انحراف ژیروسکوپ

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
hzamanai199

نام: ح. زمانی

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۸/۱۲/۱۱ - ۱۶:۴۹


پست: 1



انحراف ژیروسکوپ

پست توسط hzamanai199 »

با عرض سلام خدمت دوستان
یه سوالی داشتم. دلیل حرکت دایره ای ژیروسکوپ وقتی که چرخ آن را میچرخانیم چیست. از نظر فرمولی و جمع برداری ممان زاویه ای، موضوع رو میدونم. میخوام یه دلیل ملموس ذهنی یا یه مثال خوب برام گفته بشه که دلیل این حرکت رو بفهمم. خیلی ممنون از دوستان عزیز.

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 343

سپاس: 176

جنسیت:

تماس:

Re: انحراف ژیروسکوپ

پست توسط rohamjpl »

اجازه دهید در بالا z^ جهت از پایه سازه به کره قرمز باشد ، و ایکس^ بردار واحد که از کره قرمز به سمت ژیروسکوپ می رود.
پیکانهای قرمز نشان دهنده سرعت قسمتهای مختلف ژیروسکوپ چرخان است. پیکانهای سبز نشان دهنده عملکرد موثر گرانش بر روی مرکز جرم میله است و نیروی متقابل مربوطه لولا را ارائه می دهد.
عملکرد ترکیبی دو فلش سبز باعث ایجاد گشتاور روی میله + سیستم ژیروسکوپ می شود و می خواهد آن را به پایین فشار دهد. اما تنها راه برای این اتفاق ، چرخش ژیروسکوپ در داخل استایکس^z^ سطح:
فلشهای فیروزه ای نیروهای مربوطه را نشان می دهد که این چرخش در نقاط بالا و پایین ژیروسکوپ ایجاد می کند. اکنون ، به یاد داشته باشید که فلشهای فیروزه ای نیروها را نشان می دهند ، در حالی که سرعت قرمزها. فلشهای فیروزه ای باعث تسریع در نقاط مختلف ژیروسکوپ می شوند. به طور خاص ، آنها فلش های قرمز را وادار به تغییر جهت می کنند. در مدل این برای نقاط بالا و پایین نشان داده شده است ، در حالی که فلشهای نارنجی بردارهای سرعت اصلاح شده را در آن نقاط بازنشانی می کنند.
همانطور که از آنجا مشاهده می کنید ، بردارهای جدید سرعت با مواردی که در هنگام تغییر جهت حرکت ژیروسکوپ به دنبال حرکت شتاب دادن ، مطابقت دارید. اساساً ، عملکرد نیروهای فیروزه ای روی سرعتهای قرمز همان چیزی است که باعث حرکت پیش دستی می شود.
اکنون برای تغذیه ، باید توجه داشته باشیم که فلش های فیروزه ای بالا در واقع به درستی ترسیم نشده اند. حرکت جیروسکوپ که به طرز صحیح تری سقوط می کند مطابقت دارد که فلشهای فیروزه ای کمی به سمت زمین متمایل شده اند. این البته قابل انتظار است: پس از همه ، اگر ژیروسکوپ چرخش نداشت ، فقط سقوط می کرد. به همین دلیل است حتی اگر حرکت تقدیمی وجود دارد، ژیروسکوپ کند به پایین کمی.
این شتاب به سمت زمین ، به دلیل همان مکانیزم توضیح داده شده در بالا ، نیز یک پیش دستی سریعتر را القا می کند. اما یک ترجیح شتاب آور اکنون به دلایلی شبیه به دلایل خود ترجیح ، موجب واکنش متقابل می شود.
یک حرکت شتاب دهنده به این معنی است که بردارهای نیرویی وجود دارد که ژیروسکوپ را به چرخش در داخل فشار می دهد ایکس^y^سطح. باز هم ، این مربوط به فشار دادن نقاط مختلف ژیروسکوپ به جهات مختلف است. در ادامه ، پیکان فیروزه ای نیروهایی را نشان می دهد که در دو نقطه عمل می کنند:انرژی جنبشی ان $ T=\frac{1}{2}I_1\omega_1^2+\frac{1}{2}I_2\omega_2^2+\frac{1}{2}I_3\omega_3^2$ با توجه به تنسور $I_{ij}=\sum m\left(r^2\delta_{ij}-r_ir_j\right) $ با توجه بردار$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r} $
باز هم ، این نیروهای فیروزه ای تغییر جهت جهت های قرمز متناظر را القا می کنند و فلش های نارنجی نشان می دهند که سرعت به زودی چه خواهد بود. همانطور که می بینید ، سرعتهای جدید مربوط به جهت حرکت ژیروسکوپ به سمت بالا است ، بنابراین پدیده "مقابله با سقوط" را ایجاد می کند که در این مورد ، تغذیه است.تصویرتصویر
یخوب مید.ونید ژیروسکوپ وسیله ای جهت حفظ جهت در راستای حفظ تعادل می‌باشد که از اصل بقای تکانه زاویه‌ای استفاده می‌کند.یک ژیروسکوپ مکانیکی همیشه یک چرخ یا دیسک چرخنده با محور آزاد دارد که می‌تواند در هر جهتی بایستد. اما بهترین روش تحلیل ریاضی ان هست .محورهای مختصات XYZ را به صورت شکل زیر برای ژیروسکوپ رسم می‌کنیم تو این شکل g شتاب گرانش است. نقطه G مرکز جرم دیسک را نشان می‌دهد. محل تکیه‌گاه نیز با P نمایش داده می‌شود. مبدأ مختصات XYZ، نقطه P است. بردارهای J ،I و K بردارهای یکه هستند و به ترتیب جهت مثبت محورهای Y ،X و Z رابه ما نشون میدند.ابتدا من سرعت زاویه ای دیسک محاسبه کنم $\large\overrightarrow{\omega_w}=(\omega_s\sin\theta)\hat{J}+(\omega_s\cos\theta+\omega_p)\hat{K} $ از رابطه مشتق بگیرم $ \large\overrightarrow{a_w}=\frac{d[(\omega_s\sin\theta)\hat{J}]}{dt}+\frac{d[(\omega_s\cos\theta\:+\omega_p)\hat{K}]}{dt}$ خوب $\omega_s $ معلوم هست که صفر هست لذا رابطه ساده میشه$\large\overrightarrow{a}_w=-\omega_s\omega_p\sin\theta\:\hat{I} $ خوب سرعت زاویه ای میله $\large\overrightarrow{\omega}_r=\omega_p\:\hat{K} $ وچون سرعت زاویه‌ای میله ثابت است و جهت آن هم تغییر نمی‌کند، شتاب زاویه‌ای آن صفر هست حالا نیروها و گشتاورهای وارد به دیسک را برسی کنیم گشتاور در نقطه G و در راستای محور x را با Mx نشان داده‌ایم. گشتاورهای My و Mz نیز به طریقی مشابه تعریف میشه.تصویر با قانون دوم نیوتن اشنا هستید همون رابطه معروف $\large\sum_{}F_X=F_{GX}=m_wa_{GX}\\~\\
\large\sum_{}F_Y=F_{GY}=m_wa_{GY}\\~\\
\large\sum_{}F_Z=F_{GZ}-m_wg=m_wa_{GZ} $جرم دیسک با mw نمایش داده شده است. aGX شتاب را در نقطه G و در راستای X نشان میدهم. شتاب‌های aGY و aGZ نیز به طوری مشابه و به ترتیب در جهت‌های Y و Z تعریف میشه/$\large F_{GY}=m_wa_{GY} $خوب نقطه G روی یک مسیر افقی به شکل دایره و با سرعت ثابت حرکت می‌کند پس شتاب مماسی برابر صفر است.خوب شتاب گرا در جهت y $ \large a_{GY}=-{\omega_p}^2(L\sin\theta)$ هستش.لذا نیرو $ \large F_{GY}=-m_w{\omega_p}^2(L\sin\theta)$ خوب نقطه G با سرعت ثابت روی یک دایره افقی حرکت می‌کند، شتاب در راستای Z برابر با صفر است پس $\large F_{GZ}-m_wg=m_wa_{GZ}=0 $ و $ \large F_{GZ}=-m_w\:g$ حرکت اویلر را در جهت x برای جسم صلب به کاربرده و . این معادلات در دو جهت دیگر مساوی صفر هستند.$ \large \sum M_{Gx}=I_{Gx}\alpha_x-(I_{Gy}-I_{Gz})\omega_y\omega_z$ ببینید که نیروهای FGX ،FGY وFGZ حول نقطه G هیچ گشتاوری ایجاد نمی‌کنند. زیرا هر سه نیرو از نقطه G عبور کرده و طول بازوی گشتاور در آنها صفر است. در رابطه بالا، IGx ،IGy و IGz، به ترتیب ممان‌های اینرسی را حول نقطه G در جهت‌های y ،x و z نشان می‌دهد $ \large I_{Gx}=I_{Gz}=\frac{1}{4}m_wr^2$ لذا $ \large I_{Gy}=\frac{1}{2}m_wr^2$معادله حرکت اویلر در جهت x به دست خواهد آمد $ \large M_x=-\frac{1}{4}m_wr^2\omega_s\omega_p\sin\theta-\frac{1}{4}m_wr^2(\omega_s+\omega_p\cos\theta)\omega_p\sin\theta$ در این بخش گشتاورهای وارد شده به میله را حول نقطه P بررسی کنم $ \large \sum M_{Px}=I_{Px}a_x-(I_{Py}-I_{Pz})\omega_y\omega_z$سرعت و شتاب زاویه‌ای میله در دستگاه xyz را می‌توان به صورت زیر نوشت $ \large \omega_x=0\:\:,\:\:\omega_y=\omega_p\cos\theta\:\:,\:\:\omega_z=\omega_p\sin\theta\\~\\
\large a_x=a_y=a_z=0$ ،که IPy و IPz، به ترتیب ممان‌های اینرسی میله را حول نقطه P در جهت‌های y ،x و z نشان می‌دهند$\large I_{Px}=I_{Pz}=\frac{1}{3}m_rL^2\\~\\
\large I_{Py}=0 $ من معادله اویلر در جهت محور x مینویسم $ \large -m_rg\frac{L}{2}\sin\theta-F_{GZ}L\sin\theta+F_{GY}L\cos\theta-M_x\\
\large=\frac{1}{3}m_rL^2{\omega_p}^2\cos\theta\sin\theta$ ساده شده عبارت $\large {\omega_p}^2\cos\theta(\frac{1}{3}m_rL^2-\frac{1}{4}m_wr^2+m_wL^2)\\
\large=\frac{1}{2}m_wr^2\omega_s\omega_p-m_rg\frac{L}{2}-m_wgL $ هست پایداری ژیروسکوپ تکانه زاویه‌ای تغییرات بردار تکانه زاویه‌ای جسم صلب در بازه زمانی ti تاtf به صورت زیر محاسبه می‌شود. پارامتر Hf بردار تکانه زاویه‌ای را در لحظه نهایی tf نشان می‌دهد. بردار تکانه زاویه‌ای در لحظه اولیه ti نیز برابر با Hi است. بردار M همکه بیانگر گشتاورهای خارجی وارد به جسم صلب است.$ \large \sum \int_{ti}^{tf}\overrightarrow{M}dt={\overrightarrow{H}}_f-{\overrightarrow{H}}_i$تصویر
تکانه زاویه‌ای بین زمان‌های ti و tf با ΔH نشان داده شده است. خوب تحلیل اسپین می‌خواهم رابطه‌ای برای ارتباط بین زاویه θ و بردارهای HG و ωs پیدا کنم. با استفاده از ضرب داخلی، رابطه زیر به راحتی به دستمیاد$ \large \cos\theta=\frac{{\overrightarrow{H}}_G.\hat{J}}{|{\overrightarrow{H}}_G|}$ خوب مشتق بگیرم $ \large\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=-\frac{{\overrightarrow{H}}_G}{\sin\theta\:|{\overrightarrow{H}}_G|}(\frac{\text{d}\hat{j}}{\text{d}t})$ عبارت زیر جایگذاری کنم $(\frac{\text{d}\hat{j}}{\text{d}t})=\overrightarrow{\omega}\times\hat{j} $ از مفهوم ضرب خارجی $ \large\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=-\frac{(I_z-I_x)\omega_z\omega_x}{\sin\theta\:|{\overrightarrow{H}}_G|}$ هنگامی که مقادیر Ix وIz با یکدیگر برابر باشند $\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t} $ نیز صفر هست $\omega_x=\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=0 $ و ωp را برحسب یکدیگر محاسبه کنیم. از آنجایی که زاویه θ همیشه ثابت است، تکانه زاویه‌ای را می‌توان به صورت زیر و در دستگاه مختصات xyz بیان کرد.$ \large {\overrightarrow{H}}_G=(|{\overrightarrow{H}_G}|\cos\theta)\hat{j}+(|{\overrightarrow{H}_G}|\sin\theta)\hat{k}$ لذا خوب دارم $\large\omega_s=\omega_p\cos\theta\frac{I_w-I_{Gy}}{I_{Gy}} $تصویرحالا چرا هنگام چرخاندن یک فرفره به حالت ایستاده برمی گردد
جای این که مانند برخی از بالای صفحه ها به یک نقطه تیز در پایین برسد ، یک پایین گرد دارد. این اثر در تاپ هایی که شعاع انحنای بیشتری در پایین دارند ، بارزتر و چشمگیرتر است ، مانند حالت فوقانی بالای تیپ ، که دارای شعاع انحنای آنقدر بزرگ است که امکان دارد مرکز جرم بالای آن باشد در ارتفاعی کوچکتر از شعاع انحنا. در واقع ، مقاله هایی که من دیده ام نشان می دهد که چگونه اصطکاک کشویی باعث بالا آمدن مرکز جرم یک تاپ می شود ، به طور خاص آنالیز بالای تاپ را انجام می دهند.
تجزیه و تحلیل یک بالا به طور کلی ، از جمله اثرات اصطکاک ، کاملاً پیچیده است. برای ساده کردن تجزیه و تحلیل بسیار زیاد ، من فقط در یک لحظه به بالا نگاه می کنم که در آن بالا هیچ حرکت خطی ندارد ، و یک حرکت زاویه ای بسیار بزرگ دارد که دقیقاً در امتداد محور تقارن بالا قرار دارد.
همچنین گرانش را در این توضیح ساده قابل اغماض می دانم. گرانش باعث ایجاد یک گشتاور کاملاً افقی در قسمت بالایی می شود ، اما ما فقط به گشتاور علاقه مند هستیم که دارای یک مولفه عمودی باشد ، که باعث می شود تا بالا به طور قائم تر شود. در حقیقت ، اگر جاذبه سطح و میز را به هم نمی چسباند ، هیچ اصطکاک لغزشی در نقطه تماس بین این دو وجود نخواهد داشت ، اما ما به راحتی تصور خواهیم کرد که اصطکاک کشویی وجود دارد ، بدون در نظر گرفتن چگونگی اصطکاک کشویی مربوط به گرانش است.
از آنجا که بالای آن به جای پایین نوک تیز ، یک گرد دارد ، نقطه تماس بالای آن در P نیست ، بلکه در بعضی از نقاط C است. از فرضیات گفته شده در بالا ، در لحظه مورد علاقه P ثابت است. در مقابل ، از جهت$ \vec{L}$ ، در C سطح بالا به سمت بیننده در حال حرکت است ، مستقیم از صفحه نمودار به سمت بالا. اصطکاک کشویی یک نیروی$ \vec{F}_k$ (نشان داده نشده) در بالا در C ، در جهت مخالف حرکت بالا در آن نقطه است ، یعنی مستقیماً به سمت پایین
بردار موقعیت C از$\vec{X}_C $ است. نیروی $\vec{F}_k $ در بالا یک گشتاور در قسمت بالای مرکز جرم بالای آن تولید می کند ،تصویر
$\vec{\tau} = \vec{X}_C \times \vec{F}_k \,\, . $
گشتاور $\vec{\tau} $ را می توان به صورت زیر نوشت$ \vec{\tau}=\vec{\tau}_{\parallel}+\vec{\tau}_{\perp} \,\, ,$
جایی که$ \vec{\tau}_{\parallel}$ موازی$\vec{L} $ است و$ \vec{\tau}_{\perp}$ عمود بر $\vec{L} $ است.
گشتاور $ \vec{\tau}$ این است که حرکت زاویه ای $\vec{L} $ با زمان تغییر می کند ،$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}=\vec{\tau}_{\parallel}+\vec{\tau}_{\perp} \,\, . $
اگه$\vec{\tau}_{\parallel} $در جهت مخالف $ \vec{L}$ قرار دارد ، بنابراین اثر$\vec{\tau}_{\parallel} $ کاهش بزرگی $ \vec{L}$ است ، به عنوان مثال ، کاهش سرعت بالا.
اگر قسمت بالای آن در فضای خالی باشد ، اثر $ \vec{\tau}_{\perp}$ چرخاندن قسمت بالای آن در جهت O در جهت ساعت در نمودار خواهد بود. با این وجود ، به دلیل محدودیتی که قسمت بالای صفحه با جدول در تماس است ، اثر $\vec{\tau}_{\perp} $ این است که O را از جدول بلند کرده و O را به بالاتر از C نزدیک کند.
بالا یک بدنه متقارن سفت و سخت است. معادلات حرکت یک جسم صلب در اطراف مرکز جرم آن توسط: .
$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3 $
$ I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega_3\Omega_1$
$ I_3\dot\Omega_3=(I_1-I_2)\Omega_1\Omega_2$
فرض کنید که بالای سفت و سخت در مورد یک محور متقارن است (بگذارید بگوییم محور سوم) ، بنابراین ما داریم:
$I_1=I_2 $
و همچنین اینکه محور سوم باریک است:$I_3<I_1(or I_2) $
در این حالت معادله سوم حرکت دلالت دارد$ \Omega_3=\Omega = const.$
و به جای دو معادله دیگر ، بدست می آوریم:
$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega\Omega_2 $
$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega\Omega_1 $
با استفاده از مشتق اول معادله دوم با توجه به زمان و جایگزینی معادله دوم ، به دست می آوریم:$I_1I_2\ddot\Omega_2= \Omega^2 (I_3-I_1)(I_2-I_3)\Omega_2 $
این یک معادله یک نوسان ساز هارمونیک است:$ \ddot\Omega_2+k^2 \Omega_2 = 0$با$ k^2= - \frac{\Omega^2 (I_3-I_1)(I_2-I_3)}{I_1I_2}$
اکنون ، مشاهده کنید که k ^ 2> 0$ $از آنجا که $I_3-I_1<0 $ و$I_2-I_3>0 $ ، بنابراین ثابت فنر واقعی است و نوسان ساز هارمونیک پایدار است.
این اثر ژیروسکوپی نامیده می شود و بیان می کند که شیئی که در حال چرخش است دارای یک حرکت زاویه ای است $ \vec{L}$ بنابراین تمایل دارد که محور چرخش خود باقی بماند ،$\vec{L}=I\omega $ سریعتر می چرخد ​​(ω بیشتر) بیشتر تمایل دارد که محور چرخش خود باقی بماند.
یک تصویر زیر را در نظر بگیرید ، یک چرخش با سرعت زاویه ای ω می چرخد ​​، بنابراین دارای یک حرکت زاویه ای$\vec{L} $ است ، سریعتر$ \vec{L}$ بیشتر می چرخد ​​و بیشتر تمایل دارد که حرکت چرخشی خود را در مورد یک محور خاص حفظ کند ، توجه داشته باشید که وقتی سرعت آن کاهش می یابد (به دلیل نیروهای اصطکاک)$ \vec{L}$ کمتری دارد بنابراین ترجیح آن به دلیل سنگین شدن آن به سمت پایین افزایش می یابد.
توجه داشته باشید که نیروی گرانش باعث چرخش بالای چرخش ماشینی (پیش از چرخش چرخشی آن می شود) بنابراین می توانیم از این مشاهده نتیجه بگیریم که برای تغییر محور چرخش چرخش باید نیرویی اعمال شود ، بیشترین نیرویی که بیشتر از قبل از آن استفاده خواهد کرد محور چرخش (با فرض ثابت بودن L⃗). وقتی این نیرو برداشته شود ، به دلیل داشتن شتاب زاویه ای ، به طور طبیعی و بدون هیچ گونه مقدماتی به حالت اولیه برمی گردد.تصویر
به عنوان قانون اول نیوتون فکر کنید ، اما به جای حرکت ترجمه در حرکت چرخشی است.قانون اول نیوتون اظهار داشت:جسمی که در حال حرکت است تمایل دارد که در حرکت بماند و در یک خط مستقیم حرکت کند ، مگر اینکه توسط یک نیروی نامتعادل عمل کند.ما می توانیم این قانون را برای حرکت چرخشی دوباره ایجاد کنیم:جسمی که در حال چرخش است تمایل دارد که حرکات چرخشی در مورد یک محور خاص باقی بماند مگر اینکه توسط یک نیروی نامتعادل عمل کند.
جسمی که دارای یک حرکت انتقالی با سرعت v باشد به نیروی $ \vec{F}$ نیاز دارد تا جهت حرکت خود را به طور مشابه تغییر دهد شیئی که دارای سرعت زاویه ای ω است برای تغییر محور چرخشی خود به نیرو احتیاج دارد.گشتاور به عنوان گرایش نیرو برای چرخش یک جسم در مورد یک محور و از نظر ریاضی به عنوان یک محصول بردار (ضربدری) از فاصله و نیرو تعریف می شود:$ \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$جایی که r فاصله ای از نقطه چرخش است و$\vec{F} $ به آن نیرو وارد می شود.
توجه داشته باشید که گشتاور یک بردار است و این بردار در تصویر زیر نشان داده شده است:
چرخش بالا تقریباً عمودی می شود زیرا دارای حرکت زاویه ای است و این بدان معناست که اگر جسمی بچرخد در مقابل محور چرخش خود مقدمه گرفته و سریعتر بچرخد در مقابل این مقدمه مقاومت می کند تا اتفاق بیفتد ، بنابراین اگر هنوز آن را برعکس کردم می چرخد ​​با همان سرعت زاویه ای به سرعت صفر باز می گردد ، سریعتر می چرخد ​​سریعتر به حالت اولیه خود باز می گردد.
برای توضیح این موضوع از نظر ریاضی ، یک در حال چرخش روی زمین با سرعت زاویه ای ω در نظر گرفته شده است و دارای سرعت زاویه ای شیب ω پی و زاویه شیب دار
حرکت زاویه ای آن به صورت زیر تعریف می شود:$\vec{L}= \vec{\omega} I $

بگویید چرخش بالای Δθ چرخانده و تغییر آن در حرکت زاویه ای ΔL است.
سپس می توانیم Δθ را به صورت زیر بیان کنیم:$ \Delta \theta \approx \frac{\Delta L}{L sin(\phi)}$
سرعت زاویه ای حق تقدم را می توان به شرح زیر بیان کرد:$\omega_p = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} $
اکنون می توانیم معادله اول را در این معادله جایگزین کنیم.$\omega_p = \frac{\Delta L}{\Delta t L sin(\phi)} $
گشتاور به عنوان تغییر در حرکت زاویه ای تعریف می شود:
$\frac{\Delta L}{\Delta t}= I \vec{\alpha} = \tau $
حالا این را در معادله قبلی جایگزین می کنیم:$\omega_p = \frac{\tau}{L sin(\phi)} $
و فرمول زیر را دریافت می کنیم:$\omega_p = \frac{\vec{F}r}{L sin(\phi)} $
از این معادله می توان دریافت که اگر نیرویی را روی جسمی در حال چرخش وارد کنیم ، ωp آن افزایش می یابد زیرا با نیروی اعمال شده متناسب است. اگر نیروی اعمال شده صفر باشد ، ωp نیز صفر می شود ، بنابراین دیگر سرعت زاویه ای فوق العاده ای نخواهد داشت بنابراین دوباره به صورت ایستاده ایستاده است.
تصویر

ارسال پست