در یک سیال ، انرژی مکانیکی خاص . جایی که فشار استاتیکی است ، چگالی ، سرعت ، شتاب گرانشی و ارتفاع بیش از برخی از مرجع انتخاب شده است.$e_{mech}= \frac{P}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gz $
استوانه ای را در نظر بگیرید که با یک مایع غیرقابل انعطاف پر شده است و یک سر آن پیستون متحرک دارد. اگر نیرویی به پیستون وارد کنید ، فشار استاتیک افزایش می یابد و با معادله فوق ، برای سیال محصور افزایش می یابد. با این حال ، از آنجا که سیال غیرقابل انعطاف است ، نیرو بر روی هیچگونه جابجایی کار نمی کند و بنابراین هیچ کاری روی سیال انجام نمی دهد. این فقط یک نیروی ایستا است$ e_{mech}$
سوال من این است: چگونه یک نیروی استاتیک که هیچ کاری انجام نمی دهد ، می تواند انرژی مایعات را افزایش دهد؟
من البته می فهمم که این یک تناقض واقعی نیست ، اما دوست دارم کسی به این نکته اشاره کند که منطق من کجاست.
یک مایع غیرقابل انعطاف هرگز کاملاً غیر قابل تراکم نیست ، بیشتر شبیه شبه غیر قابل تراکم است.
بنابراین وقتی نیروی قابل توجهی F را روی پیستون وارد کنید ، با گفتن Δp فشار کمتری خواهد شد ::$\Delta p=\frac{F}{A}, $
که در آن A سطح مقطع پیستون است (و با فرض ثابت F).
اما حجم مایع توسط $\Delta V (\approx 0) $ کمی کاهش می یابد. اگرچه کوچک است ، اما اگر کار W انجام شده توسط نیرو اندازه گیری شود ، مطابقت دارد:
$W=\int_0^{\Delta V}p(V)dV, $
یا با جابجایی پیستون h و نیروی F بیان می شود:
$W=\int_0^hF(h)dh. $
به عنوان مثال نمودار pV آب را مطالعه کنید : ایزوترمهای سمت چپ مربوط به فاز مایع هستند. آنها شیب زیادی دارند اما کاملاً عمودی هم نیستند ، که نشان دهنده فشار پذیری محدود اما بسیار واقعی آب است. ماژول های الاستیک فله ای چند مایعات معمولرا ببینید : بی نهایت زیاد هستند. به عنوان مثال برای استون ، تقریباً داریم. $E=1 \times 10^9\:\mathrm{Pa} $و تعریف E:
$E=-V\frac{dp}{dV}. $
از آن می توان استخراج کرد:
$\large{V=V_0e^{-\frac{p-p_0}{E}}}. $.
به عنوان مثال برای p = 100atm دریافت می کنیم:
V≈0.99V0 ،
یا فشرده سازی حدود 1٪. دشوار است که بفهمید چگونه این ΔV کوچک همراه با p بالا واقعاً کار قابل توجهی W را تشکیل می دهد و در نتیجه البته افزایش قدرت
پارادوکس انرژی در مکانیک سیالات
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3265-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3265-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: پارادوکس انرژی در مکانیک سیالات
این یک مسئله فریبنده ساده در مکانیک سیالات است که من نمی توانم کاملاً درک کنم زیرا یک پارادوکس تولید می کند.
فرض کنید داخل نی نی و یک ستون کوچک آب وجود دارد ، به طوری که ارتفاع ستون به طور قابل توجهی از ارتفاع نی کمتر است و قسمت بالای ستون در ابتدا در ارتفاع بالای آن قرار دارد. کاه همچنین فرض کنید که سطح مقطع نی در بالا A1 باشد و در پایین آن A2 باشد ، به عنوان مثال A1> A2 ، و این تغییر در سطح مقطع نی در جایی از نقطه میانی آن اتفاق می افتد.
حال فرض کنید ستون آب در اثر نیروی جاذبه از حالت استراحت شتاب بگیرد تا جایی که کف ستون در همان ارتفاع کف نی قرار دارد. همانطور که ستون از نقطه میانی نی می افتد سطح مقطع آن از A1 به A2 تغییر می کند. بنابراین ، به دلیل کاهش سطح مقطع ، سرعت آن باید افزایش یابد ، همانطور که از معادله پیوستگی به دست می آید. این بدان معناست که هنگام شتاب گرفتن از طریق نقطه میانی ، نیرویی در قسمت پایین ستون وارد عمل می شود و این نیرو نمی تواند نیروی جاذبه باشد زیرا باعث تسریع یکنواخت کل ستون می شود.نابراین question من این است: نیروی اضافی چیست؟
به طور معمول این نیرو از یک دیفرانسیل فشار ناشی می شود ، اما در این حالت بالا و پایین ستون آب در فشار جو هستند ، بنابراین هیچ دیفرانسیل فشار وجود ندارد.
تناقض این است که اگر این نیرو وجود نداشته باشد ، معادله تداوم نقض می شود. اگر معادله پیوستگی نقض نشود ، نیرویی بدون دیفرانسیل فشار وجود داردبا مشورت استادم دکتر مقیمیان
دیفرانسیل فشار وجود دارد.
هنگامی که آب در حال سقوط به انسداد جزئی در وسط نی برخورد می کند ، فشار اطراف لبه های نی افزایش می یابد. این افزایش فشار باعث تسریع آب به مجرای کوچکتر در زیر می شود (و همچنین سعی می کند آب از بالا را کاهش دهد).
این اثر در دوره ای که آب از نقطه میانی عبور می کند سازگار نیست. هنگامی که بالای ستون آب به نقطه میانی می رسد ، فشار در انقباض دوباره به فشار جوی کاهش یافته است ، زیرا دیگر هیچ آبی به دیواره های نی نمی ریزد.
اگر نمی بینید که چرا فشار ستون به نقطه میانی افزایش می یابد ، حالت حاد را در نظر بگیرید که در آن نی به سوراخ سوراخ تبدیل می شود. سپس آب به داخل انقباض فرو می رود و با افزایش فشار در جایی که پایین ستون به انسداد برخورد می کند ، متوقف می شود (فشار توسط نی در دو طرف و پایین و توسط اینرسی آب از بالا مهار می شود ) با کاهش کمتر مقطع عرضی ، همین اثر در کار خواهد بود.
پارادوکس مکانیک سیالات: نیروی مورد نیاز برای تعادل مایعات با استفاده از پیستونمی دانیم که فشار در یک سیال (مانند آب) به عمق بستگی دارد. این مثال را در نظر بگیرید: استادم یک مثال داد و گفت دقت کنید
برای تنظیمات اول ، حل فشار در پایین بازده است
$ P_1 = \rho gh = 1000kg/m^3 \bullet 9.8m/s \bullet 1m = 9800Pa$
و از تعریف فشار ، P = F / A ، سیال نیرویی بر روی پیستون وارد می کند معادل:
$ F_1 = P_1A = 9800Pa\bullet 1m^2 = 9800N$
بنابراین پیستون برای حفظ تعادل 9800N نیرو اعمال می کند.
که باید منطقی باشد زیرا این وزن واقعی آب است:
$W_{water}= 1000kg \bullet 9.8m/s^2 = 9800N $
برای تنظیم دوم ، حل فشار در پایین بازده است
$P_2 = \rho gh = 1000kg/m^3 \bullet 9.8m/s \bullet 1.5m = 14700Pa $
و $F_2 = P_2A = 14700Pa\bullet 1m^2 = 14700N $بنابراین پیستون برای حفظ تعادل 14700N نیرو اعمال می کند.
توجه داشته باشید که آب در هر تنظیم به همان اندازه حجم را اشغال می کند.
سوال این است: آیا این فرض صحیح است؟ اگر چنین است ، چگونه نیروها و فشارهای موجود در آب به گونه ای ترتیب می یابند که اکنون برای تعادل آب به نیروی بیشتری نسبت به وزن اصلی آن نیاز داشته باشد؟ و چه تفاوتی دارد که تنظیم 2 با تنظیم 3 ، جایی که شما یک جرم جامد از همان شکل و وزن دارید ، متفاوت است؟تحلیل و شهود شما درست است. نیروی مورد نیاز در تنظیم دوم بیشتر است ، حتی اگر وزن آب یکسان باشد.
برای درک دلیل ، قسمت افقی ظرف را که 5/0 متر از زمین فاصله دارد ، در نظر بگیرید. این دیواره بالای آب است ، بنابراین فشار آب به آن فشار می آورد. سپس در واکنش ، دیوار به پایین فشار می آورد و نیروی اضافی را که محاسبه کردید ، تأمین می کند.
در تنظیم سوم ، دیواری برای تأمین نیروی اضافی وجود ندارد ، بنابراین نیروی وارد شده روی پیستون فقط وزن جرم استحل فشار در پایین بازده:
$P = \rho gh = 1000kg/m^3 \bullet 9.8m/s \bullet 1m = 9800Pa $
و فشار ، P = F / A ، سیال نیرویی را بر پیستون وارد می کند معادل:
$ F = P \bullet A = 9800Pa\bullet 1m^2 = 9800N$
و پیستون باید نیروی برابر و برابر 9800N را اعمال کند تا بتواند ارتفاع آب را در علامت قرمز 1m حفظ کند! البته ، این معادل 2203 پوند است (برای حفظ آن تعادل دقیق)!
و وزن کل آب فقط:
$ W_{water}= 10.1kg \bullet 9.8m/s^2 = 99N$-2
پاسخ سریع این است که تا زمانی که سطح پیستون ، و حجم / جرم باقی مانده بدون تغییر باقی بمانند ، فشار ثابت باقی می ماند.
بنابراین گام اشتباه من این است که فرض کنیم P2 = ρgh. این با تغییر سطح مقطع با ارتفاع ، نامعتبر است.
فرض کنید داخل نی نی و یک ستون کوچک آب وجود دارد ، به طوری که ارتفاع ستون به طور قابل توجهی از ارتفاع نی کمتر است و قسمت بالای ستون در ابتدا در ارتفاع بالای آن قرار دارد. کاه همچنین فرض کنید که سطح مقطع نی در بالا A1 باشد و در پایین آن A2 باشد ، به عنوان مثال A1> A2 ، و این تغییر در سطح مقطع نی در جایی از نقطه میانی آن اتفاق می افتد.
حال فرض کنید ستون آب در اثر نیروی جاذبه از حالت استراحت شتاب بگیرد تا جایی که کف ستون در همان ارتفاع کف نی قرار دارد. همانطور که ستون از نقطه میانی نی می افتد سطح مقطع آن از A1 به A2 تغییر می کند. بنابراین ، به دلیل کاهش سطح مقطع ، سرعت آن باید افزایش یابد ، همانطور که از معادله پیوستگی به دست می آید. این بدان معناست که هنگام شتاب گرفتن از طریق نقطه میانی ، نیرویی در قسمت پایین ستون وارد عمل می شود و این نیرو نمی تواند نیروی جاذبه باشد زیرا باعث تسریع یکنواخت کل ستون می شود.نابراین question من این است: نیروی اضافی چیست؟
به طور معمول این نیرو از یک دیفرانسیل فشار ناشی می شود ، اما در این حالت بالا و پایین ستون آب در فشار جو هستند ، بنابراین هیچ دیفرانسیل فشار وجود ندارد.
تناقض این است که اگر این نیرو وجود نداشته باشد ، معادله تداوم نقض می شود. اگر معادله پیوستگی نقض نشود ، نیرویی بدون دیفرانسیل فشار وجود داردبا مشورت استادم دکتر مقیمیان
دیفرانسیل فشار وجود دارد.
هنگامی که آب در حال سقوط به انسداد جزئی در وسط نی برخورد می کند ، فشار اطراف لبه های نی افزایش می یابد. این افزایش فشار باعث تسریع آب به مجرای کوچکتر در زیر می شود (و همچنین سعی می کند آب از بالا را کاهش دهد).
این اثر در دوره ای که آب از نقطه میانی عبور می کند سازگار نیست. هنگامی که بالای ستون آب به نقطه میانی می رسد ، فشار در انقباض دوباره به فشار جوی کاهش یافته است ، زیرا دیگر هیچ آبی به دیواره های نی نمی ریزد.
اگر نمی بینید که چرا فشار ستون به نقطه میانی افزایش می یابد ، حالت حاد را در نظر بگیرید که در آن نی به سوراخ سوراخ تبدیل می شود. سپس آب به داخل انقباض فرو می رود و با افزایش فشار در جایی که پایین ستون به انسداد برخورد می کند ، متوقف می شود (فشار توسط نی در دو طرف و پایین و توسط اینرسی آب از بالا مهار می شود ) با کاهش کمتر مقطع عرضی ، همین اثر در کار خواهد بود.
پارادوکس مکانیک سیالات: نیروی مورد نیاز برای تعادل مایعات با استفاده از پیستونمی دانیم که فشار در یک سیال (مانند آب) به عمق بستگی دارد. این مثال را در نظر بگیرید: استادم یک مثال داد و گفت دقت کنید
برای تنظیمات اول ، حل فشار در پایین بازده است
$ P_1 = \rho gh = 1000kg/m^3 \bullet 9.8m/s \bullet 1m = 9800Pa$
و از تعریف فشار ، P = F / A ، سیال نیرویی بر روی پیستون وارد می کند معادل:
$ F_1 = P_1A = 9800Pa\bullet 1m^2 = 9800N$
بنابراین پیستون برای حفظ تعادل 9800N نیرو اعمال می کند.
که باید منطقی باشد زیرا این وزن واقعی آب است:
$W_{water}= 1000kg \bullet 9.8m/s^2 = 9800N $
برای تنظیم دوم ، حل فشار در پایین بازده است
$P_2 = \rho gh = 1000kg/m^3 \bullet 9.8m/s \bullet 1.5m = 14700Pa $
و $F_2 = P_2A = 14700Pa\bullet 1m^2 = 14700N $بنابراین پیستون برای حفظ تعادل 14700N نیرو اعمال می کند.
توجه داشته باشید که آب در هر تنظیم به همان اندازه حجم را اشغال می کند.
سوال این است: آیا این فرض صحیح است؟ اگر چنین است ، چگونه نیروها و فشارهای موجود در آب به گونه ای ترتیب می یابند که اکنون برای تعادل آب به نیروی بیشتری نسبت به وزن اصلی آن نیاز داشته باشد؟ و چه تفاوتی دارد که تنظیم 2 با تنظیم 3 ، جایی که شما یک جرم جامد از همان شکل و وزن دارید ، متفاوت است؟تحلیل و شهود شما درست است. نیروی مورد نیاز در تنظیم دوم بیشتر است ، حتی اگر وزن آب یکسان باشد.
برای درک دلیل ، قسمت افقی ظرف را که 5/0 متر از زمین فاصله دارد ، در نظر بگیرید. این دیواره بالای آب است ، بنابراین فشار آب به آن فشار می آورد. سپس در واکنش ، دیوار به پایین فشار می آورد و نیروی اضافی را که محاسبه کردید ، تأمین می کند.
در تنظیم سوم ، دیواری برای تأمین نیروی اضافی وجود ندارد ، بنابراین نیروی وارد شده روی پیستون فقط وزن جرم استحل فشار در پایین بازده:
$P = \rho gh = 1000kg/m^3 \bullet 9.8m/s \bullet 1m = 9800Pa $
و فشار ، P = F / A ، سیال نیرویی را بر پیستون وارد می کند معادل:
$ F = P \bullet A = 9800Pa\bullet 1m^2 = 9800N$
و پیستون باید نیروی برابر و برابر 9800N را اعمال کند تا بتواند ارتفاع آب را در علامت قرمز 1m حفظ کند! البته ، این معادل 2203 پوند است (برای حفظ آن تعادل دقیق)!
و وزن کل آب فقط:
$ W_{water}= 10.1kg \bullet 9.8m/s^2 = 99N$-2
پاسخ سریع این است که تا زمانی که سطح پیستون ، و حجم / جرم باقی مانده بدون تغییر باقی بمانند ، فشار ثابت باقی می ماند.
بنابراین گام اشتباه من این است که فرض کنیم P2 = ρgh. این با تغییر سطح مقطع با ارتفاع ، نامعتبر است.
