مزیت مکانیکی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
سارا1821

نام: سارا

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۶/۱۱ - ۱۵:۰۳


پست: 7

سپاس: 1

جنسیت:

مزیت مکانیکی

پست توسط سارا1821 »

سوالم رو اصلاح میکنم
در واقع چه عاملی باعث بروز مزیت مکانیکی میشه؟ در یک اهرم مزیت مکانیکی از چه طریقی باعث میشه که با افزایش طول بازوی محرک اثر نیرو هم افزایش پیدا کنه؟
آخرین ویرایش توسط سارا1821 چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۲/۲۷ - ۱۲:۴۲, ویرایش شده کلا 1 بار
ما چیستیم؟جز مولکول های فعال ذهن زمین،که خاطرات کیهان را مغشوش میکند...

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 431

سپاس: 207

جنسیت:

تماس:

Re: گشتاور نیرو

پست توسط rohamjpl »

تمایل یک نیرو برای دوران جسمی حول یک محور، گشتاور گفته می‌شود. گشتاور معادل چرخشی نیروی خطی است از آن به عنوان لحظه ، لحظه نیرو ، نیروی چرخشی یا اثر چرخشی نیز یاد می شودهمان‌طور که نیرو موجب می‌شود تا جسمی در حرکت خطی، شتاب بگیرد، شتاب زاویه‌ای هم ناشی از وارد شدن گشتاور است.مقدار بردار گشتاور، τ، که توسط نیروی F و در طول بازویr ایجاد شده باشد،$\large \tau \: = \: F \: . \: r \: \sin ( \theta )$,زاویه بین نیرو و بازوی گشتاور θ هست.برای تعیین جهت بردار گشتاور از قانون دست راست استفاده می‌کنیم.هر گاه انگشتان دست راست در جهت وارد شدن نیرو قرار بگیرند، انگشت شست در جهت گشتاور وارد شده خواهد بود$\large \overrightarrow{\tau} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{F}$برای اینکه جسمی از لحاظ استاتیکی در تعادل باشد، برآیند نیروها و گشتاورهای وارد به آن جسم باید مساوی صفر باشد. برای صفر شدن مقدار برآیند گشتاورها، مجموع گشتاورها در جهت عقربه‌های ساعت باید با مجموع گشتاورها در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت برابر باشد. می‌توان این مفهوم هم ارز قانون اول نیوتن برای یک سیستم دوّار هست.در سه بعد ، گشتاور یک شبه بردار است. برای ذرات نقطه ای ، آن را با ضربدری از بردار موقعیت (بردار فاصله) و بردار نیرو می دهیم. مقدار گشتاور یک جسم صلب به سه مقدار بستگی دارد: نیروی وارد شده ، بردار بازوی اهرم اتصال نقطه ای که گشتاور در آن اندازه گیری می شود به نقطه اعمال نیرو و زاویه بین نیرو و بازوی اهرم بردارها در نمادها.از خواص محصول ضربدری نتیجه می شود که بردار گشتاور هم بردارهای موقعیت و هم نیرو عمود است. برعکس ، بردار گشتاور صفحه ای را تعریف می کند که بردارهای موقعیت و نیرو در آن قرار دارند. جهت بردار گشتاور حاصل با قانون دست راست تعیین می شود.تصویر
آیا گشتاور به اندازه نیرو مفهومی اساسی است؟در مکانیک شماره گشتاور یک مقدار اساسی نیست. این تنها وظیفه این است که توصیف کند که نیرو از کجا (خط عمل) عمل می کند. گشتاور فقط یک نیرو را از فاصله دور توصیف می کند. با توجه به یک نیروی F و یک گشتاور $\boldsymbol{\tau}$ می توانید بگویید که این نیرو در امتداد یک خط در فضا با جهت تعریف شده توسط F عمل می کند ، اما مکان با $\boldsymbol{\tau}$ تعریف شده به شرح زیر$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau} }{ \| \boldsymbol{F} \|^2 }$در واقع ، شما می توانید بردار نیرو را در هر نقطه از امتداد خط آن بکشید و مشکلی را تغییر نمی دهد ، بنابراین r محاسبه شده در بالا نقطه نزدیکترین خط به مبدا است.
ممکن است بحث در مورد تکانه زاویه ای آسان تر باشد ، زیرا گشتاور مشتق زمانی حرکت حرکت زاویه ای است ، همانطور که نیرو مشتق زمان حرکت حرکت خطی است.
تاثیر نیروهای داخلی بر گشتاور اگر جسم صلب باشد ، نیروهای داخلی نمی توانند حرکت یا سرعت جسم (خطی یا زاویه ای) را تغییر دهند.
در حالی که می توانید شی را به عنوان نیروهای داخلی مشخص مدل کنید و می بینید که این نیروها ممکن است گشتاور ایجاد کنند ، همیشه نیروهای دیگری در جهت دیگر وجود دارند که گشتاور مخالف ایجاد می کنند. در مجموع ، مجموع گشتاورهای مربوط به مرکز جرم از نیروهای داخلی صفر خواهد بود. بنابراین ، ما معمولاً چنین نیروهایی را نادیده می گیریم.گشتاور به صورت $\mathbf r\times\mathbf F$تعریف می شود که در آن r موقعیتی است که نیرو اعمال می شود و F نیرویی است که اعمال می شود.
قانون به اصطلاح اهرم می تواند از واقعیت زیر (که خود می تواند از قوانین نیوتن ناشی شود) در مورد سیستم های ذرات مشتق شود:
گشتاور خارجی خالص روی یک سیستم ذرات برابر است با سرعت تغییر حرکت کلی زاویه ای آن.$\begin{align}
\boldsymbol\tau_\mathrm{ext} = \frac{d\mathbf L}{dt}.
\end{align}$
به طور دقیق ، ، برای اینکه این درست باشد ، ذرات در سیستم باید بر اساس نیروهایی که در جهت خطوطی هستند که به آنها می پیوندند ، برهم کنش داشته باشند ، اما برای اجسام ماکروسکوپی مانند اهرم ها ، این شرط انجام می شود.اهرم یک میله متحرک است که روی یک تکیه گاه متصل یا مستقر بر روی یک نقطه ثابت قرار دارد یا قرار دارد. اهرم با اعمال نیرو در فواصل مختلف از تکیه گاه یا محوری کار می کند. محل تکیه گاه کلاس یک اهرم را تعیین می کند. در صورت چرخش اهرم ، به طور مداوم ، به عنوان یک اهرم درجه دو چرخشی عمل می کند. حرکت نقطه انتهایی اهرم یک مدار ثابت را توصیف می کند ، جایی که می توان انرژی مکانیکی را رد و بدل کرد.
در دوران مدرن ، از این نوع اهرم چرخشی به طور گسترده ای استفاده می شود. . دنده ها ، قرقره ها یا درایو اصطکاک را ببینید ، در یک طرح انتقال قدرت مکانیکی استفاده می شود. معمولاً استفاده از مزیت مکانیکی با استفاده از بیش از یک دنده (یک چرخ دنده) به شکل "ریزش" دستکاری می شود. در چنین دنده ای ، از چرخ دنده هایی که شعاع کمتری دارند و از مزیت مکانیکی ذاتی کمتری برخوردار هستند. برای استفاده از مزیت مکانیکی غیر ریزش ، استفاده از اهرم چرخشی "با طول واقعی" ضروری است. همچنین ، مشاهده مزیت مکانیکی در طراحی انواع خاصی از موتورهای الکتریکی. یک طرح "پیشرو" است.مزیت مکانیکی اهرم.
همانطور که اهرم روی تکیه گاه می چرخد ​​، نقاط دورتر از این محوری سریعتر از نقاط نزدیک به محوری حرکت می کنند. قدرت ورود و خروج از اهرم یکسان است ، بنابراین هنگام انجام محاسبات باید همان خروجی را داشته باشید. قدرت محصول نیرو و سرعت است ، بنابراین نیروهای وارد شده به نقاط دورتر از محور باید کمتر از زمانی باشد که به نقاط نزدیکتر وارد می شود. $\eta = \dfrac {\text{work done on load }}{\text{work done by effort} } = \dfrac{Ll}{Ee} = \dfrac{\left (\dfrac L E \right )}{\left (\dfrac e l \right )} = \dfrac {\text{mechanical advantage (MA)}}{\text{velocity ratio (VR)}}$
اگر a و b فاصله ای از نقطه اتکایی تا نقاط A و B باشند و اگر نیروی وارد شده به A نیروی ورودی و FB اعمال شده در B خروجی باشد ، نسبت سرعت نقاط A و B با a / b داده می شود بنابراین نسبت نیروی خروجی به نیروی ورودی یا مزیت مکانیکی توسط داده می شود${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {F_{b}}{F_{a}}}={\frac {a}{b}}.}$توان ورودی به یک چرخ دنده با گشتاور TA اعمال شده به قرقره محرک که با سرعت زاویه ای ωA می چرخد P = TAωA است.${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}.}$ نسبت نیروی مقاوم به محرک، برابر با نسبت بازوی محرک به بازوی مقاوم است. برای نشان دادن اینکه یک ابزار مکانیکی، نیرو را چند برابر کرده است، از مفهوم مزیت مکانیکی (Mechanical Advantage) استفاده می‌شود. با توجه به رابطه قبل، مزیت مکانیکی اهرم به صورت زیر قابل تعریف است.$\large MA \: = \: \frac { F_2 } { F_1 } \: = \: \frac { a } { b }$اگر بازوی محرک نسبت به بازوی مقاوم بزرگتر باشد، نیروی مقاوم هم از نیروی محرک بزرگتر خواهد بود. از سوی دیگر، اگر بازوی محرک نسبت به بازوی مقاوم کوچک‌تر باشد، نیروی مقاوم از نیروی محرک کوچکتر می‌شود.عملکرد این ماشین‌ها به موقعیت نسبی بار، تکیه‌گاه (Fulcrum) و نقطه اعمال نیرو بستگی داردتصویر
ظهور قانون اهرم.
برای دیدن اینکه این چگونه قانون اهرم را می دهد ، یک اهرم سبک اما بسیار محکم و سفت و سخت را در نظر بگیرید که با یک تکیه گاه که از یک انتها d فاصله دارد و از سر دیگر فاصله بیشتری دارد ، نمی چرخد. فرض کنید باید یک توده از انتهای آن آویزان شوید که نزدیکتر به تکیه گاه باشد.
اگر اهرم افقی باشد ، چه نیرویی F را باید در انتهای مخالف آن اعمال کنید تا متعادل شود و بنابراین جرم طرف دیگر را بالا نگه دارید؟
خوب اگر مکانی را که مبدأ اصلی با اهرم تماس می گیرد ، قرار دهیم ، بنابراین گشتاور ناشی از جرم آویزان ، $mgd$ است در حالی که نیرویی که در انتهای دیگر وارد می کنید ، دارای گشتاور مشابه$-FD$ خواهد بود. آنها علامت مخالف دارند زیرا تمایل دارند اهرم را در جهت مخالف در مورد تکیه گاه بچرخانند. از آنجا که سطح ساکن خواهد بود ، حرکت زاویه ای آن برای همه زمانها صفر باقی می ماند و واقعیت فوق نشان می دهد که گشتاورها باید به صفر برسند.
$\begin{align}
mgd - FD =0.
\end{align}$
نتیجه می شود که
$\begin{align}
F = \frac{d}{D}mg,
\end{align}$
بنابراین هرچه قسمت اهرم را در طرف مقابل که جرم آویزان است بسازید ، در مقایسه با طول بخشی که در آن آویزان است ، یعنی هرچه نسبت d / D را کوچکتر کنید ، نیروی F کمتر است شما نیاز به اعمال می شود. در واقع ، هر اندازه که m بزرگ باشد ، اگر سطح آن به اندازه كافی باشد ، می توانید نیرویی را كه لازم است اعمال كنید تا آن را نگه دارید تا آنجا كه می خواهید كوچك باشد! این قانون اهرم است!
آیا در صورت عدم وجود گشتاور خارجی ، تکانه زاویه ای همیشه حفظ می شود؟
اگر گشتاور خالص روی یک سیستم ذرات صفر باشد ، و اگر فعل و انفعالات بین ذرات سیستم در امتداد خطوطی باشد که به آنها می پیوندند ، کل حرکت زاویه ای سیستم حفظ می شود.
اثبات در زمینه مکانیک کلاسیک در زیر است.
برای توپ روی مثال رشته ، اگر فقط توپ را در نظر می گیرید ، یک گشتاور خارجی روی توپ وجود دارد: آن رشته. یک نکته ظریف این است که اگر مبدأ مختصات خود را مرکز دایره ای که دور آن می چرخد ​​انتخاب کنید ، در این صورت گشتاوری وجود ندارد و حرکت زاویه ای توپ در حقیقت حفظ می شود. با این حال ، اگر یک نقطه متفاوت را به عنوان مبدا انتخاب کنید ، اینگونه نیست که بردار موقعیت همیشه در امتداد خط بردار کشش باشد و بنابراین یک گشتاور غیر صفر وجود دارد. به یاد داشته باشید که هنگام محاسبه حرکت زاویه ای و گشتاور ، برای سازگاری هر دو باید از مبدأ مشابه استفاده کنید.
برای مثال مدار ، شما باید سیستم متشکل از هر دو سیاره را در نظر بگیرید ، پس هیچ گشتاور خارجی بر روی این سیستم وجود ندارد و تکانه زاویه ای کل حفظ می شود.اثبات

بگذارید$m_i$ جرم ذره i را نشان دهد و$\mathbf x_i$ موقعیت ذره i را نشان دهد ، سپس حرکت کلی زاویه ای سیستم به صورت زیر تعریف می شود:
$\mathbf L = \sum_i \mathbf x_i\times\mathbf (m_i \dot{\mathbf x}_i)$
گرفتن یک مشتق زمان می دهد
$\dot{\mathbf L} = \sum_i\Big(m_i\dot{\mathbf x}_i\times\dot{\mathbf x_i} + \mathbf x_i\times(m_i\ddot{\mathbf{x}}_i)\Big) = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i$
جایی که$\mathbf F_i$ نیروی خالص روی هر ذره است. اکنون نیروی حاصل از هر ذره را به نیروی خارجی خالص$\mathbf F_i^e$ و نیروی خالص ناشی از سایر ذرات موجود در سیستم تقسیم کنید
$\mathbf F_i = \mathbf F_i^e + \sum_j \mathbf f_{ij}$
که در آن$\mathbf f_{ij}$ نشان دهنده نیروی وارد شده بر ذره i در اثر ذره j است. پس ما داریم
$\dot{\mathbf L} = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i^e + \sum_{ij}\mathbf x_i\times\mathbf f_{ij}$
طبق قانون سوم نیوتن ، ما $\mathbf f_{ij} = -\mathbf f_{ji}$ داریم که باعث می شود آخرین جمع از بین برود ، به شرطی که فعل و انفعالات بین ذرات در امتداد خطوط اتصال آنها باشد ، ما با
$\dot{\mathbf L} = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i^e$
که در آن عبارت در سمت راست دقیقاً گشتاور خارجی خالص روی سیستم است.
توجه داشته باشید. این فرض لازم که فعل و انفعالات بین ذرات باید در امتداد خطوط متصل به آنها نشان داده شود ، اغلب منطقی است زیرا در سیستم های مکانیکی کلاسیک در دنیای واقعی ، این نیروها غالباً کولن یا فعل و انفعالات گرانشی هستند که دارای این ویژگی هستند
تصویر

نمایه کاربر
M_J1364@yahoo.com

نام: م. ج. معروف به گُربه ی زَبّادی

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۰/۹/۲۴ - ۱۱:۴۹


پست: 1329

سپاس: 493

جنسیت:

تماس:

Re: مزیت مکانیکی

پست توسط M_J1364@yahoo.com »

سارا1821 نوشته شده:
سه‌شنبه ۱۳۹۹/۱۲/۲۶ - ۲۲:۵۸
سوالم رو اصلاح میکنم
در واقع چه عاملی باعث بروز مزیت مکانیکی میشه؟ در یک اهرم مزیت مکانیکی از چه طریقی باعث میشه که با افزایش طول بازوی محرک اثر نیرو هم افزایش پیدا کنه؟
برای من پاسخ به این سؤالتون یه خرده سخته ولی فکر کنم علت باید توی پایداری ساختار خود اهرم باشه. فرض کنید اهرمی به جرم $m$ در غیابِ میدانِ گرانشی با سرعت زاویه ایه ثابتِ $\omega$ به دو گردوی کوچیک که در فواصل $r_1$ و $r_2$ از مرکز دوران قرار دارن برخورد می کنه. خوب انتظار داریم که گردویی که دورتره راحت تر بشکنه. یه توجیهی برای این موضوع به ذهنم رسیده که شاید نادقیق باشه ولی بی ربط هم به نکته ای که رهام مطرح کرد نیست. وقتی اهرم به گردو یا گردوها برخورد کنه متوقف میشه و با استفاده از تغییرات تکانه در واحد زمان می تونیم نیروی وارد بر هر گردو رو حساب کنیم. طبقِ تعریفِ تکانه، تکانه ی اون قسمتی از اهرم که با گردو برخورد می کنه احتمالاً میشه $p=mv$ که $m$ کل جرم اهرمه ولی $v$ فقط سرعت اون قسمتی از اهرمه که با گردوی مربوطه برخورد می کنه. چون اهرم با سرعت زاویه ای ثابت می چرخه داریم $v=r\omega$. برای محاسبه ی نیرو باید از تکانه نسبت به زمان مشتق بگیریم. بنابراین، نیروی وارد بر گردو توی یه فاصله ی دلخواهِ $r$ میشه:
اهرم-هوپا.png
اهرم-هوپا.png (5.86 کیلو بایت) مشاهده 292 مرتبه
$$F=\frac{dp}{dt}=\frac{d(mr\omega)}{dt}=m\omega\frac{dr}{dt}$$
ولی چون $dr/dt$ همون سرعت خطیه اهرم در نقطه ی برخورده یعنی $dr/dt=r\omega$، پس در نهایت داریم:
$$F=m\omega^2 r$$
چون هم جرم اهرم و هم سرعت زاویه ایش ثابته، نیروی وارده فقط به فاصله ی گردو از مرکز دوران ($r$) وابسته ست و هر چقدر گردو دورتر باشه نیرو بیشتره و در نهایت، گردو راحت تر میشکنه. اما این در حالتیه که ما تغییر تکانه داشته باشیم ولی در حالتی که تغییر تکانه نداریم یا نامعلومه (مثل وقتی که همین آزمایش رو در حضور میدان گرانشی انجام بدیم و در عوض، سرعت زاویه ایِ اهرم رو صفر کنیم. یعنی اهرم رو آروم روی گردوها رها کنیم ببینیم اهرم تحت وزنِ خودش کدوم گردو رو زودتر می شکونه) دیگه روش بالا به نظر ناکارامد میاد. اون ابهامی هم که راجع به استدلالم وجود داره اینه که دقیقاً نمی دونم آیا توی محاسباتم تمامِ جرم اهرم وارد عمل میشه یا بخشیش. یعنی نمی دونم باید به جای $m$ بذارم $m/2$ یا مثلاً $2m/3$ یا ... ولی اونچیزی که معقول به نظر میاد اینه که این سهم از جرم مستقل از محل گردوئه. در ضمن، برای درک بهترِ آزمایش، بهتره که آزمایش رو با یه گردو انجام بدیم نه با دوتا همزمان، چون وقتی دوتا گردو رو همزمان قرار بدیم، سه تا تکیه گاه در لحظه ی برخورد ظاهر میشه که توزیع نیروها رو می تونه به هم بزنه.

حالا اگه سرعت های خطیهِ روی اهرم از $v=r\omega$ پیروی نکنه، اونوقت باید توی خودش تنش های عمود بر راستای اهرم رو هم تحمل کنه که شکل اهرم رو می تونه به هم بریزه یا اون ها رو نسبت به هم دچار شتاب کنه. برای همین، ما با فرض اینکه اهرم تقریباً مستقیم باقی می مونه، محاسباتِ بالا رو انجام دادیم. یا به عبارتی، چون اهرم تمایل داره که راستای خودش رو حفظ کنه، نیرو هایی که به اجسام وارد می کنه به صورت خطی به فاصله از محور اهرم وابسته ست.

ارسال پست