تکانه گلوله

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
SJJD-CE

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۱ - ۱۸:۲۱


پست: 23



تکانه گلوله

پست توسط SJJD-CE »

سلام من سوالی از کتاب کارم دارم لطفا در روش حل و جوابش به من کمک کنید ممنون
گلوله ای 50 گرمی با سرعت اولیه ی 15 متر بر ثانیه تحت زاویه 45 در جه به هوا پرتاب میکنیم. الف) انرژی جنبشی گلوله در شروع حرکت و درست قبل از برخورد با زمین چقدر است؟ ب) مقادیر (بزرگی و جهت) متناظر برای تکانه ی گلوله را در 2 حالت پیدا کنید؟ ج) نشان دهید که تغییر تکانه برابر است با حاصل ضرب وزن گلوله در زمان پرواز آن؟

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 343

سپاس: 176

جنسیت:

تماس:

Re: تکانه گلوله

پست توسط rohamjpl »

بیایید مثال شلیک گلوله توسط اسلحه را در نظر بگیریم. طبق قانون سوم نیوتن می دانیم که یک نیروی یکسان توسط اسلحه به سمت گلوله اعمال می شود و بالعکس ، در نتیجه گلوله و تفنگ باعث افزایش انرژی جنبشی آنها می شود. بنابراین ، انرژی شیمیایی گلوله در انرژی جنبشی هر دو بدن تبدیل می شود؟ آیا تصور اینکه در هر مورد مشابهی که جسمی به جسمی دیگر وارد می کند ، انرژی مورد نیاز برای تولید آن نیرو برای هر دو جسم تبدیل می شود ، درست است؟ و اگر مورد دیگری را در نظر بگیریم که در آن اسلحه به زمین متصل است و ثابت می ماند تا انرژی جنبشی آن افزایش نیابد ، آیا گلوله انرژی بیشتری دریافت می کند و شتاب بیشتری دارد؟تصویر
، اگر اسلحه شما به زمین متصل باشد به نظر می رسد گلوله مقدار انرژی جنبشی متفاوتی از انفجار دریافت می کند تا انرژی شیمیایی ذخیره شده در گلوله. اما این خوب است زیرا انرژی بین قابهای مرجع صرفه جویی نمی شود. انرژی کل فقط در یک قاب صرفه جویی می شود. بیایید با اسلحه و گلوله در فضا شروع کنیم و فرض کنیم که کل انرژی ازEc (انرژی شیمیایی) به سیستم وارد می شود و به چارچوب های مختلف مرجع نگاه کنید تا ببینید که چگونه انرژی تغییر می کند و چه زمانی آن را جمع نمی کند:
$ E_{k_2}=\frac{m_b v_b^2}{2}+\frac{m_g v_g^2}{2}=\Delta E_k = E_c$
، اجازه دهید فریم مرجع شما در حین حرکت اسلحه پس از انفجار شروع به کار کند (اسلحه در این قاب ثابت به نظر می رسد) پس شما قبل از انفجار پس از انفجار به یک قاب متحرک. در این حالت ممکن است این تصور که انرژی شیمیایی شما کاملاً به جنبشی تبدیل می شود ، وجود نداشته باشد:Ec=ΔEk. اما اگر فریم ها را تغییر ندهیم ، این وضعیت حفظ می شود.
بیایید بگوییم شما می خواهید پس از شلیک شلیک بدون تغییر فریم مرجع ، اسلحه ثابت باشد. برای این اتفاق ، قاب مرجع شما باید حرکت سرعت اسلحه در آینده باشدvgقبل از انفجار بنابراین شما می توانید به سمت اسلحه و گلوله خود بشوییدvg. انرژی که قبل از انفجار در سیستم می بینید:$ E_{k_1}=\frac{(m_g + m_b)v_g^2}{2}$
سپس انفجار خاموش می شود و شما می بینید که انرژی جنبشی تغییر می کند به:
$E_{k_2}=\frac{m_b (v_b + v_g)^2}{2}
$
در واقع این گفته می شود که اسلحه نسبت به شما حرکت نمی کند و گلوله با سرعت گلوله و اسلحه از قاب 1 دور می شود. خوب ، بنابراین بیایید ببینیم ΔEk = Ec که انتظار داریم چنین باشد:$\Delta E_k=E_{k_2}-E_{k_1}=\frac{m_b (v_b + v_g)^2}{2}-\frac{(m_g + m_b)v_g^2}{2}=\frac{m_b v_b^2 + 2 m_b v_b v_g + m_b v_g^2 - m_b v_g^2 - m_g v_g^2}{2}=\frac{m_b v_b^2 + 2 m_b v_b v_g - m_g v_g^2}{2}
$
، برای ادامه کار به قطعه دیگری نیاز داریم ، حفظ حرکت. از آنجا که تکانه حفظ می شود ، می توانیم حرکت قبل از انفجار را ببینیم (اسلحه و گلوله نسبت به قاب در VG حرکت می کنند) و بعد از آن (هنگامی که اسلحه ثابت به نظر می رسد و گلوله در حال حرکت است (vg + vb)):
$ p = (m_b + m_g) v_g = m_b (v_b + v_g)$که $-> m_g v_g = m_b v_b $ استفاده از این معادله در ΔEk در بالا ، ما دریافت می کنیم:$
\Delta E_k=\frac{m_b v_b^2 + m_g v_g^2}{2}= E_c$ΔEk=mbv2b+mgv2g2=Ec
که دقیقاً انرژی انفجار است و برابر با تغییر انرژی در قاب 1 است.
پس چه اتفاقی می افتد وقتی روی زمین هستید و کنار اسلحه می ایستید. قاب مرجع شما تغییر می کند. شما دیگر مرکز جرم اسلحه و گلوله را دنبال نمی کنید. اصطکاک با زمین شما را همراه می کند. بنابراین نمی توانید در مورد چگونگی انرژی شیمیایی گلوله قبل و بعد از شلیک چیزی بگویید یا آن را از منظر انرژی با سایر فریم ها مقایسه کنید. حرکت حتی در بین فریم های مرجع حفظ می شود ، اما این موضوع برای یک سوال دیگر است.
باید می گفت که "انرژی جنبشی" همیشه حفظ نمی شود.
وقتی مقداری خمیر چسبناک به دیواره می اندازید ، انرژی جنبشی کاملاً به انرژی گرما و صدا تبدیل می شود و خمیر به دیواره می چسبد. هرچند که حرکت حفظ می شود. وقتی خمیر را پرتاب می کنید ، خمیر به یک طرف رفت و کل زمین به سمت دیگر. وقتی خمیر به دیوار چسبید ، هم خمیر و هم زمین متوقف شدند. انرژی جنبشی صرفه جویی نشد. انرژی صرفه جویی شد
اگر توپی را به دیوار پرتاب کنید ، به عقب برگردد. انرژی جنبشی همه به گرما و صدا تبدیل نشده است اما مقداری از آن تبدیل شده است. اگر این توپ واقعاً یک توپ برگشتی باشد ، می گوییم انرژی جنبشی صرفه جویی می شود. اما در واقع چنین توپی وجود ندارد. مقداری از انرژی همیشه در اثر تماس به گرما تبدیل می شود.
انرژی همیشه حفظ می شود اما انرژی جنبشی همیشه صرفه جویی نمی شود.
حرکت را نباید با انرژی اشتباه گرفت. در برخی موارد ، حرکت حفظ می شود اما انرژی به طور قطع نه.
حرکت همیشه حفظ می شود اما انرژی جنبشی همیشه حفظ نمی شود (+).
به اصطلاح آونگ بالستیک را در نظر بگیرید:
یک گلوله با جرم m و سرعت یکنواخت v به یک لبه نرم جرم M شلیک می شود. پس از برخورد گلوله و باب از هم جدا نمی شوند و به ارتفاع h می رسند. بنابراین برخورد کاملاً غیر کشسان است
ما می دانیم که انرژی جنبشی در اینجا صرفه جویی نمی شود زیرا برای اینکه گلوله و گلوله به طور دائمی متحد شوند باید گلوله را تغییر شکل دهد و در نتیجه روی آن کار کند. در اینجا انرژی های غیر محافظه کار دیگری نیز وجود دارد ، بنابراین نمی توانیم صرفه جویی در مصرف انرژی را انجام دهیم.
اما ما می توانیم از محرک حرکت ، قبل و بعد از برخورد استفاده کنیم:$ mv=(m+M)V$
جایی که V سرعت گلوله بعلاوه باب است ، بلافاصله پس از برخورد ، به طوری که:
$V=\frac{m}{m+M}v $
س از برخورد ، در غیاب کشش هوا و اصطکاک های دیگر ، اکنون صرفه جویی در انرژی اعمال می شود$
\Delta K=\Delta U$و
$ \frac12 (m+M)V^2=(m+M)gh$و$\frac12 \Big(\frac{m}{m+M}\Big)^2(m+M)v^2=(m+M)gh $و$h=\frac{1}{2g} \Big(\frac{m}{m+M}\Big)^2 v^2 $
بنابراین چه مقدار انرژی از بین رفته است (صرفه جویی نشده)؟ فقط به تعادل انرژی کل نگاه کنید:$ \frac12 mv^2=(m+M)gh+E_{roham}$لذا $E_{roham}=\frac12 \frac{mM}{m+M}v^2 $در واقع این انرژی جنبشی است که در اثر برخورد غیر الاستیک از بین رفته است.$ \frac{E_{roham}}{\frac12 mv^2}=\frac{M}{m+M}$
آخرین ویرایش توسط rohamjpl چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۱۶:۱۷, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

SJJD-CE

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۱ - ۱۸:۲۱


پست: 23



Re: تکانه گلوله

پست توسط SJJD-CE »

ممنون
آخرین ویرایش توسط SJJD-CE دوشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۵ - ۱۵:۵۲, ویرایش شده کلا 1 بار

SJJD-CE

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۱ - ۱۸:۲۱


پست: 23



Re: تکانه گلوله

پست توسط SJJD-CE »

سلام ممنون از پاسختون من متوجه مسئله شدم و با کامل شما مقادیری رو به دست آوردم ولی مطمئن نیستم از درستیش. شما لطف کنید جواب نهایی رو هم قرار بدین که من مقایسه کنم و اگه اشتباه نوشتم و اصلاح کنم و برای استادم بفرستم ممنون

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 343

سپاس: 176

جنسیت:

تماس:

Re: تکانه گلوله

پست توسط rohamjpl »

در اینجا شرح آنچه اتفاق افتاده است ، به طوری که شما می توانید احساس فیزیک در آن داشته باشید.
همانطور که موتورهای موشکی کار می کنند ، آنها دائماً گازهای سوختی سوخته را که هم جرم دارند و هم سرعت دارند ، و بنابراین دارای برخی از حرکت هستند ، خارج می کنند. با حفظ حرکت ، حرکت موشک به همان مقدار تغییر می کند (با علامت مخالف). ما فرض خواهیم کرد که سوخت سوخته با سرعت ثابت خارج می شود ، این بدان معناست که سرعت تغییر حرکت موشک نیز ثابت است. توسط (شکل) ، این نشان دهنده یک نیروی ثابت بر روی موشک است.
با این حال ، با گذشت زمان ، جرم موشک (که شامل جرم سوخت باقیمانده است) به طور مداوم کاهش می یابد. بنابراین ، حتی اگر نیروی وارد شده به موشک ثابت باشد ، شتاب حاصل از آن ثابت نیست. به طور مداوم در حال افزایش است.
بنابراین ، کل تغییر سرعت موشک به مقدار جرم سوختی که سوزانده می شود بستگی دارد و این وابستگی خطی نیست.
مشکل جرم و سرعت تغییر موشک است. همچنین ، جرم کل گازهای دفع شده در حال تغییر است. اگر سیستم خود را به عنوان موشک + سوخت تعریف کنیم ، این یک سیستم بسته است (از آنجا که موشک در فضای عمیق قرار دارد ، هیچ نیروی خارجی بر این سیستم وارد نمی شود). در نتیجه ، حرکت برای این سیستم حفظ می شود. بنابراین ، ما می توانیم از پویایی حرکت برای پاسخ سوال استفاده کنیم تصویر
در همان لحظه ای که کل جرم موشکی لحظه ای m است (به عنوان مثال ، m جرم بدن موشک به اضافه جرم سوخت در آن زمان است) ، ما سرعت آنی موشک را تعریف می کنیم که
$ \overset{\to }{v}=v\hat{i}$
(در جهت + x) ؛ این سرعت نسبت به یک سیستم مرجع اینرسی (به عنوان مثال زمین) اندازه گیری می شود. بنابراین ، حرکت اولیه سیستم است
$ {\overset{\to }{p}}_{\text{i}}=mv\hat{i}.$
.موتورهای موشک با سرعت ثابت در حال سوختن هستند و گازهای خروجی را در جهت −x بیرون می کشند. در طی یک فاصله زمانی بی نهایت کم dt ، موتورها یک توده بی نهایت کم (مثبت) گاز را خارج می کنند
$ \overset{\to }{u}=\text{−}u\hat{i}$
؛ توجه داشته باشید که اگرچه سرعت موشک است
با توجه به زمین اندازه گیری می شود ، سرعت گاز خروجی با توجه به موشک (در حال حرکت) اندازه گیری می شود. بنابراین با توجه به زمین اندازه گیری می شود ، گاز خروجی دارای سرعت است
$(v-u)\hat{i} $
.در نتیجه اخراج گاز سوخت ، جرم موشک کاهش می یابد$d{m}_{g} $
، و سرعت آن توسط افزایش می یابد$dv\hat{i} $
. بنابراین ، با احتساب هر دو تغییر برای موشک و تغییر گازهای خروجی ، حرکت نهایی سیستم است $\begin{array}{cc}\hfill {\overset{\to }{p}}_{\text{f}}& ={\overset{\to }{p}}_{\text{rocket}}+{\overset{\to }{p}}_{\text{gas}}\hfill \\ & =(m-d{m}_{g})(v+dv)\hat{i}+d{m}_{g}(v-u)\hat{i}\hfill \end{array}\text{.} $از آنجا که همه بردارها در جهت x هستند ، نماد برداری را رها می کنیم. با استفاده از حفاظت از حرکت ، به دست می آوریم$\begin{array}{l}{p}_{\text{i}}={p}_{\text{f}}\\ mv=(m-d{m}_{g})(v+dv)+d{m}_{g}(v-u)\\ mv=mv+mdv-d{m}_{g}v-d{m}_{g}dv+d{m}_{g}v-d{m}_{g}u\\ mdv=d{m}_{g}dv+d{m}_{g}v.\end{array} $
اکنون،$d{m}_{g} $

و dv هر کدام بسیار کوچک هستند. بنابراین ، محصول آنها$ d{m}_{g}dv$
بسیار بسیار کوچک ، بسیار کوچکتر از دو اصطلاح دیگر در این عبارت است. بنابراین ما این اصطلاح را نادیده می گیریم و به دست می آوریم:$ mdv=d{m}_{g}u.$قدم بعدی ما این است که به یاد داشته باشید ، از
$ $d{m}_{g}
نشان دهنده افزایش جرم گازهای خارج شده است ، همچنین باید کاهش جرم موشک را نشان دهد:$ d{m}_{g}=\text{−}dm.$, و $mdv=\text{−}dmu $ و $ dv=\text{−}u\frac{dm}{m}.$ در نهایت دارم $\begin{array}{ccc}\hfill {\int }_{{v}_{\text{i}}}^{v}dv& =\hfill & \text{−}u{\int }_{{m}_{\text{i}}}^{m}\frac{1}{m}dm\hfill \\ \hfill v-{v}_{\text{i}}& =\hfill & u\,\text{ln}(\frac{{m}_{\text{i}}}{m})\hfill \end{array} $ که نتیجه $\text{Δ}v=u\,\text{ln}(\frac{{m}_{\text{i}}}{m}). $ بدست میاد
از نظر ریاضی $ \overset{\to }{F}=\text{−}mg\hat{j}$تجزیه و تحلیل مشابه است ، با این تفاوت که اکنون یک نیروی خارجی وجود دارد$ d\overset{\to }{J}=\overset{\to }{F}dt=\text{−}mgdt\hat{j}$
من به رابطه $\begin{array}{ccc}\hfill d\overset{\to }{p}& =\hfill & d\overset{\to }{J}\hfill \\ \hfill {\overset{\to }{p}}_{\text{f}}-{\overset{\to }{p}}_{\text{i}}& =\hfill & \text{−}mgdt\hat{j}\hfill \\ \hfill [(m-d{m}_{g})(v+dv)+d{m}_{g}(v-u)-mv]\hat{j}& =\hfill & \text{−}mgdt\hat{j}\hfill \end{array} $ و $ mdv-d{m}_{g}u=\text{−}mgdt$ و به $ \begin{array}{ccc}\hfill mdv+dmu& =\hfill & \text{−}mgdt\hfill \\ \hfill mdv& =\hfill & \text{−}dmu-mgdt.\hfill \end{array}$ چون جرم متغییر دارم $dv=\text{−}u\frac{dm}{m}-gdt $پس تغییر سرعت من $\text{Δ}v=u\,\text{ln}(\frac{{m}_{\text{i}}}{m})-g\text{Δ}t. $ میشه
شما در حد دبیرستان ببینید $V_{0x}=V_0cos(\theta) $ برای بررسی این حرکت، در ابتدا بایستی دو محور مختصات عمود به هم در نظر گرفت. برای راحتی حل مسئله بهتر است که یکی از این محور‌ها در راستای شتاب گرانشی باشد. دلیل این کار حذف کردن شتاب از معادلات مربوط به حرکت در راستای افقی است.
بنابراین محور‌های x و y را مطابق با شکل بالا در نظر می‌گیریم. توجه داشته باشید که سرعت اولیه نیز بایستی در راستاهای x و y تجزیه شوند. بنابراین سرعت اولیه در راستای محور x برابر است با:$V_{0x}=V_0cos(\theta) $از آنجایی که شتابی در راستای محور x به توپ وارد نمی‌شود، بنابراین سرعت آن نیز در این راستا ثابت است. از این رو سرعت توپ در هر لحظه همان سرعت اولیه خواهد بود. بنابراین می‌توان معادله سرعت در راستای محور x را به صورت زیر بیان کرد:$ V_{x}(t)=V_0cos(\theta)$ و اینم $ x(t)=V_0tcos(\theta)$ همانند مرحله قبل در این قدم نیز شتاب‌ (g-)، سرعت اولیه (V0y) و جابجایی اولیه در راستای y را در معادلات حرکت جایگزین می‌کنیم. بنابراین جابجایی و سرعت توپ در راستای y به صورت زیر محاسبه می‌شوند. توجه داشته باشید که سرعت اولیه در راستای y را می‌توان با تصویر کردن V0 در راستای محور y، به صورت زیر بدست آورد.$ V_{y}(t)=V_0sin(\theta)$بنابراین جابجایی در هر لحظه برابر است با:$y(t)=-{1 \over 2} {gt^2}+V_0tsin{\theta} $در قدم اول، توابع جابجایی x و y نسبت به زمان محاسبه شدند. با استفاده از از این معادلات می‌توان مسیر حرکت جسم را در زمان پیش‌بینی کرد. برای توصیف مسیر حرکت در دستگاه مختصات x-y بایستی وابستگی x و y را نسبت به یکدیگر بیابیم. از این رو با استفاده از دو معادله (x(t و (y(t و حذف t از آن‌ها می‌توان مسیر حرکت جسم را در دو بعد یافت$ t={x(t) \over {V_0cos{ \theta}}}$ که به رابطه $y(t)=-{1 \over 2} {gt^2}+V_0tsin{\theta}=-{1 \over 2} {g({x \over {v_0cos {\theta}}})^2}+V_0({x \over {V_0cos{\theta}}})sin{\theta} $ در نهایت من به $y={-gx^2\over2V_0^2cos^2(\theta)}+xtan(\theta) $ میرسم برای انرژی جنبیش و تکانه هم $ \displaystyle \frac{p^2}{2m}=\frac{1}{2}mv^2=KE$ توجه جمع برداری سرعتها در هر دو جهت لحاظ شود $\begin{align}
\sum W &= m\int d{\vec s(t)}\cdot {\vec a}\\
&=m\int dt\frac{d{\vec s}}{dt}\cdot {\vec a}\\
&= m\int dt \,{\vec v} \cdot {\vec a}\\
&= m\int dt\,{\vec v}\cdot \frac{d{\vec v}}{dt}\\
&= m\int {\vec v} \cdot d{\vec v}\\
&= \frac{1}{2}m\left(v_{f}^{2} - v_{i}^{2}\right)\\
&= \Delta {\rm KE}
\end{align} $
توجه کنید در دو جهت شما باید برسی کنید $ x(t_i) = d*\cos(\theta) = V\cos(\alpha)*t_i$و $y(t_i) = d*\sin(\theta) = V\sin(\alpha)*t_i - \frac 12*g*t_i^2 $
انرژی گرانشی بالقوه به صورت خطی به فاصله (ارتفاع) بستگی دارد که به صورت درجه ای به زمان بستگی دارد . بنابراین تا زمانی که گلوله به بالاترین سطح خود برسد به صورت درجه ای افزایش می یابد و پس از آنکه تگلوله به سمت عقب سقوط می کند ، به صورت درجه ای کاهش می یابد. این را می توانیم از طریق یک معادله حرکت ببینیم:U=mgh یعنی $=v_0t-\frac12 gt^2\qquad\text{(roham)}\\
U=mgh=mgv_0t-m\frac12 g^2 t^2\qquad\text{(roham)} $ در مورد انرژی جنبشی شما $-v=v_0-gt \qquad\text{(roham line p)}\\
K=\frac 12mv^2=\frac 12m(v_0-gt)^2=\frac 12mv_0^2-mv_0gt+\frac 12mg^2t^2\qquad\text{(roham)} $ در مورد تکانه شما هم $v=v_0-gt \qquad\text{(roham p)}\\
p=mv=mv_0-mgt \qquad\text{(roham p line)} $
$$
تصویر

ارسال پست