ایمپالس ، مومنتوم و تورک

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 619

سپاس: 390

جنسیت:

تماس:

ایمپالس ، مومنتوم و تورک

پست توسط rohamjpl »

وقتی دو توپ بیلیارد با هم برخورد می کنند ، پس از برخورد در کدام جهت حرکت می کنند؟ حالا من یکسری
شرایطی را در نظر میگیرم که دو جسم با یکدیگر برخورد می کنند. در هنگام برخورد ، هر جسم به دیگری نیرویی وارد می کند. این نیرو را یک نیروی تکانشی هست ،با استفاده از قانون دوم نیوتن ، لازم است که فرم دقیق نیروهای تکانی را بدانید.
قانون پایستگی از حرکت به ویژه در تجزیه و تحلیل برخورد استفاده می شود و بلافاصله قبل و بلافاصله پس از برخورد اعمال می شود. تکانه خطی ذره ای از جرم m یک مقدار بردار است که به صورت تعریف شده است
$ \mathbf {p}=m\mathbf {v}$ است. از نظر اجزا ، ممکن است $p_{z}=mv_{z} $ را بنویسیم یا $p_{x}=mv_{x}, p_{y}=mv_{y} $. در کل میشه قانون دوم نیوتن را می توان با توجه به حرکت برای یک جسم ثابت ذره مانند جرم بیان کرد$ \Sigma \mathbf {F}=m\mathbf {a}=m\frac{d\mathbf {v}}{dt}=\frac{d(m\mathbf {v})}{dt}$یا $ \Sigma \mathbf {F}=\frac{d\mathbf {p}}{dt}$
یعنی سرعت تغییر حرکت خطی یک جسم برابر است با نیروی حاصل که بر جسم وارد می شود و در همان جهت همان نیرو است.حالا
قانون حفاظت از تکانه خطی بیان می کند که اگر نیروی خارجی خالصی که بر روی سیستم وارد می شود برابر با صفر باشد (منزوی) و اگر مبادله جرمی با محیط سیستم صورت نگیرد (بسته) ، در این صورت تکانه خطی کل سیستم ثابت می ماند . فرض کنیم ما ، سیستم داریم که متشکل از دو ذره است و در آن تنها نیروهایی که در سیستم عمل می کنند نیروهای داخلی هستند حرکت کلی خطی سیستم در هر زمان خاص توسط داده می شود$\begin{aligned} \mathbf {p}_{tot}=\mathbf {p}_{1}+\mathbf {p}_{2} \end{aligned} $
اگر نیروی خالصی که بر ذره 2 توسط ذره 1 وارد می شود $\mathbf {F}_{21} $ باشد ، از قانون سوم نیوتن ، نیروی خالصی که بر ذره 1 توسط ذره 2 وارد می شود $\mathbf {F}_{12} $ است ، یعنی
$\mathbf {F}_{12}=-\mathbf {F}_{21} $ شکل تصویررابطه را ببینید $\frac{d\mathbf {p}_{tot}}{dt}=\frac{d\mathbf {p}_{1}}{dt}+\frac{d\mathbf {p}_{2}}{dt}=\mathbf {F}_{12}+\mathbf {F}_{21}=\mathbf {F}_{12}-\mathbf {F}_{12}=0 $لذا $\mathbf {p}_{tot}=\mathrm {constant} $یا $\mathbf {p}_{i}=\mathbf {p}_{f} $
یعنی ممکن است حرکت خطی هر ذره تغییر کند ، اما تکانه خطی کل سیستم در همه زمانها یکسان است. این عبارت به عنوان قانون حفظ مومنتوم خطی شناخته می شود: اگر نیروی خارجی خالص روی یک سیستم صفر باشد ، کل حرکت خطی سیستم بدون تغییر (ثابت) می ماند. از نظر componentsتوجه کنید ،$ p_{ix}=p_{fx}, p_{iy}=p_{fy}$ و $p_{iz}=p_{fz} $داریم. در حل مشکلات مربوط به برخورد ، $\mathrm {p}_{i} $ و $\mathrm {p}_{f} $ به ترتیب به حرکت کلی سیستم بلافاصله قبل و بلافاصله پس از برخورد اشاره دارند. برای یک سیستم دو ذره ای ، ما داریم$ \mathbf {p}_{1i}+\mathbf {p}_{2i}=\mathbf {p}_{1f}+\mathbf {p}_{2f}$از اصل عدم تغییر ، قانون حفظ حرکت با توجه به هر چهارچوب مرجع اینرسی معتبر است.
ایمپالس یا ضربه به کمیتی گفته می شود که چگونه نیروی خاصی که بر روی یک ذره تأثیر می گذارد حرکت خطی آن ذره را تغییر می دهد. حال ، یک نیروی وابسته به زمان را در نظر بگیرید که بر روی یک ذره تأثیر می گذارد. از قانون دوم نیوتن$(\mathbf {F}=d\mathbf {p}/dt) $ ، ما داریم$ \mathbf {p}_{f}-\mathbf {p}_{i}=\triangle \mathbf {p}=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\mathbf {F}dt$ خوب سمت راست معادله یک مقدار بردار است که به عنوان ضربه I مینویسم $ \mathbf {I}=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\mathbf {F}dt$و $\mathbf {I}=\triangle {\mathbf {P}} $. یعنی تکانه نیرویی که در طی یک بازه زمانی بر روی یک ذره تأثیر می گذاردبرابر با تغییر حرکت حرکت ذره در آن فاصله است. جهت حرکت در همان جهتی است که تغییر حرکت است. اگر F یک جهت ثابت داشته باشد ، تغییر اندازه آن با زمان نشان دادم
هنگام برخورد دو جسم ، آنها نیروهای زیادی را به یکدیگر وارد می کنند (در زمان برخورد) که نیروهای تکانشی نامیده می شوند. این نیروها بسیار بزرگ هستند این تقریب به تقریب ضربه معروف است. به عنوان مثال ، اگر یک توپ گلف توسط یک فرد مورد اصابت قرار گیرد ، می توان تغییر در حرکت توپ را فقط ناشی از نیروی تکانشی که توسط فرد به آن وارد شده است یعنی می توان نیرویی را که در عبارت $ =\triangle \mathrm {p}=\overline{\mathrm {F}}\triangle t$وجود دارد ، تنها نیروی تکانشی فرض کرد. نیروهای نادیده گرفته شده در زمان برخورد ، خارج از سیستم دو جسم هستند مانند گرما اصطکاک .وو، در حالی که نیروهای تکانشی ، درونی؛ داخلی. بنابراین می توان سیستم دو جسم را در مدت زمان کوتاه برخورد (که به ترتیب چند میلی ثانیه است) منزوی کرد . از این رو ، در هنگام برخورد از جنبش کل خطی سیستم حفظ می شود ، که به ما این امکان را می دهد که قانون حفظ حرکت را بلافاصله قبل و بلافاصله پس از برخورد اعمال کنیم. به طور کلی ، برای هر نوع برخورد ، حرکت کل خطی در زمان برخورد حفظ می شود. یعنی $\mathrm {p}_{i}=\mathrm {p}_{f} $ جایی که pi و pf لحظه بلافاصله قبل و بعد از برخورد هستند.
حالا نوع برخورد را برسی کنیم برخورد الاستیک به مواردی گفته می شود که در آن انرژی جنبشی کل و همچنین تکانه سیستم دو بدنه برخوردی حفظ شود. این برخوردها زمانی وجود دارند که نیروی تکانه ای که یک جسم بر جسم دیگر وارد می کند . چنین نیرویی در هنگام تماس دو جسم ، انرژی جنبشی جسم را به انرژی پتانسیل الاستیک تبدیل می کند. سپس انرژی پتانسیل الاستیک را دوباره به انرژی جنبشی تبدیل می کند درصورتی که دیگر تماسی وجود نداشته باشد. پس از برخورد ، ممکن است هر جسمی سرعت متفاوتی داشته باشد و بنابراین انرژی جنبشی متفاوتی داشته باشد. با این حال ، کل انرژی و همچنین حرکت کلی سیستم در زمان برخورد ثابت است. نمونه ای از این برخورد ها برخورد بین توپ های بیلیارد است.تصویر
برخورد غیر الاستیک به تصادفی گفته می شود که در آن انرژی جنبشی کل سیستم جسم دو تصادفی حفظ نشده باشد ، اگرچه تکانه حرکت حفظ می شود. در چنین برخوردی ، مقداری از انرژی جنبشی سیستم در اثر تغییر شکل از بین می رود و به صورت انرژی داخلی یا حرارتی ظاهر می شود. به عبارت دیگر ، نیروهای تکانشی (درونی) محافظه کار نیستند. بنابراین ، انرژی جنبشی سیستم قبل از برخورد کمتر از انرژی پس از برخورد است. اگر دو جسم برخورد کننده به هم بچسبند ، گفته می شود که این برخورد کاملاً غیر کشسان است. برخي از انواع برخوردها وجود دارد كه در آنها انرژي كل جنبشي بعد از وقوع تصادم بيشتر از آن است كه قبل از آن رخ دهد. به این نوع برخورد برخورد انفجاری گفته می شود.
برخورد الاستیک
وقتی برخورد در یک بعد رخ می دهد ، از آن به عنوان برخورد رو در رو یاد می شود. دو ذره از توده های m1 و m2 را در نظر بگیرید که مانند با یک برخورد کششی مواجه هستند. اعمال قانون صرفه جویی در انرژی و قانون صرفه جویی در حرکت لحظه ای اون $m_{1}\mathbf {v}_{1i}+m_{2}\mathbf {v}_{2i}=m_{1}\mathbf {v}_{1f}+m_{2}\mathbf {v}_{2f} $و $\frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2i}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2} $و سرعتها $ \begin{aligned} v_{1f}=\bigg (\displaystyle \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\bigg )v_{1i}+\bigg (\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\bigg )v_{2i} \end{aligned}$و همچنین $ \begin{aligned} v_{2f}=\bigg (\displaystyle \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\bigg )v_{1i}+\bigg (\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\bigg )v_{2i} \end{aligned}$
1. اگر m1 = m2 ، از معادله به دست می آید. که $v_{1f}=v_{2i} $و $v_{2f}= v_{1i} $ باشد. به عبارت دیگر ، اگر ذرات جرم مساوی داشته باشند ، سرعت تبادل می کنند.
2. اگر m2 ثابت است (v2i = 0) ، از معادله. $\begin{aligned} v_{1f}=\bigg (\displaystyle \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\bigg )v_{1i} \end{aligned} $و $\begin{aligned} v_{2f}=\bigg (\displaystyle \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\bigg )v_{1i} \end{aligned} $لذا اگه در این حالت m2 هدف و m1 پرتابه نامیده می شود. بعلاوه ، اگر m1≫m2 ، پس از معادله.بالا متوجه می شویم که$v_{1f}\approx v_{1i} $ و $v_{2f}\approx 2v_{1i} $. در حالی که اگر m2≫m1 ، پس از معادله. ، می بینیم که $v_{1f}\approx -v_{1i} $ و$ v_{1f}\approx -v_{1i}$ شکل تصویر
برخورد غیر الاستیک در یک بعد
شکل 5.5 یک برخورد کاملاً غیر کششی یک بعدی (روبرو) بین دو ذره جرم m1 و m2 را نشان می دهد. در اینجا ، انرژی جنبشی سیستم حفظ نمی شود ، اما قانون حفظ حرکت خطی هنوز برقرار است$m_{1}\mathbf {v}_{1i}+m_{2}\mathbf {v}_{2i}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {v}_{f} $و$\mathbf {v}_{f}=\frac{m_{1}\mathbf {v}_{1i}+m_{2}\mathbf {v}_{2i}}{m_{1}+m_{2}} $
ضریب جبران خسارت
برای هر برخورد بین دو جسم در یک بعد ، ضریب استرداد به این صورت تعریف شده است
$e=\frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{1i}-v_{2i}}$
که در آن$v_{1i} $ و $ v_{2i}$ سرعت قبل از برخورد هستند.$v_{1f} $ و $ v_{2f}$ سرعت بعد از برخورد است.$ |v_{1i}-v_{2i}|$| سرعت نسبی رویکرد و $|v_{2f}-v_{1f}| $ است سرعت نسبی رکود اقتصادی است.
اگر e = 1 برخورد کاملاً الاستیک باشد.
اگر e <1 برخورد غیر کشسانی است.
اگر e = 0 برخورد کاملاً غیر کشسان باشد (دو بدنه به هم می چسبند).
خوب حالا برخورد در دو بعد
وقتی برخورد در فضا رخ می دهد ، حرکت کلی خطی در امتداد هر یک از جهت های x− ، y - و z حفظ می شود. یعنی$p_{ix}=p_{fx}, p_{iy}=p_{fy} $ و$p_{iz}=p_{fz}. $. در اینجا ، ما یک برخورد الاستیک دو بعدی بین دو ذره را که یک ذره در حال حرکت است و ذره دیگر در حالت آرام است ، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد ، شکل ببینید متوجه میشید . این نوع برخورد به اصطلاح نگاهی معروف است. از آنجا که برخورد الاستیک است ، نتیجه می گیرد که حرکت تک خطی و همچنین انرژی جنبشی سیستم حفظ می شود. با بکارگیری این قوانین بلافاصله قبل و بلافاصله پس از برخورد ،$ p_{iy}=p_{fy}$ و $ p_{ix}=p_{fx}$یا
$ m_{1}v_{1ix}+m_{2}v_{2ix}=m_{1}v_{1fx}+m_{2}v_{2fx}$و
$ m_{1}v_{1iy}+m_{2}v_{2iy}=m_{1}v_{1fy}+m_{2}v_{2fy}$
و$ m_{1}v_{1i}=m_{1}v_{1f}\cos \alpha _{1}+m_{2}v_{2f}\cos \alpha _{2}$و $ 0=m_{1}v_{1f}\sin \alpha _{1}+m_{2}v_{2f}\sin \alpha _{2}$و $\frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2} $
m1v1i = m1v1fcosα1 + m2v2fcosα2
بنابراین ، ما سه معادله و هفت کمیت ناشناخته داریم. با دانستن هر چهار مورد از این کمیت ها ، می توان سه معادله سه متغیر را حل کرد تصویر در یک برخورد کاملاً الاستیک ، هم حرکت کلی و هم انرژی مکانیکی کل سیستم حفظ می شود. به این معنا که$m_{1}v_{1ix}+m_{2}v_{2ix}=m_{1}v_{1fx}+m_{2}v_{2fx} $و $ \begin{aligned} v_{1i}=v_{1f}\cos \theta _{1}+v_{2f}\cos \theta _{2} \end{aligned}$لذا $p_{iy}=p_{fy} $و $0=v_{1f}\sin \theta _{1}-v_{2f}\sin \theta _{2} $و $ \begin{aligned} v_{1f}\sin \theta _{1}=v_{2f}\sin \theta _{2} \end{aligned}$از صرفه جویی در انرژی جنبشی ، ما داریم$ \frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2}$و $\begin{aligned} v_{1i}^{2}=v_{1f}^{2}+v_{2f}^{2} \end{aligned} $از معادلات $v_{1i}=v_{2f}\displaystyle \frac{\sin \theta _{2}}{\sin \theta _{1}} \cos \theta _{1}+v_{2f} \cos \theta _{2} $و $\begin{aligned} v_{1i}=\displaystyle \frac{v_{2f}\sin (\theta _{1}+\theta _{2})}{\sin \theta _{1}} \end{aligned}$پس داریم $\frac{v_{2f}^{2}\sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})}{\sin ^{2}\theta _{1}}=\frac{v_{2f}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}}{\sin ^{2}\theta _{1}}+v_{2f}^{2} $لذا $ \sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{2}$
حالا رسیدم به گشتاور
یک نیروی F را در نظر بگیرید که بر روی ذره ای دارای بردار موقعیت r با توجه به برخی از منشأ O است که در یک قاب اینرسی است. گشتاور کمیت برداری است که تمایل آن نیرو را به چرخش ذره در مورد O اندازه گیری می کند و به صورت زیر تعریف می شود$\varvec{\tau }=\mathbf {r}\times \mathbf {F} $
جهت$\varvec{\tau } $عمود بر صفحه تشکیل شده توسط r و F است و حس آن با قاعده دست راست یا پیشروی یک پیچ راست دست که از r به F می چرخد ، داده می شود. از تعریف محصول برداری ، این مقدار دارای بزرگی است$\tau =rF\sin \phi $
جایی که ϕ زاویه کوچکتر بین r و F است ، اگر نیرو تمایل به چرخش ذره در خلاف جهت عقربه ساعت داشته باشد مثبت است و در صورت تمایل به چرخش آن در جهت عقربه های ساعت منفی است. اگر ϕ = 0 یا 180∘ باشد ، نیرو شعاعی است و بنابراین تمایلی به چرخش ندارد. به صورت component ، مینویسم دقت کنید $=(yF_{z}-zF_{y})\mathbf {i}+(zF_{x}-xF_{z})\mathbf {j}+(xF_{y}-yF_{x})\mathbf {k} $
اجازه دهید من ذره ای را در صفحه x-y در معرض نیرویی قرار دهم که در آن صفحه قرار دارد را در نظر بگیرم . گشتاور حاصل سپس عمود بر صفحه x-y موازی با محورهای z است.$ \tau$ همچنین می تواند به صورت$\tau =Fd $جایی که d = rsinϕ بازوی لحظه ای F نامیده می شود که در آن فاصله عمود از محور چرخش تا خط عملکرد F را نشان می دهد همانطور که در شکل زیر نشان میدم . توجه داشته باشید که چون $ $جایی که d = rsinϕ بازوی لحظه ای F نامیده می شود که در آن فاصله عمود از محور چرخش تا خط عملکرد F را نشان می دهد همانطور که در شکل میبینید . توجه داشته باشید که چون$ \tau$ به r بستگی دارد ، بنابراین نتیجه این است که $\tau $ به انتخاب مبدا O بستگی دارد. نیروی F را می توان به دو جز $ F_{t}=F\sin \phi$ و $ F_{r}=F\cos \phi$ تفکیک کرد. از آنجا که خط عملکرد Fr از O عبور می کند ، هیچ اثر چرخشی ندارد. از این رو ، Ft تنها جز component F است که باعث چرخش می شود. واحد گشتاور SI نیوتن متر (N متر) است.تصویر
مورد بعدی من حرکت زاویه ای
تکانه زاویه ای L ذره ای از جرم m و مومنتوم خطی p یک مقدار برداری است که من اینطور میگم $ \mathbf {L}=\mathbf {r}\times \mathbf {p}$
که r بردار موقعیت ذره نسبت به مبدا O است که در یک قاب اینرسی است. بنابراین ، به عنوان$\varvec{\tau }, \mathbf {L} $ نیز به انتخاب مبدا بستگی دارد. فرض کنید ذره در صفحه x – y حرکت می کند. جهت L سپس عمود بر صفحه حاوی r و p است وبا قانون دست راست پیدا می شود. اندازه L توسط داده می شود$L=mvr\sin \phi $
L = mvrsinϕ
جایی که ϕ زاویه کوچکتر بین r و p است. این کمیت ، آنالوگ چرخشی مومنتوم خطی در حرکت انتقالی است. اگر ϕ = 0 یا 180∘ ذره در امتداد خطی که از O عبور می کند حرکت کند و حرکت زاویه ای آن صفر است. واحد SI حرکت زاویه ای kg.m2 / s است. از نظر اجزای مستطیل ، ما داریم $= (yp_{\mathrm {z}} -\mathrm z \mathrm p_{\mathrm {y}})\mathbf {i}+ (zp_{\mathrm {x}} -\mathrm x \mathrm p_{\mathrm {z}})\mathbf {j}+(xp_{\mathrm {y}} -\mathrm y \mathrm p_{\mathrm {x}})\mathbf {k} $ تصویر را ببینید تصویرقانون cond به صورت زاویه ای از تعریف گشتاور ، ما داریم$\varvec{\tau }=\mathbf {r}\times \mathbf {F}=\mathbf {r}\times \frac{d(m\mathbf {v})}{dt} $و همچنین $ \frac{d\mathbf {L}}{dt}=\frac{d(\mathbf {r}\times m\mathbf {v})}{dt}=\frac{d\mathbf {r}}{dt}\times (m\mathbf {v})+\mathbf {r}\times \frac{d(m\mathbf {v})}{dt}$و $\begin{aligned} \displaystyle \varvec{\tau }=\frac{d\mathbf {L}}{dt} \end{aligned} $
این بدان معنی است که گشتاور وارده بر روی یک ذره برابر با سرعت تغییر زمان حرکت زاویه ای برای آن ذره است. این معادله فقط در صورتی معتبر است که $\varvec{\tau } $ و L با توجه به همان مبدا یا هر نقطه ثابت دیگر در یک قاب اینرسی ارزیابی شوند. اگر چندین نیرو روی ذره عمل کنند ، معادله را می توان به صورت زیر نوشت$ \Sigma {\varvec{\tau }}=\frac{d\mathbf {L}}{dt}$ جایی که $ \Sigma \varvec{\tau }$ گشتاور خالص ذره است. این آنالوگ چرخشی قانون دوم نیوتن به صورت خطی است ، که بیان می کند نیروی خالصی که بر یک ذره وارد می شود برابر است با زمان تغییر سرعت حرکت خطی آن. در شکل جز component ، لذا $ \Sigma {\tau _{x}}=dL_{x}/dt, \Sigma {\tau _{y}}=dL_{y}/dt$ و $\Sigma {\tau _{z}}=dL_{z}/dt. $ داریم.5.6.2 حفاظت از حرکت زاویه ای
در صورت صفر بودن گشتاور خارجی خالص که روی آن حرکت می کند ، تکانه زاویه ای کل یک ذره ثابت است:$ \Sigma {{\varvec{\tau }}_{ext}}=\frac{d\mathbf {L}}{dt}=\mathbf {0}$
لذا $ \mathbf {L}=\text {constant}$و $ m(\mathbf {r}\times \mathbf {v})= \text {contant}$و $\mathbf {L}_{i}=\mathbf {L}_{f} $
لذا داریم $ \mathbf {L}=m(\mathbf {r}\times \mathbf {v})=mrat\cos \theta \mathbf {k} $
قانون حفظ تکانه زاویه ای یک قانون اساسی در فیزیک است ساده بود نه
تصویر

ارسال پست