درباره حرکت زاویه ای سیستم ذرات نسبت به مرکز مرجع جرم $ L=\sum_{i}^{n}\left(\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)$
من عبارت صحیح آن را می دانم
اما کتاب درسی فکر می کند:$ \vec{F_i}=\frac{d}{dt}\left(m_i\vec{v_i}\right)$اما سرعت در اینجا در مرکز قاب مرجع جرم است ، فکر نمی کنم این نیروی واقعی باشد.
خلاصه ای که در کتاب درسی آورده شده است: $\tau_{i}^{ext}=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times\vec{F_{i}^{ext}} $
گیج شدم و سرانجام به چرایی آن فکر کردم ، اما کتاب در مورد آن توضیح نداد. من نمی دانم این درست است $\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times\vec{F_{i}^{ext}}=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i(\vec{a_{cm}}+\vec{{a_i}})=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{a_{i}}+\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}m_i\right)\times \vec{a_{cm}}=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{a_{i}} $,$\sum_{i}^{n}\vec{r_i}m_i=0 $یا $ \frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}+\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}m_i\right)\times\vec{v_{cm}}\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\left(\vec{v_i}+\vec{v_{cm}}\right)\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{V_{i,groud}}\right)=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times\vec{F_{i}^{ext}}$نمی فهمید که چرا کتاب درسی اینگونه نوشته شده است ، نسبت به سرعت در مرکز قاب جرم مرجع ، سرعت واقعی نیست ، اما می تواند به یک نیروی خارجی واقعی تبدیل شود.
من فکر می کنم اگر کتاب درسی از این عبارت برای وضوح بیشتر استفاده کند ، مانند:$ \frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}{r_i}m_i\left({r_i}\omega\hat k\right)\right)=I_{cm}\alpha\hat k$(این کاملاً صحیح نیست ، فقط یک بدن صلب است که دور مرکز جرم می چرخد و همان سرعت زاویه ای دارد)
در زیر توضیحاتی در مورد این سال وجود دارد ...
اگر زمین قاب مرجع باشد ، این می تواند نزدیک به نیروی واقعی F باشد. سرعت $v_i$ نسبت به مرکز قاب مرجع جرم است ، و مرکز قاب مرجع جرم دارای سرعت $v_{cm}$ نسبت به زمین است. بنابراین vi نه سرعت نسبت به زمین ، من نمی توانم آن را مستقیماً به صورت F بنویسم. پایین توضیحات من است ، اما در کتاب درسی توضیح داده نشده که چرا این را می توان مستقیماً به عنوان F نوشت. بنابراین من در مورد این سوال شک دارم.
اما من در مورد این مرحله شک دارم ، آنچه را می توان برای توضیح توضیح داد ، آیا می توان سو تفاهمی را که نمی دانم برطرف کرد.
$\frac{d}{dt}\left(m_i\vec{v_{cm,i}}\right)\neq \vec{F_i}$چون حتی اگر من از این طریق با آن برخورد نکنم ، رابطه دیگری می تواند از رابطه فوق حاصل شود. این بدون شک درست است.
اما من همچنین توضیح داده ام که چرا می توان این سو تفاهم را ایجاد کرد ، اگر مستقیماً به آن نگاه کنم ، احتمالاً این علامت برابر را رد می کنم.
من فقط می توانم برای خودم توضیح دهم که آیا برخی از قوانین کار را نادیده گرفته ام ، اگرچه نمادها شبیه به هم هستند.
چه فكر كنم ... آیا اشتباه می كنم اگر یک جرم نقطه مانند را در نظر بگیریم ، تعادل حرکت چرخشی با توجه به منشأ قاب مرجع نتیجه بی اهمیت تعادل حرکت حرکت است: ما فقط باید دوم را در $\pmb{r}$ ، موقعیت نقطه برداریم - ضرب کنیم - جرم. حرکت چرخشی $\pmb{H}$ جرم نقطه به صورت $\pmb{H}:=\pmb{r}\land(m\dot{\pmb{r}})$ تعریف می شود ، جایی که نقطه نشانگر مشتق زمان ،$\dot{x} := \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$است. سپس ، با توجه به اینکه $\dot{\pmb{r}}\land\dot{\pmb{r}} = 0$، به راحتی می یابیم
$\dot{\pmb{H}} = \pmb{r}\land \pmb{F} \ ,$،که در آن $\pmb{F} $مجموع تمام نیروهایی است که بر روی جرم نقطه وارد می شوند.اما در حال حاضر در این مورد بی اهمیت ، تأکید بر این نکته مهم است که این تعادل در هر چارچوب مرجعی ، حتی در یک غیر اینرسی ، معتبر است ، به شرطی که نیروی اینرسی در بین تمام نیروهایی که بر روی جرم نقطه وارد می شوند ، وجود داشته باشد. (خوب است به یاد داشته باشید که نیروهای غیر اینرسیایی اصطلاحاً مقادیر عینی هستند ، یعنی در همه فریم ها یکسان هستند و غیر اینرسی هستند ؛ در این باره بیشتر در زیر می خوانید)
برای سیستم توده های نقطه ای با بردارهای موقعیتی ، وضعیت جالب تر می شود و اینجاست که تعادل حرکت چرخشی به عنوان یک قانون ظاهر می شود. بیایید این قانون را برای یک چارچوب مرجع کلی ، بی اثر یا غیر اینرسی بیان کنیم.
فرض کنید بر روی هر$m_i$ کل نیروی خارجی $\pmb{r}_i$ شامل نیروی اینرسی و $\pmb{f}_{ik}$یروهای دیگر توده های نقطه ای اعمال می شود. حرکت کلی چرخش سیستم در این چارچوب مرجع ، با توجه به منشأ آن ، به صورت$\pmb{H}:=\pmb{r}_i\land(m_i\dot{\pmb{r}_i})$ تعادل حرکت چرخشی بیان می کند که$\dot{\pmb{H}} = \sum_i \pmb{r}_i \land \pmb{F}_i \ , $
یعنی سرعت تغییر حرکت چرخشی برابر با کل گشتاور خارجی است. این معادله در هر فریم ، اینرسی یا غیر اینرسی (با شرط اینکه نیروهای اینرسی را نیز در بر بگیریم) نگهداری می شود.
معادله فوق در این مورد از تراز حرکت حرکت برای این سیستم پیروی نمی کند. اگر مانده های دومی را برای هر جرم نقطه در$\pmb{r}_i$ضرب کنیم ، آنها را جمع کنیم و دستکاری کنیم ، یک اصطلاح اضافی $\sum_{ik} (\pmb{r}_i - \pmb{r}_k) \land \pmb{f}_{ik}$ برای ما باقی می ماند. این اصطلاح فقط در صورت ناپدید شدن نیروهای متقابل ، یعنی در امتداد خطوطی که به توده های نقطه ای متصل می شوند ، هدایت می شوند
توازن حرکت چرخشی ، که به عنوان یک قانون در نظر گرفته شده است ، بنابراین نیاز به نیروهای متقابل در مرکز است. در بسیاری از کتب درسی فیزیک ، اغلب نقطه نظرات متضادی وجود دارد: آنها نیروهای متقابل را مرکزی می دانند و تعادل حرکت چرخشی سپس نتیجه تعادل حرکت انتقال به علاوه این فرض مرکزیت می شود. می توانید نقطه نظر مورد نظر خود را انتخاب کنید. با این وجود ، وقتی به مکانیک پیوستار می پردازیم ، باید تعادل حرکت چرخشی را بدلیل ظاهر شدن نیروهای تماس بدوی بدست آوریم. به منابع زیر در مورد این نکته مراجعه کنید.
بازگشت به سوال شما ، موضوع این است که قانون
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\pmb{r}_i\land(m_i\dot{\pmb{r}_i})] =
\sum_i \pmb{r}_i \land \pmb{F}_i$
در هر قاب ، اینرسی و غیر اینرسی و بنابراین در قاب مرکز جرم معتبر است. فقط باید به یاد داشته باشیم که نیروی اینرسی را روی هر جرم نقطه وارد کنیم. من فکر می کنم که $ F^\text{ext}$ در مورد عینیت نیروها و در مورد نیروی اینرسی
اگر دو حرکت کلی (سفت و سخت) را در حرکت متقابل در نظر بگیریم ، یک بردار موقعیت$\pmb{r}'(t)$ در قاب دوم مربوط به بردار موقعیت$\pmb{r}(t) $ در حالت اول است
$\pmb{r}' = \pmb{c}(t) + \pmb{Q}(t)\pmb{r}$
که در آن $\pmb{c}(t)$ یک بردار مربوط به منشأ دو فریم است و $\pmb{Q}(t)$ یک ماتریس چرخش متعامد است که محورهای دو قاب را با هم مرتبط می کند. همانطور که از وابستگی t دیده می شود ، این رابطه برای قابهای چرخشی با تغییر زمان نیز صادق است.
گفته می شود که هر نیروی (غیر اینرسی) عینی است زیرا بیان آن در هر دو فریم با هم مرتبط است$\pmb{F}' = \pmb{Q}\pmb{F} \ .$
به عبارت دیگر ، ناظران در دو قاب همیشه در مورد مقدار نیرو توافق دارند ، $\lvert \pmb{F}'\rvert = \lvert\pmb{F}\rvert $ (به دلیل خاصیت حفظ هنجار ماتریس های چرخش متعامد) ، و همچنین در جهت آن با توجه به جرم های موجود در سیستم به ستارگان ثابت. به عنوان مثال ، همه ناظران موافقند كه یك نیروی هوكی اعمال شده توسط یك فنر در امتداد خطی كه به اندام های انتهایی فنر می پیوندد ، هدایت می شود. و همه ناظران اتفاق نظر دارند که نیروی جاذبه بین دو توده در امتداد خطی که به مراکز جرم دو توده می پیوندد ، هدایت می شود.
نیروهای اینرسی تنها استثنا هستند. عمومی ترین شکل نیروی اینرسی بر روی یک جرم نقطه ای با بردار موقعیت r است
$\pmb{F}_{\text{inertial}} =
2 \pmb{\varOmega}\ (\dot{\pmb{r}} - \dot{\pmb{c}}) - (\pmb{\varOmega}^2- \dot{\pmb{\varOmega}})\ (\pmb{r}-\pmb{c}) + \ddot{\pmb{c}}\ ,$
که در آن c بردار موقعیت مبدا کادر با توجه به هر قاب اینرسی است و Ω سرعت زاویه ای (که به صورت ماتریس بیان می شود) کادر با توجه به قاب اینرسی (یا ستارگان ثابت) است. می بینید که عبارت فوق شامل اصطلاح $\ddot{\pmb{c}}$ معمول ناشی از شتاب خطی و نیروهای گریز از مرکز ، کوریولیس و اویلر است که از چرخش ناشی می شوند
.مجموع حرکت زاویه ای سیستم ذرات $l=\sum r_i \times m_iv_i$ که $v_i=V+v_i' $و $r_i=R+r_i' $و $l=\sum r_i \times m_iv_i $و $l= \sum R \times m_iv + \sum r_i' \times m_iv_i' + {\sum m_ir_i'} \times v + R \times \frac{d\sum m_ir_i'}{dt}.$و$\sum_i m_i r_i = \sum_i m_i R = m\, R$و $R = \frac{ \sum_i m_i r_i }{\sum_i m_i }$ به این معنا که ما از در نظر گرفتن "ذره" به "مجموعه ذرات" منتقل می شویم. اگر نتیجه گیری از تکانه زاویه ای و قانون دوم حرکت برای یک ذره را درک کرده باشیم ، در این صورت تقریباً ماکت استدلال برای یک سیستم ذرات در این ماژول وجود دارد. با این حال ، ویژگی های مشخصی در مورد سیستم ذرات وجود دارد که متفاوت از یک ذره است. این ویژگی های مشخص در متن مناسب مورد اشاره قرار خواهد گرفت.
قانون دوم نیوتن برای سیستم ذرات در حرکت عمومی
مفهوم حرکت زاویه ای به راحتی می تواند شامل ذرات ، تشکیل یک سیستم باشد. هر یک از ذرات را می توان با سرعت خاصی همراه دانست. در اصطلاح زاویه ای ، می توانیم تکانه زاویه ای را به هر یک از آنها اختصاص دهیم ، مشروط بر اینکه در حال حرکت باشند. آنها ممکن است تحت تأثیر نیروهای داخلی و همچنین خارجی قرار بگیرند. این تفاوت بسیار مهم بین "ذره" و "سیستم ذرات" است. وقتی یک ذره را در نظر می گیریم ، نیرو فقط می تواند خارجی باشد. ذره ای که یک نقطه از بعد صفر را اشغال می کند نمی تواند با نیروی داخلی همراه باشد.
برای تجسم ، می توانیم دوباره مثالی از ذرات یا توپ های بیلیارد را که در متن حرکت حرکت خطی استفاده کردیم ، در نظر بگیریم. وضعیت ، در اینجا ، با یک استثنا همان است که ما برای محاسبه حرکت زاویه ای به نقطه ای (مبدا "O" همانطور که نشان داده شده است) در برابر محاسبه حرکت خطی مراجعه می کنیم که به چنین نقطه مرجعی نیاز ندارد.$ℓ=m(rxv) $جایی که "r" و "v" به ترتیب بردارهای موقعیت و سرعت را نشان می دهد. ما می توانیم تکانه زاویه ای یک ذره را ترکیب کنیم ، البته در صورت اندازه گیری تکانه های زاویه ای در یک نقطه مشترک. اگرچه ، ما می توانیم حرکت زاویه ای را در مورد نقاط مختلف محاسبه کنیم ، اما پس از آن هیچ معنی فیزیکی این نیاز در واقع دلیل این امر است که تکانه زاویه ای ، به طور کلی ، در مورد یک نقطه تعریف می شود - نه در مورد یک محور. امکان ارتباط حرکت ذرات با یک محور مشترک وجود ندارد.
از آنجا که تکانه زاویه ای یک مقدار بردار است ، تکانه زاویه ای تمام ذرات برابر است با جمع بردار تمام تکانه های زاویه ای منفرد ضروری است که جمع بندی برای بدست آوردن مجموع حرکتهای زاویه ای به استفاده از قوانین جمع برداری برداری نیاز دارد.$L=∑ℓi=∑mi(rixvi)$
حرکت زاویه ای سیستم ذرات با حرف بزرگ "L" نشان داده می شود. ذرات ممکن است سرعت خود را متعاقب برخورد بین خود (به دلیل نیروهای داخلی) یا به دلیل نیروهای خارجی تغییر دهند. در نتیجه ، ممکن است گشتاور زاویه ای سیستم با گذشت زمان تغییر کند. اولین مشتق حرکت زاویه ای یک ذره برابر با گشتاور روی آن است:
حرکت زاویه ای با توجه به مرکز جرمجسم صلب $\mathbf{L}_{P}=\mathbf{r}_{cm}\times M\mathbf{v}_{cm}+\big(\sum_im_iR_i^2\big)\boldsymbol{\omega}$که در آن $\mathbf{r}_{cm}$ موقعیت مرکز جرم نسبت به P ، M است$\mathbf{L}_{cm}=\sum_i \overrightarrow{CP_i}\times m_i\mathbf{v}_{i}=\sum_i \overrightarrow{CP_i}\times m_i\mathbf{v}_{cm}+\sum_i \overrightarrow{CP_i}\times m_i(\boldsymbol{\omega}\times\overrightarrow{CP_i})$
حرکت یک سیستم از ذرات جمع بردار حرکت آنها است. اگر دو ذره دارای جرم مربوط به m1 و m2 و سرعت v1 و v2 باشند ، حرکت کلی برابر است${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}}$یعنی ${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}}$یک سیستم از ذرات دارای یک مرکز جرم است ، یک نقطه تعیین شده توسط مجموع وزنی موقعیت های آنها:${\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}r_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}}.}{\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}r_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}}.}$اگر یک یا چند ذره در حال حرکت باشد ، مرکز جرم سیستم نیز به طور کلی در حال حرکت است (مگر اینکه سیستم در چرخش خالص اطراف خود باشد). اگر جرم کل ذرات ${\displaystyle p=mv_{\text{cm}}.}$ باشد و مرکز جرم در حال حرکت با سرعت $vcm$باشد ، حرکت سیستم عبارت است از:$p=mv_cm$ مرکز جرم به گونه ای حرکت می کند که گویی تمام جرم جسم در آنجا متمرکز شده است و گویی نیروی خارجی خالصی که بر سیستم وارد می شود در آنجا (در مرکز جرم) اعمال می شودبرای سیستم ذرات جرم کل M شتاب مرکز جرم آن توسط داده می شود$\mathbf {a}=\frac{\mathbf {F}}{M}$یک سیستم گسسته از ذرات متشکل از n ذره را در نظر بگیرید . بردار موقعیت مرکز جرم در یک لحظه خاص توسط داده می شود$\mathbf {r}_{cm}=\frac{m_{1}\mathbf {r}_{1}+m_{2}\mathbf {r}_{2}+m_{3}\mathbf {r}_{3}.+\cdots \cdot \cdot \cdot \cdot \cdots \cdot \cdot m_{n}\mathbf {r}_{n}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots +m_{n}}=\frac{\varSigma _{i=1}^{n} m_{i}\mathbf {r}_{i}}{M}$و $M=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}$ما مینویسیم $x_{cm}=\frac{\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}}{M}$و$y_{cm}=\frac{\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}}{M}$و$z_{cm}=\frac{\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}}{M}$مولفه $\mathrm {r}_{i}$دارم $\mathbf {r}_{i}=x_{i}\mathbf {i}+y_{i}\mathbf {j}+z_{i}\mathbf {k}$و میشود مرکز جرم $\mathbf {r}_{cm}=\lim _{\triangle m_{\mathrm {i}}}\frac{\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r}_{i}\triangle m_{i}}{M}=\frac{1}{M}\int \mathbf {r}dm$سرعت مرکز جرم سیستم ذرات دارای جرم ثابت M است$\mathbf {v}_{cm}=\frac{d\mathbf {r}_{cm}}{dt}=\frac{1}{M}\frac{d}{dt}\bigg (\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r}_{i}\bigg )=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\dot{\mathbf {r}}_{i}$و شتاب $\mathbf {a}_{cm}=\frac{d\mathbf {v}_{cm}}{dt}=\frac{1}{M}\frac{d}{dt}\bigg (\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v}_{i}\bigg )=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\ddot{\mathbf {r}}_{i}$و مومنتوم $\begin{aligned} \displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p}_{i}=\mathbf {p}_{tot} \end{aligned}$تکانه زاویه ای L سیستم ذرات در مورد یک نقطه ثابت ، مجموع بردار حرکت مومنتوم ر زاویه ای ذرات منفرد است:$\mathbf {L}=\mathbf {L}_{1}+\mathbf {L}_{2}+\mathbf {L}_{3}+\ +\mathbf {L}_{n}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r}_{i}\times \mathbf {p}_{i})=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r}_{i}\times \mathbf {v}_{i})$گشتاور کلی که بر روی یک ذره در سیستم کار می کند ، مجموع گشتاورهای مرتبط با نیروهای داخلی و گشتاورهای مرتبط با نیروهای خارجی است. با استفاده از معادله $\varvec{\tau _{i}}=\mathbf {r}_{i}\times \mathbf {F}_{i}=\mathbf {r}_{i}\times \left( \mathbf {F}_{iext}+\sum _{j}\mathbf {f}_{ij}\right) =\mathbf {r}_{i}\times \mathbf {F}_{iext}+\sum _{j}\mathbf {r}_{i}\times \mathbf {f}_{ij}$و مجموعانرژی سینتیک $K=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}v_{i}^{2}$هنگامی که دو نیروی مساوی در یک راستا ولی در دو جهت متفاوت به دو نقطه از یک جسم وارد شوند، کوپل (Couple) تشکیل میشود. کوپل مانند گشتاور عمل کرده و جسم را وادار به چرخش میکند. ممان حاصل از کوپل را میتوان با ضرب اندازه یکی از نیروها (F) در فاصله عمودی بین دو نیرو (S) حاسبه کرد. به عبارت دیگر، گشتاور ناشی از کوپل در شکل زیر، برابر با τ=SF است.اینرسی $I=\sum_i m_i r_i^2$ تکانه زاویه ای مفهومی مشابه با مومنتوم خطی p = mv است ، که در آن m جرم جسم و سرعت آن است.اکنون ، ببینید که تکانه زاویه ای از کجا می آید. برای جسمی در نظر بگیرید که جسمی به دور یک محور در حال حرکت است و ω سرعت زاویه ای ، یعنی زاویه چرخش جسم را در یک زمان واحد بگذارید. رابطه بین سرعت خطی و زاویه ای است و همچنین انرژی $E = \frac{1}{2}mr^2 \omega^2.\tag{roham}$چون $v = \omega r. \tag{roham}$و اینرسی هم $I = mr^2, \tag{roham}$لذا $E = \frac{1}{2}I\omega^2.\tag{roham}$در ادامه با مفهوم لحظه اینرسی ، از حرکت زاویه ای برخوردار می شویم ، Lکه $L = I\omega,\tag{roham}$میشه نوشت $L = mr^2 \omega = mvr.\tag{roham}$کوپل حالت خاصی از ممان یا گشتاور نیرو است. ، یک کوپل شامل دو نیروی موازی است که دارای اندازههای مساوی بوده اما در خلاف جهت یکدیگر هستند. این نیروها در واقع هیچ انتقالی ایجاد نمیکنند بلکه باعث چرخش میشوند.
برآیند نیروی دو بردار در کوپل صفر است اما برآیند کلی کوپل صفر نیست،
بلکه یک گشتاور نیروی خالص استممان یک نیرو تنها با توجه به یک نقطه (p) سنجیده میشود که با تغییر نقطه p، ممان هم تغییر میکند. اما گشتاور یا ممان کوپل، مستقل از نقطه اثر آن نیرو است. هر نقطهای که در نظر بگیریم، ممان یکسانی را نتیجه میدهد. به بیان دیگر، بردار گشتاور، بر خلاف بردار ممان، یک بردار آزاد است. این موضوع تحت عنوان نظریه وارینگتون شناخته میشود$\large M=r_1\times F_1+r_2 \times F_2+…$فرض کنید مجموعهای از چند بردار نیروی
F1، F2، … داریم که تشکیل یک کوپل میدهند. هر کدام از این نیروها به ترتیب بردار موقعیتی با عنوانr1، r2 و … نسبت به نقطه p دارند. ممان نیرو حول نقطهp برابر خواهد بود .قطه اثر جدیدی به نام ’p در نظر میگیریم که نسبت به نقطه قبلی p، اختلافی برابر با بردار r دارد. یعنی p′=p+r. در این حالت، بردار ممان جدید برابر می شود با$\large M’= (r_1+r) \times F_1+(r_2+r) \times F_2+…$و$\large M’ = ( r _1 \times F_1 + r_2\times F_2 + …) + r\times (F_1+F_2+…)$و چون $\large F_1+F_2+… = 0$وچون $\large M’= r_1 \times F_1 + r_2\times F_2 + … =M$پس $\large M’= r_1 \times F_1 + r_2\times F_2 + … =M$فلایویل (Flywheel) به جرم دوّاری گفته میشود که برای ذخیره انرژی در ماشین به کار میرودانرژی جنبشی یک جسم دوار را میتوان با کمک رابطه $\large \frac {1}{2} I \omega ^ 2$ به دست آورد. در این رابطه، I گشتاور اینرسی حول محور دوران و ω سرعت زاویهای است انحراف مجاز از سرعت زاویهای فلایویل را به عنوان ضریب نوسان (Fluctuation Coefficient) و به صورت رابطه زیر تعریف میکنیم$\large C = \frac {\omega_1 – \omega_2} {\omega}$ لختی دورانی، نقش جرم را در نسخه دورانی قانون دوم نیوتن ایفا میکند. [این جمله به این معنی است که اگر بخواهیم قانون دوم نیوتن را بهصورت دورانی بنویسیم، لختی دورانی، نقش جرم را ایفا میکند«گشتاور اینرسی» (Moment of Inertia)که $I=mr2$جسم صلب، سیستمی از ذرات است که موقعیت ذرات آن نسبت به یکدیگر تغییر نمیکند. از آنجایی که برای هریک از ذرات، رابطه $\large L \: = \: m v r \: = \: m r^2 \omega$که برقرار است، ممنتوم زاویهای کل را میتوان به صورت زیر نوشت.$\large L \: = \: (\sum_ i ^ {} m_i r ^ 2 _ i ) \omega$گشتاور $\large \tau \: = \: \frac{\text{d}L}{\text{d}t} \: = \: \: I \frac{\text{d} \omega}{\text{d} t} \: = \: I \alpha$برای یک جسم دورانکننده، میتوان شعاعی در نظر گرفت که به نظر برسد کل جرم جسم در یک نقطه متمرکز شده و در فاصلهای برابر با این شعاع نسبت به محور، در حال دوران است. این شعاع تحت عنوان شعاع ژیراسیون (Radius of Gyration) شناخته میشود.
شعاع ژیراسیونِ یک جسم $R _ g$، فاصلهای است که اگر کل جرم جسم را در حلقهای یکنواخت با این شعاع توزیع کنیمجسمی را در نظر بگیرید که از چندین جرم متمرکز شده به اندازه $m _ 1 , m _ 2 , m _ 3 \ , \ … , \ m _ n$,ودر فوصل $r _ 1 , r _ 2 , r _ 3 \ , \ … , \ r _ n$ قرار گرفتهاند، تشکیل شده است اینرسی $\large { \displaystyle I = m _ { 1 } r _ { 1 } ^ { 2} + m _ { 2} r _ { 2 }^ { 2 } + \cdots + m _ {n } r _ {n } ^ { 2 } }$و $\large { \displaystyle I = m( r _ { 1 } ^ { 2 }+ r _ { 2} ^ { 2 } + \cdots + r _ { n } ^ { 2 } ) }$با فرض اینکه رابطه $M = { n } { m }$ نشاندهنده جرم کل جسم باشد${ \displaystyle I = M ( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + r _ { n } ^ { 2 } ) / n }$ توجه به تعریف شعاع ژیراسیون، میتوان لختی بدست آمده در بالا را برابر با لختی ناشی از شعاع ژیراسیون$\large {\displaystyle M R _{ g } ^{ 2 } = M ( r _ { 1 } ^{ 2 } + r _ {2 } ^ { 2 } + \cdots + r _{ n } ^ { 2 } ) / n }$شعاع ژیراسیون$\large {\displaystyle R _ {g } ^ { 2 } = ( r _ {1 } ^ { 2 } +r _ { 2} ^ { 2 } + \cdots + r _ { n } ^ { 2 } ) / n }$