هوپا، انجمن علم ایران

سلام دو عبارت زیر چطور باهم هم ارز درمیان؟



باتوجه به رابطه اویلر باید در قسمت اول قبل سینوس یک i هم داشته باشیم که نیستش و در توضیحات هم اشاره ای به Re part نکرده؟

برای تایپ کردن روابط کافیه اونارو داخل دلار ساین قرار بدید. این تاپیک رو ببینید:
viewtopic.php?f=12&t=37092

اما پاسخ سوال شما اینه که ثوابت میتونن مختلط باشن، مثلا خود A ها مختلط باشند. هیچ الزامی بر حقیقی بودنشون نیست. علی الخصوص توی کوانتوم. اگه میخواید بدونید که چه رابطه ای بین A و B و C برقراره، راه سادش استفاده‌ از شرایط مرزیه. اما اگه باز دقیقترشو بخواید، پاسخش در بسط فوریه نهفتست. اگه بسط فوریه رو دیده باشید، اونم هم به شکل مختلط مینویسن هم به شکل سینوس کسینوسی. اونجا ثابت کردن در حالت کلی، چطوری اون عبارت سینوس کسینوسی به اون عبارت مختلط تقلیل پیدا میکنه، اینجا هم همینه. البته یکم اثباتش مفصله، خودمم خیلی خوب یادم نیست. ولی توی کتابای استاندارد گیر میاد، آرفکنی چیزی.

اگر جایی اثباتش رو پیداکردیدلطفا به اشتراک بگذارید. واینکه چرا در برهم نهی امواج تخت دامنه های امواج رو به صورت توابعی از عدد موجk

$$A(k) or B(k)$$

بیان می کنند(و بعدش نسبت به dk انتگرال می گیرن)؟ چرادامنه هارو مثلا تابعی برحسب بسامد زاویه ای درنظرنمی گیرن؟

همچنین زمانی که از امواج تخت با دامنه های مختلف انتگرال می گیرن، چرا فقط یک قسمت از موج انتشار یافته رو در انتگرالده

$$([integral (dk A(k) e^[i(kx-wt)$$

قرار میدن؟ یعنی اون قسمتی که توانe منفی هست(در تصویر قبل)در انتگرال نیستش؟

https://fa.m.wikipedia.org/wiki/%D8%B3% ... B%8C%D9%87
لینک بالا رابطه ش رو نوشته، برید انگلیسیش اثباتشم توشه، توی بخش Definition
میشه برحسب بسامد زاویه ای هم نوشت. با عدد موجش جمع و جور تره و فیزیکدان ها، تنبلند! برحسب طول موج و حتی انرژی هم میشه نوشت.
سوال دومتون رو نفهمیدم. اصلا چرا دارید انتگرال میگیرید؟ انتگرال سای خالی هیچی نیست، و چیزی نمیده اصلا.

برای نوشتن انتگرال از \int استفاده کنید. اینطوری:


$$\int \psi \psi^* dk$$

این انتگرالِ سای نیمشه ،درواقع داریم یک بسته موج رو تعریف می کنیم(یه جورایی می خوایم خودِ سای رو تعریف کنیم)... ،

دریکی از انتگرال ها بااین عبارت روبه رو شدم میتونید بگید چجوری عبارت زیرو مربع کامل کرده؟(اولش منفی aبه توان 2 تقسیم بر 4هست.)

$$-^2a/4(k-k0)^2+ ikx = -[a/2(k-k0)-ix/a]^2 - x^2/a^2 + ik0x$$

فکر کنم تبدیل فوریه منظورتون بوده که البته این شکلیه، همینطوری از سای انتگرال نمیگیریم هیچوقت:
$$\phi(p)=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-ipx/\hbar} dx$$
اون عبارتی هم که نوشتید، خیلی معروفه. ماله وقتیه که تابع موج گاوسی هست و میخوایم فرضا از فضای تکانه ببریمش به فضای مکان، یا برعکس. چیزی که شما نوشتی تکانه به مکانه. شما دقت کن توی تبدیل فوریه (مثل همینی که بالا من نوشتم) مجبوریم بر حسب مکان یا تکانه (همون عدد موج) انتگرال بگیریم. سمت انتگرال گرفتن از سمت چپ معادله ای که نوشتید راحت نیست، چون دوتا تابع نمایی درواقع در هم ضرب شده و از جفتش باید انتگرال گرفته شه که نمیشه. مجبوریم همه k هارو ببریم یه طرف، و واسه این کار طرف چپو به توان دو میرسونیم. یه جمله ای ظاهر میشه به شکل $2kk_0$ این جمله رو با $ikx$ ترکیب میکنیم و از k فاکتور میگیریم. چیزی که میمونه رو شما مربع کامل میکنی. خب راستش حالشو نداشتم بیشتر تایپ کنم این لینکه رو گیر آوردم که جواب سوال رو میده به یه روش دیگه.
https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130 ... ode88.html

میشه بیشتر توضیح بدید چون فقط همون قسمتش که مربع کامل کرده رو مشکل داشتم(عامل $$x/a$$ سمت راست ازکجا اومده) و دقیقا همون جا توضیح رو متوقف کردید

قسمت RealPart در گزاره زیر چگونه بدست اومده یعنی چرا به جای عبارت $phi1 . phi2* + phi2 . phi1 *$ قیسمت RePart زیرو گذاشته؟

بعد از فاکتور گرفتن به عبارت زیر میرسیم:

$$-\frac{a^2}{4}k^2 - \frac{a^2}{4}k_0^2 + k\frac{a^2}{2}(k_0+\frac{2}{a^2}ix)$$

خب خیلی تابلوه که جمله اول و آخر رو باید مربع کامل کنیم:
$$-\frac{a^2}{4}(k-(k_0+\frac{2}{a^2}ix))^2+\frac{a^2}{4}(k_0+\frac{2}{a^2}ix)^2- \frac{a^2}{4}k_0^2$$
دیگه نیاز به انجام کاری نیست. شما از همین عبارت میتونی انتگرال بگیری، چون k به شکل مستقل فقط در جمله اول ظاهر شده و باقی ثوابت هستند. خیلی ساده کافیه تغییر متغییر $k-(k_0+\frac{2}{a^2}ix)=g$ میدیم باقیش حل میشه خود به خود. اگه میخواید عینن بشه مثل همونی که نوشتید، کافیه جمله دوم رو باز کنید. واسه جمله اول هم مقداری فاکتور گیری از 2 انجام بدید.

سوالایی که می پرسید خیلی استاندارد هستند. خودخوان دارید میخونید؟ چون تمام اینارو توی کتابایی مثل آرفکن ثابت میکنن. اولا یه مثال شهودیش اینه که شما داری "اندازه" فی یک به علاوه فی دو رو بدست میاری، پس طبیعتا نتیجه نمیتونه مختلط باشه. اما اثبات ریاضیش.

$$\phi_1\phi_2^*+\phi_2 \phi_1^*=\phi_1\phi_2^*+(\phi_1\phi_2^*) ^*=2Rel(\phi_1\phi_2^*)$$
شما توجه کن که خود $\phi_1\phi_2^*$ یک عدد مختلطه، مثلا z اسمش رو میزاریم و داره با مزدوج خودش جمع میشه. طبیعیه که حاصلش میشه دو برابر بخش حقیقیش. مثلا
$$z=a+ib$$
$$z+z^*=a+ib+a-ib=2a$$

البته من ندیدم کسی مدل بالا اثبات کنه، مثلا ور میدارن فی و اینارو باز میکنن جمع و تفریق میکنن تا به نتیجه بالا میرسن. ولی فک کنم بدون از دست دادن عمومیت خاصی، ثابت کردم عبارتی که میخواید رو.

سوالایی که می پرسید خیلی استاندارد هستند. خودخوان دارید میخونید؟ چون تمام اینارو توی کتابایی مثل آرفکن ثابت میکنن.

بله تقریبا

به تابع زیر زیر توجه کنید
$$
u(f,T)=w(landa,T)|d(landa)/df|
$$
تابع برحسب فرکانس و دوره تناوب بود بعدش برحسب طول موج و دوره تناوب نوشتش و در قدرمطلق مشتق لاندا نسبت به فرکانس ضربش کرده،چرا؟ به طورعامیانه تر برچه اساسی(ریاضی) این کارو کرده و دقیقا کجا میشه اینکارو انجام داد؟

قبل از حروف یونانی یه \ بزنید. بعد لاندا نیست، لامبدا هست، یعنی \lambda تایپ کنید. سوالتون رو خوب متوجه نشدم و چیزی هم که نوشتید زیاد معنی نمیده. احتمالا فرمول چگالی انرژی تابش جسم سیاه رو دیدید، و اون $T$ دما بوده نه دوره تناوب، میدونید چرا؟ چون خود دوره تناوب تابعی از فرکانس یا طول موج هست و اصلا معنی نمیده که بگیم یک تابع، همزمان تابعی از دوره تناوب و فرکانس هست، معنی نمیده! با دقت بخونید، قطعا اشتباه نوشتید. حالا فرضا ما یه تابع داریم بر حسب فرکانس، می خوایم ازش برحسب لاندا مشتق بگیریم. چیکار کنیم؟ از قاعده زنجیره ای استفاده میکنیم به این شکل:

$$\frac{\delta\omega(f,T)}{\delta f}= \frac{\delta \omega(\lambda,T)}{\delta \lambda} \frac{d\lambda}{df}$$
که فکر کنم واضحه چرا اینطوره.

بله، Tدماهست، عبارتی که نوشته شده دقیقا این است
$$
u(f,T) = w(\lambda,T) |d\lambda/df| = w(c/f,T) c/f^2
$$
واینجا درابتدا اصلا ازتابع u نسبت به چیزی مشتق نگرفته؟
و چرا $d\lambda/df$ رو در قدرمطلق قرارداده؟