکال منطقی هم گفتم، موشکت نقطه ای باشه دیگه سیگنالی از بمب انتهایی به بعدی و ... نداریم، فرض بی موردی کردی. یک بمب کافیست.

اصلا شما حالت ساده تر رو در نظر بگیر برای این مسئله که از دید A همزمان نور ها به موشک ها میرسن، بنابرین باهم شتاب میگیرن و فاصله بینشون ثابت باقی میمونه. از دید B اگه شتاب دو موشک در لحظه اولیه متفاوت نباشه، به علت این که موشک ها ناهمزمان شروع میکنند به شتاب گرفتن، فاصله بینشون تغییر میکنه و مثلا بزرگتر میشه هر لحظه که بدیهیه غلطه.

[[email protected]]

اشکال منطقی هم گفتم، موشکت نقطه ای باشه دیگه سیگنالی از بمب انتهایی به بعدی و ... نداریم، فرض بی موردی کردی. یک بمب کافیست.

خیر! یک بمب کافی نیست. چون فرض کردیم که هر بمب در زمانِ بی نهایت کوچک، و با شتابی بینهایت بزرگ، به جسم یه سرعتِ ثابت می ده. توالی و تعدّدِ این بمب هاست که تداعی حرکت شتابدار رو می کنه. فرض من هم بی مورد نیست چون یه موشکِ واقعی سازو کاری داره که نمیشه اونا رو توی یه نقطه جمع کرد ولی میشه به سمت صفر مِیلش داد. در ضمن، من تفسیر شما رو هم از ماجرا باز به صورت شهودی نشون دادم ولی بهش توجه نکردی. گفته ی شما وقتی درسته که بمب ها با سیگنال های درونی نترکن، بلکه ناظرِ A با فرستادنِ سیگنال های متوالی اون ها رو منفجر کنه.

اصلا شما حالت ساده تر رو در نظر بگیر برای این مسئله که از دید A همزمان نور ها به موشک ها میرسن، بنابرین باهم شتاب میگیرن و فاصله بینشون ثابت باقی میمونه. از دید B اگه شتاب دو موشک در لحظه اولیه متفاوت نباشه، به علت این که موشک ها ناهمزمان شروع میکنند به شتاب گرفتن، فاصله بینشون تغییر میکنه و مثلا بزرگتر میشه هر لحظه که بدیهیه غلطه.

خیر! غلط بودنش اصلاً بدیهی نیست. چون طبق تصویر سازیِ من، واقعاً فاصله ی بینِ موشک ها از دید B توی این مثالت تغییر می کنه. مگر اینکه بتونی ایراد معقول از تصویرسازیِ من بگیری. این ایرادایی که گفتی چندان معقول نیست.
.
.
راجع به این مسئله از دوستان کسی نظری نداره؟

[Rahmani]

نظرتون در باره این تحلیل چیه؟
از دید ناظر A صرف نظر از اینکه سرعت ثابت نهایی چی باشه، موشک قرمز از نظر مکانی به اندازه [tex]\Delta{x}=d[/tex] و از نظر زمانی به اندازه
[tex]\Delta{t} = \frac{p-q}{c}[/tex] از موشک مشکی جلوتره. یعنی اگر موشک قرمز الان در موقعیت x باشه،[tex]\Delta{t}[/tex] ثانیه بعد موشک مشکی به موقعیت [tex]x - \Delta{x}[/tex] میرسه.
مطابق فرض مسئله سرعت نسبی دو ناظر رو میگیریم [tex]u = \frac{p-q}{p+q}*c[/tex] که معادل میشه با: [tex]u = \frac{\Delta{t}}{\Delta{x}}*c^2[/tex]

مطابق رابطه لورنتس میدونیم که از دید ناظر B، وقتی یک نقطه، x بیشتری در دستگاه A داشته باشه (به ناظر B نزدیکتر باشه)،دارای تاخیر نسبی هست و فاصله مکانی [tex]\Delta{x}[/tex] تاخیری به اندازه [tex]\Delta{x} * u / c^2[/tex] ایجاد میکنه و با توجه به مقدار u، اندازش میشه همون [tex]\Delta{t}[/tex].
پس ناظر B نقطه ای رو که در دستگاه A به اندازه [tex]\Delta{x}[/tex] نزدیک تر باشه رو به اندازه [tex]\Delta{t}[/tex] با تاخیر میبینه. یعنی به موشک قرمز دقیقا به اندازه ای که تعجیل داشت، تاخیر میده و [tex]\Delta{t}[/tex] ثانیه قبلش رو میبینه درحالیکه موشک مشکی رو در وضعیت فعلی و بدون تاخیر میبینه(با فرض حذف آفست زمانی مشترک بین دو موشک).
با توجه به اینکه همیشه موشک قرمز، [tex]\Delta{t}[/tex] ثانیه قبل، [tex]\Delta{x}[/tex] متر جلو تر از جای فعلی موشک مشکی بوده، فاصله دو موشک از دید ناظر B ثابت میمونه.

[Paradoxy]

اشکال منطقی هم گفتم، موشکت نقطه ای باشه دیگه سیگنالی از بمب انتهایی به بعدی و ... نداریم، فرض بی موردی کردی. یک بمب کافیست.

خیر! یک بمب کافی نیست. چون فرض کردیم که هر بمب در زمانِ بی نهایت کوچک، و با شتابی بینهایت بزرگ، به جسم یه سرعتِ ثابت می ده. توالی و تعدّدِ این بمب هاست که تداعی حرکت شتابدار رو می کنه. فرض من هم بی مورد نیست چون یه موشکِ واقعی سازو کاری داره که نمیشه اونا رو توی یه نقطه جمع کرد ولی میشه به سمت صفر مِیلش داد. در ضمن، من تفسیر شما رو هم از ماجرا باز به صورت شهودی نشون دادم ولی بهش توجه نکردی. گفته ی شما وقتی درسته که بمب ها با سیگنال های [b]درونی نترکن، بلکه ناظرِ A با فرستادنِ سیگنال های متوالی اون ها رو منفجر کنه. [/b]

اصلا شما حالت ساده تر رو در نظر بگیر برای این مسئله که از دید A همزمان نور ها به موشک ها میرسن، بنابرین باهم شتاب میگیرن و فاصله بینشون ثابت باقی میمونه. از دید B اگه شتاب دو موشک در لحظه اولیه متفاوت نباشه، به علت این که موشک ها ناهمزمان شروع میکنند به شتاب گرفتن، فاصله بینشون تغییر میکنه و مثلا بزرگتر میشه هر لحظه که بدیهیه غلطه.

خیر! غلط بودنش اصلاً بدیهی نیست. چون طبق تصویر سازیِ من، واقعاً فاصله ی بینِ موشک ها از دید B توی این مثالت تغییر می کنه. مگر اینکه بتونی ایراد معقول از تصویرسازیِ من بگیری. این ایرادایی که گفتی چندان معقول نیست.
.
.
راجع به این مسئله از دوستان کسی نظری نداره؟

حالا خوبه نوشتم موشک ها سیگنال همزمان به A میفرستند و نه A به اونا! دلیلشم اینه که فرض کردی شتاب هردو توی چارچوب A یکسان اندازه گیری میشه.
نسبیت هیچ کاری به طول موشک و واقع گرایانه بودن اون نداره. ناظرا همیشه نقطه ای فرض میشن در نسبیت، همیشه و همیشه. شما چارچوب دستگاه مختصاتیت رو حول یک نقطه میتونی بسازی، نه حول یک موشک کامل. و جوابیم به اشکالم ندادی، اینکه در عمل نمیشه یه نقطه ایجاد کرد هیچ اهمیتی نداره، به حد کافی میشه موشک رو کوچک گرفت بمب رو بزرگ. اصلا ناظرم فرضشون نکن.

بدیهی نیست؟ یعنی واقعا متوجه پارادوکسیکال بودن این حالت نیستی؟!

[Paradoxy]

نظرتون در باره این تحلیل چیه؟
از دید ناظر A صرف نظر از اینکه سرعت ثابت نهایی چی باشه، موشک قرمز از نظر مکانی به اندازه [tex]\Delta{x}=d[/tex] و از نظر زمانی به اندازه
[tex]\Delta{t} = \frac{p-q}{c}[/tex] از موشک مشکی جلوتره. یعنی اگر موشک قرمز الان در موقعیت x باشه،[tex]\Delta{t}[/tex] ثانیه بعد موشک مشکی به موقعیت [tex]x - \Delta{x}[/tex] میرسه.
مطابق فرض مسئله سرعت نسبی دو ناظر رو میگیریم [tex]u = \frac{p-q}{p+q}*c[/tex] که معادل میشه با: [tex]u = \frac{\Delta{t}}{\Delta{x}}*c^2[/tex]

مطابق رابطه لورنتس میدونیم که از دید ناظر B، وقتی یک نقطه، x بیشتری در دستگاه A داشته باشه (به ناظر B نزدیکتر باشه)،دارای تاخیر نسبی هست و فاصله مکانی [tex]\Delta{x}[/tex] تاخیری به اندازه [tex]\Delta{x} * u / c^2[/tex] ایجاد میکنه و با توجه به مقدار u، اندازش میشه همون [tex]\Delta{t}[/tex].
پس ناظر B نقطه ای رو که در دستگاه A به اندازه [tex]\Delta{x}[/tex] نزدیک تر باشه رو به اندازه [tex]\Delta{t}[/tex] با تاخیر میبینه. یعنی به موشک قرمز دقیقا به اندازه ای که تعجیل داشت، تاخیر میده و [tex]\Delta{t}[/tex] ثانیه قبلش رو میبینه درحالیکه موشک مشکی رو در وضعیت فعلی و بدون تاخیر میبینه(با فرض حذف آفست زمانی مشترک بین دو موشک).
با توجه به اینکه همیشه موشک قرمز، [tex]\Delta{t}[/tex] ثانیه قبل، [tex]\Delta{x}[/tex] متر جلو تر از جای فعلی موشک مشکی بوده، فاصله دو موشک از دید ناظر B ثابت میمونه.

در حالی که فاصلشون نباید ثابت بمونه در تمامی لحظات از دید B. چون فاصله موشک ها از دید A هر لحظه بزرگ و بزرگتر میشه، و در نتیجه این امکان پذیر نیست که از دید B فاصله ثابت بمونه. خود این پارادوکسیکاله. شما توجه کن که هرچند شتاب اینا یکیه، به دلیل تاخیر زمانی، موشک قرمز یک سرعت نسبی نسبت به موشک سیاه پیدا میکنه، و گرچه موشک سیاه میخواد با شتابش این سرعت رو بپشونه، موشک قرمزم شتاب داره و این اجازه رو بهش نمیده. در نتیجه شما میتونی اینطوری تصور کنی که انگار موشک سیاه ساکنه و موشک قرمز با سرعتی که به واسطه تاخیر زمانیش پیدا کرده داره دور میشه از سیاه.
پارادوکسیکال بودنشم با اضافه کردن یک فنر بین دو موشک، با ضریب سختی اندک میشه درک کرد. از دید B کش نمیاد، از دید اون یکی چرا. بنابرین از دید A یه روز فنر پاره میشه از دید B خیر.

[[email protected]]

پس ناظر B نقطه ای رو که در دستگاه A به اندازه نزدیک تر باشه رو به اندازه با تاخیر میبینه. یعنی به موشک قرمز دقیقا به اندازه ای که تعجیل داشت، تاخیر میده و ثانیه قبلش رو میبینه درحالیکه موشک مشکی رو در وضعیت فعلی و بدون تاخیر میبینه(با فرض حذف آفست زمانی مشترک بین دو موشک).
با توجه به اینکه همیشه موشک قرمز، ثانیه قبل، متر جلو تر از جای فعلی موشک مشکی بوده، فاصله دو موشک از دید ناظر B ثابت میمونه.

ممکنه این تعبیرتون درست باشه! ولی به نظرِ من برای استفاده از تبدیلاتِ لورنتس بهتره توی همون تبدیلات معمولی لورنتس، مقدار ایکس رو "یک دوم آ تی دو" قرار بدیم و مستقیم مقدار x برای هر نقطه رو به دست بیاریم، من وقت نداشتم تایپ کنم ولی بخشی از کتابِ دومِ خودم که درگیرِ نگارششم رو اینجا قرار می دم تا محاسبات مربوط به مقدار فاصله ای که ناظر B (فاصله از خودش) در هر لحظه ی 't برای موشکِ سیاه می بینه رو نشون بدم. (البته دقت کنید که این بخش از کتاب، کلّاً مربوط به مسئله ی دیگه ای هست ولی این بخشش، تشابهی با مسئله ی مطرح شده توی این جستار داره.) فقط توی این محاسبات دقت کنید که a'=a همون شتابی هست که ناظرِ A اندازه گیری می کنه و فرض شده که مبداءِ زمانی و مکانی برای ناظر B درست در لحظه و مکانی باشه که ناظرِ B در کنارِ موشک سیاه قرار گرفته و فوتون هم در همون لحظه به موشک رسیده. جای کمیت های پریم دار رو با بدونِ پریم توی معادلات زیر عوض کنید و فرض کنید که بدونِ پریم ها مربوط به A و پریم دارها مربوط به B هستن.

صرفاً می خواستم روش استفاده ی صحیح از تبدیلات لورنتس رو تویِ حلِ این مسئله یاد آور بشم. البته من محاسبات کامل رو انجام ندادم ولی فکر می کنم که اگه مقدار فاصله ی موشک قرمز از ناظر B رو هم طبق این محاسبات انجام بدیم، متوجه می شیم که در هر زمانِ دلخواهِ 't به ساعتِ ناظرِ B، فاصله ی موشک ها ثابت می مونه. باید محاسبات دقیقش رو خودم انجام بدم.

بنابراین آیا شما نهایتاً قایلید که نسبیت در توضیحِ نقاط شتابدار مشکل داره؟

فاصله ی شتابدار3-هوپا.PNG

پارادوکسیکال بودنشم با اضافه کردن یک فنر بین دو موشک، با ضریب سختی اندک میشه درک کرد. از دید B کش نمیاد، از دید اون یکی چرا. بنابرین از دید A یه روز فنر پاره میشه از دید B خیر.

خیر! به این سادگی نمیشه پارادوکسیکال بودنِ این قضیه رو ثابت کرد. چون اتفاقاً از دیدِ B هم (با اینکه فاصله ی موشک ها ثابت می مونه) فنر کِش میاد. بخاطر اینکه فنر از دید ناظرِ B به علت اینکه شتابدار حرکت می کنه، مثلاً با ضریب لورنتسِ لحظه ایش کوتاه میشه که این باعثِ کوتاه شدنِ فنر و متعاقباً کش اومدنش میشه. پارادوکسِ بِل رو لطفاً مکرراً بخون. مگر اینکه با محاسبات دقیق نشون بدی که مثلاً مقدارِ تنشِ داخلِ فنر ها از دید ناظرا متفاوته که این هم کارِ خیلی سختیه. من آزمایش فکریِ ساده تری رو طراحی کردم که این تناقض رو بهتر نشون می ده.

[Paradoxy]

لحظه رسیدن نور به موشک سیاه از دید A رو در مبدا زمانی A فرض کردم. در نتیجه سرعت موشک سیاه درون لحظه صفر هست از دید A و معادله حرکتش فقط یک دوم آ تی دو میشه.
نکته: اما نور ها به موشکا با اختلاف زمانی p-q/c میرسند، در نتیجه در طول این مدت زمان، موشک قرمز به سرعت v میرسه، و بعد تازه موشک سیاه حرکتش رو آغاز میکنه. در نتیجه وقتی معادله حرکت قرمز رو مینویسیم باید دقت داشته باشیم که سرعت اولیش با توجه به این مبدا زمانی به خصوصی که من انتخاب کردم میشه v، پس یه وی تی هم اضافه میشه به معادله حرکت موشک قرمز.
معادله های حرکت رو اول از دید A نوشتم، بردم توی چارچوب B و نشون دادم که از دید B هم فاصله این دو متغیر میشه.
رد کنید.
ضمنن q رو هم نمیشه صفر گذاشت چون با تعریف اولیه ای که قراره داستان همزمانی به وجود بیاره به تناقض میخوره.
نکته۲: رابطه ای که نوشتم مربوط به فاصله مختصاتی دو رویداد هست و نه فاصله ای که اگر خطکش بزاریم بین دو موشک از دید B مشاهده میکنیم. به عبارت دیگه، اگر ناظر B یک عکس بگیره از دو موشک و فاصله اون دورو در یک زمان مشخص و همزمان اندازه بگیره روابط به این صورت در میان:

اگر B همزمان به دو موشک نگاه کنه فاصله بینشون رو رابطه نهایی عکس دوم میبینه. در حالی که در رابطه آخر عکس اول، اینطور فرض شده که مکان دو موشک همزمان توسط A دیده شده و حالا رفتیم توی چارچوب B.
مقیاس دقیق تر و با معنی تر فاصله دو موشک از دید B، رابطه آخر عکس دوم هست. چون طول خطکش بین دو نقطه همزمان از دید هر ناظر تعریف میشه.

ویرایش: من یه جمله برای xr جا انداختم که ناشی از جا به جاییش در طول زمان p-q/c هست. بهرحال چون اون جمله صرفا یک ثابت اضافه میکنه به معادله xr نتیجه نهایی که دنبال ثابت کردنش بودم، (متغیر بودن فاصله موشک ها از دید B) هم چنان پابرجاست، یه عدد ثابت بهش اضافه میشه.

[Rahmani]

بنابراین آیا شما نهایتاً قایلید که نسبیت در توضیحِ نقاط شتابدار مشکل داره؟

ناظر B در درباره شتابگیری دو موشک، با ناظر A هم عقیدست و تفاوت دید ناظر های مختلف در اینه که چه موشکی زود تر شتاب گرفته.
این موضوع در رخداد های بدون شتاب هم وجود داره و اگر بخوایم بگیم این یک پارادوکسه، باید به نسبیت همزمانی ایراد بگیریم.

[assarzadeh]

سلام آقای جوانشیری

معادلات نشون می ده که ظاهراً ناظرِ A می تونه با دستکاریِ شتابِ a و فاصله ی xA موشک ها رو همواره به یه سرعتِ ثابتِ v برسونه درحالی که در هر دستکاری، مقادیر متفاوتی رو برای فاصله ی نهاییِ بین موشک ها محاسبه کنه! و این هم در حالیه که ناظرِ B به ازاءِ دستکاریِ a و dx هیچ تغییری رو در فاصله ی نهاییِ موشک ها محاسبه نمی کنه. (لطفاً رویِ این موضوع بیشتر فکر کنید تا متوجه معیوب بودنِ این نتیجه گیری بشید.) ایرادِ کار کجاست؟

متوجه نمیشم ایراد کار کجاست. چه پارادوکسی به وجود میاد؟

[[email protected]]

متوجه نمیشم ایراد کار کجاست. چه پارادوکسی به وجود میاد؟

سلام آقای عصارزاده
ببینید من این قضیه رو هنوز دارم بررسی می کنم و به قطعیتی نرسیدم ولی این جریان، کاملاً مشکوکه از این لحاظ که:
ناظرِ A ظاهراً می تونه به ازاءِ a و dx های متفاوت، فاصله ی بین دو موشک (d) رو تغییر بده بدونِ اینکه سرعت نهاییِ موشک ها بازاءِ این a و dx های متفاوت، تغییر کنه. در اینصورت، بعد از اینکه موشک ها به سرعت ثابت رسیدن، نسبتِ فاصله ی موشک ها از دیدِ دو ناظر، مقادیر متفاوتی می تونه بگیره که نامعقوله. و این در حالیه که در هر حالت، سرعتِ نهاییِ موشک ها از دید هر یک از ناظرها یکسان هست. یا به عبارتی این موضوع داره نشون می ده که نسبیت خاص، به طور دقیق نمی تونه ادعا کنه که نسبتِ بینِ فاصله های متحرک از دیدِ ناظران لخت، صرفاً به تابعِ گاما یا همون ضریبِ لورنتس ناشی از سرعت هاشون وابسته ست. البته من باید اول مطمئن بشم که ناظرِ A مثلاً با افزایشِ dx و همزمان، کاهش مقدارِ a می تونه موشک ها رو به سرعت های یکسانی برسونه. اگه واقعاً این امکان وجود داشته باشه، میشه با طراحی یه مسئله ی دقیق، که فعلاً مطرحش نمی کنم به پارادوکس توی نسبیت رسید، یعنی رویدادی رو تعریف کرد که از دیدِ A حتماً رخ می ده ولی از دیدِ B هرگز رخ نمی ده.

[Paradoxy]

ظاهرا در درک شهودی معادلاتی که من بالا نوشتم برای بعضیا مشکل وجود داره. برای همین ساده تر توضیح میدم:
فرض کنیم مبدا زمانی A، در لحظه شلیک کردن فوتون ها باشه.
از دید A بعد از گذشت زمان q/c موشک قرمز به حرکت میوفته که با معادله حرکت xr توصیف میشه و بعد از گذشت زمان p/c، موشک سیاه راه میوفته که با معادله xb توصیف میشه. پس داریم:


جلوی هر معادله، زمانی که اون معادله درش صادق هست رو قید کردم. در ادامه، یک تغییر متغییر دادم (که توی پست قبل به عنوان تغییر مبدا زمانی ازش یاد کرده بودم) و معادلات رو به شکل ساده تر شده ای نوشتم. معادله آخرم با چیزی که توی پست قبل نوشتم فرقی نداره و اساسا یکی هست. بعدم یه تبدیل لورنتس زدم که نمیدونم چطوری باید بهش «درک شهودی» ببخشم. اما نتیجه انکار ناپذیرش، متغییر بودن فاصله موشک ها از دید B هست.

همونطور که بالاترم توضیح دادم از دید A، چون موشک قرمز زودتر راه میوفته، به یه سرعت مثلا v ای میرسه و بعد تازه موشک سیاه شتاب میگیره و حرکتش رو شروع میکنه. در نتیجه یک سرعت نسبی بین دو موشک از دید A وجود داره که سبب ازدیاد یا کم شدن فاصله دو موشک میشه. در اینجا سبب ازدیاد هست. از دید B هم این سرعت نسبی، بین دو موشک به وجود میاد اما نه به واسطه ناهمزمانی شروع حرکت موشک ها، بلکه به علت اختلاف در اندازه شتابی که هر موشک میگیره. یعنی هرچند همزمان اینا شروع میکنند به حرکت، با شتابای متفاوتی هستند و بنابراین سرعت نسبی بینشون پدید میاد. دوست داشتید جواب بدید.

[Rahmani]

همزمانی از دید B هم که لازم نیست.

[Paradoxy]

همزمانی از دید B هم که لازم نیست.

چرا دیگه همزمانی شروع حرکت از دید B لازمه چون [email protected] در پست اولش اینطوری فرض کرد که:


فرض کنید که ناظرِ دیگه ای (B) با سرعتِ ثابتِ u به صورتی که توی شکل زیر نشون داده شده، بر فراز و در راستای علامت ها و موشک ها داره حرکت می کنه. میشه ثابت کرد که اگه pA و qA نسبتی رو که در شکل نشون داده شده، داشته باشن، از دیدِ ناظرِ B، برعکسِ ادعای ناظرِ A، رسیدنِ سیگنال های نوری و شتابگیری موشک ها هم زمان هست.

مگه همزمانی دیگه ای منظور باشه.

[Rahmani]

چرا دیگه همزمانی شروع حرکت از دید B لازمه چون [email protected] در پست اولش اینطوری فرض کرد که:

فرض کنید که ناظرِ دیگه ای (B) با سرعتِ ثابتِ u به صورتی که توی شکل زیر نشون داده شده، بر فراز و در راستای علامت ها و موشک ها داره حرکت می کنه. میشه ثابت کرد که اگه pA و qA نسبتی رو که در شکل نشون داده شده، داشته باشن، از دیدِ ناظرِ B، برعکسِ ادعای ناظرِ A، رسیدنِ سیگنال های نوری و شتابگیری موشک ها هم زمان هست.

مگه همزمانی دیگه ای منظور باشه.

شما یک مقدار t یکسان در معادله حرکت موشکهای قرمز و سیاه گذاشتید. دستگاه مرجع این معادلات هم دستگاه A هست. درنتیجه مقادیر Xr , Xb که بدست آوردید مربوط به یک زمان واحد از دید A هست.
برای محاسبه طول از دید ناظر B باید دو مقدار مختلف t1 و t2 رو در معادلات حرکت دو موشک قرار بدید به شکلی که رابطه
[tex]t'=\gamma * (t1+u/c^2*x1)=\gamma * (t2+u/c^2*x2)[/tex] برقرار باشه.

[Rahmani]

ناظرِ A ظاهراً می تونه به ازاءِ a و dx های متفاوت، فاصله ی بین دو موشک (d) رو تغییر بده بدونِ اینکه سرعت نهاییِ موشک ها بازاءِ این a و dx های متفاوت، تغییر کنه. در اینصورت، بعد از اینکه موشک ها به سرعت ثابت رسیدن، نسبتِ فاصله ی موشک ها از دیدِ دو ناظر، مقادیر متفاوتی می تونه بگیره که نامعقوله. و این در حالیه که در هر حالت، سرعتِ نهاییِ موشک ها از دید هر یک از ناظرها یکسان هست. یا به عبارتی این موضوع داره نشون می ده که نسبیت خاص، به طور دقیق نمی تونه ادعا کنه که نسبتِ بینِ فاصله های متحرک از دیدِ ناظران لخت، صرفاً به تابعِ گاما یا همون ضریبِ لورنتس ناشی از سرعت هاشون وابسته ست.

اگر از زمان شتابگیری صرف نظر کنیم چه تغییری ایجاد میشه؟ فرض کنید نقطه ای که با ضربدر سیاه مشخص کردید رو مبدا مختصات بگیریم. موشک قرمز از نقطه ای که با ضربدر قرمز مشخص کردید ( با فاصله d از مبدا)، با سرعت دلخواه ثابت v شروع به حرکت کنه. و موشک سیاه هم در لحظه [tex]\Delta{t}=(p-q)/c[/tex] از نقطه مبدا (ضربدر سیاه) با همون سرعت ثابت v شروع به حرکت کنه (یا دو موشک از قبل سرعت v رو داشته باشند و از دید A ، در لحظات گفته شده، در اون دو نقطه دیده بشن).

باز هم صرف نظر از مقداری که برای سرعت v انتخاب کردید، ناظر B موشکها رو هم فاصله میبینه. فقط کافیه که سرعت بین دو ناظر [tex]u=\frac{p-q}{d}*c[/tex] باشه.