؟گذر زمان برای جسم در حال سقوط چگونه است؟
-
Keyhanovsky
عضویت : شنبه ۱۳۹۹/۱۰/۲۷ - ۱۶:۳۵
پست: 14-
سپاس: 5
- جنسیت:
گذر زمان برای جسم در حال سقوط چگونه است؟
دوتا سوال دارم اول جسمی که از آسمان درحال سقوط آزاد هست امکان داره گذر زمان براش متفاوت باشه؟ و سوال دوم یک کمی تخیلی هست اینکه اگر من مشتم را با سرعت بینهایت به دیوار بکوبم امکان داره ازدیوار رد شه ولی انگار اصلا به دیوا رنخورده؟ یه جورهایی از بعد چهارم دیوار رد بشه ؟
؟-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3265-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: گذر زمان برای جسم در حال سقوط چگونه است؟
آیا زمان و گرانش در هنگام استراحت در مقایسه با سقوط آزاد تأثیر می گذارد؟یک جسم در حال سقوط در طول زمان در یک مسیر ژئودزیک ('مسیر مستقیم') در زمان-زمان حرکت می کند. وقتی زمان استراحت فرا می رسد ، اکنون "مسیری منحنی" را در زمان-زمان طی می کند. آیا گذشت زمان و نیروی جاذبه اساساً تحت تأثیر این اختلاف است؟
برای اینکه کاملاً واضح باشد ، فرض کنید یک شی در حال سقوط است ، در ارتفاع x از زمین و دیگری در ارتفاع x معلق است. آیا آنها همان جاذبه را تجربه می کنند؟ آیا آنها با همان سرعت پیر می شوند؟اتساع زمان با محاسبه تغییر زمان مناسب ، dτ ، با استفاده از عبارت:$c^2d\tau^2 = -g_{ab}dx^adx^b \tag{1}$
که در آن gab تانسور متریک است. دلیلی که ما می توانیم از این برای محاسبه اتساع زمان استفاده کنیم این است که زمان مناسب ثابت است یعنی همه ناظران در مورد ارزش آن به توافق می رسند. برای نشان دادن چگونگی انجام این کار ، بیایید نمونه ساده حرکت فضانورد را با سرعت v در زمان-زمان مسطح در نظر بگیریم. در این حالت معیار فقط معیار مینکوفسکی است و معادله (1) ساده می شود به:
$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \tag{2}$
ابتدا محاسبه را در قاب استراحت فضانورد انجام می دهیم. در آن قاب ، فضانورد آنقدر $dx = dy = dz = 0 $حرکت نمی کند و زمان مناسب مشاهده شده توسط فضانورد فقط این است:$d\tau_{astronaut} = dt$
حالا بگذارید اینجا روی زمین زمان مناسب را محاسبه کنیم. ما مختصات خود را ترتیب خواهیم داد تا فضانورد در امتداد محور x حرکت کند ، بنابراین dy = dz = 0. در این حالت معادله (2) می شود:
$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2$برای عمل توجه داشته باشیم که اگر فضانورد در حال حرکت با سرعت v باشد ، این به معنی $dx / dt = v$ است ، زیرا منظور ما از سرعت این است. بنابراین $dx = vdt$. این را در معادله خود قرار دهید و به دست می آوریم:$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - (vdt)^2$
که ترتیب مجدد را به:$d\tau_{Earth} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}dt$
از آنجا که زمان مناسب یکنواخت است ، هم ما و هم فضانورد باید مقدار یکسانی را محاسبه کرده باشیم ، به عنوان مثال dτEarth = dτastronaut ، و اگر در معادله بالا dtEarth را جایگزین کنیم:
$\frac{d\tau_{astronaut}}{dt} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}$
که در آن γ عامل لورنتس است. اما سمت چپ فقط تغییر زمان فضانورد با زمان ماست - به عبارت دیگر اتساع زمان است. و این معادله فقط عبارت استاندارد برای اتساع زمان در نسبیت خاص است که ما به همه دانشجویان SR آموزش می دهیم.نكته همه اینها این است كه ما می توانیم دقیقاً از همین روش برای انجام اتساع زمانی در زمینه های گرانشی استفاده كنیم. بیایید میدان گرانشی یک بدن متقارن کروی را که توسط متریک شوارتزشیلد آورده شده است ، در نظر بگیریم:
$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1}dr^2 - r^2 (d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2) \tag{3}$این بسیار شبیه به معادله (2) است که ما در فضا-زمان مسطح استفاده کردیم ، با این تفاوت که ضرایب dt و غیره اکنون توابع فاصله هستند و ما محاسبه را دقیقاً به همان روش انجام می دهیم. بیایید با محاسبه اتساع زمانی یک فضانورد ثابت در فاصله r شروع کنیم. از آنجا که فضانورد ثابت است ، dr = dθ = dϕ = 0$ $داریم و معادله (3) ساده می شود به:
$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2$و این بار ما دریافت می کنیم:$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{2GM}{r c^2}} = \sqrt{1-\frac{r_s}{r}} \tag{4}$جایی که rs شعاع شوارتزیلد است. و بس - محاسبه اتساع زمانی ناظر ثابت در یک میدان گرانشی به همین سادگی است. این عبارت را در هر متن مقدماتی در GR پیدا خواهید کرد.اما نکته اصلیQuestion شما (سرانجام به آن رسیدیم!) این است که اگر ناظر ما در میدان گرانش حرکت کند چه اتفاقی می افتد؟ خوب ، بیایید فرض کنیم آنها به صورت شعاعی در حال حرکت هستند. جهت با سرعت v ، بنابراین دقیقاً مانند حالت کوچک فضای مسطح dr = vdt و dθ = dϕ = 0 داریم. ما این را در معادله (3) جایگزین می کنیم:$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1}v^2dt^2$که ترتیب مجدد را به:$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{r_s}{r} - \frac{v^2/c^2}{1-\frac{r_s}{r}}} \tag{5}$و یک بار دیگر ، به همین سادگی است. اگر این نتیجه را با معادله (4) مقایسه کنید ، خواهید دید که اتساع زمان برای یک جسم در حال حرکت متفاوت است ، زیرا ما یک اصطلاح اضافی$\frac{v^2/c^2}{1-\frac{r_s}{r}}$ در ریشه مربع داریم.$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}$
برای اینکه کاملاً واضح باشد ، فرض کنید یک شی در حال سقوط است ، در ارتفاع x از زمین و دیگری در ارتفاع x معلق است. آیا آنها همان جاذبه را تجربه می کنند؟ آیا آنها با همان سرعت پیر می شوند؟اتساع زمان با محاسبه تغییر زمان مناسب ، dτ ، با استفاده از عبارت:$c^2d\tau^2 = -g_{ab}dx^adx^b \tag{1}$
که در آن gab تانسور متریک است. دلیلی که ما می توانیم از این برای محاسبه اتساع زمان استفاده کنیم این است که زمان مناسب ثابت است یعنی همه ناظران در مورد ارزش آن به توافق می رسند. برای نشان دادن چگونگی انجام این کار ، بیایید نمونه ساده حرکت فضانورد را با سرعت v در زمان-زمان مسطح در نظر بگیریم. در این حالت معیار فقط معیار مینکوفسکی است و معادله (1) ساده می شود به:
$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \tag{2}$
ابتدا محاسبه را در قاب استراحت فضانورد انجام می دهیم. در آن قاب ، فضانورد آنقدر $dx = dy = dz = 0 $حرکت نمی کند و زمان مناسب مشاهده شده توسط فضانورد فقط این است:$d\tau_{astronaut} = dt$
حالا بگذارید اینجا روی زمین زمان مناسب را محاسبه کنیم. ما مختصات خود را ترتیب خواهیم داد تا فضانورد در امتداد محور x حرکت کند ، بنابراین dy = dz = 0. در این حالت معادله (2) می شود:
$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2$برای عمل توجه داشته باشیم که اگر فضانورد در حال حرکت با سرعت v باشد ، این به معنی $dx / dt = v$ است ، زیرا منظور ما از سرعت این است. بنابراین $dx = vdt$. این را در معادله خود قرار دهید و به دست می آوریم:$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - (vdt)^2$
که ترتیب مجدد را به:$d\tau_{Earth} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}dt$
از آنجا که زمان مناسب یکنواخت است ، هم ما و هم فضانورد باید مقدار یکسانی را محاسبه کرده باشیم ، به عنوان مثال dτEarth = dτastronaut ، و اگر در معادله بالا dtEarth را جایگزین کنیم:
$\frac{d\tau_{astronaut}}{dt} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}$
که در آن γ عامل لورنتس است. اما سمت چپ فقط تغییر زمان فضانورد با زمان ماست - به عبارت دیگر اتساع زمان است. و این معادله فقط عبارت استاندارد برای اتساع زمان در نسبیت خاص است که ما به همه دانشجویان SR آموزش می دهیم.نكته همه اینها این است كه ما می توانیم دقیقاً از همین روش برای انجام اتساع زمانی در زمینه های گرانشی استفاده كنیم. بیایید میدان گرانشی یک بدن متقارن کروی را که توسط متریک شوارتزشیلد آورده شده است ، در نظر بگیریم:
$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1}dr^2 - r^2 (d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2) \tag{3}$این بسیار شبیه به معادله (2) است که ما در فضا-زمان مسطح استفاده کردیم ، با این تفاوت که ضرایب dt و غیره اکنون توابع فاصله هستند و ما محاسبه را دقیقاً به همان روش انجام می دهیم. بیایید با محاسبه اتساع زمانی یک فضانورد ثابت در فاصله r شروع کنیم. از آنجا که فضانورد ثابت است ، dr = dθ = dϕ = 0$ $داریم و معادله (3) ساده می شود به:
$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2$و این بار ما دریافت می کنیم:$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{2GM}{r c^2}} = \sqrt{1-\frac{r_s}{r}} \tag{4}$جایی که rs شعاع شوارتزیلد است. و بس - محاسبه اتساع زمانی ناظر ثابت در یک میدان گرانشی به همین سادگی است. این عبارت را در هر متن مقدماتی در GR پیدا خواهید کرد.اما نکته اصلیQuestion شما (سرانجام به آن رسیدیم!) این است که اگر ناظر ما در میدان گرانش حرکت کند چه اتفاقی می افتد؟ خوب ، بیایید فرض کنیم آنها به صورت شعاعی در حال حرکت هستند. جهت با سرعت v ، بنابراین دقیقاً مانند حالت کوچک فضای مسطح dr = vdt و dθ = dϕ = 0 داریم. ما این را در معادله (3) جایگزین می کنیم:$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1}v^2dt^2$که ترتیب مجدد را به:$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{r_s}{r} - \frac{v^2/c^2}{1-\frac{r_s}{r}}} \tag{5}$و یک بار دیگر ، به همین سادگی است. اگر این نتیجه را با معادله (4) مقایسه کنید ، خواهید دید که اتساع زمان برای یک جسم در حال حرکت متفاوت است ، زیرا ما یک اصطلاح اضافی$\frac{v^2/c^2}{1-\frac{r_s}{r}}$ در ریشه مربع داریم.$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}$
