کشش طناب ، خطا در راه حل کتاب؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 343

سپاس: 176

جنسیت:

تماس:

کشش طناب ، خطا در راه حل کتاب؟

پست توسط rohamjpl »

تصویر
من درگیر راه حل هایی هستم که استاد برای این مشکل به ما داده است.
او حداکثر کشش Tطناب بین از ما می خواهدو .$m_1 $و$ m_2$
راه حل او:$T = \frac{m_1 + 2m_2}{m_1+m_2} m_2 g $
من نمی توانم به راهی برای بدست آوردن آن فکر کنم و فکر می کنم که این کار اشتباه است.
از نظر دو توده ای که خواهم داشت$\begin{cases}
m_2 g - T = m_2 a \\
m_1 a = T
\end{cases} $
اما این من را به$T = \frac{m_1 m_2 g}{m_1 + m_2} $ میرسونه
من کجا اشتباه می کنم؟اولین سوال این مسئله یافتن قانون پویایی بود. این همان کاری است که من انجام داده ام:
از نظر معادلات نیوتن را نوشتم:m1
$P_2 - F_k = (m_1 + m_2) a $
$m_2 g - kx = (m_1 + m_2) \ddot x $
می توان اینگونه نوشت$(m_1 + m_2) \ddot x + kx - m_2 g = 0 $
تقسیم با و معادله دیفرانسیل را می توان به صورت تحلیلی حل کرد و می دهدm1+m2
و$ x(t) = \frac{m_2 g}{k} + c_1 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}} t\right) + c_2 \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}}t\right)$
با شرط اولیه $ x(0) = d$ ، یعنی در t = 0 فنر در طول استراحت خود است d) ما می توانیم $c_2 = 0 $ را ببینیم و راه حل نهایی
$x(t) = \frac{gm_2}{k} + \left(d - \frac{gm_2}{k}\right)\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}}t\right) $
اشتباه من کجاست آیا این هم درست است؟
راه حل من برای$x(t) $ تقریباً وجود دارد. مشکلی که شما با آن روبرو هستم این است که شما نمی دانم d چیست ، یک ثابت ثابت شده خودسرانه است و باید از آن خلاص شوید. من قصد دارم از ابتدا شروع کنم و معادلات جسم آزاد شما را دوباره بنویسم و مشکل را حل کنم. این دو معادله هستند$m_1 a_1 = T - k x(t), \\
m_2 a_2 = m_2 g - T, $
جایی که من اطمینان حاصل کردم که سیستم مختصات به گونه ای است که دو نیروی کششی در حال کشیدن یکدیگر هستند. اکنون ، تصور می کنیم کابل سفت و محکم است ، و در نتیجه ، شتاب یکسان دو توده را دارند: . سپس می توانیم دو معادله را کم کنیم تا پیدا کنیم$a_1 = a_2 $و
$T = \frac{m_2 k x(t) + m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}. $
توجه داشته باشید که m1 ، m2 ، k و g مقادیر مثبتی هستند ، بنابراین حداکثر کشش هنگامی رخ می دهد که $x(t) $ حداکثر باشد. ما می توانیم دو معادله را برای یافتن معادله دیفرانسیل انجام شده اضافه کنیم و از شرایط مرزی که می دهید $ x(0) = d$ و $\dot{x}(0) = 0 $ برای یافتن آنچه انجام داده ام استفاده کنیم$x(t) = \frac{m_2 g}{k} + \left( d - \frac{m_2 g}{k} \right) \cos\left( \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} t \right). $
اما d هنوز یک ثابت دلخواه است و ما دو معادله نیرویی خود را برای یافتن T و$ x(t)$ به کار برده ایم ، بنابراین به یک معادله دیگر نیاز داریم. بیایید از صرفه جویی در انرژی استفاده کنیم:
$\frac{(m_1 + m_2) \dot{x}(t)^2}{2} + \frac{k x(t)^2}{2} - m_2 g x = 0. $
توجه داشته باشید علامت (-) در مقابل اصطلاح پتانسیل گرانشی به این دلیل است که ما علامت (+) را برای منبسط فنر انتخاب کرده ایم و این اتفاق می افتد زمانی که جرم در چاه گرانش زمین پایین تر باشد ، یعنی کابل هنوز سخت است.$m_2 $ما می توانیم مشتق زمان x (t) را بگیریم ، هر دو را در حفظ معادله انرژی متصل کنیم و برای d حل کنیم تا پیدا کنیم. این منجر به$d = 2 m_2 g / k $ شده
$x(t) = m_2 g \left[1 + \cos\left( \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} t \right) \right]. $این حداکثر زمانی است که$x(t) = 2 m_2 g $ باشد. اگر این مورد را برای معادله بالا برای T وصل کنید ، راه حل استاد خود را دریافت خواهم کردبا استفاده از معادلات قانون دوم خود با نیروی فنر و حل برای کشش ، با $F_k $ به سمت دیوار عمودی ثابت در سمت چپ هدایت می شود و a را از بین می برد ،$T = \frac{m_1m_2g +m_2kx}{(m_1 + m_2)} $کشش T حداکثر در $ x = x_{max}$ خواهد بود. نیروی ناشی از فنر به سمت مخالف کشش هدایت خواهد شد و در این نقطه حداکثر خواهد بود. همچنین ، هر دو توده در این نقطه یا نقطه$x=x_{min} $ حرکت نخواهند کرد. برای T در فاصله $x_{min}<x<x_{max} $ حداکثر وجود ندارد ، بنابراین نمی توانیم از مشتق اول برای یافتن x استفاده کنیم که در این فاصله $T_{max} $ را نشان دهد. ما باید $x_{max} $ را با روش دیگری پیدا کنیم. خوشبختانه یکی در دسترس است.
سیستم توده فنر در حال انجام حرکت هارمونیکی ساده و بدون اصطکاک و میرایی است. در نتیجه ، کل انرژی مکانیکی سیستم یک ثابت ، مستقل از زمان است. در $x_{max} $ ، کل انرژی کل انرژی احتمالی ذخیره شده در فنر و برابر با $\frac{k*x_{max}^2}{2} $ است. در حداقل مقدار$x = x_{min} $ ، کل انرژی سیستم انرژی پتانسیل ارتفاع $x_{max} $ جرم $m_2 $ بالاتر از داده در $y=y_{min} $ است (که می توانیم آن را روی صفر تنظیم کنیم) و برابر با $m_2gx_{max} $ است. برابر کردن این انرژی ها و حل برای $ x_{max}$ می دهد$x_{max} = \frac {2m_{2}g}{k} $
نیروی فنر $ F_k=kx_{max}$ برابر با $ 2m_2g$است. درج این معادله برای T پاسخی برای$ T_{max}$ داده شده توسط استاد خواهد داد.
تصویر

ارسال پست