اثبات قانون دوم ترمودینامیک

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 730

سپاس: 433

جنسیت:

تماس:

اثبات قانون دوم ترمودینامیک

پست توسط rohamjpl »

در مکانیک آماری ، تمایل به بیشترین توزیع محتمل یک اتفاق احتمالی است ، و برای آنتروپی بولتزمن ، dS≥0 نیز یک رویداد احتمالاتی است اما نتیجه ای اجتناب ناپذیر نیست. بنابراین نمی توانید dS≥0 را به عنوان نتیجه ای اجتناب ناپذیر از مکانیک آماری ثابت کنید.
اگر می خواهیم اثبات ریاضی قانون دوم را از ترمودینامیک بدست آوریم ، ابتدا باید اثبات ریاضی آنتروپی را به عنوان یک تابع حالت در نظر بگیریم. تعریف Clausius $dS=δQ/T$ به عنوان یک تفاوت دقیق در ریاضیات قابل اثبات نیست ، بنابراین تعریف $dS=δQ/T$ فقط به چرخه های برگشت پذیر خیالی بستگی دارد. از سوی دیگر ، در رویکردهای C.Carath´eodory یا M.Planck ، عبارات آنتروپی معادلات ریاضی هستند اما تعریف یک مفهوم فیزیکی نیستند زیرا این معادله شامل تفاوت توابع است ، تصویر فیزیکی آنتروپی و هر دو قانون دوم مشخص نیستند ، به همین دلیل است که با توجه به این رویکردها نمی توانیم معنای فیزیکی آنتروپی را توضیح دهیم. در چنین شرایطی ، اثبات قانون دوم در ریاضیات بسیار دشوار است ، این یک مسئله جداگانه نیست.
1) با توجه به معادله اساسی ترمودینامیک (معادله اولر).$\begin{align} dS=\frac{dU}{T}-\frac{Ydx}{T}-\sum_j\frac{\mu_jdN_j}{T}+\frac{pdV}{T}.\end{align}$
2) تابعی را تعریف کنید که$\begin{align}dq=dU-Ydx-\sum_j\mu_jdN_j.\end{align}$
در اینجا می توان dq را به عنوان یک افتراق دقیق در ریاضیات اثبات کرد ، معنای فیزیکی q انرژی گرمایی درون سیستم است. (اما نه گرما در انتقال Q)
3) چنین است که به دست می آوریم$\begin{align}dS=\frac{dq}{T}+\frac{pdV}{T}.\end{align}$
در اینجا می توان dS را به عنوان یک افتراق دقیق در ریاضیات اثبات کرد.
4) تعامل بین دو محل را در نظر بگیرید ، سپس می توانیم دیفرانسیل کل تولید آنتروپی را بدست آوریم.$\begin{align}d_iS=\nabla \left(\frac{1}{T}\right)dq+\frac{1}{T}\nabla Ydx+\sum_j\frac{1}{T}\nabla \mu_jdN_j+\nabla \left(\frac{p}{T}\right)dV.\end{align}$
این یک معادله ترمودینامیکی غیر تعادلی است.
5) دیفرانسیل کل تولید آنتروپی diS≥0 را ثابت کنید.
بیانیه جدید قانون دوم: "ریشه برگشت ناپذیری در یک اصل اساسی است: شیب چهار نیروی ترمودینامیکی به طور خودجوش به صفر می رسد".
چهار گرادیان نیروهای ترمودینامیکی هستند
$\begin{align}
\nabla \left(\frac{1}{T}\right),\,\,\,\, \nabla Y,\,\,\,\, \nabla \mu_j,\,\,\,\, \nabla \left(\frac{p}{T}\right). \end{align}$
شرایط تعادل ترمودینامیکی این چهار شیب برابر با صفر است.
لطفاً عبارات مختلف در مورد قانون دوم را مقایسه کنید
1) بیانیه کلاوزیوس
گرما هرگز نمی تواند از بدن سردتر به بدن گرمتر منتقل شود بدون اینکه تغییر دیگری ، متصل به آن در همان زمان اتفاق بیفتد. گرما هرگز نمی تواند از بدن سردتر به بدن گرمتر برسد بدون تغییر دیگری ، متصل به آن ، در همان زمان اتفاق بیفتد.
2) بیانیه کلوین
بدست آوردن اثر مکانیکی هر بخش از ماده با سرد کردن آن در زیر دمای سردترین اجسام اطراف غیرممکن است.
3) اظهارات پلانک
هر فرآیندی که در طبیعت اتفاق می افتد به مفهومی پیش می رود که در آن مجموع انتروپی تمام اجسامی که در این روند شرکت می کنند افزایش می یابد. در حد ، یعنی برای فرآیندهای برگشت پذیر ، مجموع انتروپی ها بدون تغییر باقی می ماند.
4) اصل Carathéodory
در هر محله از هر ایالت S از یک سیستم محصور آدیاباتیک ، ایالات غیرقابل دسترسی از S وجود دارد.
5) بیانیه جدید.
شیب چهار نیروی ترمودینامیکی خود به خود به سمت صفر می روند.
توجه داشته باشید
مکانیک آماری محدود به فرض احتمال پیشینی برابر است ، اما این فرض لازم نیست که در ترمودینامیک در نظر گرفته شود ، بنابراین دامنه های معتبر این دو نظریه متفاوت است. دامنه معتبر قضیه H کمتر از قانون دوم ترمودینامیک است. برخی از شبیه سازی های رایانه ای برای قضیه H وجود دارد ، تغییرات در H یکنواخت نیستند.
آیا دلیلی برای قانون 2 ترمودینامیک وجود دارد؟
در واقع یک استنباط بسیار ساده از قانون دوم در ترمودینامیک کلاسیک برای یک گاز ایده آل وجود دارد ، فقط با فرض مکانیک کلاسیک و قانون اول. در اینجا یک طرح مختصر آورده شده است - اینکه آیا این "اثبات" است ، بستگی زیادی به سلیقه ، سطح سختگیری مورد نظر و میزان راحتی شما از مشتقات سبک گرما دارد.
قانون اول ترمودینامیک:
dU = dq + dw
که در آن تفاوت ها به تغییرات سیستم اشاره دارد. طبق قرارداد ما دریافت انرژی یا گرما توسط سیستم را مثبت ، کار انجام شده روی سیستم را مثبت و کار انجام شده توسط سیستم را برای محیط اطراف منفی تعریف کرده ایم.
بدون از دست دادن عموم ، ما کار در حجم فشار را در نظر می گیریم. کار انجام شده توسط سیستم با توجه به میزان کار انجام شده در محیط کم می شود و بنابراین فشار مربوط به فشار خارجی $P_{ext}$ در محیط است که سیستم در برابر آن فشار می آورد. سپس ، کار انجام شده توسط سیستم است$$\begin{align} dw = -P_{ext} dV \end{align}
اگر فشار داخلی سیستم بیشتر از فشار خارجی محیط باشد ،
$\begin{align} P_{int} \ge P_{ext} \end{align}$
سپس طبق مکانیک کلاسیک سیستم در برابر محیط اطراف گسترش می یابد ، یعنی $dV \ge 0$
برای یک تغییر برگشت پذیر ، فشارهای داخلی و خارجی برابر هستند $P_{int} = P_{ext}$ ، و بنابراین کار انجام شده توسط سیستم در یک روند برگشت پذیر
$\begin{align} dw_{rev} = -P_{int} dV \end{align}$
از این رو،$\begin{align}
P_{int} dV &\ge P_{ext} dV \\
-P_{int} dV &\le -P_{ext} dV \\
dw_{rev} &\le dw
\end{align}$ که بدان معنی است که مقدار کار انجام شده توسط سیستم در محیط اطراف طی یک فرایند برگشت پذیر حداکثر است. ترکیب این نتیجه با قانون اول:$\begin{align}
dq_{rev} &\ge dq
\end{align}$اکنون آنتروپی تابع حالت را به صورت کلاسیک تعریف می کنیم$\begin{align}
dS = \frac{dq_{rev}}{T}
\end{align}$ از نابرابری قبلی برای گرمای برگشت پذیر ، این را می بینیم$\begin{align}
dS = \frac{dq_{rev}}{T} \ge \frac{dq}{T}
\end{align}$ که نابرابری کلیوزیوس است. این یک بیان کامل ریاضی از قانون دوم ترمودینامیک است. تمام عواقب قانون دوم را می توان از آن ناشی کرد ، از جمله این قضیه که گرما همیشه خود به خود از گرم به سرد جریان می یابد.
یک قسمت از دست رفته این است که ما ثابت نکردیم که آنتروپی S یک تابع حالت برای یک گاز ایده آل است ، اما این را می توان در هر راه حل مقدماتی ترمودینامیک یافت
قانون دوم ترمودینامیک مفهوم آنتروپی را به عنوان ویژگی فیزیکی یک سیستم ترمودینامیکی ایجاد می کند. آنتروپی جهت فرآیندهای خود به خود پیش بینی می کند و تعیین می کند که علی رغم اطاعت از نیاز به صرفه جویی در انرژی ، که در قانون اول ترمودینامیک وضع شده است ، غیر قابل برگشت یا غیر قابل برگشت هستند. قانون دوم ممکن است با مشاهده صورت گیرد که آنتروپی سیستمهای جدا شده به تکامل خود به خودی کاهش نمی یابد ، زیرا آنها همیشه به یک حالت تعادل ترمودینامیکی می رسند ، جایی که آنتروپی بالاترین است. اگر همه فرایندهای سیستم برگشت پذیر باشند ، آنتروپی ثابت است.
افزایش آنتروپی عامل برگشت ناپذیری فرآیندهای طبیعی است که اغلب در مفهوم پیکان زمان به آن اشاره می شود.
از نظر تاریخی ، قانون دوم یک یافته تجربی بود که به عنوان بدیهی نظریه ترمودینامیک پذیرفته شد. مکانیک آماری توضیحی میکروسکوپی درباره قانون از نظر توزیع احتمالی حالتهای مجامع بزرگ اتمها یا مولکولها ارائه می دهد.
از قانون دوم ترمودینامیک نیز می توان برای تعریف مفهوم دمای ترمودینامیک استفاده کرد ، اما این معمولاً به قانون ترمودینامیک صفر اعطا می شود
اولین قانون ترمودینامیک تعریف انرژی داخلی سیستم ترمودینامیکی را ارائه می دهد و قانون صرفه جویی در انرژی را بیان می کند. قانون دوم مربوط به جهت گیری فرآیندهای طبیعی است.این ادعا می کند که یک روند طبیعی فقط به یک معنا اجرا می شود و قابل برگشت نیست. به عنوان مثال ، هنگامی که راهی برای هدایت و تابش در دسترس است ، گرما همیشه خود به خود از یک گرمتر به یک بدن سردتر جریان می یابد. چنین پدیده هایی از نظر آنتروپی حساب می شوند. اگر یک سیستم جدا شده در ابتدا با استفاده از دیواره های غیر قابل نفوذ توسط پارتیشن داخلی در تعادل ترمودینامیکی داخلی نگه داشته شود ، و سپس برخی از عملیات باعث نفوذپذیری بیشتر دیواره ها می شود ، سپس سیستم به طور خود به خود تکامل می یابد تا به یک تعادل ترمودینامیکی داخلی نهایی برسد ، و آنتروپی کل آن ، S ، افزایش می یابد.در یک فرایند برگشت پذیر ساختگی ، یک افزایش بی نهایت کوچک در آنتروپی (dS) یک سیستم تعریف می شود که از انتقال بی نهایت کوچک گرما (δQ) به یک سیستم بسته حاصل می شود (که ورود یا خروج انرژی را امکان پذیر می کند - اما انتقال ماده نیست) ) تقسیم بر دمای مشترک (T) سیستم در تعادل و محیط تأمین کننده گرما:${\displaystyle \mathrm {d} S>{\frac {\delta Q}{T_{surr}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{(closed system, actually possible, irreversible process).}}}$و${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\delta Q}{T}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{(actually possible quasistatic irreversible process without composition change).}}}$
که مبنای تعیین دقیق آنتروپی مطلق مواد خالص از منحنی های اندازه گیری شده ظرفیت حرارتی و تغییرات آنتروپی در انتقال فاز است${\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\delta Q}{T}}-{\frac {1}{T}}\sum _{j}\,\Xi _{j}\,\delta \xi _{j}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{(closed system, actually possible quasistatic irreversible process).}}}$
اصطلاح دوم نمایانگر کار متغیرهای داخلی است که می تواند تحت تأثیر تأثیرات بیرونی قرار گیرد ، اما سیستم از طریق متغیرهای داخلی نمی تواند کار مثبتی انجام دهد. این بیانیه عدم امکان بازگشت سیستم تکنیکی ترمودینامیکی را در زمان معرفی می کند و می تواند به عنوان یک فرمول از اصل دوم ترمودینامیک - فرمولاسیون ، که البته معادل فرمول بندی اصل از نظر آنتروپی است ، در نظر گرفته شود. .
قانون ترمودینامیک صفر در بیان کوتاه معمول خود اجازه می دهد تا تشخیص دهیم که دو جسم در یک رابطه تعادل گرمایی دمای یکسانی دارند ، به ویژه این که جسم آزمایش دارای دمای یکسان با جسم گرماسنج مرجع است. برای جسمی در تعادل حرارتی با دیگری ، مقیاس های دمایی تجربی به طور نامحدود زیادی وجود دارد ، به طور کلی به ترتیب به خصوصیات یک جسم مرجع خاص مرجع بستگی دارد. قانون دوم یک مقیاس درجه حرارت متمایز را تعیین می کند ، که یک درجه حرارت مطلق ، ترمودینامیکی را تعریف می کند ، مستقل از خواص هر جسم گرماسنجی مرجع خاص
بیانیه کلوین را از بیانیه کلاوزیوس استخراج کنید
فرض کنید موتوری بیانیه کلوین را نقض می کند: به عنوان مثال ، موتوری که گرما را تخلیه می کند و آن را کاملاً بصورت چرخشی بدون هیچ نتیجه دیگری به کار تبدیل می کند. همانطور که در شکل نشان داده شده ، آن را با یک موتور کارنو معکوس جفت کنید. بازده موتور گرمایی معمولی η است و بنابراین بازده موتور حرارتی معکوس 1 / η است. اثر خالص و تنها جفت موتور ترکیبی انتقال گرما است${\textstyle \Delta Q=Q\left({\frac {1}{\eta }}-1\right)}$ بنابراین نقض بیانیه کلوین به معنای نقض بیانیه کلاوزیوس است ، به عنوان مثال بیانیه کلاوزیوس دلالت بر بیانیه کلوین دارد. ما می توانیم به روشی مشابه ثابت کنیم که بیانیه کلوین حاکی از جمله کلاوزیوس است و از این رو این دو برابر هستند.
پیشنهاد پلانک
پلانک گاهی اوقات به عنوان اظهارات قانون دوم در نظر گرفته می شود ، اما وی آن را به عنوان نقطه شروع استنباط قانون دوم در نظر گرفت.
ساخت موتوری که در یک چرخه کامل کار کند و نتیجه ای جز افزایش وزن و خنک شدن مخزن حرارتی نداشته باشد غیرممکن است. رابطه بین بیانیه کلوین و گزاره پلانک
در کتابهای درسی تقریباً معمول است که در مورد "بیانیه کلوین-پلانک" قانون صحبت می شود ، مانند مثالهایی که توسط تر هار و ورگلند در متن آمده است.بیانیه کلوین – پلانک (یا عبارت موتور حرارتی) قانون دوم ترمودینامیک بیان می کند که ابداع دستگاهی با عملکرد چرخشی غیرممکن است که تنها اثر آن جذب انرژی به شکل گرما از یک مخزن حرارتی منفرد و تحویل مقدار معادل آن باشد.
Exergy
یک مورد خاص ایده آل ایده آل مهم و آشکار ، در نظر گرفتن کاربرد قانون دوم در مورد سناریوی یک سیستم منزوی (به نام کل سیستم یا جهان) است که از دو قسمت تشکیل شده است: یک زیر سیستم مورد علاقه و محیط زیر سیستم. تصور می شود که این محیط به قدری بزرگ است که می تواند به عنوان یک مخزن حرارتی نامحدود در دمای TR و فشار PR در نظر گرفته شود - بنابراین مهم نیست که چه مقدار گرما به (یا از) سیستم فرعی منتقل می شود ، دمای محیط اطراف TR بماند و هر چقدر حجم زیر سیستم گسترش یابد (یا منقبض شود) ، فشار محیط اطراف PR باقی خواهد ماند.هر تغییری در dS و dSR در آنتروپی های زیر سیستم و محیط به صورت جداگانه رخ دهد ، طبق قانون دوم ، آنتروپی Stot سیستم کل جدا شده نباید کاهش یابد:${\displaystyle dS_{\mathrm {tot} }=dS+dS_{R}\geq 0}$
مطابق قانون اول ترمودینامیک ، تغییر dU در انرژی داخلی زیر سیستم مجموع گرمای δq اضافه شده به زیر سیستم است ، کمتر از هر کار δw انجام شده توسط زیر سیستم ، به علاوه هر انرژی شیمیایی خالص ورود به سیستم فرعی$ d ∑μiRNi$ ، به طوری که:${\displaystyle dU=\delta q-\delta w+d\left(\sum \mu _{iR}N_{i}\right)}$جایی که μiR پتانسیل های شیمیایی گونه های شیمیایی در محیط خارجی است.اکنون گرمای خروج از مخزن و ورود به سیستم فرعی است${\displaystyle \delta q=T_{R}(-dS_{R})\leq T_{R}dS}$در جایی که ما برای اولین بار از تعریف آنتروپی در ترمودینامیک کلاسیک استفاده کرده ایم (گزینه دیگر ، در ترمودینامیک آماری ، رابطه بین تغییر آنتروپی ، دما و گرمای جذب شده می تواند حاصل شود) ؛ و سپس نابرابری قانون دوم .بنابراین نتیجه می گیرد که هر کار خالص δw انجام شده توسط زیر سیستم باید از آن تبعیت کند .${\displaystyle \delta w_{u}\leq -d\left(U-T_{R}S+p_{R}V-\sum \mu _{iR}N_{i}\right)}$قانون دوم نشان می دهد که برای هر فرآیندی که می توان آن را به سادگی به یک زیر سیستم و یک مخزن فشار و دما نامحدود تقسیم کرد که با آن در تماس است${\displaystyle \delta w_{u}\leq -d\left(U-T_{R}S+p_{R}V-\sum \mu _{iR}N_{i}\right)}$یعنی تغییر در اگزرژی زیر سیستم به علاوه کار مفیدی که توسط زیر سیستم انجام شده است (یا تغییر در اگزرژی زیر سیستم بدون هرگونه کار اضافی به کار دیگری که توسط مخزن فشار انجام شده بر روی سیستم انجام می شود) باید کمتر یا برابر با صفر باشد .در مجموع ، اگر یک حالت مرجع مناسب مانند مخزن بی نهایت به عنوان محیط سیستم در دنیای واقعی انتخاب شود ، قانون دوم پیش بینی می کند کاهش E برای یک روند غیر قابل برگشت و هیچ تغییری برای یک روند برگشت پذیر باشد.${\displaystyle dE+\delta w_{u}\leq 0}$
قانون دوم در ترمودینامیک شیمیایی
برای یک فرآیند شیمیایی خود به خودی در یک سیستم بسته در دما و فشار ثابت و بدون کار غیر PV ، نابرابری $Clausius ΔS> Q / Tsurr $به شرایط تغییر انرژی آزاد گیبس تبدیل می شود
${\displaystyle \Delta G<0}{\displaystyle \Delta G<0}$یا dG <0. برای یک روند مشابه در دما و حجم ثابت ، تغییر در انرژی آزاد هلمهولتز باید منفی باشد ،${\displaystyle \Delta A<0}$. بنابراین ، مقدار منفی تغییر در انرژی آزاد
استخراج تغییر آنتروپی برای فرایندهای برگشت پذیر قسمت دوم قانون دوم بیان می کند که تغییر آنتروپی سیستمی که تحت یک روند برگشت پذیر است توسط:${\displaystyle dS={\frac {\delta Q}{T}}}$که در آن دما به صورت زیر تعریف شده است:${\displaystyle {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}\equiv \beta \equiv {\frac {d\ln \left[\Omega \left(E\right)\right]}{dE}}}$
فرض کنید سیستم برخی پارامترهای خارجی x را داشته باشد که قابل تغییر است. به طور کلی ، منابع ویژه انرژی سیستم به x بستگی خواهد داشت. طبق قضیه آدیاباتیک مکانیک کوانتوم ، در حد یک تغییر بی نهایت آهسته از سیستم هامیلتونی سیستم ، سیستم در همان حالت اصلی انرژی باقی خواهد ماند و بنابراین انرژی خود را با توجه به تغییر انرژی دولت اصلی انرژی موجود در آن تغییر می دهد.
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 730

سپاس: 433

جنسیت:

تماس:

Re: اثبات قانون دوم ترمودینامیک

پست توسط rohamjpl »

اظهارات مختلفی در ارتباط با قانون دوم ترمودینامیک وجود دارد. همه آنها از نظر منطقی برابر هستند. منطقی ترین جمله ای است که شامل افزایش آنتروپی است.
بنابراین ، بگذارید سایر گزاره های معادل همان قانون را معرفی کنم.
بیانیه کلوین-پلانک -
هیچ فرآیندی حلقوی ممکن نیست که تنها نتیجه آن تبدیل کامل گرما به مقدار معادل کار باشد.
بیانیه کلاوزیوس -
هیچ فرآیندی حلقوی ممکن نیست که تنها اثر آن انتقال گرما از بدن سردتر به بدن گرمتر باشد.
توضیح:تمام فرآیندهای برگشت ناپذیر (طبیعی و خود به خود) با این واقعیت مشخص می شوند که آنتروپی در چنین فرآیندهایی همیشه افزایش می یابد.
و قانون دوم ترمودینامیک از نظر منطقی بدان معنی است که آنتروپی همیشه تمایل به افزایش دارد.
یک سیستم فیزیکی همیشه باید به حالت حداکثر آنتروپی پیش برود.
به عبارت دیگر ، قانون دوم جهت تکامل یک روند طبیعی را مشخص می کند.
سیستم های طبیعی همیشه تمایل دارند که آنتروپی خود را به حداکثر برسانند.
قانون دوم هم همین است.
به عنوان مثال انتقال گرما از یک بدن به بدن دیگر در تماس به دلیل اختلاف دما را در نظر بگیرید.
گرما همیشه خود به خود از بدن گرمتر به بدن سردتر منتقل می شود. اما ، هیچ کس انتقال خود به خودی گرما از بدن سردتر به بدن گرمتر را مشاهده نکرده است.
حتی اگر چنین قانونی در قانون اول مجاز باشد ، چنین فرایندهایی هرگز به طور طبیعی اتفاق نمی افتند. این اصل قانون دوم است.
گرما از یک بدن گرمتر به یک بدن سردتر منتقل می شود زیرا با افزایش آنتروپی همراه است اما برعکس هرگز رخ نمی دهد زیرا به این ترتیب آنتروپی سیستم کاهش می یابد.
بیانیه کلاوزیوس به همین معناست.
ممکن است ثابت شود که تمام گفته های قانون دوم کاملاً معادل هستند و حول همان مفهوم اصلی افزایش آنتروپی می چرخند.
ممکن است ذکر شود که انتقال گرما از بدن سردتر به بدن گرمتر امکان پذیر است (مانند یخچال یا کولر). قانون دوم بیان می کند که چنین فرآیندی خودجوش و طبیعی نیست. برای انجام چنین فرایندی ، کار خارجی لازم است.در مکانیک آماری ، تمایل به توزیع محتمل ترین اتفاق احتمالی است و برای آنتروپی بولتزمن ، dS≥0$ $نیز یک رویداد احتمالاتی است اما نتیجه ای اجتناب ناپذیر نیست. بنابراین نمی توانید dS≥0$ $را به عنوان نتیجه ای اجتناب ناپذیر از مکانیک آماری ثابت کنید.
اگر می خواهیم اثبات ریاضی قانون دوم را از ترمودینامیک بدست آوریم ، ابتدا باید اثبات ریاضی آنتروپی را به عنوان یک تابع حالت در نظر بگیریم. تعریف Clausius $dS=δQ/T$ به عنوان یک تفاوت دقیق در ریاضیات قابل اثبات نیست ، بنابراین تعریف $dS=δQ/T$ فقط می تواند به چرخه های برگشت پذیر خیالی بستگی داشته باشد. از طرف دیگر ، در رویکردهای C.Carath´eodory یا M.Planck ، عبارات انتروپی معادلات ریاضی هستند اما تعریف یک مفهوم فیزیکی نیستند زیرا این معادله شامل تفاوت توابع است (لطفا به بخش زیر ، معادله اولر مراجعه کنید) ، تصویر فیزیکی آنتروپی و هر دو قانون دوم مشخص نیستند ، به همین دلیل است که با توجه به این رویکردها نمی توانیم معنای فیزیکی آنتروپی را توضیح دهیم. در چنین شرایطی ، اثبات قانون دوم در ریاضیات بسیار دشوار است ، این یک مسئله جداگانه نیست.در زیر برخی از مراحل مقاله پیوند ذکر شده است ، مقاله رویکرد جدیدی را معرفی می کند ، و بیانیه جدید در مورد قانون دوم را می توان به عنوان یک بدیهی در نظر گرفت.
$\begin{align} dS=\frac{dU}{T}-\frac{Ydx}{T}-\sum_j\frac{\mu_jdN_j}{T}+\frac{pdV}{T}.\end{align}$
2) تابعی را تعریف کنید که$\begin{align}dq=dU-Ydx-\sum_j\mu_jdN_j.\end{align}$
در اینجا می توان dq را به عنوان یک افتراق دقیق در ریاضیات اثبات کرد ، معنای فیزیکی q انرژی گرمایی درون سیستم است. (اما نه گرما در انتقال Q)
3) چنین است که به دست می آوریم$\begin{align}dS=\frac{dq}{T}+\frac{pdV}{T}.\end{align}$
در اینجا می توان dS را به عنوان یک افتراق دقیق در ریاضیات اثبات کرد.
4) تعامل بین دو محلی را در نظر بگیرید ، سپس می توانیم دیفرانسیل کل تولید آنتروپی را بدست آوریم.
$\begin{align}d_iS=\nabla \left(\frac{1}{T}\right)dq+\frac{1}{T}\nabla Ydx+\sum_j\frac{1}{T}\nabla \mu_jdN_j+\nabla \left(\frac{p}{T}\right)dV.\end{align}$
این یک معادله ترمودینامیکی غیر تعادلی است.
5) دیفرانسیل کل تولید آنتروپی $d_iS\ge0$ را ثابت کنید.
بیانیه جدید قانون دوم: "ریشه برگشت ناپذیری در یک اصل اساسی است: شیب چهار نیروی ترمودینامیکی خود به خود به سمت صفر می روند.چهار گرادیان نیروهای ترمودینامیکی هستند
$\begin{align}
\nabla \left(\frac{1}{T}\right),\,\,\,\, \nabla Y,\,\,\,\, \nabla \mu_j,\,\,\,\, \nabla \left(\frac{p}{T}\right). \end{align}$
شرایط تعادل ترمودینامیکی این چهار شیب برابر با صفر است.
لطفاً عبارات مختلف در مورد قانون دوم را مقایسه کنید ، و ببینید کدام یک از گزاره ها را می توان بدیهی دانست. 1) بیانیه کلاوزیوس گرما هرگز نمی تواند از بدن سردتر به بدن گرمتر منتقل شود بدون اینکه تغییر دیگری ، متصل به آن در همان زمان اتفاق بیفتد. گرما هرگز نمی تواند از بدن سردتر به بدن گرمتر برسد بدون تغییر دیگری ، متصل به آن ، در همان زمان اتفاق بیفتد.) بیانیه کلوین بدست آوردن اثر مکانیکی هر قسمت از ماده با سرد کردن آن در زیر دمای سردترین اجسام اطراف غیرممکن است.) اظهارات پلانک هر فرآیندی که در طبیعت اتفاق می افتد به مفهومی پیش می رود که در آن مجموع انتروپی تمام اجسامی که در این فرآیند شرکت می کنند افزایش می یابد. در حد ، یعنی برای فرآیندهای برگشت پذیر ، مجموع انتروپی ها بدون تغییر باقی می ماند.4) اصل Carathéodory در هر محله از هر ایالت S از یک سیستم محصور آدیاباتیک ، ایالات غیرقابل دسترسی از S وجود دارد.5) بیانیه جدید.شیب چهار نیروی ترمودینامیکی خود به خود به سمت صفر می روند.توجه داشته باشید
مکانیک آماری محدود به فرضیه احتمال پیشینی برابر است ، اما این فرض لازم نیست که در ترمودینامیک در نظر گرفته شود ، بنابراین دامنه های معتبر این دو نظریه متفاوت است. دامنه معتبر قضیه H کمتر از قانون دوم ترمودینامیک است.بیانیه کلازیوس در مقابل بیانیه کلوین-پلانک.انون دوم ترمودینامیک را می توان با دو جمله کلاسیک توصیف کرد. یکی از این جملات بیانیه کلوین-پلانک نام دارد. این جملات مربوط به موتورهای حرارتی است. علاوه بر بیانیه کلوین-پلانک ، بیانیه Clausius قانون دوم را نیز توصیف می کند. این عبارت مربوط به یخچال و فریزرها و پمپ های حرارتی است.
بیانیه کلوین-پلانک
ابتدا بیانیه کلوین-پلانک به صورت زیر بیان می شود.
"غیرممکن است که هر وسیله ای که روی یک چرخه کار می کند ، از یک مخزن گرما دریافت کند و یک مقدار خالص کار تولید کند."
در نتیجه ، یک موتور حرارتی باید تبادل گرما از یک منبع دمای بالا به یک غرق دمای پایین کند.
بیانیه کلاوزیوس
بعد ، بیانیه Clausius به صورت زیر بیان می شود.
"ساخت دستگاهی که در یک چرخه کار کند و هیچ نتیجه ای غیر از انتقال گرما از بدن با درجه حرارت پایین به بدن با درجه حرارت بالاتر نداشته باشد غیرممکن است."
به عبارت دیگر ، این عبارت تصدیق می کند که گرما تحت میل خود از یک محیط سرد به یک ماده گرم منتقل نمی شود. با این حال ، نمی گوید که ساخت چنین دستگاهی غیرممکن نیست. در عوض این بیان است که برای این اتفاق باید کار ضمنی باشد. برای یخچال یا پمپ حرارتی ، کار با استفاده از کمپرسوری انجام می شود که از یک منبع تغذیه خارجی هدایت می شود.
مقایسه دو گزاره
بیانیه کلوین-پلانک و بیانیه کلاوزیوس اظهارات منفی هستند. گزاره منفی گزاره ای است که قابل اثبات نیست. با این حال ، تا به امروز هیچ آزمایشی وجود نداشته است که قانون دوم ترمودینامیک را رد کند. در نتیجه ، این به عنوان اثبات اعتبار کافی در نظر گرفته می شود. به همین دلیل اگر دستگاهی بیانیه Clausius را نقض کند ، بیانیه کلوین-پلانک را نیز نقض خواهد کرد یا بالعکس.
به عنوان مثال اجازه دهید ترکیبی از یک موتور گرمایش و یخچال را در نظر بگیرید
ابتدا بیایید نگاهی به بیانیه کلوین-پلانک بیندازیم. طبق این گفته ، یک موتور گرمایی نمی تواند 100٪ کارایی داشته باشد. در عوض باید مقدار مشخصی از گرما را از یک منبع دمای بالا به یک سینک دمای پایین مبادله کند. با این حال ، تصویر نشان می دهد که موتور گرما در حال تبدیل تمام QH به کار است که تنها در صورت داشتن 100٪ بازده می تواند رخ دهد. از این رو ، این بیانیه کلوین-پلانک را نقض می کند.
بعد ، بیایید نگاهی به بیانیه Clausius بیندازیم. برای احترام به این گفته ، باید از انرژی کار از یک منبع خارجی استفاده شود. طبق تصویر ، تمام QH به کار تبدیل می شود. این برای استفاده از یخچال و فریزر برای حذف مقدار معینی از QL گرما از مخزن دمای پایین استفاده می شود. با این کار QL + QH به مخزن دمای بالا رد می شود. به نوبه خود ، مخزن دمای بالا مقدار خالص QL گرما دریافت می کند. این بدان معناست که برای نقض این یخچال و فریزر بیانیه Clausius نیازی به کار نیست.
همانطور که نشان داده شده است ، اگر بیانیه Clausius نقض شود ، بیانیه Kelvin-Planck نیز نقض می شود. این بدان معناست که هر دو عبارت برای قانون دوم ترمودینامیک عباراتی معادل هستند.روند برگشت ناپذیر در مقابل روند برگشت پذیر
همانطور که در قانون دوم ترمودینامیک بیان شده است ، هیچ موتور حرارتی نمی تواند 100٪ کارآمد باشد. با این وجود بالاترین بازدهی که ممکن است یک موتور گرما داشته باشد چیست؟ برای کمک به پاسخ به این س,وال، ما یک فرایند برگشت پذیر را توصیف خواهیم کرد ، که یک فرایند ایده آل است.
روند برگشت پذیر
بنابراین روند برگشت پذیر چیست؟ برای اینکه فرآیندی قابل برگشت باشد ، باید بتواند به حالت اولیه خود برگردد و هیچ اثری در محیط اطراف خود باقی نگذارد. این مورد هم برای سیستم و هم برای محیط پیرامون آن صدق می کند. برای اینکه این اتفاق بیفتد ، تبادل حرارت خالص و کار خالص بین سیستم و محیط اطراف آن باید صفر باشد. هر فرآیندی که نتواند این دستورالعمل ها را برآورده کند فرآیندی برگشت ناپذیر نامیده می شود.با این حال ، توجه به این نکته مهم است که می توان سیستمی با فرایند برگشت ناپذیر را به حالت اولیه خود بازگرداند. با این حال ، اینکه یک سیستم می تواند به حالت اولیه خود برگردد ، به معنای برگشت پذیر بودن فرآیند نیست. دلیل این امر این است که روند نباید تغییر خالصی در محیط اطراف داشته باشد. در صورت نیاز به کار برای بازگرداندن سیستم به حالت اولیه خود ، روند برگشت پذیر نیست.در واقع ، یک روند برگشت پذیر نمی تواند در طبیعت رخ دهد. دلیل این امر نقض قانون دوم ترمودینامیک است. در عوض ، یک فرایند برگشت پذیر یک فرایند ایده آل است. در نتیجه ، می توان از آن برای تخمین نحوه رفتار یک دستگاه واقعی استفاده کرد. با این حال ، مهم است که درک کنیم این روند هرگز قابل دستیابی نیست. به عبارت دیگر ، تمام فرایندهای یافت شده در طبیعت برگشت ناپذیر هستند.حتی اگر یک فرآیند برگشت پذیر در واقع نمی تواند رخ دهد ، دو دلیل وجود دارد که مورد توجه آنها است. اول ، تجزیه و تحلیل یک فرایند برگشت پذیر ساده است. دلیل این امر این است که سیستم از یک سری حالتهای تعادل عبور خواهد کرد. ثانیا ، یک فرایند برگشت پذیر مدل ایده آل است. در نتیجه ، می توان این مدل ایده آل را با مدل واقعی مقایسه کرد تا حدود نظری مدل واقعی را تعیین کند.برگشت ناپذیری ها
به هر عاملی که منجر به برگشت ناپذیری فرآیند شود ، برگشت ناپذیر گفته می شود. به نوبه خود ، این شامل اصطکاک ، مخلوط کردن دو مایعات ، مقاومت الکتریکی ، واکنش های شیمیایی ، انبساط بی حد و حصر ، انتقال حرارت در یک اختلاف درجه حرارت محدود و تغییر شکل غیر الاستیک یک ماده جامد است ، به نام چند. اگر هر یک از این برگشت ناپذیری ها وجود داشته باشد ، روند غیرقابل برگشت است.
اصطکاک
اصطکاک یکی از رایج ترین برگشت ناپذیری است که با بدن در حال حرکت مرتبط است. نیروهای اصطکاکی در سطوح رابطی دو جسم که در برابر یکدیگر حرکت می کنند ، رخ می دهد. به نوبه خود ، نیروی اصطکاک باعث از بین رفتن انرژی در اثر گرما می شود. این اتلاف انرژی برگشت ناپذیر است.
به عنوان مثال ، بیایید نگاهی به پیستون بیندازیم. حرکت پیستون یک دورانی است. به عبارت دیگر ، پیستون پس از اتمام چرخه به موقعیت شروع خود باز می گردد. با این حال ، در طول چرخه پیستون به طور معمول با سطح یک سیلندر در تماس است. با حرکت پیستون ، نیروی اصطکاک ایجاد می شود. برای غلبه بر این نیروهای اصطکاکی انرژی لازم است. به نوبه خود ، انرژی به گرما تبدیل می شود. در نتیجه ، از آنجا که اصطکاک برگشت ناپذیری است ، این گرما به انرژی کار مورد نیاز برای راه اندازی پیستون تبدیل نمی شود. درعوض انرژی بیشتر کار می کند تا به گرما تبدیل شود. در نتیجه ، برای ادامه کار پیستون ، باید انرژی اضافی به سیستم اضافه شود. این منجر به یک فرآیند برگشت ناپذیر خواهد شد.
اصطکاک فقط شامل دو جسم جامد نیست. در واقع اصطکاک بین مایع و جامدات و همچنین بین لایه های مایع در حال حرکت با سرعت های مختلف رخ می دهد. به عنوان مثال ، مقدار قابل توجهی از توان تولید شده توسط موتور اتومبیل برای غلبه بر نیروهای کشش بین هوا و بدنه ماشین استفاده می شود. به نوبه خود ، این انرژی در نهایت انرژی داخلی هوا را افزایش می دهد. همچنین نمی توان این انرژی را بازیابی کرد ، که به نوبه خود منجر به یک فرآیند برگشت ناپذیر می شود.فرآیندهای برگشت پذیر: داخلی و خارجی
هنگامی که یک فرآیند اتفاق می افتد ، تعاملاتی بین یک سیستم و محیط اطراف آن وجود خواهد داشت. برای برگشت پذیر بودن فرآیند ، نباید هیچگونه برگشت ناپذیری همراه باشد.
برای اینکه یک فرآیند در داخل قابل برگشت باشد ، در مرزهای سیستم هیچگونه برگشت ناپذیری وجود نخواهد داشت. از این رو ، هرچه سیستم از طریق یک سری تعادل ها پیش می رود ، با بازگشت به حالت اولیه ، از همان تعادل ها عبور خواهد کرد. به عنوان مثال ، یک فرایند شبه تعادل نمونه ای از یک فرایند برگشت پذیر است.
در مقابل ، وقتی هیچ برگشت ناپذیری خارج از سیستم وجود نداشته باشد ، یک فرآیند برگشت پذیر خارجی اتفاق می افتد. به عنوان مثال ، اگر سطح خارجی یک سیستم در دمای محیط اطراف خود باشد ، انتقال حرارت بین این دو قابل برگشت است.
سرانجام ، یک فرآیند برگشت پذیر کلی از نظر خارجی و داخلی قابل برگشت است. این بدان معنی است که هیچ اصطکاک ، هیچ تغییری در تعادل غیر شبه ای ، هیچ انتقال گرما به دلیل اختلاف دمای محدود یا سایر اثرات اتلاف ایجاد نخواهد شد
تصویر

ارسال پست