گشتاور از انتخاب نقطه چرخش مستقل است؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 444

سپاس: 221

جنسیت:

تماس:

گشتاور از انتخاب نقطه چرخش مستقل است؟

پست توسط rohamjpl »

آیا گشتاور یا ممان کوپل از انتخاب نقطه چرخش مستقل است؟
گشتاور توسط $\tau =\vec r\times\vec F$ داده می شود. این به $\vec r$ بستگی دارد ، که بردار موقعیت از محور چرخش تا نقطه ای است که نیرو اعمال می شود.
یک زوج به این صورت تعریف می شود: "دو نیروی موازی با همان اندازه اما در جهت مخالف که با فاصله عمود d از هم جدا شده اند" و ممان کوپل این است: F ∗ d. در طرح راست نقاط F1 ، F2 B ، A هستند و با فاصله r = 2m (بازوی اهرم) از نقطه چرخش Oتکیه گاه (Fulcrum اهرم) فاصله دارند.
در طرح سمت راست بزرگی ممان کوپل F1 ، F2 حاصل F (6 N) با فاصله d (4 m) = 24 Nm است. بزرگی مجموع بزرگی گشتاورهای 12 + 12 (N) است. نقطه چرخش O ذکر نشده است اما در وسط قرار دارد. لحظه زوج در سمت راست معادل گشتاور است که دو برابر پیکان سیاه است (12 * 2)همانطور که در طرح سمت چپ مشاهده می کنید ، r فاصله بین نقطه ای است که نیرو وارد می شود P و تکیه گاه (F) یا نقطه چرخش O: مرکز دایره دارای شعاع r است. با گفتن اینکه "گشتاور به r بستگی دارد" شما به طور ضمنی می گویید که به انتخاب نقطه چرخش بستگی دارد. انتخاب شعاع ، محور چرخش را تعیین می کند و بالعکس ادعای شما مبنی بر اینکه "گشتاور یا لحظه زوج مستقل از انتخاب نقطه چرخش" درست است یا فقط (1) از یک سیستم نیروهای positions$\vec{F}_i$ در موقعیت های$\vec{R}_i$ من جمع می شود یا هیچ (2) شما مرکز محاسبه گشتاور خود را در امتداد یک بردار موازی با هر نیروی خالص غیر صفر. در غیر این صورت ادعای شما درست نیست.
دلیل اساسی صحت ادعای شما در مورد نیروی خالص مورد ، به سادگی توزیع محصول متقابل بر جمع بردار و بیلیان بودن کالای متقابل است: اگر مرکز محاسبه گشتاور خود را از موقعیت $\vec{0}$ به موقعیت $\vec{\mathscr{R}}$ تغییر دهیم ، گشتاور می شود:تصویر
$\sum\limits_i(\vec{R}_i-\vec{\mathscr{R}})\times \vec{F}_i = \sum\limits_i\vec{R}_i\times \vec{F}_i-\sum\limits_i\vec{\mathscr{R}}\times \vec{F}_i=\sum\limits_i\vec{R}_i\times \vec{F}_i-\vec{\mathscr{R}}\times \sum\limits_i\vec{F}_i$
و اصطلاح دوم در سمت راست افت می کند اگر $\sum\limits_i\vec{F}_i=0$یا $\vec{R}$موازی با نیروی خالص است.بنابراین پاسخ به سوال در اصل یک جواب کاملاً جبری است ، سپس اینquestionمطرح می شود که چرا گشتاور را به این ترتیب تعریف می کنیم و پاسخ آن این است که گشتاور نرخ زمان تغییر حرکت زاویه ای را تعریف می کند و مقدار دوم مفید است زیرا (1) به یک معادله ساده منجر می شود - قانون دوم اولر - که توصیف تکامل زمانی سرعت زاویه ای یک جسم در صورت سفت و سخت بودن جسم است و (2) در غیاب گشتاور حفظ می شود. مقدار محافظت شده از حرکت زاویه ای از ملاحظات تقارن بسیار اساسی ناشی می شود - این واقعیت که در صورت چرخش محورهای مختصات ما ، قوانین فیزیکی ما تغییر نمی کند: برای جزئیات بیشتر به پاسخ من در اینجا و اینجا مراجعه کنید.او از تعریف "گشتاور" و کوپل پیروی می کند و یک مسئله ساده از هندسه است.تصویر
در شکل ، یک زوج به دیسک با قطر D. اعمال می شود. به این معنی که یک نیروی F به دو طرف دیسک وارد می شود. گشتاور ناشی از این کوپل:$\tau = F\times d_1 + F\times d_2$
جایی که d1 و d2 فاصله تا نقطه (دلخواه) O باشد.
سوال شما این است: چرا این نکته دلخواه است؟
این امر صرفاً به این دلیل است که فاصله بین دو نیرو از نقطه O مستقل است.$D = d_1 + d_2$و$\tau = F\times d_1 + F\times d_2$و$\tau = F\times (d_1 + d_2)$و$\tau = F\times D$
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 444

سپاس: 221

جنسیت:

تماس:

Re: گشتاور از انتخاب نقطه چرخش مستقل است؟

پست توسط rohamjpl »

من کارایی گشتاور در یک بازوی را میاورم
یک مقدار مهم برای توصیف پویایی یک بدنه سفت و سخت چرخشی ، گشتاور است. ما در جهان خود از بسیاری جهات شاهد استفاده از گشتاور هستیم. همه ما در مورد گشتاور یک شهود داریم ، مانند زمانی که از آچار بزرگ برای باز کردن پیچ و مهره سر سخت استفاده می کنیم. گشتاور از راه های غیبی در حال کار است ، مانند زمانی که ما روی اتومبیل گاز فشار می دهیم و باعث می شود موتور گشتاور بیشتری را روی قطار محرک وارد کند. یا هر بار که بدن خود را از حالت ایستاده حرکت می دهیم ، یک گشتاور به اندام های خود وارد می کنیم. در این بخش ، ما گشتاور را تعریف می کنیم و برای معادله محاسبه گشتاور برای یک جسم سخت با چرخش محور ثابت استدلال می کنیم.یک سیستم مختصات XYZ کهForce F در صفحه XY اعمال می شود و موازی محور X است. بردار r در صفحه XY قرار دارد. این از مبدا منشأ سیستم مختصات شروع می شود و در ابتدای بردار F. به پایان می رسد بردار برای گشتاور از نقطه تقاطع بردارهای r و v شروع می شود. عمود بر صفحه XY است و به جهت Z اشاره شده است.
معادله ساده برای محاسبه گشتاور موتور مورد نیاز$\tau_{\mbox{min}} = \tau_{\mbox{dynamic}} + \tau_{\mbox{static}_\mbox{max}} \\$که$\tau_{\mbox{static}_\mbox{max}} = mgL \\$و$\tau_{\mbox{dynamic}} = I\alpha \\$ جایی که g ثابت جاذبه$9.81\mbox{m/s}^2$ است ، I ممان اینرسی و α شتاب زاویه ای است. اینها را می توان بیشتر تعریف کرد:$I = mL^2 \\
\alpha = \frac{\omega_{\mbox{desired}}}{t_{\mbox{desired}}}$ جایی که$t_{\mbox{desired}}$ مدت زمانی است که می خواهید موتور از توقف به سرعت کامل برسد و L و ω به ترتیب طول بازو و سرعت چرخش شما بر حسب متر و rad / s است.بنابراین ، همه اینها را کنار هم قرار دهید:$\tau_{\mbox{min}} = (mL^2)(\frac{\omega_{\mbox{desired}}}{t_{\mbox{desired}}}) + mgL$ قدرت مورد نیاز برای دستیابی به این گشتاور ، لحظه ای قبل از توقف شتاب ، هنگامی که سرعت بالایی دارید به اوج خود می رسد. این قدرت توسط:$P = \tau \omega \\$ لطفا توجه داشته باشید که این حداقل تئوری است. در واقع شما به گشتاور بیشتر (و در نتیجه قدرت بیشتر) نیاز خواهید داشت زیرا بازو بدون جرم نیست و بار شما یک جرم نقطه ای نیست ، اما مهمتر از همه این است که هر جعبه دنده ای را برای رسیدن به 10 دور در دقیقه استفاده می کنید ، اینرسی و تلفات اصطکاکی قابل توجهی را ایجاد می کند. حداقل آنچه را که این محاسبات به شما می دهد به عنوان حاشیه عملکرد حداقل دو برابر می کنم.از آنجا که بازو در یک صفحه عمودی قرار دارد ، مطمئناً برای مقابله با گشتاور گرانشی ، گشتاور موتور لازم است. از آنجا که این یک بازوی ساده 1DOF با اتصال دوار است ، گشتاور گرانشی است $\tau_{g} = mglcos(\theta)$
اگر گشتاور مورد نیاز باید دقیقاً محاسبه شود ، اصطکاک مفصل نیز باید تخمین زده شود. به طور کلی ، اصطکاک مفصل خطی فرض می شود ، اگرچه یک رفتار غیرخطی پیچیده را در سرعت های پایین نشان می دهد ، در نظر گرفتن یک عملکرد خطی متشکل از اصطکاک کولن و اصطکاک چسبناک یک فرض منطقی است. به دلیل این دو اصطلاح اصطکاک ، دو پارامتر جدید بوجود می آیند که عموماً به صورت آزمایشی تخمین زده می شوند $\tau_{f} = b_{c} + b_{v}\dot{\theta}$ τf = bc + bvθ˙
کجا $b_{c}$ - ضریب اصطکاک کولن ؛ $b_{v}$ - ضریب اصطکاک ویسکوز
همچنین ، اینرسی پیوند خود به گشتاور تولید شده کمک می کند. با این وجود ، گشتاور اینرسی در صورت چرخش با سرعت زاویه ای ثابت صفر خواهد بود.
$\tau_{I} = I\alpha$ کجا ، I - اینرسی پیوند در مورد محور چرخش ؛ α - شتاب زاویه ای مفصل .از این رو ، کل گشتاور مورد نیاز خواهد بود$\tau_{T} = \tau_{g} + \tau_{f} + \tau_{I}$
برای انجام محاسبات فوق ، باید موقعیت مشترک ، سرعت و مسیر شتاب تصمیم گرفته و ارزیابی شود که در اصطلاح رباتیک به عنوان برنامه ریزی مسیر نامیده می شود. روش محاسبه گشتاور از مسیرهای مشترک به عنوان دینامیک معکوس نامیده می شود.
از آنجا که این یک بازوی 1DOF ساده بود ، گشتاور با معادلات ساده ارزیابی شد. با این حال ، برای بازوهای بزرگ DOF ، برای محاسبه سیستماتیک گشتاور ، از تکنیک هایی مانند اویلر-نیوتون به طور کلی استفاده می شود.
معنی جهت گشتاور بنابراین گشتاور ، از نظر ریاضی ، محصول متقاطع بردار فاصله شعاعی و بردار نیرو است. این محصول متقابل بردار دیگری را می دهد که به هر دو بردار متعامد است و یا به بیرون یا به سمت "صفحه" (در متن نمودار دو بعدی) اشاره دارد.
با فرض درست بودن این موضوع ، من نمی فهمم که اشاره یا بیرون آوردن به چه معناست. آیا حتی معنی جسمی و شهودی دارد؟
بهترین پاسخی که من توانسته ام ارائه دهم این است که این فقط یک قرارداد ریاضی است و معنای واقعی فیزیکی ندارد ، به منظور ارائه چارچوبی است که در آن عملیات بین بردارهای گشتاور ، مانند جمع و تفریق ، منطقی است.گشتاور از طریق قانون دوم اویلر با حرکت زاویه ای ارتباط نزدیکی دارد. یعنی گشتاور و حرکت زاویه ای مربوط به حرکت چرخشی است. و چرخش ها ، به طور کلی ، با صفحاتی مشخص می شوند که آنها با زاویه چرخش هر یک از این صفحات چرخانده می شوند. در سه بعد ، صفحه چرخش را می توان با یک بردار منفرد - یعنی بردار متعامد صفحه تعریف کرد. بنابراین ما مفهوم چرخش "محور" را داریم ، اما این کلی نیست ، فقط یک خط اتفاق می افتد که زیر فضای یک فضای بردار سه بعدی باشد که با صفحه چرخش متعامد باشد. در ابعاد فضایی چهار و بالاتر N ، مفهوم محور معنایی ندارد: نه تنها یک محورصفحه را مشخص نمی کند (فضای متعامد یک صفحه از بعد N − 2 است) ، بلکه چرخش کلی نیز چندین صفحه را می چرخاند (بالا بزرگترین عدد كوچكتر از N / 2 و برابر آن).
بنابراین اطلاعات "واقعی" مشخص کننده یک چرخش سه بعدی "bivector" A∧B است ، جایی که A ، B بردارهای خطی مستقلی هستند که صفحه را تعریف می کنند ، و bivector یک "صفحه" انتزاعی است درست مانند "بردار" یک انتزاعی "خط" کارگردانی شده است. محصولات کراس در سه بعد در واقع برش دهنده هستند ، بردار نیستند ، اما ما می توانیم به سه بعدی فکر کنیم.باید درباره منشا گشتاور فکر کنید. به عنوان نرخ تغییر حرکت زاویه ای:$\textbf{N} = \frac{d\textbf{L}}{dt},$ اکنون این واقعیت نسبت به صفحه حاوی بردار موقعیت و بردار نیرو متعامد است ، نتیجه مستقیم تعریف حرکت حرکت زاویه ای است$\textbf{L} = \textbf{r} \times \textbf{p}$
جایی که p حرکت خطی است. بنابراین می توان گشتاور را به عنوان بردار در حال حرکت زاویه ای دید.این همان جایی است که من ادعا می کنم این یک قرارداد نیست ، بلکه یک الزام است که حرکت زاویه ای و از این رو گشتاور عمود بر صفحه قرار داشته باشد. تصور کنید می توانید آن را به روشی دیگر تعریف کنید ، جایی که عمود بر این صفحه قرار نگیرد ، برای یک حرکت زاویه ای ثابت (به عنوان مثال بدون گشتاور) بردار حرکت زاویه ای باید با سیستم بچرخد و ثابت نباشد! به همین دلیل ، انتخاب اصطلاحاً در واقع یک انتخاب یا قرارداد نیست بلکه سیستم را توصیف می کند.این تفسیر شخصی خودم است ، بنابراین من ادعا نمی کنم که آن را از هر نظر دقیقاً درست می دانم.وقتی به من در مورد گشتاور آموختند ، بنظر می رسید که بر خلاف سایر کمیتها - نیرو ، سرعت و غیره هیچ اهمیت فیزیکی ندارد. من بعد از تجزیه و تحلیل شهود خود را در مورد گشتاور ایجاد کردم. فکر می کنم جهت گشتاور نشان دهنده محوری است که جسم در اطراف آن می چرخد. همچنین جهتی که انگشتانمان را حلقه می کنیم (در قانون انگشت شست دست راست) نشانگر چرخش جسم در اطراف محور است.تصویر گشتاور خط عمل نیرو را به ما می دهد.
بردار نیرو F میزان نیرو و همچنین جهتی را که بر اساس آن عمل می کند به ما می دهد. چیزی که به ما نمی دهد ، موقعیتی است که در فضا اعمال می شود. این خط عمل همانطور که گفته می شود فقط از گشتاور این نیرو تولید می شود $\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$.یک نقطه از خط نزدیکترین فاصله به محل مرجع که گشتاور در آن اندازه گیری می شود ، پیدا می شود$\boldsymbol{r}_{\rm action} = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau}}{ \| \boldsymbol{F} \|^2} \tag{1}$ بزرگی گشتاور اندازه گیری فاصله عمود تا خط عمل است و جهت گشتاور هم به جهت نیرو و هم به محل خط عمل عمود است. همچنین نشان می دهد که جهت حرکت یک خط چرخش یک جهت است. همانطور که در پاسخ های پیوند داده شده در زیر نشان داده شده ریاضی یکسان است.همانطور که گشتاور نیروی F واقع در r $\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$ است ، سرعت یک چرخش سخت در اطراف r نیز $\boldsymbol{v} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}$ است. اگر می توانید میدان سرعت یک جسم چرخان را درک کرده و تجسم کنید ، می توانید میدان گشتاور یک بردار نیرو را درک و تجسم کنید$\require{cancel} \begin{aligned}
\boldsymbol{\tau}_{\rm action} & = \boldsymbol{\tau} - \boldsymbol{r}_{\rm action} \times \boldsymbol{F} \\
& = \boldsymbol{\tau} - \frac{(\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau})}{\| \boldsymbol{F} \|^2} \times \boldsymbol{F} \\
& = \boldsymbol{\tau} - \frac{ \boldsymbol{\tau}(\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{F}) - \boldsymbol{F} (\cancel{ \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{F}}) }{\| \boldsymbol{F} \|^2} \\
& = \boldsymbol{\tau} - \frac{ \boldsymbol{\tau} \| \boldsymbol{F}\|^2}{\| \boldsymbol{F} \|^2} = \boldsymbol{0}
\end{aligned}$ پس گشتاور ، ممان یا ممان نیرو گرایش نیرو به چرخش یک جسم در مورد یک محور ، 1 تکیه گاه یا محور است. همانطور که نیرو یک فشار یا یک فشار است ، می توان گشتاور را به عنوان پیچش به یک جسم در نظر گرفت. از نظر ریاضی ، گشتاور به عنوان محصول متقاطع بردار تعریف می شود که توسط آن نقطه اعمال نیرو نسبت به نقطه تعلیق ثابت (بردار فاصله) و بردار نیرو که تمایل به ایجاد چرخش دارد ، جبران می شود.آ، گشتاور اندازه گیری نیروی چرخش روی جسمی مانند پیچ و مهره است. به عنوان مثال ، با فشار دادن یا کشیدن دسته آچار متصل به مهره یا پیچ ، یک گشتاور (نیروی چرخش) ایجاد می شود که مهره یا پیچ را سست یا محکم می کند.تصویر
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 444

سپاس: 221

جنسیت:

تماس:

Re: گشتاور از انتخاب نقطه چرخش مستقل است؟

پست توسط rohamjpl »

اگر اشتباه نکنم ، گشتاور عمود بر شعاع و نیروی i است. در امتداد محور چرخش است. سو الاتی که مطرح می شود این است که - چرا هنگام محاسبه گشتاور ، طول بین محور / نقطه چرخش را در نظر می گیریم؟ مهمتر اینکه چرا گشتاور یک محصول متقابل است؟اما ابتدا سوالم در مورد اینکه چرا بازوی اهرم در معادلات ظاهر می شود. به طور غیررسمی ، ما باید طول را محاسبه کنیم زیرا بازوی اهرمی بلندتر به شما مزیت مکانیکی بیشتری می بخشد. خودتان می توانید این را با آچار تست کنید. سعی کنید پیچ ​​و مهره ای را که آچار را نزدیک به سر بالا نگه داشته اید محکم کنید ، سپس آچار را در انتهای آن بیشتر بیرون نگه دارید و یک بازوی اهرم بلندتر به خود بدهید و سعی کنید آن را محکم کنید. اگر بازوی اهرمی بلندتری داشته باشید ، می توانید پیچ ​​را خیلی بهتر محکم کنید.
همانطور که برای یک توضیح ریاضی ، شما می توانید آن را با استفاده از حفظ حرکت و حرکت زاویه ای نشان دهید. هر سناریویی را با استفاده از نیروها بسازید و نشان دهید که حرکت حفظ شده است (باید باشد!). اکنون ، هر نقطه را به عنوان "مرکز" چرخش خود انتخاب کرده و گشتاورها را محاسبه کنید. خواهید دید که حرکت زاویه ای حفظ شده است. اگر گشتاور را بدون مدت شعاع تعریف کنید ، متوجه می شوید که تکانه زاویه ای حفظ نمی شود. در حقیقت ، معلوم می شود که اگر نیرو داشته باشید و از حرکت حرکت کنید ، همیشه می توانید گشتاور و حفظ حرکت زاویه ای را بدست آورید. و اگر گشتاور دارید و از شتاب زاویه ای محافظت می کنید ، همیشه می توانید نیروها و حفاظت از حرکت را بدست آورید! آنها به نوعی دوتایی های یکدیگر هستند.گشتاور به صورت $\quad\vec{\tau}=\frac{d\vec{J}}{dt}$ تعریف می شود که در آن $\vec{J}$حرکت زاویه ای جسم است. تکانه زاویه ای به صورت $\vec{J}=\vec{r}\times \vec{P}$تعریف می شود. سپس$\vec{\tau}=\frac{d\vec{J}}{dt}=\frac{d(\vec{r}\times \vec{P})}{dt}=\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{P}+\vec{r}\times\frac{d\vec{P}}{dt}$اما$\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{P}=\frac{d\vec{r}}{dt}\times m\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}\times m\frac{d\vec{r}}{dt}=0$ پس$\vec{\tau}=\vec{r}\times\frac{d\vec{P}}{dt}=\vec{r}\times\vec{F}$ دلیل واقعی این امر در جنبش حرکتی چرخش نهفته است (یعنی درجات آزادی چیست و چگونه می توان آنها را توصیف کرد).
ایده اصلی منطقی در اینجا این است که ، در ابعاد D ، یک بدن صلب دارای $\frac{D(D+1)}{2}$ درجه آزادی $\frac{D(D-1)}{2}$ چرخشی و انتقالی است. اگر فعلاً نگران درجه آزادی حرکتانتقالی نیستید ، می توانید با استفاده از جبر خطی اساسی استدلال کنید که حرکت سفت و سخت اقلیدسی را می توان با استفاده از ماتریس های متعامد توصیف کرد (به عنوان مثال اگر در یک قاب اینرسی نشسته اید و از مختصات دکارتی استفاده می کنید). در ابعاد فضایی فرد ، این می تواند به عنوان چرخش جسم در اطراف برخی از محورها (به عنوان مثال در 3D) در حال عبور از نقطه ثابت تصور شود .
بعلاوه ، بعداً معلوم می شود که می توان چرخشهای بی نهایت کوچک را با استفاده از ماتریسهای غیر متقارن واقعی توصیف کرد (با یک اصطلاح واضح ، یکی می گوید که جبر دروغ ماتریسهای متعامد توسط ماتریسهای غیر متقارن واقعی پوشانده می شود). اجزای این ماتریس تانسور سرعت (زاویه ای) - توجه داشته باشید تعداد components مستقل $\frac{D(D-1)}{2}$ عدد است كه $\frac{D(D-1)}{2}$ درجه چرخش آزادی را منعكس می كند. اگر از پویایی این اجزا مطلع باشید ، قادر خواهید بود جهت بدنه صلب را پیش بینی کنید.
آنچه شما واقعاً به دنبال آن هستید معادلات چرخشی $\frac{D(D-1)}{2}$ برای توصیف تانسور سرعت زاویه ای است. شما می توانید این کار را با استفاده از قوانین نیوتن یا اصل D'Alembert's انجام دهید (با توجه به این واقعیت که بدن صلب فقط می تواند به روش های خاصی حرکت کند که درجات آزادی مجاز است). در هر صورت به معادله خواهید رسید$\frac{d}{dt}L_{ij} = \tau_{ij},$
جایی که $L_{ij} = \sum m(x_i p_j - x_j p_i)$ و$\tau_{ij} = x_i F_j - x_j F_i$. در اینجا$L_{ij}$ به نام تانسور دکارتایی حرکت حرکت زاویه ای و $\tau_{ij}$ به عنوان گشتاور (همچنین تانسور دکارتی) نامیده می شود. در مکانیک نیوتنی ، این یک فرض اضافی را شامل می شود که نیروهای داخلی در جسم صلب بین دو ذره در امتداد خطی است که به آنها می پیوندد و بنابراین به گشتاور جسم صلب کمک نمی کند. یکی از آنها اغلب معادلات حرکت را به صورت زیر می نویسد:$\frac{d}{dt}L_{ij} = \tau_{ij}^{\text{ext}},$
به این معنی است که فقط گشتاورهای خارجی مهم هستند.
، این اساساً معادل زبان ظریف تری از اشکال دیفرانسیل است (که به طور طبیعی با یک ساختار ضد متقارن مجهز هستند).
در 3 بعد اتفاق می افتد که معادله فوق ، که یک معادله تنسور دکارسی مرتبه دوم از سنسورهای ضد متقارن است ، می تواند به عنوان یک معادله برداری بر حسب Hodge dual (با فرض متریک اقلیدسی در فضا) بیان شود. نتیجه این است که یکی از شبه بردار حرکت زاویه ای و شبه بردار گشتاور صحبت می کند.چرخش بدن را با یک نقطه ثابت در 3D در نظر بگیرید. می توان میدان سرعت را v = ω × r تعریف کرد ، جایی که ω سرعت زاویه ای است (شبه برداری) و مبدأ سیستم مختصات در نقطه ثابت قرار دارد.
انرژی جنبشی جسم توسط$K = \sum \frac{1}{2} m (\mathbf{\omega}\times \mathbf{r})^2.$ و سرعت تغییر انرژی جنبشی به سادگی ،$\frac{d}{dt} K = \sum \Bigg[m \frac{d}{dt} (\mathbf{\omega}\times \mathbf{r})\Bigg] \cdot (\mathbf{\omega}\times \mathbf{r}) = \sum \Bigg[m \frac{d}{dt} \big[\mathbf{r}\times(\mathbf{\omega}\times \mathbf{r})\big]\Bigg] \cdot {\omega} = \frac{d}{dt} \mathbf{L} \cdot \mathbf{\omega}$
توان تولید شده توسط نیروهای خارجی برابر با$P=\frac{d}{dt} K$ است ،$\frac{d}{dt} \mathbf{L} \cdot \mathbf{\omega} = \sum \mathbf{\omega} \cdot (\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i),$اگر کسی فرض کند که نیروهای داخلی هیچ کاری انجام نمی دهند ، پس با استفاده از قضیه انرژی کار $\frac{d}{dt} \mathbf{L} \cdot \mathbf{\omega} = \sum \mathbf{\omega} \cdot (\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i),$که معادله حرکت را نشان می دهد ،$\frac{d}{dt} \mathbf{L} = \sum \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i.$
یک بار دیگر می بینیم که محدودیت استحکام ، که وجود ω را تضمین می کند ، منجر به تعریف های معمول حرکت و زاویه گشتاور می شود.
برداشتن محدودیت ثابت بودن هیچ نقطه ای نیز کار سختی نیست و دوباره منجر به معادلات معمول گشتاور می شود.
تصویر

نمایه کاربر
amirzarei069

نام: amir zarei

عضویت : شنبه ۱۳۹۹/۱۱/۱۸ - ۱۷:۰۳


پست: 5

سپاس: 1

جنسیت:

Re: گشتاور از انتخاب نقطه چرخش مستقل است؟

پست توسط amirzarei069 »

ممنون از توضیح شما در مورد طول بین محور نقطه چرخش را فهمیدم اما در مورد درجه آزادی که بیانگر تعداد مقادیری است که در یک محاسبه شاخص میتواند آزادانه تغییر کند
تعداد پارامتر های غیر وابسته برای مشخص کردن موقعیت یک سیستم فیزیکی
بازوی ربات دارای ۶ درجه آزادی است و قید روی یک سیستم پارامتری است که سیستم باید آن را رعایت کند مانند جعبه روی سطح شیبدار

لطفا مقداری توضیح بیشتر بدهید سپاس

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 444

سپاس: 221

جنسیت:

تماس:

Re: گشتاور از انتخاب نقطه چرخش مستقل است؟

پست توسط rohamjpl »

در فیزیک ، درجه آزادی (DOF) یک سیستم مکانیکی تعداد پارامترهای مستقلی است که پیکربندی یا حالت آن را تعریف می کند. در تجزیه و تحلیل سیستم های اجسام در مهندسی مکانیک ، مهندسی سازه ، مهندسی هوا فضا ، رباتیک و سایر زمینه ها از اهمیت برخوردار است.
موقعیت یک ریل واگن (موتور) که در امتداد یک مسیر حرکت می کند دارای یک درجه آزادی است زیرا موقعیت ماشین با فاصله در امتداد مسیر مشخص می شود. قطاری از اتومبیل های سفت و سخت که توسط لولا به موتور متصل می شوند هنوز فقط یک درجه آزادی دارند زیرا موقعیت اتومبیل های پشت موتور با شکل مسیر محدود می شود.
خودرویی با سیستم تعلیق بسیار سفت را می توان بدنه ای سفت و محکم دانست که در هواپیما حرکت می کند (یک فضای صاف و دو بعدی). این بدن دارای سه درجه آزادی مستقل است که از دو جز components ترجمه و یک زاویه چرخش تشکیل شده است. لغزش یا رانش کردن نمونه خوبی از سه درجه استقلال مستقل از اتومبیل است.
موقعیت و جهت گیری یک جسم صلب در فضا با سه جز components انتقال و سه جز components چرخش تعریف می شود ، به این معنی که شش درجه آزادی دارد.
روش طراحی مکانیکی دقیق محدودیت ، درجات آزادی را کنترل می کند تا نه دستگاه را تحت فشار قرار دهد و نه بیش از حد ، دستگاه را تحت فشار قرار دهد.در نظر بگیرید سیستمی از n اجسام صلب که در فضا حرکت می کنند دارای 6n درجه آزادی نسبت به یک قاب ثابت است. برای شمارش درجات آزادی این سیستم ، بدن ثابت را در شمارش اجسام بگنجانید ، بنابراین تحرک مستقل از انتخاب بدنی است که قاب ثابت را تشکیل می دهد. سپس درجه آزادی سیستم نامحدود N = n + 1 است${\displaystyle M=6n=6(N-1),\!}$
زیرا بدن ثابت نسبت به خودش صفر درجه آزادی دارد.
اتصالات اتصال بدنه در این سیستم باعث کاهش درجات آزادی و کاهش تحرک می شود. به طور خاص ، لولاها و لغزنده ها هر یک پنج محدودیت را اعمال می کنند و بنابراین پنج درجه آزادی را از بین می برند. تعیین تعداد محدودیتهای c که یک مفصل از نظر آزادی مفصل f اعمال می کند ، جایی که c = 6 - f مناسب است. در مورد لولا یا لغزنده که یک درجه از اتصالات آزادی هستند ، f = 1 و بنابراین c = 6 - 1 = 5 دارند.نتیجه این است که تحرک سیستمی که از n پیوندهای متحرک و اتصالات j تشکیل شده و هر کدام دارای آزادی fi ، i = 1 ، ... ، j هستند ، توسط${\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}} $ توجه کنید که N شامل پیوند ثابت است.
دو مورد خاص مهم وجود دارد: (i) یک زنجیره باز ساده ، و (ii) یک زنجیره بسته ساده. یک زنجیره منفرد متشکل از n پیوند متحرک است که از طریق n اتصال به انتهای دیگر متصل می شود ، و یک انتهای آن به یک اتصال زمین متصل است. بنابراین ، در این حالت N = j + 1 و تحرک زنجیره است${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$ برای یک زنجیره بسته ساده ، n پیوند متحرک از طریق n + 1 اتصالات از انتها به انتها متصل می شوند ، به طوری که دو انتها به پیوند زمین متصل می شوند و یک حلقه تشکیل می دهند. در این حالت ، N = j داریم و تحرک زنجیره ای است${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6}$
این یک روش معمول است که سیستم پیوند را به گونه ای طراحی می کند که حرکت همه اجسام محدود شود تا روی صفحات موازی قرار بگیرند و آنچه را که به عنوان پیوند مسطح شناخته می شود ، ایجاد کنند. همچنین می توان سیستم پیوند را طوری ساخت که همه اجسام روی کره های متحدالمرکز حرکت کنند و یک پیوند کروی تشکیل دهند. در هر دو حالت ، درجه آزادی پیوندها در هر سیستم اکنون سه و نه شش است و محدودیت های اعمال شده توسط اتصالات اکنون c = 3 - f است.${\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$
خلاصه تعریف: - حداقل تعداد متغیرها یا مختصات مستقل مورد نیاز برای تعیین موقعیت یک سیستم دینامیکی متشکل از یک یا چند ذره ، درجه آزادی نامیده می شود.برای N تعداد ذرات در حال حرکت آزادانه درD درجات فضای بعدی از طریق معادله زیر نشان داده شده است.$f=Nd$ جایی کهN تعداد ذرات است وD ابعاد ذره را نشان می دهد.اگر محدودیت هایی وجود داشته باشد$f=Nd-k$
حرکت مقید حرکتی است که به هیچ وجه نمی تواند خودسرانه پیش برود.
حرکت ذرات را می توان محدود کرد (1) همراه با برخی از مسیرهای مشخص شده (2) در سطح (صفحه یا منحنی) به طور خودسرانه در فضا جهت گیری شود.
اعمال محدودیت ها بر روی یک سیستم مکانیکی برای ساده سازی توصیف ریاضی سیستم انجام می شود.
محدودیت های بیان شده در قالب معادله $ f (x_1 ، y_1 ، z_1 ، …… ، x_n ، y_n ، z_n: t) = 0 $ محدودیت های هولوومونیک نامیده می شوند.محدودیت هایی که با این روش بیان نمی شوند ، محدودیت های غیر هولوومونیک نامیده می شوند.محدودیت های اسکلرونومی مستقل از زمان هستند.. اسکلرونومیک در جایی که روابط محدود کننده به زمان بستگی ندارد یا رئونومیک درجایی که روابط محدودیت صریحاً به زمان بستگی دارد.یا هولونومیک در جایی که روابط محدود کننده می تواند مستقل از سرعت یا غیر هولوگونیک باشد درصورتی که این روابط توابع غیرقابل کاهش سرعت باشند.گاهی اوقات حرکت یک ذره یا سیستم ذرات توسط یک یا چند شرط محدود می شود. محدودیت های حرکت سیستم را محدودیت می نامند. تعداد مختصات مورد نیاز برای تعیین سیستم دینامیکی وقتی محدودیت هایی در سیستم وجود دارد ، کوچکتر می شود. از این رو درجه آزادی یک سیستم پویا به عنوان حداقل تعداد مختصات مستقل مورد نیاز برای ساده سازی کامل سیستم همراه با محدودیت ها تعریف می شود. بنابراین اگر k تعداد محدودیت ها و N تعداد ذرات موجود در سیستم دارای حرکت در سه بعد باشد ، تعداد درجه آزادی توسط n = 3N-k بنابراین سیستم فوق دارای n درجه آزادی است.محدودیت ها ممکن است از بسیاری جهات طبقه بندی شوند. اگر شرایط محدودیت ها را می توان به عنوان معادلات اتصال مختصات ذرات و احتمالاً زمان داشتن شکل بیان کرد.f (r1 ، r2 ، …… t) = 0 سپس گفته می شود که محدودیت ها هولوگونیک هستند و ساده ترین مثال از محدودیت های هولوگونیک ، یک بدنه صلب است. در صورت حرکت بدن صلب ، فاصله بین هر دو ذره از بدن ثابت مانده و با کراوات تغییر نمی کند. اگر ri و rj بردارهای موقعیت ذرات i’th و j’th هستند ، فاصله بین ri-rj = cij محدودیت هایی که به صورت معادله قابل بیان نیستند ، غیر هولوونومیک نامیده می شوند ، هر محدودیت پیچیده ای که با چندین درجه آزادی سروکار دارد ، می تواند به دنباله ای از محدودیت های تک درجه ای ساده تر تجزیه شود.
هر محدودیت ساده یک درجه آزادی را از سیستم می گیرد و یک نیروی واکنش ناشناخته (یا گشتاور) را به آن اضافه می کند.
نیروهای محدود کننده (یا گشتاورها) انرژی را به سیستم اضافه یا از بین نمی برند. این دقیقاً تعریف محدودیت ها است زیرا آنها اجازه هیچ حرکتی موازی با نیروهای واکنش را نمی دهند.
محدودیت ها می توانند بین یک بدن واحد و محیط یا بین دو بدن وجود داشته باشند. اگر بین دو جسم باشد ، نیروهای محدود بر دو جسم برابر و مخالف هستند.
محدودیت های مسطح با یک مرکز چرخش نسبی و خط اعمال محدودیت از طریق مرکز چرخش ایده آل می شوند.
به طور خلاصه ، اگر حرکتی در امتداد یک جهت خاص مجاز باشد ، آن جهت نمی تواند بخشی از محدودیت باشد. اگر حرکت به هر طریقی محدود شود ، در این صورت محدودیتی وجود دارد و باید یک نیروی متناظر به نمودار جسم آزاد اضافه شود تا مسئله حل شود.
نحوه تبدیل 6 حرکت DOF فرض کنید دو سیستم مختصات A و B با ژیروسکوپ یا سنسور دید وجود دارد. مختصات B به طور صلبانه روی مختصات A با چرخش R و انتقال t بیان شده در سیستم مختصات جهانی سوار می شود.هنگامی که ما 6 DOF حرکت $(v_x, v_y, v_z, w_x, w_y, w_z)^T_A$ را از حسگرهای مختص A دریافت می کنیم ، سنسورهای موجود در سیستم B چه سیگنالی را می گیرند؟
هر vm و wm به معنای انتقال و سرعت زاویه ای است.
من چیزی مانند معادله زیر می خواهم:$(v_x, v_y, v_z, w_x, w_y, w_z)^T_B=f((v_x, v_y, v_z, w_x, w_y, w_z)^T_A,R,t)$
سوال گیج کننده ای درباره "درجه های آزادی"من در حال مطالعه "دینامیک تحلیلی سیستم های گسسته روزنبرگ" هستم. در فصل 4 ، او در مورد محدودیت های هولوگونیک و غیرهستون شناسی بحث کرد. در پایان فصل ، او سوالی را مطرح کرد که من را گیج کرد:
"ذره P می تواند در پایین قفس دو بعدی حرکت کند. از آنجا که موقعیت ذره را می توان با دو مختصات x و y ، یا با سه مختصات θ ، θ و ξ توصیف کرد ، به نظر می رسد که این دومین باید رابطه محدودیتی بین آنها را برآورده کند. آیا می توانید آن رابطه را پیدا کنید؟ ذرات چند درجه آزادی دارند؟ "
اگر از θ ، ϕ و ξ برای توصیف موقعیت P استفاده کنیم ، به این معنی است که P سه درجه آزادی دارد. برعکس ، به دلیل حرکت مسطح ذره P ، حداکثر دو درجه آزادی وجود دارد. متناقض به نظر می رسد. اشتباه من چیست؟اگر از θ ، ϕ و ξ برای توصیف موقعیت P استفاده کنیم ، به این معنی است که P سه درجه آزادی دارد.
تعداد درجات آزادی تعداد متغیرهایی نیست که برای توصیف یک سیستم استفاده می کنید (اجازه دهید آن را خیلی کلی بپذیریم) ، بلکه تعداد متغیرهای مستقل مورد نیاز است.
از آنجا که موقعیت ذره را می توان با دو مختصات x و y ، یا با سه مختصات θ ، ξ و ξ توصیف کرد ، به نظر می رسد که این دومین باید رابطه محدودیتی بین آنها را برآورده کند
که می تواند به صورت زیر بازنویسی شود: از آنجا که ما برای توصیف کامل موقعیت به دو متغیر نیاز داریم (x و y ، بنابراین دو درجه آزادی) ، اگر بخواهیم از سه متغیر زاویه ای استفاده کنیم ، آنها نمی توانند همه مستقل باشند و باید یک رابطه بین آنها (به طوری که مقدار یکی از زاویه ها توسط دو زاویه دیگر تعیین می شود).
یک مثال سریع اضافه کنم. فرض کنید می خواهید حرکت کودک را روی چرخ فلک توصیف کنید. قرار گرفتن در یک فضای سه بعدی ، موقعیت کودک را می توان با سه مختصات x ، y و z توصیف کرد. با این حال ، تعداد درجه آزادی در اینجا فقط 1 است ، زیرا شما برای توصیف حرکت فقط به یک متغیر نیاز دارید (به عنوان مثال زاویه نسبت به مرکز چرخ فلک).تصویر
n دو بعد ، بدون محدودیت ، قفس دارای 3 درجه آزادی است (می توانیم مختصات کلی آن را برای دو مختصات دکارتی$X_h, Y_h$ از نقطه حلق آویز ، و زاویه ϕ تعیین کنیم که جهت آن در صفحه است). از طرف دیگر ، ذره دارای 2 DOF است (ما می توانیم مختصات x و y را به عنوان مختصات عمومی در نظر بگیریم). بنابراین ، سیستم دارای پنج DOF بدون محدودیت است.
با این حال ، این سیستم دارای دو محدودیت است: i) نقطه آویزان در یک فاصله ثابت l از مبدا O است.$X_h^2+Y_h^2-l^2=0,$
و ii) ذره در پایین قفس حرکت می کند ، یعنی $(x X_h + y Y_h) \cos\phi + (y X_h-x Y_h)\sin\phi = l (b+l\cos\phi).$
اینها محدودیتهای هولوگونیک است. بنابراین ، پس از استفاده از روابط محدودیت ، سیستم دارای سه درجه آزادی است. ما می توانیم $X_h$و $y_h$ را از نظر زاویه θ بنویسیم:
$X_h = l \sin\theta,\;Y_h=l\cos\theta,$
بنابراین می توان گفت که قفس دارای دو DOF (زاویه θ و ϕ) است ، در حالی که ذره دارای یک درجه آزادی است (مختصات ξ)
$x = l \sin\theta + b\sin(\theta-\phi) +\xi \cos(\theta-\phi),\;\;
y = l\cos\theta + b\cos(\theta-\phi) - \xi \sin(\theta-\phi).$
البته ، همانطور که مختصات x با توجه به قفس تعیین می شود ، x و y به زوایای قفس بستگی دارد.
یک روش ساده تر برای تفکر: ذره در امتداد یک منحنی حرکت می کند ، بنابراین فقط یک درجه آزادی دارد. شاید ثابت بودن منحنی قابل توجه باشد ، زیرا این امر به حرکت قفس بستگی دارد ، که به نوبه خود تحت تأثیر حرکت ذره است.
تبدیل محدودیت های غیر هولوگونیک به هولوگونیک
در مورد غلتیدن دیسک بدون لغزش ، یک محدودیت $\dot{x}=a\dot{\theta}$˙ داریم که a شعاع دیسک است. توجه داشته باشید که من x و θ را به عنوان مختصات کلی در نظر گرفته ام. طبق تعریف ، این یک محدودیت غیر هولوگونیک است. با این حال ، با ادغام محدودیت ، به$x=a\theta+\phi$ می رسیم (constant یک ثابت عددی از ادغام است) ، که مشخص می شود هولوگونیک است.
در روش یافتن معادلات حرکت با استفاده از لاگرانژیان با ضریب لاگرانژی ، ما $\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i} + \lambda \frac{\partial f}{\partial q_i} = 0$ داریم که f نشان دهنده محدودیت است و $q_i$ در واقع تعمیم یافته است. هماهنگ کردن. در حالت بالا ، $q_i=\{x,\theta\}$. حال ، اگر از $f=\dot{x}-a\dot{\theta}$ به عنوان محدودیت استفاده می کردیم ، آخرین اصطلاح اویلر لاگرانژ اصلاح شده صفر بود. با این حال ، اگر از نسخه یکپارچه همان محدودیت استفاده کنیم ، اصطلاحات غیر صفر خواهیم داشت (به ترتیب λ و aλ برای x و θ به ترتیب). با کمال تعجب ، مورد آخر از نظر گلدشتاین درست است. من اینجا چه چیزی از دست می دهم؟ (من به طور خاص به مثال حلقه حلقوی پایین شیار در فصل دو گلدشتاین اشاره می کنم)
این مسئله من را به سوال کلی تری می رساند: در روش ضربی لاگرانژی ، چگونه باید رابطه محدودیت را بنویسم؟ برای نشان دادن منظور من ، محدودیت زیر را که در کلمات ارائه شده است ، در نظر بگیرید: ذره در دایره شعاع a حرکت می کند. اگر موقعیت ذره را با r (مختصات تعمیم یافته) نشان دهم ، آنگاه محدودیت r − a = 0 را حکم می کند. متناوباً ، می توانم همان $r^3-a^3=0$ را بنویسم ، که مشتق جزئی آن در رابطه با r همانند r − a = 0 نیست. نوع محدودیت غیر هولوگونیک ، Ref. 1 در این مرحله بحث می کند ، یک محدودیت به اصطلاح نیمه هولونومیک است ، که یک قید غیر هولوگونیک است که توسط یک شکل داده می شود$\omega~\equiv~\sum_{j=1}^na_j(q,t)~\mathrm{d}q^j+a_0(q,t)\mathrm{d}t~=~0. \tag{S}$
در صورت وجود محدودیت هولوگونیک$f(q,t)~=~0,\tag{H}$
(ii) یک عامل یکپارچه$\lambda(q,t)\neq 0$ و (iii) یک شکل $\eta$ به گونه ای که$\lambda\omega+ f\eta~\equiv~\mathrm{d}f , \tag{I}$
λω + fη df ، (I)
سپس محدودیت (S) معادل محدودیت هولوونومیک (H) است. این به عنوان مثال مورد با غلطک 1D که OP ذکر می کند. اما نه باغلطک 2D . برای رفع هرگونه سردرگمی احتمالاً باید تأكید كنیم كه قید نیمه هولونومیك غیرقابل تلفیقی نمی تواند به قید هولوگونیك تبدیل شود.من می خواهم به این سوال پاسخ دهم که اگر معادله محدودیت را برای یک مسیر دایره مانند این یکی بنویسید ، چه اتفاقی افتاده است
$f_{1}=r-a=0\tag 1$
یا مثل این یکی$f_{2}=r^3-a^3=0\tag 2$
معادلات E.L با علامت برداری:$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \vec{\dot{w}}}\right)^T-\left(\frac{\partial L}{\partial \vec{w}}\right)^T + \left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)^T\,\vec{\lambda} = \vec{0} \tag 3$
با مختصات قطبی$\vec{w}=[r\,,\varphi]^T$ ، بردار درجات آزادی است
برای حل معادله (3) برای$\ddot{r}_i\,,\ddot{\varphi}_i$ و $\lambda_i$به یک معادله اضافی نیاز دارید
$\frac{d^2}{dt^2}\vec{f}=\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)\,\vec{\ddot{w}}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\,\vec{\dot{w}}\right)=\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)\,\vec{\ddot{w}}+\frac{d}{d\vec{w}}\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\,\vec{\dot{w}}\right)\,\vec{\dot{w}}
=\vec{0}\tag 4$
با معادله (3) ، (4) و (1) بدست می آورید:$\left[ \begin {array}{c} {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}r \left( \tau
\right) \\ {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}\varphi
\left( \tau \right) +2\,{\frac { \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left(
\tau \right) \right) {\frac {d}{d\tau}}\varphi \left( \tau \right) }
{r \left( \tau \right) }}\end {array} \right] =\vec{0}\tag 5$ و$\lambda=\left[ \begin {array}{c} -mr \left( \tau \right) \left( {\frac {d}{d
\tau}}\varphi \left( \tau \right) \right) ^{2}\end {array} \right]$
و با معادله (3) ، (4) و (2) بدست می آورید:$\left[ \begin {array}{c} {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}r \left( \tau
\right) -2\,{\frac { \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right)
\right) ^{2}}{r \left( \tau \right) }}\\{\frac {d^
{2}}{d{\tau}^{2}}}\varphi \left( \tau \right) +2\,{\frac { \left( {
\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right) \right) {\frac {d}{d\tau}}
\varphi \left( \tau \right) }{r \left( \tau \right) }}\end {array}
\right] =\vec{0}\tag 6$
و$\lambda=\left[ \begin {array}{c} -\frac{1}{3}\,{\frac {m \left( \left( r \left( \tau
\right) \right) ^{2} \left( {\frac {d}{d\tau}}\varphi \left( \tau
\right) \right) ^{2}-2\, \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau
\right) \right) ^{2} \right) }{ \left( r \left( \tau \right)
\right) ^{3}}}\end {array} \right]$ بنابراین معادلات حرکات و نیروهای محدود برابر نیستند!
برای هر دو معادله محدودیت$f_1$ و$f_2$ که $r=a$است ، r را در معادله برابر a قرار دهید
(5) و (6) بنابراین EOM اکنون برابر است:$\left[ \begin {array}{c} 0\\{\frac {d^{2}}{d{\tau}
^{2}}}\varphi \left( \tau \right) \end {array} \right]
=\vec{0}$ و$\vec{F}_{\lambda i}=\left(\frac{\partial \vec{f_i}}{\partial \vec{w}}\right)^T\,\vec{\lambda_i}=\left[ \begin {array}{c} -am \left( {\frac {d}{d\tau}}\varphi
\left( \tau \right) \right) ^{2}\\ 0\end {array}
\right] \quad, i=1,2$
اکنون برابر هستند
تصویر

ارسال پست