من می خواهم کارایی این چرخه استرلینگ را برای یک گاز ایده آل pV = nRT محاسبه کنم$\Delta W_{12} = - \int_{V_1}^{V_2} p(V) \mathrm{d}V = -nRT_2 \ln \frac{V_2}{V_1}\\
\Delta W_{23} = \Delta W_{41} = 0\\
\Delta W_{34} = -nRT_1 \ln \frac{V_1}{V_2} $در منحنی های همدما تغییر انرژی درونی ΔU = ΔW + ΔQ صفر است.$\Delta Q_{12} = - \Delta W_{12} > 0\\
\Delta Q_{34} = - \Delta W_{34} < 0 $مقادیر حرارتی روی منحنی های (ایزولومتری) است$ \Delta Q_{23} = C_V (T_1 - T_2) < 0\\
\Delta Q_{41} = C_V (T_2 - T_1) > 0$و$\eta = \frac{-\Delta W}{\Delta Q} $ΔQ گرمای ورودی است$ \Delta Q$ ، یعنی مجموع کلیه مقادیر گرما> 0:و$\Delta Q = Q_{12}+Q_{41} = n R T_2 \ln \frac{V_2}{V_1} + C_V (T_2 + T_1) $ΔW کل کار مکانیکی است:بنابراین در نهایت کارایی است$ \eta = \frac{T_2 - T_1}{T_2 + \frac{C_V (T_2 - T_1)}{nR \ln V_2 / V_1}} < \eta_\text{C}.$کوچکتر از کارایی چرخه کارنو است. اما اگر همه فرایندها بطور برگشت پذیر انجام شود باید برابر با آن باشد.
محاسبات از یک کتاب درسی (Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 4) گرفته شده است که در واقع این مسئله را به عنوان یک سوال برای خواننده نشان می دهد. تنها توضیح من این است که این روند برگشت پذیر نیست اما من نمی دانم چگونه بگویم بدون اینکه واقعاً ببینم فرآیندهای همدما و ایزوکورم محقق شده است.
بنابراین questionsمن این است:
آیا این با قضیه کارنو تناقض دارد که کارایی $\eta_\text{C} = 1 - T_1/T_2 $ برای همه موتورهای گرمای برگشت پذیر بین دو حمام گرمایی یکسان است؟
آیا این چرخه برگشت پذیر است؟
آیا راهی وجود دارد که بگوییم فرآیند فقط با شکل مانند شکل بالا برگشت پذیر است یا برگشت ناپذیر؟هیچ تناقضی وجود ندارد زیرا تجزیه و تحلیل شما فقط شامل آنچه برای ماده فعال گاز در موتور استرلینگ اتفاق می افتد می باشد و از یک عنصر مهم موتور به نام بازسازی کننده غفلت می کند. اگر هنگام انجام تجزیه و تحلیل کارایی ، احیا کننده به عنوان یک جز component موتور در نظر گرفته نشود ، دستگاهی نداریم که واجد شرایط باشد به عنوان یک موتور گرمایی که بین دو دما کار می کند ، و بنابراین نباید انتظار داشته باشیم که آن را مطابق با کارنو نگه دارد. قضیه همانطور که در نسخه اصلی این پاسخ بیان کردم.
با این وجود ، اگر احیا کننده را به درستی در نظر بگیریم ، متوجه می شویم که بازده موتور بهره وری کارنو است.
البته کل تحلیل در اینجا یک تحلیل ایده آل است که برای مثال تصور می کنیم که در اثر اصطکاک در اجزای موتور هیچ تلفات انرژی وجود ندارد.یک موتور تحریک پیچیده تر از آن است که نمودار P-V ترسیم شده در عبارت سوال نشان می دهد. اگر از نظر مفهومی موتور را به ساده ترین شکل تقلیل دهیم ، این موتور شامل دو جز components اساسی است:
یک ماده فعال گازی. این بخشی از موتور است که حالت ترمودینامیکی آن در امتداد منحنی نمودار P-V حرکت می کند.
بازسازی کننده این قسمت از موتور ، انرژی داده شده توسط ماده فعال گاز را با انتقال گرما طی فرآیند 2 → 3 جذب و ذخیره می کند و سپس همان انرژی را در طی فرآیند 4 → 1 به ماده فعال گاز می دهد.
نکته مهم این است که وقتی احیا کننده در آن گنجانده شود ، در طی فرآیندهای 2 → 3 و 4 → 1 هیچ انتقال گرمای خالصی به داخل یا خارج موتور وجود ندارد. انرژی که در طی فرآیند 2 → 3 با انتقال گرما ، ماده فعال گاز را ترک می کند ، در احیا کننده ذخیره می شود و سپس گرما در طی فرآیند 1 4 به ماده کار داده می شود. در طی این پایه های چرخه هیچ گرمی بین موتور و محیط اطراف آن منتقل نمی شود.
از این رو می توان گفت که تنها گرمای منتقل شده به کل موتور در طول 1 1 2 انتقال می یابد. این دستگاه را به عنوان یک موتور حرارتی واجد شرایط می کند (پاسخ قدیمی را در زیر ببینید) و بازده موتور بعنوان نسبت خالص کار خروجی تقسیم بر ورودی گرما در فرآیند 1 2 محاسبه می شود. این کارایی Carnot را آنطور که باید می دهد.
پاسخ اصلی من ادعا کردم که چرخه ترسیم شده نمایانگر عملکرد یک موتور حرارتی بین دو درجه حرارت نیست ، اما من از احیا کننده غافل شدم و معتقدم این همان کاری است که شما به طور ضمنی در محاسبه ای که انجام دادید نیز انجام دادید ، و این نتیجه داد کارایی نادرست
پاسخ اصلی ، بعد مشورت با استادم
هیچ تناقضی وجود ندارد. چرخه استرلینگ که در بالا ترسیم کردید برگشت پذیر است اما بین دو مخزن در دمای ثابت T1 و T2 کار نمی کند. قسمتهای ایزولومتری چرخه در دمای مداوم در حال تغییر کار می کنند (قانون گاز ایده آل را فکر کنید).
ضمیمه قدیمی توجه داشته باشید که در ترمودینامیک ، گفته می شود موتور حرارتی بین (دو مخزن در) دمای T1 و T2 کار می کند (یا کار می کند) به شرطی که تمام گرمای جذب شده یا رها شده در یکی از این دو دما انجام شود.
.برای اعتبار بخشیدن به این تعریف (که اساساً در بیشتر بحثهای مربوط به موتورهای گرمائی که دیده ام ضمنی نیست) ، در اینجا نقل قولی از متن ترمودینامیک فرمی آورده شده است:
در بخش قبل ، ما یک موتور چرخشی برگشت پذیر را توصیف کردیم ، موتور Carnot ، که با جذب مقداری از حرارت Q2 از یک منبع در دمای t2 و تسلیم مقداری از حرارت Q1 به منبع ، مقدار کار L را در هر دوره از چرخه انجام می دهد. در دمای پایین تر t1. خواهیم گفت که چنین موتوری بین دمای t1 و t2 کار می کند.2
همانطور که شما توصیف می کنید چرخه استرلینگ قابل برگشت نیست. انتقال گرما از مخازن حرارتی در امتداد مسیرهای 4-> 1 و 2-> 3 روند برگشت پذیر نیست ، زیرا گرما بین دو جسم در دماهای مختلف منتقل می شود. برای معکوس کردن فرآیند ، شما باید خود به خود گرما را از مخزن سردتر به گرمتر منتقل کنید ، که این امر قانون دوم ترمودینامیک را نقض می کند.
موتورهای استرلینگ غالباً برگشت پذیر توصیف می شوند ، اما این امر به نوع خاصی از فرآیند نیاز دارد. توجه داشته باشید که گرمای منتقل شده به موتور در طول 4-> 1 همان گرمای منتقل شده از موتور در امتداد 2-> 3 است و 4-> 1 و 2-> 3 بین دو دما مشابه کار می کنند. بنابراین ، اگر گرما در این مسیرها به صورت حرارتی به داخل موتور منتقل شود ، می توان موتور استرلینگ کارآمد کاروت را ساخت. این امر با یک "احیا کننده" ، یک جرم حرارتی انجام می شود که انرژی آزاد شده در 2-> 3 را ذخیره کرده و در مسیر 4-> 1 به گاز برمی گرداند. می بینید که احیا کننده باید از نظر دمایی به طور مداوم بین T2 و T1 تغییر کند و هنگام عبور از آن گرما را با گاز تبادل کند.
توجه داشته باشید که تمام موتورهای برگشت پذیر باید با همان بازده کار کنند. این از تعاریف کارایی و آنتروپی ناشی می شود. یک موتور برگشت پذیر با 0 تغییر آنتروپی کار می کند. ΔS = −QhTh + QcTc ، بنابراین ΔS = 0 به معنی $ \Delta S = -\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c}$ یا کارایی $\frac{Q_h}{T_h} = \frac{Q_c}{T_c} $ است$ \frac{Q_h - Q_c}{Q_h} = \frac{T_h - T_c}{T_h}$کارایی یک موتور 3 مرحله اییک چرخه گاز ایده آل به شرح زیر عمل می کند:
از حالت اولیه (p1 ، V1) گاز با فشار ثابت به (p1 ، V2) خنک می شود. بیایید دمای شروع و پایان را T1 و T2 بخوانیم
2. گاز در حجم ثابت تا (p2 ، V2) گرم می شود ؛ اجازه دهید دمای شروع و پایان را T2 و T3 بخوانیم
3. گاز به صورت آدیاباتیک به (p1 ، V1) منبسط می شود. بیایید دمای شروع و پایان را T3 و T1 بخوانیم
با فرض ظرفیت های ثابت گرما ، نشان می دهد که بازده حرارتی η است$ \eta=1-\gamma\frac{V_2/V_1 -1}{p_2/p_1-1}$کارایی به صورت زیر تعریف می شود:$ \eta=\frac{W}{Q_h}$کار انجام شده بر روی گرمای وارد شده گرما در مرحله 2 وارد می شود (و برخی در مرحله 1 خارج می شوند اما این مهم نیست). بنابراین باید گرمای وارد شده در مرحله 2 و کار انجام شده را پیدا کنم.
از معادله گاز ایده آل به دست می آوریم:$ p_1V_1=nRT_1, \ \ \ \ p_2V_2=nRT_2 \implies \frac{T_2}{T_1}=\frac{V_2}{V_1}$کار انجام شده فقط نیروی بار فاصله است که بار فشار تغییر حجم است:$ \Delta W=-p_1\Delta V=-p_1(V_2-V_1)$در حجم تغییر نمی کند و بنابراین هیچ کاری انجام نمی شود. با این وجود گرما وارد سیستم می شود و فشار را افزایش می دهد. ما باید این گرما را پیدا کنیم.$\Delta U= Q_h $برای یک گاز ایده آل ما:$\Delta U= C_v\Delta T=C_v(T_3-T_2) $جایی که Cv ظرفیت گرما در حجم ثابت است.$ \Delta U=\Delta W=C_v(T_1-T_3)$ما همچنین با استفاده از قانون ایده آل گاز$ T_3=\frac{p_2V_2}{p_1V_1}T_1$بگذارید این را در زیر بازده قرار دهیم:$ \eta=\frac{C_v(T_1-T_3)-p_1(V_2-V_1)}{C_v(T_3-T_2)}$
اگر T3 و T2 از نظر T_1 بدست آوریم و زیر این را بدست آوریم:$ \eta=-1-\frac{p_1(V_2-V_1)}{C_vT_1(\frac{p_2V_2}{p_1V_1}-\frac{V_2}{V_1})}$و با استفاده از قانون ایده آل گاز ، با n = 1 برای سادگی $ T_1=\frac{p_1V_1}{R}$ بدست می آوریم$ \implies\eta=-1-\frac{R(V_2/V_1-1)}{C_vT_1(\frac{p_2V_2}{p_1V_1}-\frac{V_2}{V_1})}$و$ R=C_p-C_v$و$\gamma=C_p/C_v $و$\implies\eta=-1-\frac{(\gamma-1)(V_2/V_1-1)}{C_vT_1(\frac{p_2}{p_1}-1)\frac{V_2}{V_1}} $من واقعاً هیچ سرنخی در مورد درست یا غلط بودن آن ندارم.حل این مشکل از نظر گرما آسانترین است. برای مرحله. For step دارم$ Q_1=\Delta H=nC_p(T_2-T_1)=nC_p\left(\frac{p_1V_2}{nR}-\frac{p_1V_1}{nR}\right)=\frac{C_p}{R}p_1(V_2-V_1)$وFor step 2,و$ Q_2=nC_v(T_3-T_2)=nC_v\left(\frac{p_2V_2}{nR}-\frac{p_1V_2}{nR}\right)=\frac{C_v}{R}V_2(p_2-p_1)$از آنجا که این یک چرخه است ، کل تغییر در انرژی داخلی صفر است. بنابراین ، کل کار برابر است با مجموع سه گرما:$W=Q_1+Q_2+Q_3=Q_1+Q_2 $گرمای اضافه شده فقط Q2 است.$ Q_3=0$ بنابراین ، کارایی:$ \eta=\frac{W}{Q_2}=\frac{Q_1+Q_2}{Q_2}=1+\frac{Q_1}{Q_2}$جایگزینی برای بازده Q1 و Q2: $ \eta=1+\frac{C_p}{C_v}\frac{p_1(V_2-V_1)}{V_2(p_2-p_1)}=1-\gamma\frac{V_1/V_2-1}{p_2/p_1-1}$