در فیزیک ، درجه آزادی (DOF) یک سیستم مکانیکی تعداد پارامترهای مستقلی است که پیکربندی یا حالت آن را تعریف می کند. در تجزیه و تحلیل سیستم های اجسام در مهندسی مکانیک ، مهندسی سازه ، مهندسی هوا فضا ، رباتیک و سایر زمینه ها از اهمیت برخوردار است.
موقعیت یک ریل واگن (موتور) که در امتداد یک مسیر حرکت می کند دارای یک درجه آزادی است زیرا موقعیت ماشین با فاصله در امتداد مسیر مشخص می شود. قطاری از اتومبیل های سفت و سخت که توسط لولا به موتور متصل می شوند هنوز فقط یک درجه آزادی دارند زیرا موقعیت اتومبیل های پشت موتور با شکل مسیر محدود می شود.
خودرویی با سیستم تعلیق بسیار سفت را می توان بدنه ای سفت و محکم دانست که در هواپیما حرکت می کند (یک فضای صاف و دو بعدی). این بدن دارای سه درجه آزادی مستقل است که از دو جز components ترجمه و یک زاویه چرخش تشکیل شده است. لغزش یا رانش کردن نمونه خوبی از سه درجه استقلال مستقل از اتومبیل است.
موقعیت و جهت گیری یک جسم صلب در فضا با سه جز components انتقال و سه جز components چرخش تعریف می شود ، به این معنی که شش درجه آزادی دارد.
روش طراحی مکانیکی دقیق محدودیت ، درجات آزادی را کنترل می کند تا نه دستگاه را تحت فشار قرار دهد و نه بیش از حد ، دستگاه را تحت فشار قرار دهد.در نظر بگیرید سیستمی از n اجسام صلب که در فضا حرکت می کنند دارای 6n درجه آزادی نسبت به یک قاب ثابت است. برای شمارش درجات آزادی این سیستم ، بدن ثابت را در شمارش اجسام بگنجانید ، بنابراین تحرک مستقل از انتخاب بدنی است که قاب ثابت را تشکیل می دهد. سپس درجه آزادی سیستم نامحدود N = n + 1 است${\displaystyle M=6n=6(N-1),\!}$
زیرا بدن ثابت نسبت به خودش صفر درجه آزادی دارد.
اتصالات اتصال بدنه در این سیستم باعث کاهش درجات آزادی و کاهش تحرک می شود. به طور خاص ، لولاها و لغزنده ها هر یک پنج محدودیت را اعمال می کنند و بنابراین پنج درجه آزادی را از بین می برند. تعیین تعداد محدودیتهای c که یک مفصل از نظر آزادی مفصل f اعمال می کند ، جایی که c = 6 - f مناسب است. در مورد لولا یا لغزنده که یک درجه از اتصالات آزادی هستند ، f = 1 و بنابراین c = 6 - 1 = 5 دارند.نتیجه این است که تحرک سیستمی که از n پیوندهای متحرک و اتصالات j تشکیل شده و هر کدام دارای آزادی fi ، i = 1 ، ... ، j هستند ، توسط${\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}} $ توجه کنید که N شامل پیوند ثابت است.
دو مورد خاص مهم وجود دارد: (i) یک زنجیره باز ساده ، و (ii) یک زنجیره بسته ساده. یک زنجیره منفرد متشکل از n پیوند متحرک است که از طریق n اتصال به انتهای دیگر متصل می شود ، و یک انتهای آن به یک اتصال زمین متصل است. بنابراین ، در این حالت N = j + 1 و تحرک زنجیره است${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$ برای یک زنجیره بسته ساده ، n پیوند متحرک از طریق n + 1 اتصالات از انتها به انتها متصل می شوند ، به طوری که دو انتها به پیوند زمین متصل می شوند و یک حلقه تشکیل می دهند. در این حالت ، N = j داریم و تحرک زنجیره ای است${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6}$
این یک روش معمول است که سیستم پیوند را به گونه ای طراحی می کند که حرکت همه اجسام محدود شود تا روی صفحات موازی قرار بگیرند و آنچه را که به عنوان پیوند مسطح شناخته می شود ، ایجاد کنند. همچنین می توان سیستم پیوند را طوری ساخت که همه اجسام روی کره های متحدالمرکز حرکت کنند و یک پیوند کروی تشکیل دهند. در هر دو حالت ، درجه آزادی پیوندها در هر سیستم اکنون سه و نه شش است و محدودیت های اعمال شده توسط اتصالات اکنون c = 3 - f است.${\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$
خلاصه تعریف: - حداقل تعداد متغیرها یا مختصات مستقل مورد نیاز برای تعیین موقعیت یک سیستم دینامیکی متشکل از یک یا چند ذره ، درجه آزادی نامیده می شود.برای N تعداد ذرات در حال حرکت آزادانه درD درجات فضای بعدی از طریق معادله زیر نشان داده شده است.$f=Nd$ جایی کهN تعداد ذرات است وD ابعاد ذره را نشان می دهد.اگر محدودیت هایی وجود داشته باشد$f=Nd-k$
حرکت مقید حرکتی است که به هیچ وجه نمی تواند خودسرانه پیش برود.
حرکت ذرات را می توان محدود کرد (1) همراه با برخی از مسیرهای مشخص شده (2) در سطح (صفحه یا منحنی) به طور خودسرانه در فضا جهت گیری شود.
اعمال محدودیت ها بر روی یک سیستم مکانیکی برای ساده سازی توصیف ریاضی سیستم انجام می شود.
محدودیت های بیان شده در قالب معادله $ f (x_1 ، y_1 ، z_1 ، …… ، x_n ، y_n ، z_n: t) = 0 $ محدودیت های هولوومونیک نامیده می شوند.محدودیت هایی که با این روش بیان نمی شوند ، محدودیت های غیر هولوومونیک نامیده می شوند.محدودیت های اسکلرونومی مستقل از زمان هستند.. اسکلرونومیک در جایی که روابط محدود کننده به زمان بستگی ندارد یا رئونومیک درجایی که روابط محدودیت صریحاً به زمان بستگی دارد.یا هولونومیک در جایی که روابط محدود کننده می تواند مستقل از سرعت یا غیر هولوگونیک باشد درصورتی که این روابط توابع غیرقابل کاهش سرعت باشند.گاهی اوقات حرکت یک ذره یا سیستم ذرات توسط یک یا چند شرط محدود می شود. محدودیت های حرکت سیستم را محدودیت می نامند. تعداد مختصات مورد نیاز برای تعیین سیستم دینامیکی وقتی محدودیت هایی در سیستم وجود دارد ، کوچکتر می شود. از این رو درجه آزادی یک سیستم پویا به عنوان حداقل تعداد مختصات مستقل مورد نیاز برای ساده سازی کامل سیستم همراه با محدودیت ها تعریف می شود. بنابراین اگر k تعداد محدودیت ها و N تعداد ذرات موجود در سیستم دارای حرکت در سه بعد باشد ، تعداد درجه آزادی توسط n = 3N-k بنابراین سیستم فوق دارای n درجه آزادی است.محدودیت ها ممکن است از بسیاری جهات طبقه بندی شوند. اگر شرایط محدودیت ها را می توان به عنوان معادلات اتصال مختصات ذرات و احتمالاً زمان داشتن شکل بیان کرد.f (r1 ، r2 ، …… t) = 0 سپس گفته می شود که محدودیت ها هولوگونیک هستند و ساده ترین مثال از محدودیت های هولوگونیک ، یک بدنه صلب است. در صورت حرکت بدن صلب ، فاصله بین هر دو ذره از بدن ثابت مانده و با کراوات تغییر نمی کند. اگر ri و rj بردارهای موقعیت ذرات i’th و j’th هستند ، فاصله بین ri-rj = cij محدودیت هایی که به صورت معادله قابل بیان نیستند ، غیر هولوونومیک نامیده می شوند ، هر محدودیت پیچیده ای که با چندین درجه آزادی سروکار دارد ، می تواند به دنباله ای از محدودیت های تک درجه ای ساده تر تجزیه شود.
هر محدودیت ساده یک درجه آزادی را از سیستم می گیرد و یک نیروی واکنش ناشناخته (یا گشتاور) را به آن اضافه می کند.
نیروهای محدود کننده (یا گشتاورها) انرژی را به سیستم اضافه یا از بین نمی برند. این دقیقاً تعریف محدودیت ها است زیرا آنها اجازه هیچ حرکتی موازی با نیروهای واکنش را نمی دهند.
محدودیت ها می توانند بین یک بدن واحد و محیط یا بین دو بدن وجود داشته باشند. اگر بین دو جسم باشد ، نیروهای محدود بر دو جسم برابر و مخالف هستند.
محدودیت های مسطح با یک مرکز چرخش نسبی و خط اعمال محدودیت از طریق مرکز چرخش ایده آل می شوند.
به طور خلاصه ، اگر حرکتی در امتداد یک جهت خاص مجاز باشد ، آن جهت نمی تواند بخشی از محدودیت باشد. اگر حرکت به هر طریقی محدود شود ، در این صورت محدودیتی وجود دارد و باید یک نیروی متناظر به نمودار جسم آزاد اضافه شود تا مسئله حل شود.
نحوه تبدیل 6 حرکت DOF فرض کنید دو سیستم مختصات A و B با ژیروسکوپ یا سنسور دید وجود دارد. مختصات B به طور صلبانه روی مختصات A با چرخش R و انتقال t بیان شده در سیستم مختصات جهانی سوار می شود.هنگامی که ما 6 DOF حرکت $(v_x, v_y, v_z, w_x, w_y, w_z)^T_A$ را از حسگرهای مختص A دریافت می کنیم ، سنسورهای موجود در سیستم B چه سیگنالی را می گیرند؟
هر vm و wm به معنای انتقال و سرعت زاویه ای است.
من چیزی مانند معادله زیر می خواهم:$(v_x, v_y, v_z, w_x, w_y, w_z)^T_B=f((v_x, v_y, v_z, w_x, w_y, w_z)^T_A,R,t)$
سوال گیج کننده ای درباره "درجه های آزادی"من در حال مطالعه "دینامیک تحلیلی سیستم های گسسته روزنبرگ" هستم. در فصل 4 ، او در مورد محدودیت های هولوگونیک و غیرهستون شناسی بحث کرد. در پایان فصل ، او سوالی را مطرح کرد که من را گیج کرد:
"ذره P می تواند در پایین قفس دو بعدی حرکت کند. از آنجا که موقعیت ذره را می توان با دو مختصات x و y ، یا با سه مختصات θ ، θ و ξ توصیف کرد ، به نظر می رسد که این دومین باید رابطه محدودیتی بین آنها را برآورده کند. آیا می توانید آن رابطه را پیدا کنید؟ ذرات چند درجه آزادی دارند؟ "
اگر از θ ، ϕ و ξ برای توصیف موقعیت P استفاده کنیم ، به این معنی است که P سه درجه آزادی دارد. برعکس ، به دلیل حرکت مسطح ذره P ، حداکثر دو درجه آزادی وجود دارد. متناقض به نظر می رسد. اشتباه من چیست؟اگر از θ ، ϕ و ξ برای توصیف موقعیت P استفاده کنیم ، به این معنی است که P سه درجه آزادی دارد.
تعداد درجات آزادی تعداد متغیرهایی نیست که برای توصیف یک سیستم استفاده می کنید (اجازه دهید آن را خیلی کلی بپذیریم) ، بلکه تعداد متغیرهای مستقل مورد نیاز است.
از آنجا که موقعیت ذره را می توان با دو مختصات x و y ، یا با سه مختصات θ ، ξ و ξ توصیف کرد ، به نظر می رسد که این دومین باید رابطه محدودیتی بین آنها را برآورده کند
که می تواند به صورت زیر بازنویسی شود: از آنجا که ما برای توصیف کامل موقعیت به دو متغیر نیاز داریم (x و y ، بنابراین دو درجه آزادی) ، اگر بخواهیم از سه متغیر زاویه ای استفاده کنیم ، آنها نمی توانند همه مستقل باشند و باید یک رابطه بین آنها (به طوری که مقدار یکی از زاویه ها توسط دو زاویه دیگر تعیین می شود).
یک مثال سریع اضافه کنم. فرض کنید می خواهید حرکت کودک را روی چرخ فلک توصیف کنید. قرار گرفتن در یک فضای سه بعدی ، موقعیت کودک را می توان با سه مختصات x ، y و z توصیف کرد. با این حال ، تعداد درجه آزادی در اینجا فقط 1 است ، زیرا شما برای توصیف حرکت فقط به یک متغیر نیاز دارید (به عنوان مثال زاویه نسبت به مرکز چرخ فلک).
n دو بعد ، بدون محدودیت ، قفس دارای 3 درجه آزادی است (می توانیم مختصات کلی آن را برای دو مختصات دکارتی$X_h, Y_h$ از نقطه حلق آویز ، و زاویه ϕ تعیین کنیم که جهت آن در صفحه است). از طرف دیگر ، ذره دارای 2 DOF است (ما می توانیم مختصات x و y را به عنوان مختصات عمومی در نظر بگیریم). بنابراین ، سیستم دارای پنج DOF بدون محدودیت است.
با این حال ، این سیستم دارای دو محدودیت است: i) نقطه آویزان در یک فاصله ثابت l از مبدا O است.$X_h^2+Y_h^2-l^2=0,$
و ii) ذره در پایین قفس حرکت می کند ، یعنی $(x X_h + y Y_h) \cos\phi + (y X_h-x Y_h)\sin\phi = l (b+l\cos\phi).$
اینها محدودیتهای هولوگونیک است. بنابراین ، پس از استفاده از روابط محدودیت ، سیستم دارای سه درجه آزادی است. ما می توانیم $X_h$و $y_h$ را از نظر زاویه θ بنویسیم:
$X_h = l \sin\theta,\;Y_h=l\cos\theta,$
بنابراین می توان گفت که قفس دارای دو DOF (زاویه θ و ϕ) است ، در حالی که ذره دارای یک درجه آزادی است (مختصات ξ)
$x = l \sin\theta + b\sin(\theta-\phi) +\xi \cos(\theta-\phi),\;\;
y = l\cos\theta + b\cos(\theta-\phi) - \xi \sin(\theta-\phi).$
البته ، همانطور که مختصات x با توجه به قفس تعیین می شود ، x و y به زوایای قفس بستگی دارد.
یک روش ساده تر برای تفکر: ذره در امتداد یک منحنی حرکت می کند ، بنابراین فقط یک درجه آزادی دارد. شاید ثابت بودن منحنی قابل توجه باشد ، زیرا این امر به حرکت قفس بستگی دارد ، که به نوبه خود تحت تأثیر حرکت ذره است.
تبدیل محدودیت های غیر هولوگونیک به هولوگونیک
در مورد غلتیدن دیسک بدون لغزش ، یک محدودیت $\dot{x}=a\dot{\theta}$˙ داریم که a شعاع دیسک است. توجه داشته باشید که من x و θ را به عنوان مختصات کلی در نظر گرفته ام. طبق تعریف ، این یک محدودیت غیر هولوگونیک است. با این حال ، با ادغام محدودیت ، به$x=a\theta+\phi$ می رسیم (constant یک ثابت عددی از ادغام است) ، که مشخص می شود هولوگونیک است.
در روش یافتن معادلات حرکت با استفاده از لاگرانژیان با ضریب لاگرانژی ، ما $\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i} + \lambda \frac{\partial f}{\partial q_i} = 0$ داریم که f نشان دهنده محدودیت است و $q_i$ در واقع تعمیم یافته است. هماهنگ کردن. در حالت بالا ، $q_i=\{x,\theta\}$. حال ، اگر از $f=\dot{x}-a\dot{\theta}$ به عنوان محدودیت استفاده می کردیم ، آخرین اصطلاح اویلر لاگرانژ اصلاح شده صفر بود. با این حال ، اگر از نسخه یکپارچه همان محدودیت استفاده کنیم ، اصطلاحات غیر صفر خواهیم داشت (به ترتیب λ و aλ برای x و θ به ترتیب). با کمال تعجب ، مورد آخر از نظر گلدشتاین درست است. من اینجا چه چیزی از دست می دهم؟ (من به طور خاص به مثال حلقه حلقوی پایین شیار در فصل دو گلدشتاین اشاره می کنم)
این مسئله من را به سوال کلی تری می رساند: در روش ضربی لاگرانژی ، چگونه باید رابطه محدودیت را بنویسم؟ برای نشان دادن منظور من ، محدودیت زیر را که در کلمات ارائه شده است ، در نظر بگیرید: ذره در دایره شعاع a حرکت می کند. اگر موقعیت ذره را با r (مختصات تعمیم یافته) نشان دهم ، آنگاه محدودیت r − a = 0 را حکم می کند. متناوباً ، می توانم همان $r^3-a^3=0$ را بنویسم ، که مشتق جزئی آن در رابطه با r همانند r − a = 0 نیست. نوع محدودیت غیر هولوگونیک ، Ref. 1 در این مرحله بحث می کند ، یک محدودیت به اصطلاح نیمه هولونومیک است ، که یک قید غیر هولوگونیک است که توسط یک شکل داده می شود$\omega~\equiv~\sum_{j=1}^na_j(q,t)~\mathrm{d}q^j+a_0(q,t)\mathrm{d}t~=~0. \tag{S}$
در صورت وجود محدودیت هولوگونیک$f(q,t)~=~0,\tag{H}$
(ii) یک عامل یکپارچه$\lambda(q,t)\neq 0$ و (iii) یک شکل $\eta$ به گونه ای که$\lambda\omega+ f\eta~\equiv~\mathrm{d}f , \tag{I}$
λω + fη df ، (I)
سپس محدودیت (S) معادل محدودیت هولوونومیک (H) است. این به عنوان مثال مورد با غلطک 1D که OP ذکر می کند. اما نه باغلطک 2D . برای رفع هرگونه سردرگمی احتمالاً باید تأكید كنیم كه قید نیمه هولونومیك غیرقابل تلفیقی نمی تواند به قید هولوگونیك تبدیل شود.من می خواهم به این سوال پاسخ دهم که اگر معادله محدودیت را برای یک مسیر دایره مانند این یکی بنویسید ، چه اتفاقی افتاده است
$f_{1}=r-a=0\tag 1$
یا مثل این یکی$f_{2}=r^3-a^3=0\tag 2$
معادلات E.L با علامت برداری:$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \vec{\dot{w}}}\right)^T-\left(\frac{\partial L}{\partial \vec{w}}\right)^T + \left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)^T\,\vec{\lambda} = \vec{0} \tag 3$
با مختصات قطبی$\vec{w}=[r\,,\varphi]^T$ ، بردار درجات آزادی است
برای حل معادله (3) برای$\ddot{r}_i\,,\ddot{\varphi}_i$ و $\lambda_i$به یک معادله اضافی نیاز دارید
$\frac{d^2}{dt^2}\vec{f}=\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)\,\vec{\ddot{w}}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\,\vec{\dot{w}}\right)=\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)\,\vec{\ddot{w}}+\frac{d}{d\vec{w}}\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\,\vec{\dot{w}}\right)\,\vec{\dot{w}}
=\vec{0}\tag 4$
با معادله (3) ، (4) و (1) بدست می آورید:$\left[ \begin {array}{c} {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}r \left( \tau
\right) \\ {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}\varphi
\left( \tau \right) +2\,{\frac { \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left(
\tau \right) \right) {\frac {d}{d\tau}}\varphi \left( \tau \right) }
{r \left( \tau \right) }}\end {array} \right] =\vec{0}\tag 5$ و$\lambda=\left[ \begin {array}{c} -mr \left( \tau \right) \left( {\frac {d}{d
\tau}}\varphi \left( \tau \right) \right) ^{2}\end {array} \right]$
و با معادله (3) ، (4) و (2) بدست می آورید:$\left[ \begin {array}{c} {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}r \left( \tau
\right) -2\,{\frac { \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right)
\right) ^{2}}{r \left( \tau \right) }}\\{\frac {d^
{2}}{d{\tau}^{2}}}\varphi \left( \tau \right) +2\,{\frac { \left( {
\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right) \right) {\frac {d}{d\tau}}
\varphi \left( \tau \right) }{r \left( \tau \right) }}\end {array}
\right] =\vec{0}\tag 6$
و$\lambda=\left[ \begin {array}{c} -\frac{1}{3}\,{\frac {m \left( \left( r \left( \tau
\right) \right) ^{2} \left( {\frac {d}{d\tau}}\varphi \left( \tau
\right) \right) ^{2}-2\, \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau
\right) \right) ^{2} \right) }{ \left( r \left( \tau \right)
\right) ^{3}}}\end {array} \right]$ بنابراین معادلات حرکات و نیروهای محدود برابر نیستند!
برای هر دو معادله محدودیت$f_1$ و$f_2$ که $r=a$است ، r را در معادله برابر a قرار دهید
(5) و (6) بنابراین EOM اکنون برابر است:$\left[ \begin {array}{c} 0\\{\frac {d^{2}}{d{\tau}
^{2}}}\varphi \left( \tau \right) \end {array} \right]
=\vec{0}$ و$\vec{F}_{\lambda i}=\left(\frac{\partial \vec{f_i}}{\partial \vec{w}}\right)^T\,\vec{\lambda_i}=\left[ \begin {array}{c} -am \left( {\frac {d}{d\tau}}\varphi
\left( \tau \right) \right) ^{2}\\ 0\end {array}
\right] \quad, i=1,2$
اکنون برابر هستند