معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
opinions

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۶/۶/۱ - ۱۱:۳۷


پست: 11

سپاس: 2

معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط opinions »

دوستان و اساتید محترم سلام.
بنده به دنبال یک فرمول یا معادله هستم. متاسفانه رشته ام فیزیک نیست و در اینترنت هم کلی جستجو کردم اما معادله مد نظرم رو پیدا نکردم. به شدت هم به این معادله که باید در حد امکان ساده و غیر پیچیده هم باشه نیاز داریم. مسئله رو براتون شرح میدم، ممنون میشم کمکم کنید.

مطابق شکل، یک سطح شیب دار داریم که زاویه ای که با افق میسازد معلوم است. قرار است جسمی از نقطه A بر روی سطح حرکت کند و به نقطه B برسد. فاصله بین دو نقطه را هم داریم و معلوم است. شتاب حرکت جسم نیز ثابت در نظر گرفته می شود. نیرویی که به جسم برای حرکت به سمت نقطه B وارد می شود را نیز می توانیم معلوم در نظر بگیریم. ضریب اصطکاک را نیز می توانیم معلوم در نظر بگیریم.

stone formula.png
stone formula.png (16.56 کیلو بایت) مشاهده 8315 مرتبه


پس معلومات مسئله: زاویه سطح، فاصله بین دو نقطه، نیروی وارده بر جسم، ضریب اصطکاک. (اگر پارامتر دیگری نیز مورد نیاز است احتمالا جزء معلوم های مسئله هستند).
مجهول مسئله: با توجه به فاصله تعیین شده و نیرویی که ما به جسم وارد می کنیم حرکت از نقطه A آغاز می شود، آیا به نقطه B می رسد؟ و اگر نمی رسد از کجا بدانیم بین دو نقطه A و B کجاش متوقف می شود.

ضمنا عذرخواهی می کنم اگر مسئله عجیب به نظر می رسد، نمیدونم چطوری میشه بهتر توضیحش داد. اصلا همچین مسئله ای فرمول دارد؟
ممنون از همگی.

نمایه کاربر
paradoxy

نام: داود حاجي تقي تهراني

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2072

سپاس: 1114

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط paradoxy »

اصطکاک ایستایی داره یا جنبشی؟ مثلا اگر اصطکاکش ایستایی باشه، با توجه به قضیه کار و انرژی میشه شرط رسیدن به نقطه B رو نوشت:
$$\frac{mv^2}{2}>mgD\sin\theta$$
که در معادله بالا v سرعت اولیه جسم، D فاصله ای که روی سطح شیب دار طی میکنه، m جرم جسم و تتا هم زاویه معلوم مسئله هستش. اگر سرعت اولیه جسم معلوم نیست، باید به جسم یک نیروی غیر دلتا (یعنی غیر ناگهانی) با رابطه مشخص داده بشه که با قانون نیوتون رسیدن به نقطه B رو بررسی کنیم. اگر اصطکاک جنبشی هم وجود داشته باشه، همچنان میشه از قانون نیوتون رسیدن جسم به نقطه B رو بررسی کرد. مثلا در معادله بالا، یه جمله مربوط به اصطکاک هم در سمت راست معادله اضافه میشه.

یعنی برای اصطکاک جنبشی مثلا با در نظر گرفتن این شکل از ویکی پدیا:
تصویر

و عوض کردن جهت f به سمت جهت $mg\sin\theta$ (چون جسم داره بالا میره، جهت اصطکاک میشه رو به پایین) طبق معادله نیوتون داریم:
$$N-mg\cos\theta=0$$
$$F-u_k N - mg \sin\theta>0 \to F-u_k (mg\cos\theta) - mg \sin\theta>0$$
که رابطه اول معادله نیوتون در جهت ایگرگ، و رابطه دوم معادله نیوتون در جهت ایکس هستش. اولی مساوی صفر گذاشته شده چون قراره جسم در محور ایگرگ شتاب پیدا نکنه، دومی هم بزرگتر (یا مساوی) صفر گذاشته شده تا شتاب جسم رو به بالا باشه. F نیروی وارد شده به جسم هستش. مو ضریب اصطکاک جنبشی و $mg\sin\theta$ هم اثر نیروی گرانشی روی جسم. معادلات بالا با این فرض نوشته شدن که سرعت اولیه جسم صفر هستش و دائما یک نیروی F در جهت رو به بالا به جسم وارد میشه.

opinions

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۶/۶/۱ - ۱۱:۳۷


پست: 11

سپاس: 2

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط opinions »

ممنون از پاسخ کامل و جامع شما.
دقیقا، فرض بر این است که سرعت اولیه صفر است و نیرویی به جسم وارد می شود.
حالا اگر معادله حرکت در یک خط راست و یک بُعد مشابه معادله زیر باشد:

[tex]C=A+a(B-A)[/tex]


که در معادله بالا A و B همان نقاط ابتدا و انتهای مسیر حرکت جسم (شکل زیر) و C نقطه ای است که جسم متوقف می شود (بین نقطه A و B) و a هم یک مولفه هست. معادلاتی که برای حرکت در سطح شیبدار مطرح کردید را میشه به این [tex]C=A+a(B-A)[/tex] یه جورایی تعمیم یا ترکیب کرد؟ و اینکه آیا معادلات شیب که مطرح شد، جای مولفه a قرار می گیرند؟ همچین چیزی ممکن است؟

stone formula2.png
stone formula2.png (13.89 کیلو بایت) مشاهده 6152 مرتبه


در واقع هدفم اینه که این حرکت انجام بشه، مطمئنا برای رسیدن از نقطه A به B نیرویی لازم است (مثلا فرض کنید نیرو برابر با 1 باشد). اما این نیرو می تواند متغیر باشد. بنابراین اگر نیرو مثلا 1 نباشد و 0.5 باشد، بعد از حرکت از نقطه A به B نمی رسیم و بین راه متوقف می شویم (نقطه C). واقعا چطور میشه معادلات شیب را با این مسئله ترکیب کرد و یک معادله جدید به دست آورد؟ پیشاپیش ممنون.

opinions

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۶/۶/۱ - ۱۱:۳۷


پست: 11

سپاس: 2

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط opinions »

دوستان فیزیکدان عزیز، پاسخی برای این مسئله پیدا نشد؟؟؟
به شدت بهش نیاز دارم. ممنونم و منتظر...

opinions

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۶/۶/۱ - ۱۱:۳۷


پست: 11

سپاس: 2

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط opinions »

دوستان سلام. قبول دارم مسئله ای مطرح کردم یک گنگ هست. من خودم سرچ کردم و به یکسری نتایج رسیدم! میخوام مرحله به مرحله و سوال به سوال اینجا اطلاعاتم رو بگذارم تا مسئله حل بشه!

ابتدا مرحله اول و سوال اول:
بعد از جستجو به معادله زیر رسیدم،
$$x= \frac{ v_{0}^2 }{2gsin \theta } $$

در معادله فوق این x دقیقا چیست؟ آیا مسافت طی شده است؟ آیا می توان گفت که در شکل پست اول این تاپیک A+x=B هست؟ که A نقطه اولیه هست و x میزان حرکت (فرمول همین پست) و از جمع این دو به نقطه B میرسیم؟

نمایه کاربر
paradoxy

نام: داود حاجي تقي تهراني

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2072

سپاس: 1114

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط paradoxy »

وقتی یه توپ رو مستقیم پرت میکنیم بالا؛ معادله مسیر میشه
$$x = 0.5gt^2 + v_0 t$$
حالا لحظه ای که جسم به نقطه اوج میرسه رو بخوایم بدونیم کافیه بر حسب زمان مشتق بگیریم و معادله رو مساوی صفر بزاریم که میشه
$$t = v_0/g$$
حالا این نتیجه رو میزاریم تو معادله اول که میده
$$x = \frac{v_0^2}{2g}$$
که وی صفر سرعت اولیه پرتابه. خود ایکسم هست محل نقطه اوج توپ منهی نقطه اولیه پرتاب.

حالا اون سینوس چیه تو معادله اومده؟ وقتی فرض کنیم سطح شیب داری داریم که اصطکاکی نداره و تنها نیروی وارد شده به توپ نیروی گرانشیه؛ و دستگاه مختصاتمون رو تحت زاویه تتا فرض کنیم (مثل عکسی که توی پست قبلیم توی این تاپیک گذاشتم) اونوقت شتاب $gsin\theta$ به جسم وارد میشه.

اگر روی سطح شیب دار نیروهای متغییر عجیب غریبی داشته باشیم لازمه انتگرال بگیریم. پیدا کردن معادلات به این سادگی نیست. اما اگر فرضا معادله حرکت رو پیدا کردیم (مطابق روشی که توی پست قبل گفتم)؛ اون موقع میتونیم با مشتق گیری از معادله مکان جسم بر حسب زمان و مساوی صفر قرار دادن اون؛ زمانی که جسم به نقطه اوج میرسه رو پیدا کنیم و با کمک اون؛ مکان نهایی جسم؛ سرعت نهایی؛ شتاب نهایی و ... رو هم پیدا کنیم. همونطور که توی این پست این کارو برای نقطه اوج کردم.

opinions

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۶/۶/۱ - ۱۱:۳۷


پست: 11

سپاس: 2

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط opinions »

خیلی ممنون دوست عزیز. متوجه شدم. ممنون از توضیحات کاملتون.
طبق صحبت خودتون که گفتید "خود ایکسم هست محل نقطه اوج توپ منهی نقطه اولیه پرتاب." پس این همون فاصله طی شده هست. چیزی که فهمیدم اینه که اگر کسی مثلا نقطه اولیه رو به ما بده، همین ایکس رو هم بده، ما میتونیم با جمع این دو نقطه نهایی رو داشته باشیم (کاری به فرمول ندارم فقط عدد داشته باشیم.)!

حالا مرحله دوم و سوال دوم:
الان من اگر بخوام توی فرمول زیر که شما توضیح هم دادید در موردش، اصطکاک هم داشته باشم، چی باید اضافه کنم؟ فقط ممنون میشم همین فرمول رو تغییر بدید. پست اول شما در این تاپیک رو خوندم ولی میخوام توی همین فرمول، اصطکاک اضافه بشه!
$$x= \frac{ v_{0}^2 }{2gsin \theta }$$

نمایه کاربر
paradoxy

نام: داود حاجي تقي تهراني

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2072

سپاس: 1114

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط paradoxy »

آخه این رابطه برای x تنها و تنها وقتی صادقه که اصطکاک نداشته باشیم! وقتی اصطکاک میاد تو بازی؛ از اول باید قوانین نیوتون رو بنویسیم؛ مثل پست اول من توی تاپیک؛ و محاسبات رو دوباره انجام بدیم تا ببینیم رابطه x چی میشه. همینطور یلخی نمیشه گفت چی به رابطه ایکس اضافه یا کم میشه؛ چون خود ایکس از دل قانون نیوتون داره در میاد. توی معادله آخر پست اول من باید جای F بزارید ma و دوبار بر حسب زمان از دو طرف انتگرال بگیرید. میشه جواب سوالتون.

opinions

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۶/۶/۱ - ۱۱:۳۷


پست: 11

سپاس: 2

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط opinions »

ممنون از پاسختون. من کمی جستجو کردم و با توجه به راهنمایی شما به معادله زیر رسیدم. ممنون میشم بررسی کنید که آیا درسته یا خیر؟

$$d= \frac{v_{0} ^{2}}{2g(sin\theta+\mu_{k}cos\theta)} $$


که در معادله فوق d همان مسافت طی شده است. فرض هم می کنیم بعد از حرکت جسم به سمت پایین بر نمی گردد. همچنین معادله فوق مستقل از زمان است.

نمایه کاربر
paradoxy

نام: داود حاجي تقي تهراني

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2072

سپاس: 1114

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط paradoxy »

بله درسته. بایدم مستقل از زمان باشه؛ اگر نباشه یعنی حتما اشتباه رفتید. دقت کنید با عقل سلیمم معادلش جور در میاد. اصطکاک توی مخرج ظاهر شده؛ در نتیجه d که مسافت طی شده جسمه کاهش پیدا میکنه که خب طبیعیه؛ چون هم گرانش داره جلوی بالا رفتن جسم رو میگیره و هم اصطکاک.

راستی الان دیدم؛ این رابطه که پرسیدید؛
$$x= \frac{ v_{0}^2 }{2gsin \theta }$$
اصلا از رابطه اول پست اول من توی این تاپیک پیدا میشه. یه طرفین وسطین کنید نامساوی ای که نوشتم رو.

نمایه کاربر
gij

نام: ahmad.anbarzadeh

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۸/۹/۲۴ - ۲۲:۵۳


پست: 183

سپاس: 16

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط gij »

یه سوال داشتم اگه نیرو بهش وارد میشه پس یا از نقطه بی میگذره یا به خاطر اصتحکاک ایستایی سر جاش می ایسته.
غیر از این دو حالت وجود داره؟ چون نگفته که نیرو پیش ران تو چه زمانی قطع میشه.پس نیرو به صورت مداوم بهش وارد میشه و با معادله fnet=maحرکت میکنه
گر بگوید مرده خور کفتار کز بهر ثواب
خادم اهل قبورم بشنو و باور مکن

نمایه کاربر
paradoxy

نام: داود حاجي تقي تهراني

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2072

سپاس: 1114

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط paradoxy »

gij نوشته شده:یه سوال داشتم اگه نیرو بهش وارد میشه پس یا از نقطه بی میگذره یا به خاطر اصتحکاک ایستایی سر جاش می ایسته.
غیر از این دو حالت وجود داره؟ چون نگفته که نیرو پیش ران تو چه زمانی قطع میشه.پس نیرو به صورت مداوم بهش وارد میشه و با معادله fnet=maحرکت میکنه

روابط بالا برای زمانی صادقن که جسمو یه هل دادیم که روی سطح شیب دار راه بیوفته و بعد ولش کردیم، یعنی جسم سرعت اولیه مشخصی داره و مدام بهش نیرو وارد نمیشه. صرفا یک نیروی لحظه ای در ابتدای مسیر بهش وارد شده.

Ali se

نام: علی س

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۸/۱۲/۱۲ - ۱۷:۰۸


پست: 1



Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط Ali se »

ببخشید من یه سوال داشتم . چرا ادم وقتی در داخل قطار در حال حرکت بالا میپره در همان نقطه ی پرش پایین مییاید ولی وقتی در بالا سقف قطار بالا میپره چند متر عقب تر پایین می اید (هر دو مورد در شرایط خلا رخ میدهد

نمایه کاربر
paradoxy

نام: داود حاجي تقي تهراني

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2072

سپاس: 1114

Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط paradoxy »

اگر هر دو در خلأ رخ بدن، پریدن بیرون و داخل قطار فرقی نمیکنه و در هر دو پرش فرد روی همون نقطه ای که ازش پریده پایین میاد. اگر شهودی احساس میکنید که روی سقف فرق داره، دلیلش اینه که واقعا قطار رو در خلأ در نظر نگرفتید و ناخودآگاه شرایطی که هوا وجود داره رو تصور کردید

babak.n.msl

عضویت : جمعه ۱۳۹۸/۱۲/۲۳ - ۱۳:۵۹


پست: 1



Re: معادله حرکت بر روی سطح شیبدار با شتاب ثابت

پست توسط babak.n.msl »

سلام چه تفاوتی بین فیزیک مکانیک و دروسی که تو مهندسی مکانیک پاس میشه هست ؟
تو دینامیک و استاتیک و مقاومت مصالح و محیط پیوسته هم مسائل و سرفصل ها تقریبا به همین شکله یعنی بحث حرکت و نیرو و اصطکاک و گرما و دما و تو فیزیک هم همین مسائل وجود داره ؟

ارسال پست