معادله کلازیوس-کلاپیرون

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 431

سپاس: 207

جنسیت:

تماس:

معادله کلازیوس-کلاپیرون

پست توسط rohamjpl »

دو بیان کلاسیک از قانون دوم ترمودینامیک وجود دارد که هر دو بیانگر یک مفهوم اساسی هستند:
۱) بیان کلوین
پلانکو بیان کلازیوس
۲) بیان کلوین
پلانک بر پایه توضیح عملکرد موتورهای حرارتی است وبیان می دارد که غیرممکن است وسیله ای بسازیم که در یک سیکل عمل کند و در عین حال که با یک مخزن تبادل حرارت دارد اثری بجز صعود وزنه داشته باشد.
این بیان از قانون دوم ترمودینامیک در بر گیرنده این مضمون است که غیر ممکن است که یک موتور حرارتی مقدار مشخصی حرارت را از جسم درجه حرارت بالا دریافت کند و همان مقدار نیز کار انجام دهد. بیان کلازیوس نیز یک بیان منفی است و اعلام می دارد که غیر ممکن است وسیله ای بسازیم که در یک سیکل عمل کند و تنها اثر آن انتقال حرارت از جسم سردتر به جسم گرمتر باشد. این بیان بر پایه توضیح عملکرد پمپهای حرارتی می باشد و دربرگیرنده این مفهوم است کهنمی توان یخچالی ساخت که بدون کار ورودی عمل کند.
هر دو بیان کلاسیک از قانون دوم ترمودینامیک نوعاً بیانهای منفی هستند و اثبات بیان منفی ناممکن است. درباره قانون دوم ترمودینامیک گفته می شود"هر آزمایش مربوطی که صورت گرفته به طور مستقیم یا غیرمستقیم قانون دوم بوده و هیچ آزمایشی منجر به نقض قانون دوم نشده است. همانگونه که ذکر شد تنها گواه ما بر صحت قانون دوم ترمودینامیک آزمایشات گوناگونی است که همگی درستی این قانون را تا;یید می کنند.
با این همه در ترمودینامیک کلاسیک سعی می کنند نشان دهند که اثبات معادل بودن دو بیان کلوین- پلانک و کلازیوس دلیلی بر صحت قانون دوم ترمودینامیک است. در حالیکه این امر درستی قانون دوم را اثبات نمی کند. در اثبات اینکه دو بیان فوق الذکر معادل یکدیگرند از یک مدل منطقی بهره جسته می شود که می گوید: " دو بیان, معادل هستند اگر صحت هر بیان منجر به صحت بیان دیگر گرددو اگر نقض هر بیان باعث نقض بیان دیگر شود."
در ترمودینامیک کلاسیک ,برای اثبات معادل بودن دو بیان کلوین- پلانک و کلازیوسبا نشان داده می شود که نقض بیان کلازیوس منجر به نقض بیان کلوین- پلانک می شود. وسیله ناقض بیان کلازیوس یک پمپ حرارتی است که نیازی به کار ندارد.
به دلیل اینکه انتقال حرارت خالص با منبع درجه حرارت پایین وجود ندارد پس پمپ حرارتی و موتور حرارتی و منبع درجه حرارت بالا مشتمل بر یک سیکل ترمودینامیکی است اما فقط با یک مخزن تبادل حرارت داردبنابراین نتیجه می شود کهناقضبیان کلوین- پلانک می باشد. و گفته می شود تساوی کامل این دو بیان هنگامی اثبات می شود که نقض بیان کلوین- پلانک نیز موجب نقض بیان کلازیوس بشود.
با این وصف باید بپذیریم که دو بیان فوق, منتج از یکدیگر هستند. " در اثبات معادل بودن چند گزاره اگر عبارتی بصورت B ↔A بیان شده باشد آنگاه B نتیجه A است و A هم نتیجه B, بعبارت دیگر AوB معادل یکدیگر هستند, بالعکس اگر A وBمعادل یکدیگرباشند,هریک از آنها نتیجه دیگری است."معادل بودن دو بیان کلوین- پلانک و کلازیوس را می توان با استفاده از قانون لایب نیتس نشان داد که می گوید: اگر Aو Bیکسان و همانند باشند باید تمام ویژگیها و خاصه های آنها نیز یکسان باشد.از اصل لایب نیتسگاهی به عنوان اصلنامتمایز بودن همانها indescernibility ofidenticals))یاد می شود.
در واقع این اصل منطقی بیان می دارد که " اگر یک ویژگی یافت شود که A آن را داراست اما B فاقد آن است بنابراین A وBموجودیتهای مجزایی خواهند بود." دو بیان کلازیوس و کلوین- پلانک معادل یکدیگرند زیرا که هر دو متضمن این ویژگی هستند که ساخت یک ماشین حرکت دائمی Perpetualmovementmachine))ممکن نمی باشد.
روشهای اثبات منطقی در بسیاری از قضایای ترمودینامیک بر پایهء آزمایشهای ذهنی می باشد. نظیر اثبات قضایای کارایی سیکل کارنو که در آن نخست فرضی را مطرح کرده و سپس نشان داده می شود که آن فرض به نتایج غیرممکن می انجامد و چون روش استدلال در این آزمایش ذهنی نوعاً درست بوده تنها حالت ممکن این است که فرض اولیه نادرست باشد.
● نامساوی کلازیوسوقانون دوم ترمودینامیک
اغلب گفته می شود که نامساوی کلازیوس لازمه قانون دوم ترمودینامیک است. نامساوی کلازیوس را با بررسی سیکل موتور حرارتی و یخچال اثبات می کنند. اما با التفات به اثبات نامساوی کلازیوس باید بپرسیم که چگونه نامساوی کلازیوس لازمه قانون دوم است در حالیکه طی مراحل آن از قانون دوم مستثنی نیست و در روند اثبات آن مدام بهقانون دوم استناد می شود؟
در اینجا نامساوی کلازیوس,صحت خود را از درستی ازپیش معلوم فرض شدهء قانون دوم وام می گیرد"هر دلیلی که در دفاع از فرضیه ای اقامه می کنیم باید غیر از نتیجه و مستقل از آن باشد. اگر تنها گواه صدق ما خود نتیجه باشد استنتاج مشتمل بر دور و لذا کاملاً نارضایت بخش خواهد بود." گواه صدق نامساوی کلازیوس نیز قانون دوم است بنابراین نامساوی کلازیوس نمی تواند لازمه قانون دوم ترمودینامیک باشد.
(C1) غیرممکن است که یک موتور چرخه ای / پمپ حرارتی بدون هیچ کار سوم / کانال گرما ، گرما را از بدنه سردتر به بدنه گرمتر منتقل کند.
(C2) انتقال موتور یا پمپ حرارتی چرخشی غیرممکن است که گرما را از یک مخزن حرارت سردتر به یک مخزن گرمتر بدون هیچ کار سوم / کانال گرما انتقال دهد.
واضح است (C1) تقریباً به طور خودکار (C2) را نشان می دهد ، زیرا یک مخزن حرارتی به عنوان یک بدنه حساب می شود. با این حال ، آیا (C2) دلالت بر (C1) دارد؟ اگر چنین است ، دلیل بر (C2) دلالت بر (C1) چیست؟ آیا یک واقعیت اضافی مورد نیاز است؟
به نظر من این یک سوال مهم است ، زیرا بیانیه کلوین-پلانک (همانطور که من آن را می دانم) شامل مخازن حرارتی است. با استفاده از دستور Kelvin-Planck می توانید (C2) را به راحتی استخراج کنید ، اما دستور Clausius معمولاً به صورت (C1) بیان می شود.یک نسخه تمیزتر از اظهارات کلاوزیوس این است: "ساخت دستگاهی که بر روی یک چرخه کار کند و غیر از انتقال گرما از بدن خنک کننده به بدنه گرمتر نتیجه دیگری نداشته باشد ، غیرممکن است". اساس همه اظهارات این است که تغییر کل آنتروپی (سیستم + محیط اطراف) برای همه فرایندهای واقعی (برگشت ناپذیر)> 0 است و ممکن است برای یک روند برگشت پذیر ایده آل به 0 نزدیک شود. همانطور که می بینم ، تنها تفاوت بین C1 و C2 این است که C2 فرآیند انتقال حرارت ایزوترمال (دمای ثابت) را توصیف می کند ، که محاسبه تغییرات آنتروپی برای مخازن دمای بالا و پایین را ساده می کند. برای یک انتقال حرارت Q ، در صورت عدم کار ، تغییر آنتروپی برای مخزن دمای بالا به سادگی $-Q / TH$ و برای دمای پایین $+ Q / TL $است. می بینید که برای کل $TH> TL$ جمع این دو (تغییر کل آنتروپی)> 0 است. اگر TH = TL فقط 0 باشد ، اما اگر دما یکسان باشد ، انتقال حرارت به طور طبیعی اتفاق نمی افتد. کار لازم است امیدوارم که کمک کند.اثبات
با استفاده از قانون اول ترمودینامیک ،$ \begin{align}
\mathrm dQ & = \mathrm dU +\mathrm dW\\
\mathrm dQ &= n C_V \mathrm dT + P \mathrm dV\\
\frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \frac{\mathrm dT}{T} + \frac{P}{T} \mathrm dV
\end{align}$از آنجا که گاز مورد بررسی یک گاز ایده آل است ، می توانیم معادله حالت $PV = nRT$ را برای جایگزینی $P / T = nR / V$ اعمال کنیم. این را در معادلات بالا جایگزین کنید ،$ \begin{align}
\frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \frac{\mathrm dT}{T} + \frac{nR}{V} \mathrm dV\\
\oint \frac{\mathrm dQ}{T}&=n C_V \oint \frac{\mathrm dT}{T} + nR \oint\frac{\mathrm d V}{V}\\
\oint \frac{\mathrm dQ}{T}&=nC_V \ln T \biggr |_T ^T + nR \ln V \biggr |_V ^V\\
\oint \frac{\mathrm d Q }{T} &=0
\end{align}$
معنی $\oint \frac{\delta Q_\text{res}}{T_\text{res}} \le 0\;. $ در واقع از چرخه کارنو ، ما رابطه برابری را بدست می آوریم زیرا آنتروپی از بین رفته توسط مخزن گرم همان آنتروپی حاصل از مخزن سرد است.
البته علامت نابرابری بدین معناست که آنتروپی حاصل از مخزن سرد کمتر از آنتروپی از دست رفته مخزن گرم است.
اما در واقع چه اتفاقی افتاده است که باعث می شود مخازن گاهی اوقات تغییری در آنتروپی نداشته باشند اما در موارد دیگر ، آنتروپی منفی تغییر می کند؟
انتگرال در نابرابری Clausius منفی بخشی از تغییر آنتروپی مخازن است که به دلیل تبادل انرژی از طریق گرم شدن با سیستم است ، به عنوان مثال
$0 \geq \oint \frac{\delta Q_{\text{sys}}}{T_{\textrm{res}}} = - \Delta S_{\text{res due to heat exchange with sys}}. $ به دلیل تبادل گرما با sys.
(من از کلمه "بخش" استفاده می کنم زیرا مخازن مجاز به تبادل انرژی با بقیه جهان هستند و بنابراین بخشی از تغییر آنتروپی مخازن می تواند از جای دیگری باشد). نابرابری شدید زمانی بوجود می آید که: الف) حداقل یکی از فرآیندهای انجام شده توسط سیستم غیر شبه استاتیک باشد یا (ب) سیستم و مخازن از طریق گرمایش هنگامی که اختلاف دمای محدودی بین آنها وجود دارد ، انرژی را تبادل می کنند. برابری دقیق هنگامی برقرار است که هیچکدام (a) و (b) برقرار نباشند و در این حالت چرخه تحت سیستم را برگشت پذیر می نامند.
سرانجام ، می توان از نابرابری Clausius برای توصیف اینکه چقدر کار می توانستیم انجام دهیم استفاده کردیم ، اما (b) عدم استفاده از آن اختلافات دمایی محدود یا (c) عدم استفاده از برگشت ناپذیری های داخلی - مانند شیب های فشار داخلی ، شیب های دمای داخلی و غیره ، که مترادف با فرآیندهای نیمه ایستا بودن − برای انجام کار است.
ما این کار را به صورت مرحله ای انجام خواهیم داد ، شروع با چرخه کارنو ، حرکت به سمت یک موتور برگشت پذیر خودسرانه ، حرکت از آنجا به یک موتور برگشت ناپذیر که غیرقابل برگشت بودن آن به دلیل اختلاف دما بین سیستم و مخزن است و در نهایت با نگاهی به نتیجه گیری موتوری که در سیستم غیرقابل بازگشت است.
چرخه برگشت پذیر کارنو
در اینجا ما انتگرال را در نابرابری Clausius برای چهار فرآیند محاسبه می کنیم: اول فشرده سازی همدما ، دوم فشرده سازی آدیاباتیک ، سوم انبساط همدما و چهارم انبساط آدیاباتیک. در طی مراحل همدما ، سیستم و مخزنی که با آن تماس دارد در یک دما و ثابت هستند. بنابراین ما انتگرال را به این چهار قسمت تقسیم می کنیم $\begin{align}
\oint \frac{\delta Q}{T_{\textrm{res}}} =
\int_{1} \frac{\delta Q}{T_{\textrm{res}}}+\int_{2} \frac{\delta Q}{T_{\textrm{res}}}
+\int_{3} \frac{\delta Q}{T_{\textrm{res}}}+\int_{4} \frac{\delta Q}{T_{\textrm{res}}}.
\end{align} $ در واقع $\begin{align}
\oint \frac{\delta Q}{T_{\textrm{res}}} =
\int_{1} \frac{\delta Q}{T_{\textrm{res}}}+\int_{3} \frac{\delta Q}{T_{\textrm{res}}}
=\int_{1} \frac{\delta Q}{T_{\textrm{C}}}+\int_{3} \frac{\delta Q}{T_{\textrm{H}}}
=\frac{1}{T_{\textrm{C}}}\int_{1} \delta Q + \frac{1}{T_{\textrm{H}}}\int_{3} \delta Q,
\end{align} $که به $\begin{align}
\oint \frac{\delta Q}{T_{\textrm{res}}}
&=\frac{Q_{1}}{T_{\textrm{C}}} + \frac{Q_{3}}{T_{\textrm{H}}}
=\frac{-Q_{\textrm{C}}}{T_{\textrm{C}}} + \frac{Q_{\textrm{H}}}{T_{\textrm{H}}}.
\end{align} $میرسیماین مقدار برای چرخه کارنو صفر است ، زیرا به راحتی از طرق مختلف قابل تأیید است ، بنابراین این نابرابری را برآورده می کند.
همچنین محاسبه م componentلفه تغییر آنتروپی مخازن در طی این فرآیند که به دلیل تبادل انرژی با سیستم است ، مفید است. مخازن ممکن است در حال از دست دادن و از دست دادن آنتروپی باشند زیرا ممکن است در تعامل با سایر قسمتهای جهان باشند ، اما ما برای این موضوع اهمیتی قائل نیستیم (یا فعلاً می توانیم فرض کنیم که سیستم به علاوه مخازن از نظر حرارتی جدا شده است (اما نه از نظر مکانیکی) بقیه جهان. تغییر در آنتروپی سیستم البته صفر است زیرا روی یک چرخه کار می کند. بنابراین:
$\Delta S_{\text{res}} = \frac{Q_{\text{hot}}}{T_{\text{H}}} + \frac{Q_{\text{cold}}}{T_{\text{C}}} = \frac{-Q_{\text{H}}}{T_{\text{H}}} + \frac{Q_{\text{C}}}{T_{\text{C}}}. $این دقیقاً منفی کمیتی است که در بالا محاسبه کردیم (البته البته در این حالت هنوز صفر است). این نشان می دهد آنچه که ما در حال محاسبه آن هستیم تغییر در آنتروپی مخازن است که به دلیل تبادل انرژی از طریق گرمایش با سیستم ایجاد می شود.
یک موتور برگشت پذیر خودسرانه
در این حالت ، دمای سیستم در هر زمان برابر با دمای مخزنی است که با آن در تماس است. اما از آنجا که دمای سیستم می تواند تغییر کند در حالی که از طریق گرم شدن با مخزن نیز در حال تبادل انرژی است ، باید دمای مخزن همراه با سیستم تغییر کند (یا همانطور که به طور معمول گفته می شود ، سیستم با یک توالی ارتباط دارد و در تماس هست) مخازن با دمای بسیار کم متفاوت). اگر بخشی از تغییر خالص آنتروپی مخازن را که به دلیل تبادل انرژی از طریق گرمایش با سیستم است ، محاسبه کنیم ، دقیقاً محاسبه می کنیم$\oint \frac{\delta Q_{\text{res}}}{T_{\text{res}}} = -\oint \frac{\delta Q_{\text{sys}}}{T_{\text{res}}}. $این مقدار منفی کمیت موجود در نابرابری کلاوزیوس است و در این حالت دوباره 0 است. البته دیدن این دشوارتر است ، اما در اثبات نابرابری کلاوزیوس نشان داده شده است که برابری برای چرخه های برگشت پذیر است.
یک بار دیگر ، این نشان می دهد که سمت چپ نابرابری Clausius منفی تغییر در آنتروپی مخازن است که با تبادل انرژی از طریق گرمایش با سیستم (که در حال گذراندن یک چرخه است) ایجاد می شود.
یک چرخه غیر کارنو فقط بین دو دما کار می کند
بیایید یکی از ساده ترین موارد را که چرخه اتو است در نظر بگیریم. چرخه اتو شامل فشرده سازی آدیاباتیک (فرآیندهای 1) ، و انبساط آدیاباتیک (فرآیند 3) و دو ایزوکر (فرآیندهای 2 و 4) است. در طی فرآیندهای آدیاباتیک ، هیچ حرارتی با گرم شدن تبادل نمی شود. بنابراین ، تغییر در آنتروپی مخازن حاصل از تبادل انرژی از طریق گرمایش با سیستم است$\begin{align}
\oint \frac{\delta Q_{\text{res}}}{T_{\textrm{res}}} =
\int_{2} \frac{\delta Q_{\text{res}}}{T_{\textrm{res}}}+\int_{4} \frac{\delta Q_{\text{res}}}{T_{\textrm{res}}}
=\frac{Q_{\text{cold}}}{T_{\textrm{C}}} + \frac{Q_{\text{hot}}}{T_{\textrm{H}}}
=\frac{Q_{\text{C}}}{T_{\textrm{C}}} + \frac{-Q_{\text{H}}}{T_{\textrm{H}}}.
\end{align} $اکنون ، در حین فرآیند 2 ، سیستم همیشه گرمتر از مخزن است و در طی فرآیند 4 ، سیستم همیشه خنک تر از مخزن است. ما محاسبه دقیق را فقط در یک ثانیه انجام خواهیم داد ، اما این بدان معنی است که مقدار ما فقط محاسبه شده باید مثبت باشد ، و این بدان معنی است که منفی این مقدار (که همان مقدار در نابرابری کلاوزیوس است) منفی است.
در مورد محاسبه ، ما می توانیم $ \bar{T}_{\text{sys},2} > T_{\text{C}}$ را در کجا بنویسیم
$\bar{T}_{\text{sys},2} = \frac{1}{\Delta S_2}\int_2 TdS $
میانگین دما در طی فرایند 2 است. به همین ترتیب ، در طی فرایند 4 ، سیستم همیشه از مخزن خنک تر است ، بنابراین $ \bar{T}_{\text{sys},4} < T_{\text{H}}$ تغییر در آنتروپی برای چرخه را می توان با توجه به میانگین دما به عنوان نوشت
$\begin{align}
0 &= \Delta S_{\text{sys}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 + \Delta S_4
= \Delta S_2 + \Delta S_4\\
&=\frac{Q_2}{\bar{T}_{\text{sys},2}} + \frac{Q_4}{\bar{T}_{\text{sys},4}}
=\frac{-Q_{\text{C}}}{\bar{T}_{\text{sys},2}} + \frac{Q_{\text{H}}}{\bar{T}_{\text{sys},4}}
\\
& > \frac{-Q_{\text{C}}}{{T}_{\text{C}}} + \frac{Q_{\text{H}}}{{T}_{\text{H}}}
\end{align} $
این کمیت دقیقاً منفی مقدار فوق است ، که نشان می دهد تغییر خالص آنتروپی (به دلیل فعل و انفعالات با سیستم) مخازن در طول چرخه لزوماً مثبت است و نابرابری کلاوزیوس دوباره برآورده می شود (زیرا انتگرال در نابرابری منفی تغییر آنتروپی مخزن است که ما در بالا محاسبه کردیم).
نتایج متناقض در کاربردهای مختلف قانون 2 ترمودینامیک پارادوکس کلاوزیوس
ssume دو سیستم بسته در مجاورت یکدیگر با هم تشکیل یک سیستم آدیاباتیک. فرض بر این است که حجم هر دو سیستم ثابت است و می توانند فقط از طریق انتقال گرما با یکدیگر ارتباط برقرار کنند. حال اجازه دهید این مثال ساده را با سه فرمول مختلف مطالعه کنید:
اولین فرمول همان چیزی است که همیشه فکر می کردم واضح است ، وقتی فکر کردم که ترمودینامیک کلاسیک را می دانم! فرض کنید δQ جریان گرما از سیستم 2 به سیستم 1 است:$ \begin{align}
&\Delta S=\Delta S_1+\Delta S_2\,,\qquad \Delta S_1\ge\int_1^2\frac{\delta Q}{T_1}\quad\text{&}\quad \Delta S_2\ge\int_1^2\frac{-\delta Q}{T_2}\\
&\Rightarrow\;\Delta S\ge\int_1^2\delta Q\,\Bigl(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Bigr)
\end{align}$
اکنون دوباره عبارت Clausius از قانون دوم می گوید اگر $δQ≥0$ سپس $T2≥T1 $و اگر$ δQ≤0 $سپس $T2≤T1$. بنابراین ، به هر حال ما خواهیم داشت$\Delta S\ge\int_1^2\delta Q\,\Bigl(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Bigr)\ge0 $اما فرقی نمی کند که روند برگشت پذیر باشد یا خیر ، فقط با این فرض که سیستم هیچ کاری ندارد (حجم ثابت است ، اما همچنین فرض می کنیم هیچ اصطکاک یا کار ثقلی و غیره وجود ندارد) ما بدست خواهیم آورد:$\begin{align}
&\delta Q-\delta W=dU=T dS - p dV\quad\Rightarrow\quad\delta Q=T dS\\
&\Rightarrow\quad \Delta S_1=\int_1^2\frac{\delta Q}{T_1}\;\;\text{&}\;\; \Delta S_2=\int_1^2\frac{-\delta Q}{T_2}\\
&\Rightarrow\quad \Delta S=\Delta S_1+\Delta S_2=\int_1^2\delta Q\,\Bigl(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Bigr)\ge0
\end{align} $
مشکل این است که ما در خط اول$ δQ = TdS $مشتق شده ایم که به طور کلی صحیح نیست و این نشان می دهد که حتی اگر حجم ثابت باشد اما کار دیگری نیز باید وجود داشته باشد ، اما اگر ظروف فقط مواد جامد داشته باشند ، برای حل این نتیجه متناقض؟

در "ترمودینامیک کلاسیک پیشرفته" امانوئل پیشنهاد شده است که تغییر آنتروپی را در یک سیستم بسته بنویسید:$dS=dS_{int}+\frac{\delta Q}{T_{surr}} $
که در آن ، int و surr به ترتیب اختصارات داخلی و پیرامونی هستند. با فرض برگشت ناپذیری ناشی از جریان گرما بین یک اختلاف دمای محدود $ T_{surr}-T$ که در داخل $ dS_{int}$ در نظر گرفته شود ، قانون دوم ترمودینامیک را به این ترتیب منعقد می کند:$ dS_{int}\ge0$
اکنون به مشکل دو سیستم خود بازمی گردیم:$\begin{align}
&dS=dS_{int_{total}}+0\quad\text{&}\quad dS_1=dS_{int_1}+\frac{\delta Q}{T_2}\quad\text{&}\quad dS_2=dS_{int_2}-\frac{\delta Q}{T_1}\\
&dS=dS_1+dS_2\quad\Rightarrow\quad dS_{int_{total}}=dS_{int_1}+dS_{int_2}-\delta Q\,\Bigl(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Bigr)
\end{align} $
خط آخر به $dS_{int_{total}}\le dS_{int_1}+dS_{int_2} $ نیاز دارد که بدیهی است صحیح نیست و باید به جای "پایین یا مساوی" فقط "برابر" باشد.
همانطور که قبلاً مشخص بود ، فرمول دوم مسئله باید اشتباهی داشته باشد اما من فقط نمی توانم آن را پیدا کنم ، اما فرمول سوم مسئله جدی تری است ، به نظر من یا با فرض برگشت ناپذیری جریان گرما بین اختلافات دمای محدود نمی توان از آن حذف کرد به dSint یا اگر انجام شود ، فقط باید از یک دما در فرمولاسیون استفاده شود ، اما بعد مشکل از کدام یک ، T1 یا T2 افزایش می یابد؟ اگر اختیاری باشد و من بتوانم $dS\ge\frac{\delta Q}{T_{surr}} $ و $ dS\ge\frac{\delta Q}{T}$ را بنویسم ، اولین فرمول بالا با مشکل روبرو خواهد شد!
جواب ان 1
بهتر است همیشه به فرمول دقیق قانون دوم ، که در دو بخش ارائه می شود ، پایبند بمانید. نقل قول از کتاب "مبانی فیزیک آماری و حرارتی" اثر F. Reif:
1) در هر فرآیندی که یک سیستم جدا شده از حرارت از یک کلان به یک حالت دیگر برود ، آنتروپی تمایل به افزایش دارد ، به عنوان مثال ،$\Delta S\geq 0 $
2) اگر سیستم منزوی نباشد و تحت یک فرآیند بی نهایت کوچک نیمه ایستا قرار گیرد که در آن گرمای dQ را جذب می کند ،$dS = \frac{dQ}{T} $
ترکیب 1) و 2) در قالب عباراتی مانند $dS≥dQT $ضعیف تر از قانون دوم است که در بالا فرموله شده است ، زیرا شما باید فرضیات اضافی را ارائه دهید که این امر را معتبر می کند. بهتر است هرگز از چنین عباراتی به طور مستقیم استفاده نکنید و همیشه به فرمول دقیق قانون دوم پایبند باشید که تصور نمی کند دما در هنگام هرگونه تغییر غیر شبه استاتیکی قابل تعریف است.
تناقضی که شما در نظر می گیرید وقتی حل می شود که سیستم در تعادل گرمایی نیست ، حل می شود. توجه داشته باشید که شما اصولاً در تعریف توصیف ترمودینامیکی یک سیستم فیزیکی معین آزاد هستید. بنابراین ، سیستم فیزیکی دقیقاً با مشخص کردن وضعیت خرد آن توصیف می شود و شرح ترمودینامیکی یک توصیف دوره ای از آن است که در آن فقط چند پارامتر ماکروسکوپی را در آن نگه می دارید. حال ، آنچه در این صورت می تواند اتفاق بیفتد این است که یک توصیف کمی دانه تر به شما امکان می دهد ترمودینامیک تعادل در سیستم قابل اجرا باشد. در اینجا این مورد است.
بنابراین ، شما دو گزینه دارید. شما اگر سیستم را به عنوان یک سیستم جداگانه توصیف کنید ، دما تعریف نمی شود و فقط می توانید از قسمت اول قانون دوم استفاده کنید که مفهوم دما را فراخوانی نمی کند. با این حال ، اگر نگاهی دقیق به سیستم داشته باشید ، متوجه می شوید که دو زیر سیستم دارید ، تغییرات آنتروپی سیستم را می توان با قسمت دوم قانون دوم توصیف کرد ، به شرطی که تغییرات شبه ایستا باشد.
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 431

سپاس: 207

جنسیت:

تماس:

Re: معادله کلازیوس-کلاپیرون

پست توسط rohamjpl »

رابطه Clausius – Clapeyron ، راهی برای توصیف انتقال فاز ناپیوسته بین دو مرحله ماده یک ماده تشکیل دهنده واحد است.در نمودار فشار - دما (P – T) ، خط جدا کننده دو مرحله به عنوان منحنی همزیستی شناخته می شود. رابطه Clausius – Clapeyron شیب مماس ها را به این منحنی می دهد. از نظر ریاضی،$ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {L}{T\,\Delta v}}={\frac {\Delta s}{\Delta v}},}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {L}{T\,\Delta v}}={\frac {\Delta s}{\Delta v}},
where {\displaystyle \mathrm {d} P/\mathrm {d} T}\mathrm {d} P/\mathrm {d}$با استفاده از مفروض حالت ، آنتروپی خاصی را برای یک ماده همگن در نظر بگیرید تا تابعی از حجم خاص${\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial s}{\partial v}}\right)_{T}\,\mathrm {d} v+\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)_{v}\,\mathrm {d} T.}$رابطه Clausius-Clapeyron رفتار یک سیستم بسته را در طول تغییر فاز مشخص می کند ، که در طی آن دما و فشار بر اساس تعریف ثابت هستند. بنابراین ، ${\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial s}{\partial v}}\right)_{T}\,\mathrm {d} v.} $با استفاده از رابطه مناسب ماکسول${\displaystyle \mathrm {d} s=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{v}\,\mathrm {d} v}$که در آن ${\ displaystyle P} $ فشار است. از آنجا که فشار و دما ثابت هستند ، بنابراین تعریف می شود مشتق فشار نسبت به دما تغییر نمی کند. بنابراین ، مشتق جزئی آنتروپی خاص ممکن است به یک مشتق کل تبدیل شود
و مشتق کل فشار با توجه به دما ممکن است هنگام ادغام از فاز اولیه ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}={\frac {\Delta s}{\Delta v}}}$ به ترتیب تغییر در آنتروپی خاص و حجم خاص است. با توجه به اینکه تغییر فاز یک روند برگشت پذیر داخلی است و سیستم ما بسته است ، اولین قانون ترمودینامیک حاوی$ {\displaystyle \Delta s\equiv s_{\beta }-s_{\alpha }}{\displaystyle \Delta s\equiv s_{\beta }-s_{\alpha }}$ سیستم بسته است ، اولین قانون ترمودینامیک اعمال می شود${\displaystyle \mathrm {d} u=\delta q+\delta w=T\;\mathrm {d} s-P\;\mathrm {d} v} $که در آن u انرژی درونی سیستم است. با توجه به فشار و دما ثابت (در طول تغییر فاز) و تعریف آنتالپی خاص h ، ما بدست می آوریم${\displaystyle \mathrm {d} h=T\;\mathrm {d} s+v\;\mathrm {d} P}$
و${\displaystyle \mathrm {d} h=T\;\mathrm {d} s}$و${\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} h}{T}}}$با توجه به فشار و دما ثابت (در طول تغییر فاز)${\displaystyle \Delta s={\frac {\Delta h}{T}}}$درک معادله Clausius-Clapeyronمن در مورد آنچه اساساً معادله Clausius-Clapeyron می گوید گیج شده ام. من آن را از کتاب فیزیک حرارتی فین یاد گرفتم. در اینجا تصویری است که آنها برای استخراج آن استفاده کردند.ماده دو فاز مختلف تنها زمانی می توانند با هم همزیستی کنندتصویر که عملکرد گیبس یکسان داشته باشند.در A ،داریم $g_1(T,P) = g_2(T,P)$و برای b دارم $g_1(T+dT,P+dP)=g_2(T+dT,P+dP)$من مطمئن نیستم که چرا لزوماً چنین است ، اما فین صرفاً این را بیان می کند.
از معادله قبلی ، از طریق گسترش تیلور و هویت ترمودینامیکی برای Gدارم $v = \left(\frac{\partial g}{\partial P}\right)_T$و$s = -\left(\frac{\partial g}{\partial T}\right)_P$و معادله $g_1(T+dT,P+dP)=g_2(T+dT,P+dP)$و$\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta S}{\Delta V}$و$\implies \frac{dP}{dT} = \frac{L}{T \Delta V}$ریاضیات رسیدن به معادله از نظر توابع خاص گیبس و نتیجه نهایی برای من خوب است ، اما من در واقع نمی دانم این نشان دهنده چیست. برای من ، این یکی از دو چیز است:
یا سرعت تغییر فشار با درجه حرارت است به گونه ای که ماده ای در مرز فاز باقی می ماند و انتقال نمی یابد
یا اینکه چگونه حجم و آنتروپی از یک مرحله انتقال بر اساس امضای آن تغییر می کند ، اطلاع می دهد.
به عنوان مثال ، برای این دو نمودار:تصویر آیا دنبال کردن خطوطی که dP/dT> 0 یا dP/dT <0 را دنبال می کند خطوطی است که باید برای تغییر فاز دنبال شود؟ یا مثلاً آیا dP/dT> 0 in (a) نشان دهنده اثرات حجم و آنتروپی (که حجم و آنتروپی افزایش می یابد) برای ذوب ، dP / dT است که در اینجا مثبت است؟این معادله به شما می گوید که شیب فشار در برابر نمودار دما هنگامی که دو فاز با یکدیگر زندگی می کنند.
اگر L و ΔV در یک محدوده دمایی خاص خیلی تغییر نکنند ، با ادغام معادله من $P_2-P_1 = \dfrac {L}{\Delta V}\ln{\dfrac{T_2}{T_1}}$ به دست می آید بنابراین اگر از یک نقطه در نمودار اطلاعات دارید ، (P1 ، T1) ، معادله (Clausius-) Clapeyron شما را قادر می سازد تا نقاط دیگر (P2 ، T2) را پیدا کنید.به عبارت دیگر فشار و دما از یکدیگر مستقل نیستندمن مطمئن نیستم که چرا لزوماً چنین است ، برای مخلوطی از دو فاز در تعادل ، وقتی جرم فاز 1 $m_1$ و فاز 2 $m_2$ باشد ، کل انرژی آزاد گیبس$G(T,P)=m_1g_1(T,P)+m_2g_2(T,P)$باید در حداقل آن باشد. با استفاده از m1 + m2 = ثابت ، و این واقعیت که برای انتقال بی اندازه جرم از یک فاز به فاز دیگر ، تغییر در G (T ، P) باید صفر باشد یعنی$dG(T,P)= dm_1~g_1(T,P)+dm_2~ g_2(T,P)=0,$
یکی بدست می آید$dm_1=-dm_2$یعنی$g_1(T,P)=g_2(T,P).$یا سرعت تغییر فشار با درجه حرارت است به گونه ای که ماده ای در مرز فاز باقی می ماند و انتقال نمی یابد
یا اینکه چگونه حجم و آنتروپی از یک مرحله انتقال بر اساس امضای آن تغییر می کند ، اطلاع می دهد.
اگر dP/dT> 0 باشد ، این بدان معنی است که با افزایش فشار ، نقطه ذوب افزایش می یابد و اگر dP/dT <0 ، با افزایش فشار ، نقطه ذوب کاهش می یابد.
چرا معادله Clapeyron اینقدر مهم است؟$\begin{equation}
\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H_{a,b}}{T\Delta V}
\end{equation}$سوال: این معادله مماس منحنی های همزیستی را در نمودارهای P ، T توصیف می کند ، اما چرا اینقدر مهم است؟شما فقط 3 گزینه به عنوان پاسخ ممکن داده اید ، اما گزینه های دیگری وجود دارد که بر اهمیت معادله Clapyeron تأکید دارند. همه اینها مربوط به فرآیندهای صنعتی است. اگر در حال طراحی یا کارکردن قطعه ای از تجهیزات هستید که شامل بخار و فازهای مایع موجود در درجه حرارت بالا است ، برای طراحی صحیح تجهیزات به منظور عدم ترکیدن آن ، باید رابطه بین فشار و دما را بدانید. مقدار مناسب انتقال گرما رخ می دهد. مثال دیگر در عملیات مرطوب سازی و خشک کردن است. یک مثال بسیار مهم در ستون های تقطیر است که در آن سعی می کنید تعداد سینی های تقطیر را انتخاب کنید تا به یک جداسازی مطلوب برسید. اگر از قانون رائولتس برای نشان دادن رفتار تعادل مایع بخار سیستم (در انجام تعادل مواد و انرژی) استفاده می کنید ، باید فشار بخار تعادل در مقابل دما را برای هر ماده در مخلوط بدانید ، زیرا فشار جزئی هر ماده در بخار برابر است با فشار بخار تعادلی آن در دمای مایع چند برابر کسر مول در مایع. بنابراین ، به طور خلاصه ، کاربردهای صنعتی بسیار مهمی برای معادله Clapeyron وجود دارد.
اثبات نظری نابرابری کلاوزیوس (فرمی)یک سیستم S را در نظر بگیرید که دچار یک تغییر شکل چرخشی می شود و n منابعی که از آن گرما می گیرد دارای درجه حرارت T1 ، T2 ... Tn هستند. بگذارید Qi گرمای دریافتی / داده شده توسط منبع i باشد. پس از استخراج نابرابری Clausius برای همه چرخه ها:$\begin{equation}\tag{1}\sum\limits_{i=1}^n\frac{Q_i}{T_i}\leqslant0
\end{equation}$اگر چرخه برگشت پذیر باشد ، می توانیم چرخه معکوس را در نظر بگیریم ، و تنها تفاوت در علامت مخالف حرارت ها خواهد بود. بنابراین:$\begin{equation}\tag{2}\sum\limits_{i=1}^n\frac{-Q_i}{T_i}\leqslant0\iff\sum\limits_{i=1}^n\frac{Q_i}{T_i}\geqslant0\end{equation}$برای اینکه هم این نابرابری و هم (1) راضی کنیم ، برای یک چرخه برگشت پذیر باید داشته باشیم:$\begin{equation}\tag{3}\sum\limits_{i=1}^n\frac{Q_i}{T_i}=0
\end{equation}$بسیار خوب ، آنجاست. از معادله (3) می توان نتیجه گرفت که برای چرخه های برگشت پذیر علائم برابری وجود دارد.
اما فرمی همچنین نتیجه گرفت که برابری فقط در این مورد برقرار است. ما ثابت کرده ایم که معادله (3) در مورد یک چرخه برگشت پذیر درست است ، اما ثابت نکرده ایم که برابری در هیچ مورد دیگری نمی تواند برقرار باشد ، بنابراین چگونه نتیجه می گیریم که$\begin{equation}
\sum\limits_{i=1}^n\frac{Q_i}{T_i}<0
\end{equation}$برای چرخه غیر برگشت پذیر؟در یک فرآیند برگشت ناپذیر ، آنتروپی در سیستم تولید می شود ، بنابراین کل تغییر آنتروپی در هر مرحله حاصل جمع مبادله آنتروپی با محیط اطراف در Ti به اضافه آنتروپی مثبت (مثبت) σi است:$\Delta S_i=\frac{Q_i}{T_i}+\sigma_i$
. بنابراین ، اگر تغییرات آنتروپی را برای کل چرخه جمع کنیم ، به دست می آوریم:$\Delta S=\sum{\Delta S_i}=0=\sum{\frac{Q_i}{T_i}}+\sum{\sigma_i}$
اما ، $\sum{\sigma_i}\gt0$ از این رو،$\sum{\frac{Q_i}{T_i}}\lt0$
این معادله، از جمله‌ ساده‌ترین معادلات ۳ پارامتری محسوب می‌شود که به کمک آن می‌توان رفتار یک گاز واقعی را مدل‌سازی کرد. رابطه اصلی آن را به صورت زیر نشان می‌دهند${\displaystyle RT=\left(p+{\frac {a}{T(V_{\text{m}}+c)^{2}}}\right)\left(V_{\text{m}}-b\right)}$و ${\displaystyle p={\frac {RT}{V_{\text{m}}-b}}-{\frac {a}{T\left(V_{\text{m}}+c\right)^{2}}}}$و${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {27R^{2}T_{\text{c}}^{3}}{64p_{\text{c}}}}\\b&=V_{\text{c}}-{\frac {RT_{\text{c}}}{4p_{\text{c}}}}\\c&={\frac {3RT_{\text{c}}}{8p_{\text{c}}}}-V_{\text{c}}\end{aligned}}}$و${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {27R^{2}T_{\text{c}}^{3}}{64p_{\text{c}}}}\\b&=V_{\text{c}}-{\frac {RT_{\text{c}}}{4p_{\text{c}}}}\\c&={\frac {3RT_{\text{c}}}{8p_{\text{c}}}}-V_{\text{c}}\end{aligned}}}$و${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {27R^{2}T_{\text{c}}^{3}}{64p_{\text{c}}}}\\b&=V_{\text{c}}-{\frac {RT_{\text{c}}}{4p_{\text{c}}}}\\c&={\frac {3RT_{\text{c}}}{8p_{\text{c}}}}-V_{\text{c}}\end{aligned}}}$
قضیه Clausius (1855) بیان می کند که برای یک سیستم ترمودینامیکی (به عنوان مثال موتور گرما یا پمپ حرارتی) مبادله گرما با مخازن خارجی و انجام یک چرخه ترمودینامیکی ،${\displaystyle \oint {\frac {\delta Q}{T_{\text{surr}}}}\leq 0,}$جایی که ${\displaystyle \delta Q}\delta Q$ مقدار کمترین گرمای جذب شده توسط سیستم از مخزن و ${\displaystyle T_{\text{surr}}}{\displaystyle T_{\text{surr}}}$ است دمای مخزن خارجی (محیط اطراف) در یک لحظه خاص در زمان. انتگرال بسته شده در امتداد مسیر فرآیند ترمودینامیکی از حالت اولیه / نهایی به همان حالت اولیه / نهایی انجام می شود. در اصل ، انتگرال بسته می تواند در یک نقطه دلخواه در طول مسیر شروع و پایان یابد.اگر چندین مخزن با دمای مختلف وجود داشته باشد${\displaystyle \left(T_{1},T_{2},\cdots T_{n}\right)}$نابرابری ${\displaystyle \oint \left({\frac {\delta Q_{1}}{T_{1}}}+{\frac {\delta Q_{2}}{T_{2}}}+\cdots +{\frac {\delta Q_{n}}{T_{n}}}\right)\leq 0.}$در حالت خاص یک روند برگشت پذیر ، برابری برقرار است. حالت برگشت پذیر برای معرفی عملکرد حالت معروف به آنتروپی استفاده می شود. این بدان دلیل است که در یک فرآیند حلقوی تغییر یک تابع حالت صفر است. به عبارت دیگر ، بیانیه Clausius بیان می کند که ساخت دستگاهی که تنها اثر آن انتقال گرما از یک مخزن خنک به یک مخزن گرم باشد غیرممکن است. به طور معادل ، گرما خود به خود از یک جسم گرم به یک جسم خنک تر جریان می یابد ، نه برعکس.
"نابرابری کلاوزیوس" تعمیم یافته${\displaystyle dS_{\text{sys}}\geq {\frac {\delta Q}{T_{\text{surr}}}}}$قضیه کلاوزیوس توضیح ریاضی قانون دوم ترمودینامیک است. این توسط رودولف کلاوزیوس ساخته شد که قصد داشت رابطه بین جریان گرما در یک سیستم و آنتروپی سیستم و محیط اطراف آن را توضیح دهد. کلاوزیوس این امر را در تلاش برای توضیح آنتروپی و تعریف کمی آن توسعه داد. در اصطلاح مستقیم تر ، قضیه راهی به ما می دهد تا تشخیص دهیم که آیا یک روند دوره ای برگشت پذیر است یا غیرقابل برگشت. قضیه کلاوزیوس فرمول کمی را برای درک قانون دوم ارائه می دهددر یک سیستم ، این انرژی گرمایی می تواند به کار تبدیل شود ، و کار با یک روند چرخه ای می تواند به گرما تبدیل شود. کلاوزیوس می نویسد که "مجموع جبری تمام تحولات رخ داده در یک روند چرخه ای فقط می تواند کمتر از صفر باشد ، یا به عنوان یک مورد شدید ، مساوی با هیچ چیز باشد". به عبارت دیگر ، معادله${\displaystyle \oint {\frac {\delta Q}{T}}=0}\oint \frac{\delta Q}{T} = 0$با اینکه 𝛿Q به دلیل گرم شدن جریان انرژی به سیستم وارد می شود و T وقتی که آن انرژی جذب می شود ، دمای مطلق بدن است ، برای هر فرآیندی که چرخه ای و برگشت پذیر است ، درست است. سپس کلاوزیوس این مرحله را یک گام فراتر برد و تشخیص داد که رابطه زیر باید برای هر فرآیند ادواری که ممکن ، برگشت پذیر یا غیرقابل برگشت است ، درست باشد. این رابطه "نابرابری کلاوزیوس است خلاصه معادلات وی بیان می کند که شیب (افزایش / دویدن) تعادل یک متغیری که روی نمودار P-T رسم شده برابر است با تغییر آنتروپی (ΔS) واکنش تقسیم بر تغییر حجم (ΔV) واکنش.
با استفاده از معادله Clapeyron ، فقط شیب تعادل تعیین می شود ، نه موقعیت واقعی واکنش در فضای دما و فشار. موقعیت باید توسط محاسبات ترمودینامیکی بیشتر یا آزمایشات تعیین شود.
نحوه یافتن و استفاده از معادله Clausius-Clapeyron $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$یا جایگزین ، با تشخیص اینکه ΔG = 0 وقتی دو مرحله در تعادل هستند $\Delta G =\Delta H - T\Delta S$می تواند برای تنظیم مجدد تنظیم شود:$\Delta S = \frac{\Delta H}{T}$و$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\Delta H}{T\Delta V}$یک مرز فاز جامد / گاز یا مایع / گاز تقریبی است که تخمین می رود $\Delta V \approx V_{m,\text{gas}}$ ، گاز به عنوان $\Delta V = V_{m,\text{gas}}-V_{m,\text{condensed}}$ متراکم از$V_{m,\text{gas}} \gg V_{m,\text{condensed}}$ ، متراکم است
در نتیجه ، با استفاده از معادله حالت برای یک گاز کامل و جایگزین ΔV در شکل دوم معادله Clapeyron ، نتیجه زیر بدست می آید:$\frac1p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{d}\ln p}{\mathrm{d}T}=\frac{\Delta H}{RT^2}$با این حال ، چرا $\int_{p_1}^{p_2}\frac1p\mathrm{d}p=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\Delta H}{RT^2}\mathrm{d}T$ است؟
چرا می توان سمت چپ را با توجه به p ادغام کرد ، اما سمت راست با توجه به T. می تواند ادغام شود. من نمی توانم این را درک کنم. موارد دیگر در ترمودینامیک وقتی از ادغام به این شکل استفاده می شود ، هر دو طرف با توجه به یک متغیر یکپارچه می شوند. به عنوان مثال ، یافتن چگونگی تغییر H با p.$\mathrm{d}H=T\mathrm{d}S+V\mathrm{d}p=\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p \mathrm{d}S+\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S \mathrm{d}p$وگاز $V=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S=\frac{RT}p$پس $\int_{p_1}^{p_2}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S\mathrm{d}p=\int_{p_1}^{p_2}\frac{RT}p\mathrm{d}p$از آنجا که$\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S\mathrm{d}p=\mathrm{d}H$ در T ثابت (به نظر من این درست است )
$\int_{p_1}^{p_2}\mathrm{d}H=RT\int_{p_1}^{p_2}\frac{1}p\mathrm{d}p$بدیهی است که این امر به راحتی می تواند ادغام شود اما این تنها بیانگر نکته من در مورد متغیری است که ادغام با توجه به آن انجام شده است. مطمئناً باید هم در RHS و هم در LHS معادله یکسان باشد؟خوب با راهنمایی استادم جناب دکتر مقیمیان $\int_{x_0}^{x_1} f(u(x))u'(x)\,\mathrm dx = \int_{u(x_0)}^{u(x_1)} f(u)\,\mathrm du$لذا$\frac1p \frac{\mathrm dp}{\mathrm dT}=\frac{\mathrm d\ln p}{\mathrm dT}=\frac{\Delta H}{RT^2},$و$\int_{T_1}^{T_2}\frac1p \frac{\mathrm dp}{\mathrm dT}\,\mathrm dT = \int_{T_1}^{T_2} \frac{\Delta H}{RT^2}\,\mathrm dT,$و$\int_{T_1}^{T_2}\frac1p \frac{\mathrm dp}{\mathrm dT}\,\mathrm dT = \int_{p_1(T_1)}^{p_2(T_2)}\frac1p\,\mathrm dp=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\Delta H}{RT^2}\,\mathrm dT$این فقط اعمال قانون زنجیره ای است ، یعنی$\frac {\mathrm d}{\mathrm dx}z = \frac {\mathrm dz}{\mathrm dy} \frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}$که اگر اعمال شود منجر به$\frac{\mathrm d}{\mathrm dT}\ln p = \frac{\mathrm d\ln(p)}{\mathrm dp} \frac{\mathrm dp}{\mathrm dT} = \frac{1}{p}\frac{\mathrm dp}{\mathrm dT} .$
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 431

سپاس: 207

جنسیت:

تماس:

Re: معادله کلازیوس-کلاپیرون

پست توسط rohamjpl »

این بار بیان کلوین پلانک در مورد قانون دوم میگم
یک موتور حرارتی باید مقداری گرما به منبع سرد بدهد تا چرخه‌اش کامل شود. به عبارت دیگر، موتور حرارتی نمی‌تواند تمام گرمایی را که از منبع گرم دریافت کرده، به کار تبدیل کند. این محدودیتی که در راندمان حرارتی این دسته از موتورها وجود دارد، اساس تعریف کلوین-پلانک (Kelvin-Planck) از قانون دوم ترمودینامیک است.قانون دوم ترمودینامیک به بیان کلازیوس (Clausius) به صورت زیر تعریف می‌شود.ساخت یخچالی که بتواند در یک چرخه کامل، بدون گذاشتن تأثیر دیگری روی محیط، انرژی گرمایی را از منبع سرد به منبع گرم منتقل کند، امکان‌پذیر نیست.
بدیهی است که هیچ‌گاه گرما به صورت خود به خود از محیط سرد به محیط گرم منتقل نمی‌شود. کلازیوس نمی‌گوید ساخت یک دستگاه که در چرخه کار کند و حرارت را از محیط سرد به محیط گرم انتقال دهد، غیرممکن است. بلکه بیان می‌کند که عملکرد چنین دستگاهی، نیازمند آن است که به عنوان مثال، کمپرسور یخچال، با استفاده از یک منبع توان خارجی مانند موتور الکتریکی، راه‌اندازی شود. به این ترتیب، برآیند تاثیر چنین دستگاهی روی محیط، علاوه بر انتقال حرارت از منبع سرد به منبع گرم، شامل مصرف انرژی به صورت کار هم خواهد بود. به عبارت دیگر، یخچال کاملاً با بیان کلازیوس از قانون دوم ترمودینامیک انطباق دارد.ما می دانیم که گرما (Q) و کار (W) دو شکل انرژی هستند. هر دو واحد S.I ژول را دنبال می کنند و هر دو قابل تبدیل هستند. این بدان معناست که کار می تواند به کار تبدیل شود و بالعکس. در اینجا ، کار می تواند به طور کامل به گرما تبدیل شود اما گرما به طور کامل نمی تواند به کار تبدیل شود. از این رو کار به عنوان انرژی درجه بالا و گرما به عنوان انرژی درجه پایین نامیده می شوند.
بیانیه کلوین-پلانک دو جمله متفاوت است که توسط لرد کلوین و پلانک ارائه شده است. آنها به بیانیه کلوین و بیانیه پلانک معروف هستند.
در بیانیه کلوین آمده است که با خنک کردن آن در زیر بالاترین دمای خنک سازی اجسام اطراف ، نمی توان از هر ماده ای اثر مکانیکی گرفت.
در بیانیه پلانک آمده است که مجموع آنتروپی های سیستم برگشت پذیر ثابت است.
بیانیه کلوین-پلانک از این دو جمله استفاده شده است.
بیانه کلوین-پلانک همچنین به عنوان بیانیه موتور گرما از قانون دوم ترمودینامیک شناخته می شود که می توان طراحی دستگاهی را که روی یک چرخه کار می کند و اثر دیگری غیر از انتقال حرارت از یک جسم واحد برای تولید کار ایجاد نمی کند ، وجود ندارد. .هر سیستم ترمودینامیکی در طی یک فرآیند خاص قانون اول را برآورده می کند.
$ΔE = Q − W$در اینجا ΔE تغییر در انرژی داخلی آن است ، Q گرمای منتقل شده به سیستم و W کار انجام شده توسط سیستم است. برای سیستمی که تحت یک فرآیند حلقوی قرار دارد ، یعنی سیستمی که برای آن در همان حالت ترمودینامیکی شروع و به پایان می رسد ، یک دارای ΔE = 0 است و قانون اول به ما می گوید کهQ = Wحال ، فرض کنید که سیستم مقداری گرم QH> 0 را از یک مخزن می گیرد و آن را به کار خاصی تبدیل می کند. بیایید تعریف کنیم$Q_\mathrm{exhuast} = Q-Q_H$
سپس می توانیم بنویسیم$Q_H + Q_\mathrm{exhaust} = W$
دستور کلوین به ما می گوید که ما باید$Q_\mathrm{exhaust}\neq 0$داشته باشیم زیرا در غیر این صورت ، QH = W خواهیم داشت. تنها نتیجه این فرآیند می تواند تبدیل گرمای حاصل از آن به کار باشد. نماد Qexhaust همان چیزی است که معمولاً ما آن را گرمای خروجی می نامیم
آنتروپی S به نوعی با پراکندگی انرژی مرتبط است و بنابراین بخشی از انرژی را از تبدیل شدن به کار W مخفی می کند ، یعنی Q که از مخزن گرم دریافت کرده اید Th به طور کامل به W تبدیل نخواهد شد ، زیرا باید وجود داشته باشد "تخلیه گرما" بر روی سینک سردخانه در دمای Tc.
این (در بالا) یک اصل "محدود کردن کارایی موتور گرما" در عمل است. درست؟
این درست است زیرا مربوط به یک موتور گرمائی است که در یک چرخه کار می کند ، زیرا هر چنین چرخه ای نیاز به رد گرما به بدن با درجه حرارت پایین دارد . این امر از احتمال کارکرد یک موتور 100٪ کارآمد در یک چرخه جلوگیری می کند.از آنجا که محدودیتی در بهره وری موتور حرارتی وجود ندارد ، پس آیا موتوری وجود دارد که Q را از Th بگیرد و Q را کاملاً به W تبدیل کند و هیچ مخزن سرد Tc نداشته باشد؟
مسئله این است که چنین اصلی وجود دارد. اگر چنین اصلی (کلوین-پلانک) وجود نداشت ، موتور حرارتی که توصیف می کنید یک ماشین حرکت دائمی از نوع دوم است. این ماده قادر خواهد بود به طور مداوم و بصورت خود به خود حرارت را از یک مخزن حرارتی منتقل کرده و به کار تبدیل کند. هیچ کس قادر به ایجاد چنین دستگاهی نبوده است.برای اینکه موتور گرما در هر چرخه ای کار کند و کار خالص انجام دهد ، برای تکمیل چرخه باید مقداری گرما را رد کند. به عنوان مثال ، مورد چرخه کارنو را دوباره در نظر بگیرید. در اثر انبساط همدما برگشت پذیر ، گرما از منبع دمای بالا جذب شده و گاز کار می کند. اما برای اینکه دستگاه این کار را به صورت چرخه ای انجام دهد ، شما نیاز به مسیری دارید که به حالت اولیه برگردید. شما می توانید فرآیند را برای فشرده سازی هم دما از گاز معکوس کنید و با استفاده از همان منبع درجه حرارت واحد برگردید ، اما کار انجام شده روی گاز در هنگام فشرده سازی برابر با کار انجام شده توسط گاز در هنگام انبساط است و هیچ کار خالصی انجام نمی شود! بنابراین ، در مورد چرخه کارنو ، باید گاز را بصورت ایزوتروپیکال منبسط کنید تا به دمای پایین تری برسید و سپس گرما رد کننده گاز را به طور غیری گرمایی فشرده کنید و به یک مخزن دمای پایین و دوم تبدیل شوید. سپس چرخه با فشرده سازی ایزنتروپیک به حالت اولیه بسته می شود و کار خالص انجام می شود.
آیا می توانید چرخه ترمودینامیکی ، برگشت پذیر یا غیر قابل تصور ، که در آن کار خالص بدون درگیر شدن حداقل یک فرآیند که گرما رد می شود ، انجام دهید؟ نمی توانم
پس آنتروپی باید به نوعی نتیجه ای از بیانیه کلوین-پلانک باشد (به نقل قول زیر مراجعه کنید) و شاید بتوان از آن جمله وجود آنتروپی را استخراج کرد ، درست است؟
بله ، یا برعکس ، تا حدی که آنتروپی با محدودیت های کارایی همراه باشد و بیانیه کلوین-پلانک یک موتور گرمایی 100٪ کارآمد را در یک چرخه منع می کند. نمونه چرخه کارنو می تواند به نشان دادن این کمک کند.چرخه کارنو شامل دو فرآیند هم دما (انبساط و فشرده سازی) شامل دو مخزن حرارتی (منبع گرما و غرق شدن به اندازه کافی عظیم است که دمای آنها برای مقدار مشخصی از انتقال گرما ثابت می ماند). اجازه دهید:TH دمای مخزن حرارتی با درجه حرارت بالا است.TL دمای مخزن حرارتی دمای پایین (غرق شدن گرما) است.QH گرمای منتقل شده از مخزن دمای بالا به سیستم در هنگام انبساط همدما است (کار انجام شده توسط سیستم).QL گرمای منتقل شده از سیستم به مخزن دمای پایین است (کار روی سیستم انجام می شود).از آنجا که انتقال حرارت به صورت ایزوترمال (در دمای ثابت) رخ می دهد ، تغییرات آنتروپی دو مخزن حرارتی به شرح زیر است.$\frac {-Q_H}{T_H}$ تغییر در آنتروپی مخزن دمای بالا (کاهش آنتروپی) است.$\frac {+Q_L}{T_L}$ تغییر در آنتروپی مخزن دمای پایین است (افزایش آنتروپی). بنابراین تغییر کل آنتروپی توسط:$\Delta S_{total}=\frac {+Q_L}{T_L}+\frac {-Q_H}{T_H}$
قانون دوم به ما می گوید که تغییر کل آنتروپی باید برابر یا بیشتر از صفر باشد. برابری قابل اعمال برای هر دو انتقال قابل برگشت است. بخاطر داشته باشید که تغییر در آنتروپی سیستم باید صفر باشد زیرا این سیکل یک چرخه کامل را طی کرده است که کلیه خصوصیات آن از جمله آنتروپی را به حالت اولیه باز می گرداند.
اکنون ، برای به حداکثر رساندن کار خالص ، W ، انجام شده در این چرخه می خواهید حرارت رد شده ، $Q_L$ ، در کمترین حد ممکن نسبت به $Q_h$باشد. در مورد شما ، شما می خواهید که $Q_L=0$ (بدون گرما زدگی) باشد تا 100٪ کارایی داشته باشید. اما اگر QL = 0 باشد ، از معادله قبلی ΔS <0 مغایر قانون دوم است.
بهترین کاری که می توانیم انجام دهیم این است که ΔS = 0 (یک چرخه برگشت پذیر) ، در این صورت ما:$\frac{Q_L}{T_L}=\frac{Q_H}{T_H}$یا$\frac{Q_L}{Q_H}=\frac{T_L}{T_H}$این آخرین معادله اساساً حداکثر بازده ممکن موتورهای حرارتی را برای تبدیل گرما به کار در یک چرخه ترمودینامیکی محدود می کند. با یادآوری اینکه تعریف کارایی یک موتور حرارتی توسط$roham=\frac{W}{Q_H}$و$W=Q_H-Q_L$ما داریم$roham=1-\frac{Q_L}{Q_H}=1-\frac{T_L}{T_H}$
انتشار حرارتی و قانون دوم ترمودینامیک$\stackrel{\to }{J}=-\kappa\stackrel{\to }{\nabla}T \, ,$ممکن است متوجه شویم که مطابق با بیان قانون دوم ترمودینامیک کلاوسیوس ، برشی تعریف شده است که در جهت مخالف گرادیان دما قرار دارد. از آنجا ، با استفاده از معادله تداوم می توان معادله انتشار حرارتی را بدست آورد${a}{\stackrel{\to }{\nabla }}^{2}T=\frac{\partial T}{\partial t} \, .$
question من این است: آیا می توانیم این معادله را بیان دیگری از قانون دوم ترمودینامیک بدانیم؟ بله ، ما آن را با استفاده از جمله Clausius و معادله تداوم (راهی برای تفسیر صرفه جویی در انرژی ، زیرا منبع گرمای دیگری نداریم) استخراج کردیم ، اما جمله معروف قانون دوم $d{S}_{universe}\ge 0$ نیز یک فرض نیست (بلکه ناشی از نابرابری کلاوزیوس ، که ناشی از بیانیه کلوین در مورد قانون دوم است ، حداقل در کتاب من) ، بنابراین من را در مورد آنچه می توانیم و آنچه را که نمی توانیم به عنوان اشکال قانون دوم تعریف کنیم ، گیج می کند.من فهمیدم که وقتی صحبت از وجود اظهارات متعدد قانون دوم است ، منظور ما این است که گفته های مختلف از نظر منطقی برابر هستند ، یعنی ما می توانیم هر گزاره معتبری از قانون دوم را انتخاب کنیم و همه موارد دیگر را استخراج کنیم. بنابراین می توانیم با فرض بیانیه کلاوزیوس ، افزایش آنتروپی را استنباط کنیم ، اما می توانیم افزایش آنتروپی را نیز فرض کنیم و بیانیه کلاوزیوس را استنباط کنیم (یا در این مورد بیانیه کلوین ، اصل کاراتئودوری یا هر یک از گفته های دیگر)در نظر گرفتن $\mathbf{J} = - k\nabla T$ به عنوان بیانیه قانون دوم ، تعدادی از مشکلات وجود دارد. اولاً این گزاره ای در مورد سیستمهایی است که در فضا مداوم هستند ، جایی که سایر بیانات قانون دوم چنین محدودیتی را ایجاد نمی کنند. دور زدن از این مسئله ممکن است ، گرچه احتمالاً بدون پیش فرض اطلاعات اضافی نیست.ثانیاً قانون فوریه از برخی جهات سختگیرانه تر از قانون دوم است. یک قانون$\mathbf{J} = - k\nabla T |\nabla T|^2$ نیز مانند هر .قانون فرم سازگار است$\mathbf{J} = - \nabla T \sum_{n=0}^\infty k_n |\nabla T |^{2n}$
بنابراین قانون فوریه معادل قانون دوم ترمودینامی نیست.قانون دوم محدودیتی در کلاس روابط سازنده است که رفتار مادی را در اینجا هدایت گرما مشخص یا توصیف می کند. قانون انتقال گرما از طریق فوریه "یک قانون" یا بخشی از "قانون" نیست ، بلکه یک رابطه سازنده است که خصوصیات ماده را توصیف می کند که قانون دوم برای آن اعمال می شود. رابطه با قانون دوم در نابرابری پیشینی آشکار شده است$\vec q \cdot \frac {1}{\theta} \vec \nabla \theta \ge 0$و$\text{Notations}:\begin{cases} \vec q: \text{heating flux}, \\ \theta: \text{temperature}, \\ \eta: \text{specific entropy},\\ \rho: \text{mass density}, \\ \delta: \text{dissipated specific energy}.\end{cases}$در واقع ، این یک مورد خاص است. مورد کلی تر با ترکیب نابرابری پلانک برای اتلاف داخلی به دست می آید$\delta = \theta \dot \eta - \frac{1}{\rho}\vec \nabla \cdot\vec q \ge 0 \\\\\; \text{with the Fourier inequality, and then one gets},\\ \rho \delta - \vec q \cdot \frac{1}{\theta} \vec\nabla \theta \ge 0, \\ \text{or after rearrangement} \\ \rho \dot \eta - \vec \nabla \left(\frac{\vec q}{\theta}\right) \ge 0 \\\ \text{Upon integration},\\ \dot H \ge \int {\frac {\vec q}{\theta}}.$ ، که نرخ زمان شکل متعارف نابرابری Clausius است.
نمی توان نابرابری های فوریه و پلانک را به صورت جداگانه از نابرابری کلاوزیوس بدست آورد. همه اینها در Truesdell شرح داده شده است: ترمودینامیک منطقی ، فصل 2 (برای سادگی من مدت تأمین گرمایش حجمی را از نابرابری Clausius کنار گذاشتم)
تصویر

ارسال پست