پارادوکس فنر

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 318

سپاس: 161

جنسیت:

تماس:

پارادوکس فنر

پست توسط rohamjpl »

فرض کنید ، یک بلوک از جرم m از یک چشمه جرم ناچیز آویزان است و ثابت k را مجبور می کند. من باید موقعیت تعادل بلوک را پیدا می کردم. [یعنی چقدر فنر در تعادل کشیده شده است].اساساً ، من باید Δx را در اینجا پیدا کنم.من این کار را به دو روش مختلف انجام می دهم:روش نمودار جسم ازاد :در تعادل ، نیروی خالص صفر است $\therefore k\Delta x = mg $و $ \Delta x = \frac{mg}{k}$
روش انرژی:تصویر
همانطور که این بلوک به فنر متصل است ، فنر را به سمت پایین می کشد. این انرژی پتانسیل بلوک را کاهش می دهد و انرژی پتانسیل الاستیک فنر را افزایش می دهد:$\therefore \frac 12 k(\Delta x)^2 = mg(\Delta x) $و $ \Delta x = \frac{2mg}{k}$بنابراین ، کدام یک است؟ $ \Delta x = \frac{mg}{k}$ یا $\Delta x = \frac{2mg}{k} $. برای اینکه questio را بیشتر بدانیم ، اگر این آزمایش را انجام دهم و طول را اندازه بگیرم ، کدام یک خواهد بود؟توجه کنید تجزیه و تحلیل انرژی های بالقوه کمی بیشتر از آنچه فکر می کنید درگیر است.فرض کنید ما در موقعیت تعادل آن با جرم روی فنر شروع می کنیم یعنی توسط Δx گسترش می یابد فرض کنید ما جرم را با Δx بلند می کنیم بنابراین فنر اکنون تمدید نشده است. PE فنر $\tfrac{1}{2}k\Delta x^2 $ کاهش یافته و PE جرم mgh افزایش یافته است - تا کنون خوب است.
اما افزایش PE جرم فقط از روی کار انجام شده توسط فنر صورت نگرفته است. شما باید دست خود را زیر جرم قرار داده و برای بلند کردن جرم نیرویی وارد کنید. بنابراین افزایش PE جرم از دو منبع حاصل شده است:کار انجام شده توسط فنر ، یعنی کاهش PE فنر
کاری که روی توده انجام دادید
بنابراین معادله شما در رابطه با تغییرات PE باید:$mg\Delta x = \tfrac{1}{2}k\Delta x^2 + W_\text{you} \tag{1} $جایی که $W_\text{you} $ کاری است که شما روی جرم انجام داده اید. شما این اصطلاح را از معادله دوم خود حذف کرده اید و به همین دلیل این پاسخ اشتباه است.محاسبه $ W_\text{you}$ آسان است زیرا نیرویی که باید برای بالا بردن جرم وارد کنید$F = mg - kx $پس $W_\text{you} = \int_0^{\Delta x} \left(mg - kx\right)\,dx = mg\Delta x - \tfrac{1}{2}k\Delta x^2 $بنابراین $mg\Delta x = \tfrac{1}{2}k\Delta x^2 + mg\Delta x - \tfrac{1}{2}k\Delta x^2 = mg\Delta x $
حالا بیایید به مثال که توصیف کردم برگردیم ، یعنی ما با فنر تمدید نشده و جرم ثابت شروع می کنیم ، سپس جرم را رها می کنیم. اکنون جرم به بالا و پایین نوسان خواهد کرد. وقتی جرم به جایی رسید که نیروها به تعادل برسند ، یعنی $x = mg/k $ ، انرژی جنبشی دارد و معادله شما برای تعادل انرژی باید این را شامل شود. ما دریافت خواهیم کرد:$mgx = \tfrac{1}{2} kx^2 + \tfrac{1}{2}mv^2 $
که v سرعت جرم است.تصویر مثال دوم توجه کنید
تصور کنید که یک گلوله به جرم m به یک بلوک پرتاب می شود که دارای m نیز است. به بلوک و رو به توپ متصل شده است ، یک فنر بدون جرم با یک تخته بدون جرم در انتها قرار دارد. به صورت متناوب ، می توان حدس زد که بلوک ، فنر و تخته ای که با هم جمع شده اند دارای جرم m هستند. فرض کنید هیچ جاذبه ای وجود ندارد و هیچ نیروی اتلاف کننده ای وجود ندارد. فرض کنید طول فنر و ثابت فنر برای توقف توپ کافی باشد. هنگامی که سرعت توپ صفر باشد ، فنر قفل می شود. این سازوکار مکانیزمی دارد که به طور فیزیکی از گسترش یا انقباض آن جلوگیری می کند ، که با استفاده از مقدار ناخواسته انرژی فعال می شود. بعد از تعامل ، چه مقدار انرژی بالقوه درفنرر ذخیره می شوددر حل این مشکل ، یک تناقض آشکار ظاهر می شود. از آنجا که سیستم بلوک-فنر و توپ جرم یکسانی دارند و چون توپ پس از تعامل در حالت استراحت است ، حفظ حرکت به این معنی است که سرعت نهایی بلوک باید با سرعت اولیه توپ برابر باشد. این بدان معنی است که انرژی جنبشی نهایی بلوک همان انرژی جنبشی اولیه توپ است. اما در این صورت هیچ انرژی احتمالی ذخیره شده در فنر وجود ندارد ، حتی اگر فشرده شده باشد.
بدیهی است که چنین تنظیماتی به دلیل چشمه بدون جرم و عدم اتلاف انرژی غیرممکن است. با این حال ، این فرضیات در فیزیک کاملاً استاندارد هستند ، بنابراین انتظار نمی رود که این موارد منجر به تناقض شود.همچنین ، من از این اصل آگاه هستم که یک مکانیسم ایده آل مانند گیره دار نمی تواند وجود داشته باشد زیرا می تواند برای نقض قانون دوم ترمودینامیک استفاده شود. من این استدلال را می فهمم ، اما مشکل اینجا نقض قانون دوم نیست ، بلکه تناقض در مصرف انرژی و حرکت است. کدام یک از مقدمات مشکل مسئول این تناقض است و چرا؟اگر فنر هنگام استراحت توپ در قاب آزمایشگاه قفل شود ، با استدلالی که ارائه می دهید به این نتیجه می رسد که فنر اصلاً نباید فشرده شود. در واقع قضیه همین است.
با کند شدن توپ ، سرعت بلوک شروع می شود. سرانجام آنها با همان سرعت حرکت می کنند ، در آن زمان فنر به حداکثر فشرده سازی رسیده است. با شروع انبساط فنر ، سرعت بلوک از توپ بیشتر می شود. هنگامی که فنر به طول فشرده نشده خود می رسد ، توپ آرام می شود و بلوک با سرعت $v $ حرکت می کنداین را می توان به طور مستقیم نشان داد. بگذارید $x(t) $ موقعیت توپ و $y(t) $ موقعیت بلوک باشد ، و بگذارید سمت چپ مطابق شکل شما جهت مثبت باشد. در زمان t = 0 توپ با فنر تماس می گیرد. بگذارید موقعیت و سرعت توپ اولیه $x(0)=0 $ و $ x'(0) = v$ باشد ، و موقعیت و سرعت اولیه بلوک $y(0)=L $ و $ y'(0) = 0$ باشد L طول کشیده نشده (مهم) فنر است.
دینامیک سیستم توسط معادلات ارایه میشه $m x'' = k(y-x-L) $و$ m y'' = -k(y-x-L)$برای بدست آوردن می توان متغیرهای کمکی$ u = \frac{x+y}{2}$ و $w = \frac{x-y+L}{2} $ را تعریف کرد$u'' = 0 \implies u(t)= \frac{L+vt}{2} $و$w'' = -\frac{k}{m} w \implies w(t)= \frac{v}{2\omega}\sin(\omega t) $جایی که $\omega=\sqrt{k/m} $ و من شرایط اولیه ذکر شده در بالا را اعمال کردم. می توانیم این روابط را معکوس کنیم تا x و y را پیدا کنیم
$ x(t) = u+w-\frac{L}{2} = \frac{vt}{2}+\frac{v}{2\omega}\sin(\omega t)$
$ y(t) = u-w+\frac{L}{2} = L + \frac{vt}{2} - \frac{v}{2\omega}\sin(\omega t)$
وقتی $x'(t) = \frac{v}{2}(1+\cos(\omega t)) = 0 \implies \omega t = \pi $ توپ به حالت استراحت در می آید. با این حال ، در این زمان ما $y-x = L $ و y ′ = v داریم.یک گزینه دیگر این است که فنر هنگام دستیابی به حداکثر فشرده سازی قفل می شود ، یعنی وقتی y ′ = x. این زمانی رخ می دهد که $\cos(\omega t)=0 \implies \omega t = \pi/2 $. در این لحظه ، سرعت توپ و بلوک هر دو $ v/2$ است ، مطابق با حفاظت از حرکت در یک برخورد کاملا غیر کشسان. حفاظت از انرژی $ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2}(2m)v'^2 + PE_{spring} = \frac{1}{4}mv^2 + PE_{spring}$نیم انرژی در فنر ذخیره میشه $ PE_{spring} = \frac{1}{4}mv^2$
تصویر

ارسال پست