چرا قایقی که سوراخی در آن است غرق می شود؟
شناورها به دلیل اصل ارشمیدس شناور می شوند - - آب جابجا شده توسط بدنه کشتی آن را به سمت بالا هل می دهد. وقتی وزن آب جابجا شده برابر با وزن قایق باشد ، نیروها منطبق می شوند و قایق شناور می شود. وزن را به قایق اضافه کنید و کمی بیشتر غرق می شود تا جایی که وزن آب اضافی جابجا شده برابر با وزن اضافه شده به قایق باشد.
آب اطراف قایق به دلیل فشار هیدرواستاتیک - فشار مایع و عمق چیست بالا می رود. فشار آب بر روی بدنه در هر نقطه برابر است:
تراکم آب * شتاب ناشی از جاذبه * عمق آب
بنابراین اکنون در قایق زیر خط آب یک سوراخ ایجاد کنید. فشار هوا در داخل قایق که به بیرون فشار می آورد ، فشار جو است. فشار آب در خارج با فرمول بالا داده می شود. آب برنده می شود و به داخل قایق می تازد. این بدان معناست که قایق سنگین تر است ، بنابراین شروع به غرق شدن می کند و سعی می کند آب بیشتری را جابجا کند. اما آب مدام وارد می شود زیرا فشار هیدرواستاتیک در سوراخ همیشه بیشتر از فشار جو است که به سطح آب قایق فشار می آورد.
بنابراین آب از سوراخ چقدر سریع وارد می شود؟ من فکر می کنم شما می توانید از قانون Torricelli - در مورد خواص آب) استفاده کنید.
دوست ایتالیایی ما با فشارسنج به ما می گوید که سرعت هجوم آب (متر بر ثانیه) با چه سرعتی انجام می شود. ضرب در مساحت سوراخ (m ^ 2) کنید و m ^ 3 / sec دریافت کنید - متر مکعب در ثانیه ، مقدار آب در هر ثانیه عجله می کند.
این کمی پیچیده می شود زیرا با غرق شدن قایق ، سوراخ عمیق تر و عمیق تر در آب است (فشار هیدرواستاتیک بالاتر) بنابراین آب سریعتر و سریعتر هجوم می آورد. احتمالاً باید فرض کنید که قایق شما مانند جعبه ای با یک کیلوگرم بر سانتی متر ثابت است - کیلوگرم آب مورد نیاز برای غرق شدن یک سانتی متر اضافی قایق.چرا قایقی که سوراخی در آن است غرق می شود؟
قبل از اینکه در آنچه غرق شدن قایق است غوطه ور شویم (بدون حرف زدن) ، باید اصول فیزیکی را که باعث شناور شدن آن می شود ، در نظر بگیریم.
شناور سازی نتیجه جابجایی مایعات در حجم مناسب است. این حجم از آب جابجا شده ، نیرویی فعال به سمت بالا ایجاد می کند که با جاذبه مقابله می کند و به بدن اجازه می دهد تا حالت ایستایی خود را حفظ کند.
انجام یک جمع بندی عمومی برای جسمی که توسط مایع احاطه شده است:
$∑F=ρfVg−ρbVg=(ρf−ρb)Vg$
اصطلاح اول نیروی شناوری و دومین اصطلاح نیروی جاذبه است. همانطور که مشاهده می شود ، حرکت بدن در یک مایع تنها به تراکم بدن و مایع بستگی دارد. اگر تراکم بدن از مایعات کمتر باشد ، افزایش می یابد. اگر بیشتر باشد ، غرق می شود. اگر این دو برابر باشند ، بدن دقیقاً در همان جایی که هست باقی می ماند.
وقتی روی قایق حفره ای ایجاد می شود ، آب در آن فرو می رود. این بدان معناست که تراکم قایق در حال افزایش است بنابراین باعث می شود قایق به آرامی غرق شود. سرانجام ، آنقدر آب در قایق وجود دارد که شروع به غرق شدن با سرعت بسیار بالاتری می کند. توجه داشته باشید که:$dρb/dt>0$
برای یک حجم مشخص ، چیزهای سبک شناور هستند و چیزهای سنگین غرق می شوند. وقتی فنجان را پر از آب می کنید غرق می شود زیرا سنگین تر می شود و در نتیجه متراکم تر می شود. وقتی فنجان بیشتر از آب متراکم شود ، غرق می شود.
اگر این فنجان را با سنگ ، سرب و غیره پر کنید ، به همان خوبی غرق می شود. شرط غرق شدن این فنجان این است که وزن آن باید از وزن آبی که جابجا می کند بیشتر باشد (یعنی وزن آن باید بیشتر از وزن باشد) یک فنجان دقیقاً به همان اندازه ، اما از آب درست شده و پر از آب است.)اگر من درست فهمیدم ، نیروی شناوری نتیجه تغییرات فشار اعمال شده توسط نیروی جاذبه است. قانون ارشمیدس به طور کلی نیروی شناوری را پیش بینی می کندρمایعVg. چیزی که من قادر به درک آن نیستم این است که چرا وقتی کل نیروی ناشی از فشار اطراف یک کره شعاع را محاسبه می کنمRبه عنوان مثال ، من دقیقاً این نیرو را دریافت نمی کنم ، بلکه نیرویی است که توسط برخی ثابت ها تولید می شود. $F_\text{buoyancy}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\rho_\text{fluid} gh\,R^{2}\sin\theta d\theta d\varphi$,$F_\text{buoyancy}=-2\pi g\rho_\text{fluid} gR^{3}\int_{0}^{\pi}(\cos\theta-1)\sin\theta d\theta=4\pi R^{3}\rho_\text{fluid}g$کار انجام شده توسط نیروی شناور $\int_0^{h/4}2ρA(h/2+2x)g\text{d}x=\frac{3\rho Agh^2}{8}$
سطح آب در یک قایق غرق شده ثابت است
"یک سوراخ کوچک به پایین قایق مستطیل شکسته می شود و اجازه می دهد آب به قایق وارد شود. هنگامی که قایق در آب فرو می رود ، کدام یک از نمودارهای زیر به بهترین وجه نشان می دهد که میزان جریان آب از سوراخ با زمان متفاوت است؟ فرض کنید که هنگام غرق شدن ، قایق به صورت افقی باقی می ماند. "
پاسخ داده شده یک خط افقی بود ، یعنی نرخ ثابت است. توضیح روی کلید پاسخ این بود که اصل ارشمیدس می گوید تفاوت بین سطح آب داخل و خارج ثابت است ، بنابراین سرعت جریان ثابت است. در حالی که می توانستم این را به نوعی تجسم کنم ، من هرگز چیزی در مورد اصل ارشمیدس که به این روش استفاده می شود . چه مدرکی برای این امر وجود دارد (اختلاف ثابت سطح آب 0
نیروی شناور برابر چگالی بار مایع شتاب محلی با توجه به بار گرانش حجم آواره، .$F_b = \rho g V$
فرض کنید قایق ثابت خواهد بود ، بنابراین بدون هیچگونه نیروی خالصی ، اگر سوراخ اجازه عبور آب را ندهد. سپس ، اگر تنها نیروهایی که بر روی قایق وارد می شوند ، نیروی و نیروی جاذبه است ، ما می دانیم که m جرم قایق است.$F_b = -F_g = mg$
جرم قایق تغییر نمی کند ، چگالی آب و شتاب محلی ناشی از جاذبه نیز تغییر نمی کند ، بنابراین ما$mg = \rho g V$و$V = \frac{m}\rho$
و بنابراین حجم جابجا شده ثابت است. اگر قایق ما یک منشور مستطیل شکل باشد که در حال فرو رفتن مستقیم است ، جابجایی (حجم قایقی که در زیر آب است ، منهای حجم قایقی که پر از آب است) که A مساحت قایق است ، h عمق نسبت به سطح آب کف قایق است و l سطح آب در قایق است.$V = A(h-l)$
سپس "تفاوت بین سطح آب داخل و خارج" hl توسط$h-l = \frac{V}A = \frac{m}{A\rho}$
دلیل شناوری اختلاف فشار در مایعات است. به طور خاص ، تفاوت در فشار هیدرواستاتیک در سطوح مختلف ، از آنجا که فشار هیدرواستاتیک آب با عمق افزایش می یابد ( فاصله زیر سطح است). قسمتی از بدن که تحت فشار هیدرواستاتیک بالاتری قرار دارد بیشتر از قسمت تحت فشار فشار هیدرواستاتیک پایین به سمت بالا رانده می شود. همچنین ، در فضا هیچ شناوری وجود نخواهد داشت زیرا هیچ جاذبه ای وجود نخواهد داشت ، بنابراین هیچ تفاوتی در فشار هیدرواستاتیک وجود ندارد.p=ρgh
. از آنجا که همانطور که گفتید هیچ آبی به زیر مکعب نمی رسد ، در نتیجه فشار نیرویی به سمت بالا وجود نخواهد داشت. در واقع مایع مکعب را به سمت پایین ، به کف فشار می دهد ، بنابراین نیروی پایین رگ در تماس با مکعب ، وزن مکعب + وزن مایع بالا خواهد بود.
بله ، از آنجا که دلیل شناوری اختلاف فشار است ، اگر در زیر مکعب آب نباشد ، در حقیقت هیچ نیروی شناوری وجود نخواهد داشت. مایع مکعب را به سمت پایین فشار می دهد.
من می گویم که مکعب در واقع آب را جابجا می کند (اگر آن را بردارید ، سطح آب کاهش می یابد) ، اما در این حالت وقتی با آن به عنوان بخشی از رگ رفتار می کنید ، حق دارید ، زیرا زیر آن آب وجود ندارد. هر جسمی که در مایعی غوطه ور است ، بخشی از آن را جابجا می کند (زیرا مایعات در وهله اول وجود داشت ، وقتی بدن را غوطه ور می کردید باید جایی بروید) ، اما اصل ارشمیدس می گوید که نیروی وارد بر بدن برابر با وزن مایع جابجا شده فقط زمانی مناسب است که بدن کاملاً در آن غوطه ور باشد. در واقع ، استنباط این قانون نسبتاً ساده است:
اگر و اگر درهای ضد آب بسته شده بودند ، آیا تایتانیک فرصتی برای فرار از سرنوشت غم انگیز خود داشت؟
تایتانیک "غیرقابل غرق شدن" در نظر گرفته شد زیرا از چهارده شانزده محوطه ممکن است اب گرفتگی زده شود و هنوز شناور باشداین محفظه ها اساساً "دیوارهای" عمودی در سراسر کشتی بودند.اگر منطقه بین هر دو دیواره اب گرفتگی شود ، آب نمی تواند به قسمتهای دیگر سرازیر شود (هنگام بسته شدن درهای اب گرفتگی). به این فکر کنید که 16 قایق کوچکتر با هم جوش خورده اند و ایده شما را می گیرند.احتمالاً درست است که باز گذاشتن درهای ضد آب بین محفظه ها روند کج شدن را کند می کند. هنگامی که کشتی به یک زاویه خاص رسید ، فشارها بیش از حد زیاد شد (نیروی خمشی از جلو که سعی در غرق شدن و عقب در تلاش برای شناور شدن بود). اعتقاد بر این است که دیگهای بخار (به یاد داشته باشید این یک کشتی بخار عظیم بود) شل شده و در طول کشتی "سقوط" کرده ،بدنه سوراخ شده سرعت اب گرفتگی بیشتر می کرد. بدنه نیز ممکن است به نصف شکسته شود زیرا تنشهای خمشی بسیار بیشتر از آن بود که برای مقاومت در نظر گرفته شده بود. در این مرحله ، ژنراتورهای برق از کار افتادند ، سوراخ بدنه به شدت بزرگتر شد و کل ماجرا در چند ثانیه تمام شد.
از دست دادن فشار مایع در اثر نشت سوراخ را محاسبه کنید
یک بخش داده شده از لوله دارای یک معادله جریان مانند: ΔP = γw2 است که ΔP از دست دادن فشار سر بیش از طول لوله است ، γ ضریب مربوط به طول ، قطر ، تعداد رینولد و غیره است و w دبی است .
حال تصور کنید که یک لوله داریم و می خواهیم یک سوراخ کوچک در آن قرار دهیم. ما می توانیم آن را با قیاس با یک مدار الکتریکی ، جایی که سوراخ با یک مقاومت شنت بزرگ اضافه شده در آن نقطه که به زمین نشان داده شده است ، تجزیه و تحلیل کنیم. بگذارید P0 فشار ثابت محرک جریان را نشان دهد (مشابه منبع ولتاژ) ، P1 فشار در نقطه مورد نظر نزدیک سوراخ باشد و $\gamma_{1,2,3}$ضریب جریان برای قسمت لوله در بالادست سوراخ باشد. ، پایین دست سوراخ ، و خود سوراخ. بگذارید w سرعت جریان بالادست سوراخ ،$w_2$پایین دست و $w_3$ جریان خود سوراخ باشد. سپس شما یک سیستم معادله دارید که می توانید برای P1 حل کنید:$P_0 - P_1 = \gamma_1 w^2$,$P_1 - 0 = \gamma_2 w_2^2$,$P_1 - 0 = \gamma_3 w_3^2$,$w_2+w_3 = w$حالت بدون سوراخ با γ3 = given داده می شود. از آنجا که سوراخ کوچک است ، می توانید $\gamma_3 >> \gamma_2, \gamma_1$ فرض کنید به هر حال ، این به شما افت فشار افزایشی برای یک سوراخ را نشان می دهد.البته ، من تصور می کنم که جریان توسط یک فشار منبع ایده آل ثابت هدایت می شود. در حقیقت فشار منبع ممکن است تابعی از سرعت جریان باشد (مشابه امپدانس منبع ولتاژ) که نتیجه را نیز تحت تأثیر قرار می دهد ، اما می تواند به صورت مستقیم به معادلات فوق اضافه شوداجازه دهید لوله دارای ناحیه A و سوراخ a باشد. بگذارید فشار ورودی pi باشد و سرعت ورودی vi باشد. برای سرعت خروجی از علامت گذاری مشابه با زیرنویس f استفاده کنید. اجازه دهید سرعت سیال خارج شده از سوراخ vh باشد و فشار اتمسفر p0 باشد. تراکم ρ است.
بیایید زمان کمی را dt بگیریم. در این زمان ، اجازه دهید یک ستون مایع به طول $dx_i$ وارد لوله شود ، $dx_f$ از لوله خارج شود و از سوراخ خارج شود. بدیهی است که $dx_i=v_idt$ و c. حال ، کار انجام شده توسط فشار$p_iAdx_i$ در ورودی ،$$ در خروجی و −$-p_fAdx_f$ در سوراخ است. بنابراین ، کار انجام شده است$w=p_iAdx_i-p_fAdx_f-p_0adx_h$و$\Delta KE=\frac{1}{2}\rho(Adx_fv_f^2+adx_hv_h^2-Adx_iv_i^2)$و$p_iAdx_i-p_fAdx_f-p_0adx_h=\frac{1}{2}\rho(Adx_fv_f^2+adx_hv_h^2-Adx_iv_i^2)\qquad \cdots (1)$از انجا که $Av_i=av_h+Av_f\qquad \cdots (2)$پس $p_iAv_i-p_fAv_f-p_0av_h=\frac{1}{2}\rho(Av_f^3+av_h^3-Av_i^3)\qquad \cdots (3)$خوب $\rho Adx_iv_i=\rho Adx_fv_f$یا $v_i^2=v_f^2 \implies v_i=v_f \qquad(4)$، اما ما می توانیم با فرض این vi≈vf پیش برویم. این فقط در صورت توجیه A >> a قابل توجیه است. سپس ، ما می توانیم تمام نمونه های $v_i^3-v_f^3$ را با $3v_i^2\Delta v$ جایگزین کنیم ، جایی که$\Delta v=v_i-v_f=\frac{av_h}{A}$. همه موارد دیگر vf را می توان با vi جایگزین کرد. نیرویی که به کشتی در حال غرق شدن وارد میشود $F
g
=M
sub
⋅g$و$F
total
=d
water
V
sub
⋅g−F
propeller
−M
sub
⋅g $معادله محاسبه فشار داخل سیال در تعادل:${\displaystyle \mathbf {f} +\operatorname {div} \,\sigma =0} $گشتاور ناشی از فشار در مایعات اگر من یک جسم صلب و جامد داشته باشم در یک تنظیم ثابت که به نیروهای فشار P مایع (بدون نیروهای برشی) ارسال می شود ، می توانم به راحتی کل نیروی F وارد شده بر جسم را محاسبه کنم ،$\mathbf{F}=-\int P\: \mathrm{d}\mathbf{S},$جایی که $\mathrm{d}\mathbf{S}=\hat{n}\mathrm{d}S$ دیفرانسیل سطح است و با واحد بردار$\hat{n}$ به سطح طبیعی می رسد و ادغام در کل سطح جسم در تماس با سیال است.
حال ، تصور کنید که همان جسم به گونه ای نگه داشته می شود که یک نقطه خاص (در موقعیت $\mathbf{r}_{\rm fix}$) در جسم باید ثابت بماند ، اما ممکن است جسم در این نقطه بچرخد. چگونه گشتاور T اعمال شده توسط نیروهای فشار در مورد این نقطه را محاسبه کنم؟$\mathbf{T}=-\int (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\rm fix}) \times \hat{n}\; P(\mathbf{r})\;\mathrm{d}S\quad\mathrm{?}$هر دو معادله من را می توان برای یک حالت تنش دلخواه روی سطح گسترش داد: اگر فشارهای ایزوتروپیک (فشار) و انحرافی (قیچی و غیره) را در یک سنسور تنش مناسب ترکیب کنید ، نیرو و گشتاور آن را خواهید دید "جسم درون سیال" عبارتند از: $\mathbf{F} = \int \bar{\bar{\sigma}}\cdot\hat{n}\ dS$و$\mathbf{T} = \int (\mathbf{r} - \mathbf{r_{fix}}) \times \bar{\bar{\sigma}}\cdot\hat{n}\ dS$نیروی وارد بدنه در معادلات ناویر استوکس $\rho(\frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}) = -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \mu\frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_j} + f_i$ ما فرض می کنیم: یک سیال وجود دارد که دارای معادله ای از حالت زیر است:$\rho = \rho(P,T)$جایی که ρ چگالی سیال است ، P فشار و T دما است. بیایید مشتق شده از این معادله را داشته باشیم تا:$d\rho = (\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} dP + (\frac{\partial \rho}{\partial T})_{P} dT$بیایید فرض کنیم که مایع ما در تعادل گرمایی است و درجه حرارت آن تغییر نمی کند ، در نتیجه: dT = 0بنابراین ، ما باید:$d \rho = (\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} dP$من می دانم که این فرضیه زیادی است اما دوباره فرض کنیم که تغییر چگالی به دلیل تغییر فشار غیرخطی نیست و مایع ما در واقع مانند یک گاز ایده آل رفتار می کند. در نتیجه ، (∂ρ∂P) T مربع معکوس سرعت صدا را که یک عدد ثابت است ، می نامم$(\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} = c_{s}^{-2}$,$d \rho = c_{s}^{-2} d P$,$\Delta \rho = c_{s}^{-2} \Delta P$,$(\rho - \rho_{f}) = c_{s}^{-2} (P - P_{0})$جایی که $\rho_{f}$ چگالی سیال در حالت استراحت یا مرجع است که برای هر سیال یک مقدار جدول بندی شده است و $P_{0}$ فشار مرجع است.حالا ، من تصور می کنم که مایعات من یک مایعات غیرقابل انعطاف است و این بدان معنی است (چگالی ثابت است و واقعاً ثابت است!):$\rho = \rho_{f}$در نتیجه ، از آنجا که ، هر سیال صرف نظر از قابلیت فشرده سازی یا عدم قابلیت انعطاف پذیری سرعت صوتی محدودی دارد ، من استدلال می کنم که:$P = P_{0}$یا به عبارت دیگر ، فشار دقیق باید برابر با فشار مرجع باشد.
اکنون ، من ثابت کردم که برای یک سیال غیرقابل انعطاف تا زمانی که چگالی ثابت باشد ، فشار نیز باید ثابت باشد. بنابراین در معادله ناویر-استوکس غیرقابل تطبیق ما داریم:$\rho_{f} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho_{f} (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\nabla P + \nabla \cdot \tau$منشأ شیب فشار در انتگرال ناویر-استوکس$\frac{\partial}{\partial t}\int_V\rho\mathbf u\,dV=-\oint_S\left(\rho\mathbf u\cdot d\mathbf{S}\right)\mathbf{u}-\oint_Sp\,d\mathbf{S}+\int_V\rho\mathbf{f}_{body}\,dV+\mathbf{F}_{surf}$این اصطلاح گرادیان فشار است که در کل حجم ادغام می شود ، به یک انتگرال سطح تبدیل می شود و از قضیه گاوس استفاده می شود
یک میدان از نیروهای سطح در واحد سطح (کشش ها) ، نشان داده شده t ، که یک میدان سطحی است که در مرز خود تعریف شده است ویک رشته از نیروهای بدن (در واحد حجم) ، همانطور که در مقاله ویکی پدیا مشخص شده است ، در قسمت داخلی آن مشخص شده است.بنابراین ، می توان فرض کرد که حفظ حرکت خطی برای بدن اعمال می شود (قانون دوم نیوتن را تعمیم می دهد$\frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t} = \mathbf{F}_{\text{body}} + \mathbf{F}_{\text{surface}} \tag{roham}$و$\mathbf{P} = \int_V { \rho \mathbf{u} \, \mathrm{d}V}$وو جایی که می توان کل نیروهای سطح وجسم را به عنوان محاسبه کرد$\mathbf{F}_{\text{body}} = \int_V { \mathbf{f}_{\text{body}} \, \mathrm{d}V}, \quad \mathbf{F}_{\text{surface}} = \oint_S { \mathbf{t} \, \mathrm{d}S}$ که باید یک میدان تنسور σ وجود داشته باشد به گونه ای که برای هر نقطه از مرز یک بدن (زیر دامنه) با n طبیعی عادی محلی مشخص ، محلی مقدار بردار کشش (با گرفتن مقدار نرمال به گونه ای که به سمت خارج جسم نشان داده شود) توسط داده می شود$\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{n} \tag{roham2}$
تنسور σ تنسور تنش کوشی است $\mathbf{F}_{\text{surface, normal}} = \oint_S { (\mathbf{t} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n} \, \mathrm{d}S} = \oint_S { (\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{n}) \cdot \mathbf{n} \, \mathbf{\mathrm{d}S}} = - \oint_S { p \, \mathbf{\mathrm{d}S}}$