به لطف خدا تونستم یه مسئله ای رو طراحی کنم که البته در صورت درستیِ محاسباتم، تناقضی رو توی نسبیت نشون می ده. ولی قبل از این که به مسئله ی اصلی بپردازم، یه مسئله ی دیگه که در اصل یه شبهِ پارادوکس هست رو اینجا طراحی و حل می کنم تا دوستان با روش حل این جور مسایل آشنا بشن.
فرض کنید بار الکتریکی $q^\prime$ (بدون جرم) با سرعت ثابتِ $u$ (در راستای $x^\prime$) نسبت به ناظر $A$ و درون دو میدان متعامدِ الکتریکی و مغناطیسی $E^\prime_{y^\prime}=E^\prime$ و $B^\prime_{z^\prime}=B^\prime$ در حال حرکته. دستگاه مختصات $x^\prime y^\prime z^\prime$ راستگرد و متصل به ناظر $A$ هست. (به شکل زیر نگاه کنید) تنها شرط لازم برای اینکه ناظر $A$ مشاهده کنه که بار الکتریکی مذکور در حین حرکت با سرعت $u$ به بالا و پایین منحرف نمیشه اینه که نیروهای الکتریکی و مغناطیسی، همدیگه رو خنثی کنن یا به عبارتی باید شرط زیر برقرار باشه:
(1) $$F^\prime_E=F^\prime_B \rightarrow E^\prime_{y^\prime} q^\prime=q^\prime u B^\prime_{z^\prime} \rightarrow E^\prime = u B^\prime$$
حالا فرض کنید که کل این سیستم نسبت به ناظر $D$ در حال حرکت با سرعت ثابت $v$ در راستای $x$ هست. اگر نسبیت بخواد پارادوکسیکال نباشه، باید از دید ناظر $D$ هم انحرافی برای مسیر بار الکتریکی رخ نده یا به عبارتی از دید $D$ باید همچنان برایند نیروهای وارد بر $q^\prime$ در راستای $y$ صفر باشه. ولی واقعیت اینه که ناظر $D$ وضعیت پیچیده تری رو برای میدان ها می بینه. این ناظر طبق تبدیلات لورنتس مقادیر زیر رو برای میدان های الکتریکی و مغناطیسی محاسبه می کنه:
(2) $$E_y=\gamma_v (E^\prime + vB^\prime)$$
(3) $$B_z=\gamma_v [B^\prime + (v/c^2)E^\prime]$$
اما نکته ی مهمِ دیگه اینه که بار $q^\prime$ با سرعت نسبیتی $w$ که عملاً از جمع نسبیتی سرعت ها پیروی می کنه، داره از ناظر $D$ دور میشه که از رابطه ی زیر به دست میاد:
(4) $$w=\frac{v+u}{1+uv/c^2}$$
یا به عبارتی $D$ ادعا می کنه که بار $q^\prime$ داره با سرعت $w$ داخل میدان های الکتریکی و مغناطیسی فوق حرکت می کنه. از طرفی چون توی نسبیت مقدار بار الکتریکی از دید همه ی ناظرا کمیتی ناورداست (بدون تغییره)، این ناظر شرط تعادل نیروها در راستای $y$ رو به شکل زیر می نویسه:
(5) $$F_E=F_B \rightarrow E_y q^\prime =q^\prime w B_z \rightarrow E_y = w B_z $$
با جایگذاری معادلات 2 و 3 در معادله ی 5 به دست میاریم:
(6) $$E_y = w B_z \rightarrow \gamma_v (E^\prime + vB^\prime)=w\gamma_v [B^\prime + (v/c^2)E^\prime] $$
که بعد از ساده سازی به رابطه ی زیر می رسیم:
(7) $$ E^\prime=\frac{w-v}{1-vw/c^2} B^\prime$$
حالا با جایگذاری معادله ی 4 در معادله ی 7 و پس از ساده سازی به دست میاریم:
(8) $$E^\prime=uB^\prime$$
که این همون رابطه ی یک هست یعنی شرطی که دو ناظر برای میدان ها میذارن یکسانه و نسبیت در این مثال پارادوکسیکال نیست. [دقت کنین که دستگاه های مختصات و جهت سرعت ها طوری در نظر گرفته شدن که با تبدیلات لورنتس در کتاب رزنیک توافق دارن: آشنایی با نسبیت خاص، رابرت رزنیک، مرکز نشر دانشگاهی، تهران، 1383، صفحه ی 179]
حالا به مسئله ی اصلی می پردازیم:
فرض کنید که توی مثال قبل، به جای میدان مغناطیسی، فنری با ثابت $k^\prime$ از سقف اتاق آویزونه و بار الکتریکی مذکور بر روی کفّه ی متصل به فنر با سرعت ثابت $u$ در حال حرکته. (به شکل زیر نگاه کنید) فرض کنید جرمِ ماندِ زمین (یا سیاره ی خیالی که آزمایش بر روی اون انجام میشه) زیاده ولی اونقدر زیاد نیست که میدان گرانشی قابل ملاحظه ای رو ایجاد کنه. برای همین، میدان الکتریکی که در مثال قبل در نظر گرفته شده بود، فنر رو به سقف فشرده می کنه بدون اینکه نیازی باشه اثر گرانش رو دخیل کنیم. اگر مقدار فشردگی فنر از دید ناظر $A$، $\Delta x^\prime$ باشه، شرط تعادل نیروها در راستای $y^\prime$ ایجاب می کنه که ناظر $A$ رابطه ی زیر رو به رسمیت بشناسه:
(9) $$F^\prime_E=E^\prime q^\prime=k^\prime \Delta x^\prime$$
اما از دید ناظر $D$ میدان الکتریکی مذکور خودشو به دو شکل میدان الکتریکی و مغناطیسی با تبدیلات زیر نشون میده:
(10) $$E_y=\gamma_v E^\prime$$
(11) $$B_z=({v \gamma_v}/c^2) E^\prime$$
که شرط تعادل نیروها در راستای $y$ از دید $D$ به شکل زیره:
(12) $$F_E+F_B=k \Delta x \rightarrow q^\prime E_y - q^\prime w B_z=k\Delta x$$
از طرفی می دونیم که از دید ناظر $D$ ثابت فنر با ضریب "عکس گاما" کاهش یافته ($k={k^\prime}/{\gamma_v}$) و مقدار جابجایی فنر هم دست نخوره باقی می مونه ($\Delta x=\Delta x^\prime$). با جایگذاری این روابط و روابط 10 و 11 در معادله ی 12 به دست میاریم:
(13) $$q^\prime E^\prime {\gamma_v}^2 (1-vw/c^2)=k^\prime \Delta x^\prime \rightarrow E^\prime q^\prime=\frac{c^2+uv}{c^2} k^\prime \Delta x^\prime $$
اما این معادله با معادله ی 9 سازگار نیست و نشون دهنده ی پارادوکسی توی نسبیته، ایراد کار کجاست؟
.
.
در ضمن، از آقای عارفی و حاجی تقی تهرانی بابت راه اندازی Mathjax در هوپا متشکرم
آره، ظاهراً حلّت درسته و من تبدیل نیرو رو برای فنر درست ننوشتم. اتفاقاً الان با نیما رفته بودیم بیرون و به مدت قابل توجهی روی این مسئله فکر کردیم همونجا جوابتو خوندم و متوجه اشتباهم شدم، ولی حالا نیما توصیه کرده که فنر رو هم با بار متحرک فرض کنم (همون چیزی که خودتم بهش اشاره کردی) و مسئله رو دوباره بررسی کنم.