مثالی از فنر فشرده شده

[SJJD-CE]

سلام دومین مسالی هس که از کتاب کار نمیتونم جواب بدم و متاسفانه کتاب هم پاسخنامه ای نداره اگر هر کسی لطف کرد و پاسخ داد توضیح کوچیکی هم بده تا متوجه بشم ممنون
دو بچه در حال بازی اند و میخواهند با تیله هایی از یک تفنگ فنری پر شده ی واقع بر یک میز که شلیک میشوند، جعبه ی کوچکی را در کف اتاق هدف قرار دهند. جعبه ی هدف در فاصله ی افقی D=2/20 متری از لبه ی میز قرار دارد. یکی از آن ها فنر را به اندازه ی 1/1 سانتی متر فشرده میکند ولی تیله 27 سانتی متر در فاصله ی کوتاه تری نسبت به مرکز جعبه به زمین می افتد. نفر بعدی چه قدر فنر را فشرده کند تا تیله درست به هدف بخورد؟ (فرض کنید نه بر فنر و نه بر تیله هیچ اصطکاکی از طرف تفنگ وارد نمیشود)

New Bitmap Image.jpg

[[email protected]]

فرض کنید جرم تیله $m$ و ثابت فنر $k$ باشه. انرژی پتانسیل فنر به ازاءِ $x=1.1$ سانتی متر جابجایی، به انرژی جنبشی گلوله تبدیل میشه:

$$\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m{v_0}^2\rightarrow v_0=\sqrt{\frac{k}{m}}x$$
از طرفی مدت زمان حرکت عمودی تیله به شکل زیر حساب میشه:

$$h=\frac{1}{2}gt^2\rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
پس مقدار جابجایی افقی تیله $d$ در همین مدت زمانِ $t$ به شکل زیر حساب میشه:

$$d=v_0t\rightarrow 220-27=\sqrt{\frac{k}{m}}x\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
حالا فرض کنید که اگه فنر به اندازه ی $x'$ فشرده شده باشه، تیله به هدف می خوره. کافی توی معادله ی بالا به جای $x$ بذاریم $x'$ و بجای 220-27 بذاریم 220:

$$220=\sqrt{\frac{k}{m}}x'\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

طرفینِ دو معادله ی آخری رو اگه به هم تقسیم کنیم داریم:

$$\frac{220-27}{220}=\frac{x}{x'}$$
با قرار دادن $x=1.1$ داریم:

$x'=1.254$

[rohamavation]

فرض کنید جدا کردن اجزای سرعت به محورهای (x) و (y) و استفاده از شتاب ثابت ناشی از نیروی جاذبه برای بررسی میزان پرواز گلوله قبل از برخورد به زمین است. با این حال ، اگر پاسخ دقیق تری می خواهید ، می توانید از عامل درگ هم استفاده کنید$F = \frac12 \rho v^2 A C_D $پس شتاب ما $a_{vertical}=-\frac{mg-D}{m} $
قانون درگ که برای بیشتر موقعیت های روزمره اعمال می شود ، کشیدن رایلیگ است$D_\text{Rayleigh} = -\frac{1}{2} \rho C_d A v^2 \hat{v} \;, $جایی که A سطح مقطع ارائه شده توسط جسم است ، ρ چگالی سیالی است که از طریق آن پرتابه حرکت می کند ، و CD یک "ضریب کشش" است که بیانگر وابستگی به شکل و جهت (که تقریباً کاملاً مستقل از سرعت برای بسیاری از موارد جالب نیست) است.
لحظه ای را در نظر بگیرید که ذره دارای سرعت است$ \vec{v} = (v_x, v_y)$، مولفه درگ است $\begin{align} D_y &= \frac{1}{2} \rho C_D A \, v \,v_y \\ &= \frac{1}{2} \rho C_D A \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \,v_y \;. \end{align} $در تعداد بسیار کم رینولدز ، درگ غالب کشیدن استوکس است.جایی که μ ویسکوزیته دینامیکی سیال است ، و R اندازه مشخصه سیستم است.$D_\text{Stokes} = -6 \pi \mu R v \hat{v} \, $ به مولفه سرعت افقی بستگی نداره $\begin{align} D_y = 6 \pi \mu R v_y \, \end{align} $در واقع سرعت $ v_{\text{terminal}}=\sqrt{\frac{2mg}{\rho cA}}$چون داریم $m a = m g-\frac{1}{2} A \text{$\rho $c} v^2 $مجموع نیروهای با مقاومت هوا.
حال قانون دوم نیوتن را دارم $F = m \frac{dv}{dt} = m \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = m v' v $ما می خواهیم ببینیم که چگونه سرعت به عنوان تابعی از فاصله تغییر می کند!
جایی که اکنون تابعی از فاصله است - $mv'v = -\frac{1}{2} pv^2 C_DA. $در آنجا علامت منفی وجود دارد زیرا نیرو با جهت حرکت مخالف است. یعنی نیرو به عقب اشاره می کند و ذره دارای سرعت مثبت (رو به جلو) است. با ساده سازی ، به دست می آوریم$ v' = -\frac{1}{2m} pC_DAv.$و $ \frac{dv}{v} = -\frac{1}{2m}pC_DA \, dx.$ اکنون می توانیم هر دو طرف معادله را بیاورم و راه حل خود رابنویسم$ \int_{v(0)}^{v(x)} \frac{dv}{v} = -\frac{1}{2m} pC_DA \int_0^x dx,$که به $ v(x) = v(0)\exp{\left(-\frac{1}{2m} pC_DA x\right)}.$میرسم