استخراج گشتاور از معادله اولر-لاگرانژ

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 619

سپاس: 390

جنسیت:

تماس:

استخراج گشتاور از معادله اولر-لاگرانژ

پست توسط rohamjpl »

این یک کار برای یک پتانسیل نیست ، بلکه یک کار برای یک نیروی تعمیم یافته است. حالت 2d را در نظر بگیرید ، با ذره ای در برخی از موقعیت ها s = (x، y) ، با جرم m و یک بردار نیرو F به آن اعمال شده است.اولین فرم معادلات اویلر-لاگرانژ که یاد گرفتم فرم زیر بود:$\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=Q_i$ که در آن T انرژی جنبشی است (نه لاگرانژی) ،$q_i$ پارامترهای توصیف کننده سیستم هستند و Qi به عنوان نیروی تعمیم یافته $Q_i=\sum_j F_j \frac{\partial s_j}{\partial q_i}$ تعریف می شود. (مکانیک کلاسیک Goldstein 1)
سپس ، با پارامتر بندی از نظر مختصات قطبی ، می توان $s=(q_1 \cos(q_2),q_1 \sin(q_2))$ را تعریف کرد.جستجوی انرژی جنبشی ، نیروهای تعمیم یافته و مشتقات جزئی:
$\dot{s}=(\dot{q_1}\cos(q_2)-q_1\sin(q_2) \dot{q_2},\dot{q_1}\sin(q_2)+q_1\cos(q_2) \dot{q_2})$و$\|\dot{s}\|^2=\dot{q_1}^2+q_1^2\dot{q_2}^2$ و$T=\frac{1}{2}m(\dot{q_1}^2+q_1^2\dot{q_2}^2)$و$Q_1=F\cdot(\cos(q_2),\sin(q_2))\equiv F_r$
(تعریف Fr از این طریق)$Q_2=F\cdot(-q_1\sin(q_2),q_1\cos(q_2))\equiv \tau$(τ را از این طریق تعریف کنید)
معادله اولر-لاگرانژ برای q1: $\ddot{q_1}m-m\dot{q_2}^2 q_1=F_r$و به طور مشابه$\frac{d}{dt}(m q_1^2 \dot{q_2})-0=\tau
=m q_1^2 \ddot{q_2}+2 m q_1 \dot{q_1} \dot{q_2}$با توجه به وضوح ، q1 = r ، q2 = θ را نشان می دهیم ، با معادلات پیچیده:
$m\ddot{r}-m r \dot{\theta}^2=F_r$و$m r^2 \ddot{\theta}+2 m r \dot{r} \dot{\theta}=\tau$
از این طریق می توانیم گشتاور و هر آنچه را که می خواهیم تشخیص دهیم. اگر r ثابت باشد ، $F_r=-m v^2/r$ داریم و با شناسایی$m r^2 \dot{\theta}=L$با حرکت زاویه ای ، $\dot{L}=\tau$ مشاهده می کنیم.به نظر من ، شما گشتاور را از معادلات اولر-لاگرانژ دریافت نمی کنید. این به طور طبیعی از آنها ناشی می شود ، زیرا لاگرانژی یک فرمالیسم مکانیک کلاسیک است که می تواند رفتار سیستم های فیزیکی را هم درحرکت انتقالی و هم در چرخش آنها توضیح دهد. به عنوان مثال ، یک آونگ ساده را در نظر بگیرید. تنها درجه آزادی آن ϕ است ، زاویه ای نشان دهنده انحراف آن از حالت عمودی است.
بنابراین می توانید معادلات اویلر-لاگرانژ را به صورت زیر بنویسید$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot \phi}\right) = 0.$
بیایید ابعاد را بررسی کنیم. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}$ واحد انرژی در هر شعاع دارد. یعنی N⋅m. اولین مورد از نظر شرعی نیروی تعمیم یافته است. در این حالت ، این یک گشتاور است.
سپس ، $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}$ دارای واحد انرژی در هر دور چرخشی است. و بنابراین در این حالت ، جنبش تعمیم یافته یک حرکت زاویه ای است. بنابراین پویایی چرخشی می تواند به طور طبیعی از به حداقل رساندن عملکرد یک سیستم ناشی شود. در مورد آونگ ساده ، گشتاور تعمیم یافته $-mgl\sin\phi$ است ، همانطور که از $-mgl\cos\phi$ بالقوه انتظار دارید.
برای یک ذره چرخان با V پتانسیل ، لاگرانژی دارد$\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}mR^2\dot\phi^2 - V.$
سپس نیروی تعمیم یافته (یعنی گشتاور) است$\tau = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi} = \frac{\partial V}{\partial\phi},$ همان چیزی است که ما از پویایی بدن صلب انتظار داریم.
چگونه نیروهای بین نقاط را انتقال دهیم
یک نیروی$\vec{F}$ را در نظر بگیرید که در فاصله $\vec{r}$ از مرکز CoM جرم عمل می کند. آیا می توان از متغیرهای شناخته شده نیروهایی را که بر CoM تأثیر می گذارند به نوعی بیان کرد؟
گشتاور بدیهی است که ثابت بماند$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ اما آیا می توانید$\vec{F_{out}}$ را از نظر متغیرهای شناخته شده بیان کنید تا دو سیستم - یکی فقط با $\vec{F}$ و دیگری که فقط$\vec{F_{out}}$دارد equivalent برابر باشند / رفتار کنند همان؟بردارها به صورت سه بعدی هستند.تصویر
نیروها (به عنوان یک مفهوم) در امتداد خطی در فضا به نام خط عمل عمل می کنند. اما بردار نیرو (به عنوان سه جز components) به تنهایی هیچگونه اطلاعات مکانی را نمایش نمیده برای توصیف فیزیکی نه تنها به بردار نیرو ، بلکه به گشتاور متعادل آن نیرو در مورد نقطه اندازه گیری نیاز دارید.
دو سیستم نیرو فقط در صورت تساوی نیروهای مساوی و گشتاورهای مربوط به یک نقطه نیز در همان قاب مختصات برابر هستند.
این بدان معناست که نیرویی $\vec{F}$ که بر روی نقطه واقع در$\vec{r}$ از مرکز جرم تأثیر می گذارد ، برابر با همان نیرویی است که $\vec{F}$ از طریق مرکز جرم وارد می کند و گشتاور $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$بر روی جسم است.
اجازه دهید نقطه ای را که نیرو به A و مرکز جرم C عمل می کند تعیین کنیم. اکنون می توانید بنویسید$\begin{aligned}
\vec{F}_B & = \vec{F}_A \\
\vec{\tau}_B & = \vec{\tau}_A + \vec{r}_{A/B} \times \vec{F}_A
\end{aligned} \;\tag{1}$
در مورد ، $\vec{\tau}_A =0$ از آنجا که خط عمل از A عبور می کند.موارد فوق برای اعمال قانون سوم نیوتن ضروری است. در این زمینه ، به این فکر کنید که وقتی یک نیروی اعمال شده از طریق A عمل می کند ، چه نیرویی در پشتیبانی یک پرتو B مورد نیاز است.
بدیهی است که راه حل باید $\vec{F}_B = \vec{F}_A$ و همچنین گشتاور $\vec{\tau}_B = \vec{r}_{A/B} \times \vec{F}_A$ باشد که به این معنی است که نیروها بین نقاط به طور یکسان تغییر شکل می دهند و گشتاورها از قانون ممان پیروی می کنند.رهام حسامی دانشجوی ترم چهارم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست