چرا دو خط موازی به هم میرسند؟

[Sarah.Dianatdar]

چرا دو خط موازی به هم میرسند؟

میشه یکی به من توضیح بده ؟ امسال تازه میرم دهم لطفا ساده توضیح بدید ممنون میشم

[You-See]

سلام.
سعی کنید روی توپ دو خط موازی رو ادامه بدید، خودتون می بینید و درک می کنید.
روی صفحه به هم نمی رسند.

[aalireza]

۱. تو هندسه‌یِ کروی خطوطِ موازی نداریم. ربطی به‌صفحه‌محفه و اینام نداره.

۲. تو هندسه‌یِ affine (اون‌هندسه‌ای که تو داری بهش فکر می‌کنی) هیچ دو خطِ موازی به‌هم نمی‌رسن. تو هندسه‌یِ projective به‌هم می‌رسن. اون‌جا هم هیچ‌اتفاقِ جادوئی‌ای نمی‌افته. تو عملاً داری هندسه‌یِ affine رو طوری بسط می‌دی که بتونی بگی «هر دو خطِ نامنطبق الزاماً در یه‌نقطه هم‌دیگه رو قطع می‌کنن»، بعد واسه خطوطِ موازی خودت میای تعریف می‌کنی که اینا در «بی‌نهایت» هم‌دیگه رو قطع می‌کنن.

[Sarah.Dianatdar]

سلام.
سعی کنید روی توپ دو خط موازی رو ادامه بدید، خودتون می بینید و درک می کنید.
روی صفحه به هم نمی رسند.

من این کار رو روی یک توپ کردم هرکدوم فقط روی خودشون برگشتن

[Sarah.Dianatdar]

نه حالا که دارم از این زاویه نگاه میکنم درکش میکنم ممنون

[You-See]

سلام.
سعی کنید روی توپ دو خط موازی رو ادامه بدید، خودتون می بینید و درک می کنید.
روی صفحه به هم نمی رسند.

من این کار رو روی یک توپ کردم هرکدوم فقط روی خودشون برگشتن

دلیلش اینه که به زور وادارش کردید کج حرکت کنه!
اگر نوار های نازک کاغذی درست کنید و بچسبونید روی توپ، می بینید که همدیگه رو دو جا قطع می کنند.
مثل نصف النهار های کره زمین.
ولی روی صفحه مسطح این اتفاق نمی افته. دلیلش هم اینه که بحث روی هندسه اقلیدسی که دنیا رو فلت می بینه با سایر هندسه ها فرق داره. مثال دیگه ای هم به جز کره وجود داره که مثل زین اسبه.
فکر می کنم وارد شدن به این بحث براتون الان کمی سنگین باشه.
موفق باشید.

[aalireza]

http://mathworld.wolfram.com/SphericalGeometry.html

The study of figures on the surface of a sphere (such as the spherical triangle and spherical polygon), as opposed to the type of geometry studied in plane geometry or solid geometry. In spherical geometry, straight lines are great circles, so any two lines meet in two points. There are also no parallel lines. The angle between two lines in spherical geometry is the angle between the planes of the corresponding great circles, and a spherical triangle is defined by its three angles. There is no concept of similar triangles in spherical geometry.

«دو خطِ موازی» یعنی دو خطی که از هم به‌یک فاصله باشن. اگه هم‌دیگه رو تو دوتاجا مثلِ دایره قطع کنن که دیگه موازی نیستن.

[Paradoxy]

میتونیم بگیم دو خط راست در صفحه یا بهم نمیرسن، یا در بینهایت بهم میرسن. چرا؟ کافیه دوتا خط راست مثل
$$y=x$$ و $$y=x+1$$
رو در نظر بگیریم. ایکس و ایگرگ چیز خاصی نیستن. توی ریاضی وقتی میخوایم یک نقطه رو نشون بدیم، اونو با دوتا عدد مشخص میکنیم، به شکل (x,y). مثلا (5,5) یک نقطست، نقطه ای که هم ایکسش هم ایگرگش پنجه. یا (6,7) یک نقطه دیگست که ایکسش ششه و ایگرگش هفت. اگه بخوایم یک خط رو نشون بدیم چیکار میکنیم؟ اونو با یه رابطه نشون میدیم، مثل روابط بالا. اینکه چرا رابطه های بالا نشون دهنده یک خط هستند رو در آینده میبینید، شایدم دیدید تاحالا. ولی مثلا از معادله اول استفاده کنیم ببینیم چی میگه. معادله اول میگه اگه ایکس مثلا پنج باشه، ایگرگ هم پنجه. ایکس اگر یک باشه ایگرگ هم یکه. درواقع رابطه اول نشون دهنده مجموعه‌ای از نقاطه (بینهایت نقطه به واقع) که از یک رابطه خاص پیروی میکنن. وقتی این نقطه ها رو رسم کنیم، یک خط میبینیم. به همین ترتیب معادله دو هم به همین شکله. ایکس شش باشه، ایگرگ هفت میشه. ایکس یک باشه، ایگرگ دو میشه. اینم یه خطه. حالا سوال اینجاست که آیا این دو خط تلاقی دارند و بهم میرسن؟ خب کاری نداره. برای بررسی این موضوع کافیه ببینیم به ازای چه ایکسی ایگرگ هردو رابطه یکی میشه. نقطه تلاقی یعنی اگه ایکس و ایگرگ رابطه اول که خط اول رو نشون میده مثلا (10,10) باشه، ایکس و ایگرگ رابطه دوم که نشون دهنده خط دومه هم باید بشه (10,10). خب طبیعیه که به ازای ایکس مساوی ده، این دو خط تلاقی ندارند. آخه رابطه اول به ازای ایکس مساوی ده،ایگرگش ده میشه. رابطه دوم به ازای ایکس مساوی ده، ایگرگش یازده میشه که خوب نیست. اگه ایگرگ دو رابطه بالا رو مساوی بزاریم میبینیم
$$x=x+1$$
این رابطه به ازای هیچ ایکسی برقرار نیست. اگه مثلا ایکس رو پنج بدم، طرف راست معادله میشه شش، طرف چپ معادله میشه پنج. به عبارت دیگه هیچ ایکسی نمیتونیم پیدا کنیم که به ازای اون ایکس، ایگرگ هردو معادله یکی بشه. واسه اینه که میگن دو خط هیچ وقت بهم نمیرسن. ولی صبر کن ببینم. اگر به ایکس بینهایت بدیم چطور؟ بینهایت به علاوه یک بازم میشه بینهایت! درسته، رابطه برقرار میشه. فقط و فقط به ازای ایکس مساوی بینهایت. به عبارت دیگه، اگه ما به ایکس بینهایت بدیم، ایگرگ هردو طرف معادله بینهایت میشه، همونطور که میخواستیم. این یعنی دو خط راست در بینهایت بهم میرسن. ولی همچین حرفیو نمیشه راجع به هر شکلی زد. مثلا توابع نوسانی اینطوری نیستند.

توضیحات yousee درسته فقط جای لغت موازی باید لغت راست نوشته شه. توی هندسه کروی هم میتونیم دو خط راست داشته باشیم که در ابتدا به شکل لوکال موازی هستن، عیبی نداره. موازی نمیمونن ولی، و در نهایت هم دیگه رو قطع میکنن. موازی بودن خطوط محدود به یه مساحت خیلی خیلی کوچیک میشه روی کره. یه ذره خطوط ادامه پیدا کنن، انحراف درشون به وجود میاد و موازی بودنشون از بین میره. مثلا ما روی کره زمین زندگی میکنیم. ولی موقع لی لی بازی، میتونیم روی سطح زمین خط های موازی بکشیم. اون مربع ها، از چهار خط موازی تشکیل شدن. چرا میتونیم این کارو بکنیم؟ چون مساحت مربع ها نسبت به مساحت سطح کره زمین خیلی کوچیکه. ما آدما میتونیم روی کره زمین خطوط موازی بکشیم، چون کره زمین خیلی بزرگتر از ماست. ولی رو توپ نمیتونیم دو خط موازی بکشیم. باید بدیم مورچه دوتا خط خیلی کوچیک بکشه.

[aalireza]

به paradoxy:

تو تیکه‌یِ اوّلِ صحبتت (قبل از you-see) دو تا حرکت زدی که به‌اندازه‌یِ کافی دقیق نیست:

۱. واسه این‌که بتونی بعداً مقدارِ «بی‌نهایت» رو بزاری، لزوماً یه دستگاهِ مختصات گرفتی و توش خطت رو نشون دادی.... در صورتی که در این سطح رسیدنِ دو خط در بی‌نهایت مطرح نمی‌شن. تو به‌صورتِ کاملاً توپولوژیک و بدونِ هیچ دستگاهِ مختصاتی باید راجع به خواصِ دو خطِ موازی صحبت کنی.

۲. جای‌گذاریِ مقدارِ «بینهایت» معنی نمی‌ده. تو نمی‌خوایی خصوصیاتِ میدانی‌‌ت رو از دست بدی. این‌جا مثلاً اگه از اعدادِ حقیقی صحبت می‌کنی، جای‌گذاریِ بی‌نهایت فقط در اعدادِ حقیقیِ گسترش یافته معنی می‌ده و نه در شرایطِ عادی. حتی همون زمانی که ما تو حسابان صحبتِ بی‌نهایت می‌کنیم، عملاً با نقطه‌ای به‌نامِ بی‌نهایت سروکار نداریم بلکه با چهارتا نامساوی بیشتر سروکار نداریم.


حکایتِ این دو خطِ موازی تو بی‌نهایت به‌هم می‌رسن چیه؟

می‌دونیم تو هندسه می‌گن دو تا خطِ نامنطبق (نامساوی)، یا به هم نمی‌رسن یا در یه‌نقطه هم‌دیگه رو قطع می‌کنن. یه relation رویِ یه‌مجموعه نقطه عملاً این نتیجه رو می‌ده. حالا تو عملاً داری closure رویِ این relationت تعریف می‌کنی، و می‌گی در یه‌شرایطِ عمومی‌تر، در دو خطِ نامنطبق الزاماً همیشه هم‌دیگه رو در یه‌نقطه قطع می‌کنن.... این قضیه خیلی خیلی شبیه‌تر به‌اینه که بگی اعدادِ طبیعی رو طوری بسط می‌دی که تفریق همیشه جواب داشته باشه، تا این‌که بگی جاگذاری چی‌میکنی یا رو کره چی‌میشه و الخ.

این عملاً بازی‌کردن رویِ چهارتا مجموعه‌ست و بس. تو به‌دو علت می‌خوایی عمومی صحبت کنی (۱) آکسیوم‌بندی کردنِ چیزایِ هندسی رویِ مجموعه‌ها خیلی راحت‌تره و (۲) این‌مدل قضایا رو تو شرایطِ خیلی مجرد تر می‌تونی در بیاری، مثلاً رویِ یه گروهِ دیگه و یه مشت‌عمل‌گرِ دیگه می‌تونی بگی از همین «دو خطِ نامنطبق...» استفاده کنی. (اطلاعاتِ بیشتر مثلاً projective space)



---
درباره‌یِ چیزایی که you-see می‌نویسه درست نمی‌شه بحث کرد چون شاید بحث دوباره منحرف شد، ولی اینی که تو میگی که locally خطوط موازی‌ در میان و فلان، درست. ولی هندسه پر از چیزاییه که رفتارِ localشون یه‌طوره و بعد می زنن تو خرابی. تعریفِ خطوطِ موازی‌هم تعریفِ لوکال نیست.

[You-See]

برداشت من از سوال ایشون از خطوط موازی همون خطوط راست بود. فکر هم می کنم ایشون همین منظور رو داشتن و برای همین توضیحات من برای ایشون بود. نه برای ریاضی دانان بزرگ.
اگر در بحث کردن ادب و نزاکت رعایت بشه همیشه بحث منطقی می شه انجام داد بدون این که بحث منحرف بشه.
برای کسی که تازه امسال می ره کلاس دهم بهتر نمی شه توضیح داد.

[Paradoxy]

برداشت من از سوال ایشون از خطوط موازی همون خطوط راست بود. فکر هم می کنم ایشون همین منظور رو داشتن و برای همین توضیحات من برای ایشون بود. نه برای ریاضی دانان بزرگ.
اگر در بحث کردن ادب و نزاکت رعایت بشه همیشه بحث منطقی می شه انجام داد بدون این که بحث منحرف بشه.
برای کسی که تازه امسال می ره کلاس دهم بهتر نمی شه توضیح داد.

آره، نه کلا تو زبان فارسی به خصوص،خیلی کلمات به عنوان مترادف هم به کار میرن جوری که جا افتاده اصلا راست همون موازیه. منم همین برداشت رو کردم وقتی عنوان تاپیک رو خوندم. منتهی نمیدونم چطوریه کلا بچه های ریاضی خیلی دقیقن. ما تو فیزیک یه معادله دیفرانسیل میبینیم میگیم مثلا دو طرف معادله رو بخش بر dt کن، منتهی همینو یه ریاضیدان بشنوه شاید کفری بشه بگه یعنی چی تقسیم؟ عملگر مشتق رو داریم دو طرف معادله اعمال میکنیم، اونم چون دو طرف معادله مشتق پذیره و ... راستم میگه ولی ما هرکاری کنیم آخرش انقدر ریز به مسئله نگاه نمیکنیم چون بیشتر میخوایم کارمون راه بیوفته.

aalireza مورد دومو متوجهم، درست میگی، تهش فکر کنم بتونیم بگیم ایکس رو میل میدیم به بینهایت، شاید همینم غلط باشه، چون باز دارم با دید فیزیکی خودم میگم اینو. ولی واسه مورد اول، خب من نشون دادم مثلا توی دستگاه مختصات کارتزینی که توی دبیرستان میخونن همچین بساطی هست. اصلشو بخوای، به نظرم باید اول اصلا موازی بودن تعریف بشه (که صد در صد تعریف شده از قبل، منظورم با زبان ریاضیه) بعد تازه بشینیم صحبت کنیم که آره مثلا دو خط موازی بهم میرسن یا نمیرسن.

[aalireza]

برداشت من از سوال ایشون از خطوط موازی همون خطوط راست بود. فکر هم می کنم ایشون همین منظور رو داشتن و برای همین توضیحات من برای ایشون بود. نه برای ریاضی دانان بزرگ.
اگر در بحث کردن ادب و نزاکت رعایت بشه همیشه بحث منطقی می شه انجام داد بدون این که بحث منحرف بشه.
برای کسی که تازه امسال می ره کلاس دهم بهتر نمی شه توضیح داد.

آره، نه کلا تو زبان فارسی به خصوص،خیلی کلمات به عنوان مترادف هم به کار میرن جوری که جا افتاده اصلا راست همون موازیه. منم همین برداشت رو کردم وقتی عنوان تاپیک رو خوندم. منتهی نمیدونم چطوریه کلا بچه های ریاضی خیلی دقیقن. ما تو فیزیک یه معادله دیفرانسیل میبینیم میگیم مثلا دو طرف معادله رو بخش بر dt کن، منتهی همینو یه ریاضیدان بشنوه شاید کفری بشه بگه یعنی چی تقسیم؟ عملگر مشتق رو داریم دو طرف معادله اعمال میکنیم، اونم چون دو طرف معادله مشتق پذیره و ... راستم میگه ولی ما هرکاری کنیم آخرش انقدر ریز به مسئله نگاه نمیکنیم چون بیشتر میخوایم کارمون راه بیوفته.

aalireza مورد دومو متوجهم، درست میگی، تهش فکر کنم بتونیم بگیم ایکس رو میل میدیم به بینهایت، شاید همینم غلط باشه، چون باز دارم با دید فیزیکی خودم میگم اینو. ولی واسه مورد اول، خب من نشون دادم مثلا توی دستگاه مختصات کارتزینی که توی دبیرستان میخونن همچین بساطی هست. اصلشو بخوای، به نظرم باید اول اصلا موازی بودن تعریف بشه (که صد در صد تعریف شده از قبل، منظورم با زبان ریاضیه) بعد تازه بشینیم صحبت کنیم که آره مثلا دو خط موازی بهم میرسن یا نمیرسن.

۱. ببین من الان گیج شدم. ما مگه خطِ غیرِ راست هم داریم؟! line با straight line خب فرقی نمی‌کنه. اگه خطی راست نباشه، دیگه بهش نمی‌گیم خط، می‌گیم بهش منحنی یا curve! حالا این بابا که رفت کلاً پیِ کارش، ولی منظورش نمی‌تونسته خطِ راست باشه خب. چون اون وقت بیا: X
دو تا خطِ راست به هم رسیدن!!
تعریفِ خطِ موازی هم بگیر: دو خط موازی‌اند زمانی که به‌ازایِ هر نقطه رویِ خطِ A، فاصله‌یِ خطِ B تا اون‌نقطه مساوی باشه با یه عددِ ثابت. تعریفِ فاصله‌یِ دو خط هم بگیر طولِ کوتاه‌ترین پاره‌خطی که یه‌نقطه‌یِ دلخواه رویِ خطِ A رو به‌خطِ B وصل کنه.
واسه هر آدمِ عاقلی سؤال پیش میاد که آقا وقتی خودمون می‌گیم این دو تا خطه به هم نمی‌رسن، چه‌جوری می‌گیم در بی‌نهایت به هم می‌رسن. که جوابشم دادیم. دیگه راست و موازی و این‌جور چیزا نداره خب.

۲. راجع به قسمتِ دومِ حرفت، کاملاً می‌تونی بگی که آره ایکس رو می‌دیم سمتِ مثبت یا منفیِ بی‌نهایت و بعد بیا، حاصل شد یه‌چیز و به هم رسیدن. ولی نتیجه‌یِ این حرف می‌شه چی؟ یکی از نتایجش می‌شه این‌که تو دیگه همیشه inverse element نداری! (چون بی‌نهایت منهایِ بی‌نهایت تعریف نمی‌شه) اضافه‌کردنِ بی‌نهایت به اعدادِ حقیقی به‌طرزِ فجیعی ضعیف‌ترش می‌کنه خب، (+,*R) الان گروه که نیست هیچ، حتی ماگما هم نیست (شدیداً ضعیف‌تر از اعدادِ طبیعی)! تو الان یا باید بیای تعریفِ + و ضرب و تمامِ اینا رو تغییر بدی، یا این‌که بیای بگی بی‌نهایت واقعاً یه نقطه نیست (و مثلاً، اگه اعدادِ حقیقی‌ت رو با سری‌هایِ کوشی ساختی، بی‌نهایت رو بگی هر سریِ کوشی نامحدود می‌ره بالا). رو همین حسابه که استدلال‌کردن با حد و اینا، با وجودی که در نگاهِ اوّل درسته، جوابی نیست که بخواییم بپذیریم.

----

برداشت من از سوال ایشون از خطوط موازی همون خطوط راست بود. فکر هم می کنم ایشون همین منظور رو داشتن و برای همین توضیحات من برای ایشون بود. نه برای ریاضی دانان بزرگ.
اگر در بحث کردن ادب و نزاکت رعایت بشه همیشه بحث منطقی می شه انجام داد بدون این که بحث منحرف بشه.
برای کسی که تازه امسال می ره کلاس دهم بهتر نمی شه توضیح داد.

ما کلاً دو بار ایرادت رو گرفتیم، دو بارشو فوراً اومدی بیشتر فرمودی. به‌هرحال بگذریم.

[You-See]

ایرادم رو بگیر، مودب باش، من هم قبول می کنم و چنانچه درست بگی ازت چیز یاد می گیرم، و بر عکس.
بگذریم

[aalireza]

ایرادم رو بگیر، مودب باش، من هم قبول می کنم و چنانچه درست بگی ازت چیز یاد می گیرم، و بر عکس.
بگذریم

۱. لحنِ من با تو و همه‌یِ ملّت یه‌جوره. لحنِ من با نوابیغ بده که خب شاملِ حالِ تو نمی‌شه.. حتی لحنِ بد و خشنِ منم توهین توش نیست. توهین یعنی بیایی پشتِ پستِ ملّت بنویسی آقا فضله نخور! یا بیای خانواده‌یِ طرف رو بکشی وسط و حداقل تو بحثایِ ما مشخصه کی شروعش می‌کنه. این تفاوت رو حتی همین الانم یاد بگیری دیر نیست.

۲. چیزی که تو می‌گی ایده‌آله و مثلِ هر چیزِ ایده‌آلی بیشتر خیال‌پردازانه‌ست. مثلاً همین تاپیک رو نگاه کن، من تو موردِ اوّلِ پستم خیلی صریح و بدونِ هیچ چیزِ اضافه‌ای اومدم گفتم بت که داری اشتباه می‌کنی و در جوابم اطلاعاتِ کافی هست که یه گوگل‌کردن همه‌چیز رو نشون می‌ده. ولی بعد در جواب، بیشتر از صراطِ مستقیم می‌ری بیرون، ما هم در میاییم صریحاً می‌گیم آقا چیزایی که تلاوت می‌کنی درست نیستند به فلان دلیل و بهمان دلیل. که جوابِ خودتم خب مشخص. حتی همین الانم، زدی تو خطِ این‌که آقا ما منظورمون همین چیزه‌ست که پارادوکسی می‌گه و قس‌علی‌هذا، در صورتی که کاملاً بی‌ربطه هم به‌جوابِ اصلی و هم به‌چیزی که خودت اول فرمودی...

بگذریم.

[You-See]

مشکل من با لحنت هست نه با مطلبی که می گی، تلاوت کردن همونطور که خودت هم می دونی (شاید هم واقعا نمی دونی) خیلی بی ادبانه است. متاسفانه باز هم تکرار کردی و خیال نداری از روشت کوتاه بیای، من هم گفتم فضله دقیقا بعد از همین حرفت و برای همین حرفت بوده. وگرنه هیچ دلیلی نداره به کسی که توهینی نکرده توهین کنم.
تاپیک منحرف شد. حرفی داشتی خصوصی بگو. شب بر همگان خوش.