آدیاباتیک آیزنتروپیک گاز کامل

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 609

سپاس: 311

جنسیت:

تماس:

آدیاباتیک آیزنتروپیک گاز کامل

پست توسط rohamjpl »

. تصویر
یک گاز کامل تک اتمی در نیمی از مخزن گاز ، که از نظر حرارتی ایزوله است ، تعادل برقرار است (یعنی گرما را با خارج تبادل نمی کند). ما همچنین تصور می کنیم که مخزن گاز در فضای خالی است ، بنابراین می توان فشار خارجی را برابر با صفر دانست. پیستون آزاد شده و انبساط آغاز می شود. تحول غیرقابل برگشت است ، اما می توان حالت تعادل جدید را محاسبه کرد با این فرض که در ابتدا گاز با حالت ترمودینامیکی n mol گاز یک اتمی مشخص می شود$P_0, V_0/2,T_0$
بیایید اصطلاحات مختلف قانون اول ترمودینامیک را در گسترش آزاد تجزیه و تحلیل کنیم. انبساط آدیاباتیک است ، هیچ تبادل حرارتی با خارج امکان پذیر نیست و$Q = 0$. علاوه بر این ، چون فشار خارجی صفر است ، پیستون کار مکانیکی صفر انجام می دهد $Pext = 0$ به این معنی است که نیرویی که روی پیستون وارد می شود صفر است) ، بنابراین $W = 0$. اگر هر دوQ و W صفر هستند ، ما باید تغییرات انرژی داخلی را داشته باشیم $U = U(T )$ و$U = U(T )$تابعی از دما به تنهایی است (در واقع گسترش ژول آزمایش اصلی انجام شده توسط ژول بود تا نشان دهد انرژی داخلی فقط به دما بستگی دارد). این به نوبه خود دلالت بر این دارد که$T0 = T1$، و حالت جدید سیستم است. از آنجا که به نظر می رسد از نظر ترمودینامیکی چیزی تغییر نکرده است ، آنتروپی چه اتفاقی می افتد؟ از آنجا که آنتروپی ترمودینامیکی یک تابع حالت است ، ما می توانیم تغییرات آنتروپی را در طول هر تغییر شکل برگشت پذیر که حالت اولیه و نهایی را متصل می کند محاسبه کنیم. دما ثابت است ، بنابراین تبدیل همدما نامزد خوبی است که بازده دارد$\Delta S= \int\frac{dQ}{T}=nRln2$
این می گوید که کار صفر است زیرا فشار خارجی صفر است .... اما فشار داخلی نیست ، آیا گاز با انبساط پیستون را فشار نمی دهد ، که این کار ، حتی اگر هیچ نیروی فشار خارجی وجود نداشته باشد؟ شاید من نمی فهمم معنی "پیستون آزاد شده" است. آیا معنای آن این است که چیزی آن را نگه داشته است و سپس آنها فقط آن را ترک می کنند تا گاز بتواند آن را فشار دهد؟ یا آیا این بدان معنی است که کسی قبل از اینکه گاز واکنش نشان دهد سریع آن را می کشد (در این صورت شخص کار می کند ، نه؟)$\Delta S= \int\frac{dQ}{T}=\int\frac{0}{T}=0$ در عوض آنها از یک مسیر همدما استفاده می کنند ، اما این مسئله می تواند مشکل را تغییر دهد؟ من می دانم که می توانم از هر راهی برای یافتن آنتروپی استفاده کنم ، اما آیا با انجام این کار ، به نتایج قبلی احترام نمی گذارم (مانند صفر بودن گرما ، زیرا سیستم همچنان جدا است)چرا این آزمایش نشان می دهد که انرژی داخلی فقط به دما بستگی دارد ، چگونه می توان وابستگی دیگری را رد کرد ، به شرطی که بتوانم لیستی از وابستگی های احتمالی داشته باشم؟تصویر
پاسخ Q1: اگر پیستون بدون جرم و اصطکاک باشد ، تعادل نیرو بر روی پیستون با استفاده از قانون دوم نیوتن به ما می گوید که نیروی وارد شده توسط گاز بر روی پیستون باید اساساً صفر باشد. اما چطور ممکن است باشد ، زیرا گاز باید "فشار داخلی" داشته باشد. خوب ، در یک انبساط یا فشرده سازی برگشت ناپذیر ، حتی "گاز ایده آل" نیز قانون گاز ایده آل را برآورده نمی کند. قانون گاز ایده آل فقط در تعادل ترمودینامیکی اعمال می شود. در یک انبساط برگشت ناپذیر ، تنش های کششی چسبناکی نیز وجود دارد که "فشار داخلی" گاز را جبران می کند و منجر به ایجاد نیروی خالص گاز روی پیستون صفر برای انبساط آزاد می شود. بنزین هیچ کاری نمی کند.
پاسخ Q2: شما در مورد چگونگی تعیین تغییر آنتروپی برای یک روند غیر قابل برگشت بسیار گیج هستید. در تعیین تغییر آنتروپی برای سیستمی که فرآیندی برگشت ناپذیر را تجربه کرده است ، اولین قدم این است که فرایند برگشت ناپذیر را کاملاً فراموش کنید و در عوض فقط بر روی حالت تعادل ترمودینامیکی اولیه و نهایی تمرکز کنید. گام بعدی این است که بین این دو حالت انتهایی دقیق یک روند برگشت پذیر جایگزین کنید (یعنی رویای خود را ببینید). بین این دو حالت انتهایی تعداد بی شماری از مسیرهای روند برگشت پذیر وجود دارد و همه آنها تغییر آنتروپی یکسانی دارند. آنچه شما انجام می دهید این است که ، برای مسیر برگشت پذیر خاصی که طراحی کرده اید ، انتگرال dq / T را برای آن مسیر محاسبه کنید. این تغییر آنتروپی برای مسیر برگشت پذیر و مسیر برگشت پذیر خواهد بود. هنگام نوشتن $dq_{rev}/T$ ، معنای آنها این است. برای شروع یک کتاب آشپزی در مورد همه این موارد ، از جمله چندین مثال کار شده ،$\Delta U=Q-W$f Q و W هر دو صفر هستند ، سپس ΔU = 0$$ به طور کلی ، U تابعی از T و V است. اما در اینجا ، V تغییر کرده است و هیچ تغییری در U وجود ندارد. بنابراین ، برای یک گاز ایده آل ، U باید فقط تابعی از T باشد.
و چرا باید تعادل نیرو را فرض کنم؟ آیا پیستون نمی تواند در اثر یک نیروی نامتعادل داخلی شتاب بگیرد و البته وقتی کاملاً کشیده شده متوقف شود؟
فقط به این دلیل که شما یک دوره فیزیک تازه کار را گذرانده اید به این معنی نیست که دیگر اجازه ندارید آنچه را در آنجا آموخته اید به کار ببرید ، خصوصاً وقتی که می تواند به شما در درک مفهوم جدیدی که با آن دست و پنجه نرم می کنید کمک کند.
حال را مورد بررسی قرار می دهیم که پیستون جرم دارد. اگر برای این وضعیت تعادل نیرو را روی پیستون انجام دهیم ، متوجه می شویم
$M_P\frac{d^2x}{dt^2}=F_g(t)$
جایی که x جابجایی پیستون در زمان t پس از آزاد شدن است و $F_G(t)$ نیرویی است که گاز در زمان t بر پیستون وارد می کند (بنابراین ، در این حالت ، گاز در واقع نیرویی بر پیستون وارد می کند) ) اگر این تعادل نیرو را در سرعت پیستون$v = dx/dt$ ضرب کرده و نسبت به زمان ادغام کنیم ، بدست می آوریم:
$W_G(t)=\int_0^t{F\frac{dx}{dt}dt}=M\frac{v^2}{2}=KE(t)$
جایی که $W_G(t)$ کاری است که توسط گاز روی پیستون انجام می شود تا زمان t و KE (t) انرژی جنبشی پیستون در زمان t است. پیستون ممکن است از انتهای بسته سیلندر به صورت الاستیکی برگردد و با پیشرفت زمان ، گاز را مجدداً فشرده کند. اما سرانجام ، انرژی جنبشی پیستون توسط نیروهای چسبناک موجود در گاز از بین می رود. بنابراین ، همانطور که اشاره کردید ، در نهایت پیستون در انتهای بسته سیلندر ساکن می شود. بنابراین ، در زمان های بسیار طولانی ، کار خالصی که گاز روی پیستون انجام می دهد صفر خواهد بود:$W_G(\infty)=0$
یک روش جایگزین این است که ترکیبی از پیستون به علاوه گاز را به عنوان سیستم خود در نظر بگیرید. این سیستم مطمئناً بر روی خلا کار نمی کند ، بنابراین ، در این مورد ، W = 0. سپس با اعمال قانون اول ترمودینامیک در این سیستم ترکیبی:$\Delta U_G+\Delta U_P=0$
جایی که $U_P$ انرژی داخلی پیستون است. در اینجا دوباره ، ما می خواهیم که ، در پایان ، پیستون در حالت استراحت است. بنابراین ، ما به دست می آوریم
$nC_v(T_f-T_i)+M_PC_P(T_f-T_i)=0$ یا$T_f=T_i$و$\Delta U_G=0$ و$\Delta U_P=0$
در Q1 ، چگونه "عدم تأمین ایده آل دارای قانون است" (یعنی PV = nRT فاقد آن است) چگونه به اعمال نیرو بر روی پیستون نمی پردازد؟
اگر و هنگامی که مکانیک سیالات را مطالعه می کنید ، خواهید آموخت که چگونه نیروهای چسبناک به نیرویی که گاز وارد می کند کمک می کنند و چگونه ، برای یک پیستون بدون جرم ، نیرویی که گاز به پیستون وارد می کند صفر است. و حتی در مورد یک پیستون با جرم ، شما به طور کمی درک خواهید کرد که نیرویی که گاز تغییر شکل دهنده اعمال می کند می تواند با نیروی پیش بینی شده در قانون ایده آل گاز متفاوت باشد.هنگامی که آنها می گویند "پیستون آزاد می شود" ، آیا هنگام انبساط گاز حرکت می کند یا همانطور که از تصویر نشان داده می شود ، کسی قبل از شروع به گسترش گاز آن را می کشد (در صورت امکان این امکان وجود دارد)؟تصویر به طور دقیق آنچه اتفاق می افتد را توصیف نمی کند. هیچ کس پیستون را نمی کشد. با یک پیستون بدون جرم ، عدم تعادل نیروی ناگهانی کوچک بین گاز و خلا باعث حرکت پیستون می شود. برای پیستونی با جرم ، عدم تعادل نیروی محدود بین گاز و خلا باعث حرکت پیستون می شود (اگرچه به دلیل اثرات چسبناک ، نیروی گاز کمتر از آنچه در قانون ایده آل گاز پیش بینی شده است) است.
چگونه تغییر آنتروپی را برای یک سیستم بسته که تحت یک روند برگشت ناپذیر است تعیین می کنید؟ در اینجا چند سوال معمول وجود دارد که ما در انجمن های فیزیک از اعضای گیج شده دریافت می کنیم: اگر من یک روند آدیاباتیک غیر قابل برگشت دارم ، آیا از آنجا که q / T صفر است ، آیا تغییر در آنتروپی صفر نیست؟ از آنجا که آنتروپی تابعی از حالت است ، آیا نباید تغییر در آنتروپی برای یک فرآیند آدیاباتیک برگشت ناپذیر بین یک حالت تعادل اولیه و نهایی همانند یک روند آدیاباتیک برگشت پذیر بین همان دو حالت تعادل ترمودینامیکی باشد؟ هدف من در این مقاله ارائه دستورالعمل کتاب آشپزی برای تعیین تغییر در آنتروپی برای یک فرآیند برگشت ناپذیر در یک سیستم بسته است ، و سپس ارائه چند نمونه از نحوه استفاده از این دستور العمل قانون اول ترمودینامیک را برای فرایند برگشت ناپذیر اعمال کنید تا وضعیت تعادل ترمودینامیکی نهایی سیستم تعیین شود. فرایند واقعی برگشت ناپذیر را کاملا فراموش کنید (به طور کامل) ، و در عوض منحصراً روی حالتهای تعادل ترمودینامیکی اولیه و نهایی تمرکز کنید. این مهم ترین مرحله است. یک مسیر برگشت پذیر بین همان دو حالت تعادل ترمودینامیکی (نقاط پایان) ترسیم کنید. این مسیر برگشت پذیر هیچ شباهتی به مسیر واقعی روند برگشت ناپذیر ندارد. به عنوان مثال ، حتی اگر روند واقعی برگشت ناپذیر آدیاباتیک باشد ، نیازی نیست که مسیر برگشت پذیر شما طراحی شود. حتی می توانید قسمتهای مختلف سیستم را از یکدیگر جدا کرده و هر یک را در یک مسیر برگشت پذیر متفاوت قرار دهید ، به شرطی که همه آنها در وضعیت نهایی صحیح خود قرار بگیرند. بعلاوه ، تعداد نامحدودی از مسیرهای روند برگشت پذیر وجود دارد که می تواند شما را از حالت اولیه به حالت نهایی برساند ، و همه آنها برای تغییر در آنتروپی دقیقاً همان مقدار را می دهند. بنابراین سعی کنید مسیری را طراحی کنید که کار با آن ساده باشد (به عنوان مثال ، اجرای مرحله 4 برای آن آسان است). برای مسیر برگشت پذیر انتخاب شده ، انتگرال dq / T را از حالت اولیه تا حالت نهایی ارزیابی کنید ، جایی که dq مقدار افزایشی گرمای اضافه شده به سیستم در طول توالی تغییرات متشکل از مسیر برگشت پذیر است. این تغییر آنتروپی S خواهد بود. یعنی$\Delta S=\int\frac{dq_{rev}}{T} /$ ، جایی که rev زیرنویس به مسیر برگشت پذیر اشاره دارد. مثال 1 تعادل گرمایی دو ماده جامد در تماس
دو جسم جامد یکسان ، هر یک از جرم M و ظرفیت حرارت C. را در نظر بگیرید ، در ابتدا ، دو جامد در دمای TH و TC هستند. سپس اشیا into در تماس گرمایی قرار می گیرند و اجازه می دهند خود به خود تعادل پیدا کنند. مرحله 1: برای ایجاد وضعیت تعادل نهایی قانون اول ترمودینامیک را اعمال کنید. هیچ گرما منتقل نمی شود و هیچ کاری روی سیستم ترکیبی دو جسم انجام نمی شود. بنابراین ، تغییر در انرژی داخلی سیستم ΔU برابر با صفر است:$\Delta U=CM(T_F-T_H)+CM(T_F-T_C)=0$و $T_F=\frac{(T_H+T_C)}{2}$برای مسیر برگشت پذیر انتخاب شده ، انتگرال dq / T را از حالت اولیه تا حالت نهایی ارزیابی کنید. این تغییر آنتروپی خواهد بود. برای حذف بسیار تدریجی گرما از جسم داغتر در امتداد مسیر برگشت پذیر مشخص شده ، ما در اختیار داریم$dS_1=\frac{dq}{T}=\frac{MCdT}{T}$و$\Delta S_1=MC\ln{\frac{(T_H+T_C)}{2T_H}} $و$\Delta S_2=MC\ln{\frac{(T_H+T_C)}{2T_C}}$و$\Delta S=2MC\ln{\left[\frac{(T_H+T_C)/2}{\sqrt{T_HT_C}}\right]}$
انبساط برگشت ناپذیر گاز ایده آل را در یک سیلندر آدیاباتیک با یک پیستون بدون جرم و بدون اصطکاک در نظر بگیرید. حجم ، فشار و دمای گاز در ابتدا به ترتیب V0 ، P0 و T0 است. P0 همچنین فشاری است که در حالت اولیه سیستم به پیستون وارد می شود: $P_{ext}=P_0$. در یک لحظه مشخص ، ما ناگهان نیرو را در واحد سطح وارد شده به پیستون به مقدار جدید (به طور قابل توجهی پایین تر) $P_{ext}=P_F$ کاهش می دهیم و باعث می شویم تا تعادل مجدد سیستم در این مقدار جدید باقی بماند. در این سناریو ، گاز بسیار سریع و برگشت ناپذیر به حالت نهایی منبسط می شود. مرحله 1: اولین قانون ترمودینامیک را برای ایجاد وضعیت تعادل نهایی سیستم اعمال کنید. برای یک گاز ایده آل ، معادله قانون اول در این سیستم به موارد زیر کاهش می یابد:$\Delta U=nC_v(T_F-T_0)=-P_F(V_F-V_0)\tag{1}$که در آن n تعداد مول گاز است ، Cv ظرفیت حرارتی آن در حجم ثابت است و F زیرنویس به وضعیت تعادل ترمودینامیکی نهایی اشاره دارد. از قانون گاز ایده آل ،$V_0=\frac{nRT_0}{P_0}\tag{2}$و$V_F=\frac{nRT_F}{P_F}\tag{3}$و$C_v(T_F-T_0)=-R\left(T_F-\frac{P_F}{P_0}T_0\right)\tag{4}$و$T_F=\left[1-\frac{(\gamma -1)}{\gamma}\frac{(P_0-P_F)}{P_0}\right]T_0\tag{5}$و$\gamma=\frac{C_p}{C_v}=\frac{(C_v+R)}{C_v}\tag{6}$وحجم نهایی را می توان با اعمال قانون ایده آل گاز تعیین کرد:$V_F=\frac{P_0}{P_F}\frac{T_F}{T_0}V_0=\frac{P_0}{P_F}\left[1-\frac{(\gamma -1)}{\gamma}\frac{(P_0-P_F)}{P_0}\right]V_0\tag{7}$مرحله 2: منحصراً بر روی حالتهای تعادل ترمودینامیکی اولیه و نهایی سیستم تمرکز کنید.گاز ایده آل در P0 ، T0 و$V_0$مرحله دوم $P_F$و $T=T_F=\left[1-\frac{(\gamma -1)}{\gamma}\frac{(P_0-P_F)}{P_0}\right]T_0$
$V=V_F=\frac{P_0}{P_F}\left[1-\frac{(\gamma -1)}{\gamma}\frac{(P_0-P_F)}{P_0}\right]V_0$یک فرایند برگشت پذیر برای بردن سیستم از حالت اولیه به حالت تعادل ترمودینامیکی نهایی خود در نظر بگیرید. با شروع از حالت 1 ، به طور برگشت پذیر دمای گاز را در حجم ثابت V0 از دمای اولیه T0 به دمای نهایی TF تغییر دهید. این می تواند با استفاده از همان نوع رویکردی که برای تغییر درجه حرارت اجسام در قسمت اول به کار رفته است ، محقق شود. برای این تغییر برگشت پذیر ، ما$dU=nC_vdT=dq_{rev}$هنگامی که گاز در حجم $V_0$ و دمای $T_F$ قرار گرفت ، گاز را به صورت هم دما و برگشت پذیر به حجم جدید $V_F$ منبسط کنید. این امر می تواند با کاهش بسیار تدریجی فشار روی پیستون (در حالی که همزمان با افزودن گرما از یک وان دمای ثابت برای حفظ درجه حرارت در $T_F$ انجام می شود تا رسیدن به حجم نهایی$ V_F$. مرحله 4: $dq_{rev}=dW=PdV=\frac{nRT_F}{V}dV$ مرحله 4: برای مسیر برگشت پذیر انتخاب شده ، انتگرال dq / T را از حالت اولیه به حالت نهایی ارزیابی کنید. این تغییر آنتروپی خواهد بود. اگر انتگرال dq / T را برای ترکیبی از تغییرات روند برگشت پذیر توصیف شده در مرحله 3 ارزیابی کنیم ، بدست می آوریم$\Delta S=nC_v\ln (T_F/T_0)+nR\ln (V_F/V_0)\tag{8}$تعویض Eqns. 2-7 به EQN. 8 ما را قادر می سازد تا ΔS را فقط با توجه به شرایط اولیه و نسبت فشار نهایی به فشار اولیه PF / P0 (پس از دستکاری قابل توجه ریاضی) بیان کنیم: (9) $\frac{T_0\Delta S}{P_0V_0}=\frac{\gamma}{(\gamma-1)}\ln{\left[1-\frac{(\gamma -1)}{\gamma}\frac{(P_0-P_F)}{P_0}\right]}-\ln{\left[1-\frac{(P_0-P_F)}{P_0}\right]}\tag{9}$ تغییر آنتروپی از Eqn محاسبه شده است. 9 برای فرآیند برگشت ناپذیر ما ، صرف نظر از$P_F$ ، همیشه مثبت است. بنابراین ، این معادله نه تنها برای انبساط های برگشت ناپذیر بلکه برای فشرده سازی های برگشت ناپذیر نیز کاربرد دارد. اگر سمت راست Eqn را گسترش دهیم$P_F$ ، می توانیم احساس بهتری در مورد چگونگی عملکرد داشته باشیم. 9 در یک سریال تیلور در$\frac{(P_0-P_F)}{P_0}$. اصطلاح خطی در انصراف لغو می شود ، و اولین اصطلاح غیر صفر اصطلاح درجه دوم است:$\frac{T_0\Delta S}{P_0V_0}\approx \frac{1}{2\gamma}\left[\frac{(P_0-P_F)}{P_0}\right]^2+…\tag{10}$
یک محفظه عایق بندی شده سفت و سخت از حجم 2V0 را در نظر بگیرید که با یک مانع به نصف تقسیم شده است. در یک نیمه محفظه گاز ایده آل در دمای T0 و فشار P0 وجود دارد. در نیمه دیگر محفظه ، خلا وجود دارد. ناگهان مانع برداشته می شود و به سیستم اجازه می دهد تا خود به خود تعادل دوباره برقرار کند. مرحله 1: برای ایجاد حالت تعادل نهایی قانون اول ترمودینامیک را اعمال کنید از آنجا که محفظه سخت و عایق بندی شده است ، هیچ کار W روی محتویات انجام نمی شود و هیچ گرمای Q به محتویات منتقل نمی شود. بنابراین ، از اولین قانون ترمودینامیک ،$\Delta U=nC_v(T_F-T_0)=0$
این بدان معنی است که دمای نهایی TF گاز برابر با دمای اولیه آن T0 است.$T_F=T_0$از قانون گاز ایده آل نتیجه می شود که ، از آنجا که حجم دو برابر شده است ، فشار به نصف کاهش یافته است:مرحله 2: منحصراً بر روی حالتهای تعادل ترمودینامیکی اولیه و نهایی سیستم تمرکز کنید. حالت 1: گاز ایده آل در P0 ، V0 و T0 حالت 2: گاز ایده آل در P0 / 2 ، 2V0 و T0 مرحله 3: یک فرایند برگشت پذیر طراحی کنید تا سیستم را از حالت تعادل ترمودینامیکی اولیه به حالت نهایی برساند. گاز اولیه را از محفظه سفت و سخت و عایق بندی شده خارج کرده و در سیلندر با همان حجم اولیه و یک پیستون بدون اصطکاک بدون جرم قرار دهید. با قرار دادن سیلندر در تماس با یک وان دمای ثابت در T0 ، و انعطاف پذیری گاز به صورت ایزوترمی و برگشت پذیر باعث می شود تا پیستون خیلی آرام به سمت بیرون حرکت کند تا حجم نهایی 2V0 باشد. در این گسترش برگشت پذیر همدما ،$dq_{rev}=PdV=\frac{nRT_0}{V}dV$ مرحله 4: برای مسیر برگشت پذیر انتخاب شده ، انتگرال dq / T را از حالت اولیه به حالت نهایی ارزیابی کنید. این تغییر آنتروپی خواهد بود. اگر انتگرال dq / T را برای فرآیند برگشت پذیر توصیف شده در مرحله 3 ارزیابی کنیم ، بدست می آوریم: $\Delta S=nR\ln(V_F/V_0)=nR\ln(2)=\frac{P_0V_0}{T_0}\ln(2)

$
این تغییر آنتروپی البته > 0
تصویر

ارسال پست