معنی فشار در معادله Navier-Stokes چیست؟

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 619

سپاس: 391

جنسیت:

تماس:

معنی فشار در معادله Navier-Stokes چیست؟

پست توسط rohamjpl »

smile199 اما من هنوز نمی توانم معنای واقعی فشار را در معادله Navier-Stokes درک کنم. بیایید مقداری ریاضی انجام دهیم تا هدف من با دقت بیشتری توضیح داده شود! بیایید از مبانی فیزیک شروع کنیم و به نظر من این اولین معادله در ترمودینامیک کلاسیک به عنوان معادله حالت خواهد بود. ما فرض می کنیم: یک سیال وجود دارد که دارای معادله ای از حالت زیر است:
$\rho = \rho(P,T)$
جایی که ρ چگالی سیال است ، P فشار و T دما است. بیایید مشتق شده از این معادله را داشته باشیم تا:
$d\rho = (\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} dP + (\frac{\partial \rho}{\partial T})_{P} dT$
بیایید فرض کنیم که مایع ما در تعادل گرمایی است و درجه حرارت آن تغییر نمی کند ، در نتیجه: dT = 0
بنابراین ، ما باید:$d \rho = (\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} dP$
من می دانم که این فرضیه زیادی است اما دوباره فرض کنیم که تغییر چگالی به دلیل تغییر فشار غیرخطی نیست و مایع ما در واقع مانند یک گاز ایده آل رفتار می کند. در نتیجه ، من $(\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T}$ را مربع معکوس سرعت مینامم می نامم که یک عدد ثابت است ، مانند:$(\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} = c_{s}^{-2}$و$d \rho = c_{s}^{-2} d P$
بنابراین ، سرانجام ما باید:$\Delta \rho = c_{s}^{-2} \Delta P$یا$(\rho - \rho_{f}) = c_{s}^{-2} (P - P_{0})$
یا دوباره:جایی که ρf چگالی سیال در حالت استراحت یا مرجع است که برای هر سیال یک مقدار جدول بندی شده است و P0 فشار مرجع است.
حالا ، من تصور می کنم که مایعات من یک مایعات غیر قابل فشرده است و این بدان معنی است (چگالی ثابت است و واقعاً ثابت است!):
$\rho = \rho_{f}$در نتیجه ، از آنجا که ، هر سیال صرف نظر از قابلیت فشرده سازی یا عدم قابلیت انعطاف پذیری سرعت صوتی محدودی دارد ، من می گویم که:
$P = P_{0}$یا به عبارت دیگر ، فشار دقیق باید برابر با فشار مرجع باشد.
اکنون ، من ثابت کردم که برای یک سیال غیرقابل انعطاف تا زمانی که چگالی ثابت باشد ، فشار نیز باید ثابت باشد. بنابراین در معادله ناویر-استوکس غیرقابل تطبیق ما داریم:$\rho_{f} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho_{f} (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\nabla P + \nabla \cdot \tau$
و من نشان دادم که برای مایعات غیرقابل انعطاف ، P فقط ثابت است ، بنابراین: $\nabla P = 0$
در نتیجه ، می توانم معادله Navier-Stokes را به صورت زیر ساده کنم:$\rho_{f} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho_{f} (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = \nabla \cdot \tau$
حالا برگردیم به سوال اصلی من:
بر اساس این محاسبات می گویم فشار در معادله ناویر-استوکس غیرقابل تطبیق فقط یک متغیر ساختگی است ، که هیچ معنی فیزیکی ندارد! اگر کسی بتواند این موضوع را برای من توضیح دهد قدردانی می کنم!دو فشار وجود دارد: فشار گرمایی ترمودینامیکی و فشار مکانیکی فشار ترمودینامیکی ، مفهومی از ترمودینامیک تعادل و بنابراین فقط برای یک سیال ثابت قابل استفاده است ، با یک معادله حالت داده می شود: $p_\text{thermo}=f(\rho,T)$ ، جایی که ρ تراکم سیال و T دمای آن است. سیال در حال حرکت در تعادل نیست و پترموی آن تعریف نشده است. فشار مکانیکی قسمت ایزوتروپیک سنسور تنش است و برای یک مایع متحرک نیز تعریف می شود. $p_\text{mech}$ در معادله Navier-Stokes ظاهر می شود.
اگر یک مایع ساکن ایزوترمال باشد و چگالی ثابت داشته باشد (ρ ، T ثابت است) ، پترمو نیز ثابت است. اما فشار مکانیکی داده شده توسط معادله هیدرواستاتیک با عمق سیال با چگالی ثابت ایزوترمال متفاوت است.
شما دو فشار را با هم مخلوط می کند. روابط عبارتند از:
$\begin{align}
\mathrm{d}\rho&=c_s^{-2}\,\mathrm{d}p_\text{mech}\\
\mathrm{d}\rho&=\left(\frac{\partial\rho}{\partial T}\right)\,\mathrm{d}T+\left(\frac{\partial\rho}{\partial p_\text{thermo}}\right)\,\mathrm{d}p_\text{thermo}.
\end{align}$
معادله اخیر از ترمودینامیک فقط برای یک سیال ایستا قابل استفاده است. مورد اول معادله ترمودینامیکی نیست. سیال تراکم ناپذیر به سیالی گفته می شود که تراکم آن به فشار مکانیکی آن بستگی نداشته باشد. نمی گوید که $p_\text{mech}$ نمی تواند متفاوت باشد. بنابراین وقتی به مرز سیال تراکم ناپذیر ، dρ → 0 نزدیک می شوید ، لزوماً باید $c_s\to\infty$ داشته باشیم. نادرست است که بگوییم "... هر مایعی بدون در نظر گرفتن قابلیت فشرده شدن یا فشرده نشدن سرعت صوتی محدودی دارد ..."؛ مایعات غیرقابل انعطاف وجود ندارد ، بنابراین پیشینی نمی دانید که چه سرعت صوتی باید به یک مایع فرضی اختصاص یابد. برای مطابقت با تعریف عدم قابلیت انعطاف پذیری ، اما باید تغییراتی د$p_\text{mech}$ اجازه داده شود که بی نهایت سرعت صدا در یک مایع غیرقابل فشرده سازی فرضی باشد.
منشأ شیب فشار در انتگرال ناویر-استوکس من می بینم که این یک انتگرال سطحی از فشار است و دارای ابعاد صحیح نیرو است ، اما من در مورد اصل اصطلاح گیج شده ام.$\frac{\partial}{\partial t}\int_V\rho\mathbf u\,dV=-\oint_S\left(\rho\mathbf u\cdot d\mathbf{S}\right)\mathbf{u}-\oint_Sp\,d\mathbf{S}+\int_V\rho\mathbf{f}_{body}\,dV+\mathbf{F}_{surf}$
به نظرم این اصطلاح گرادیان فشار است که در کل حجم ادغام می شود ، به یک انتگرال سطح تبدیل می شود و از قضیه گاوس استفاده می شود.
توجه داشته باشید که وقتی معادله مربوطه می شود ،$\frac{\text{d}\boldsymbol{u}}{\text{d} t} =
\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t} + \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{u} = -\frac{1}{\rho} \boldsymbol{\nabla}p + \boldsymbol{f}_{\text{body}}.$
این برای جریان نامحسوس است. برای جریان چسبناک اصطلاح دیگری در سمت راست ظاهر می شود (به دست آوردن معادله Navier-Stokes تحت فرضیه های مکانیک پیوستار ، می توان هر زیر دامنه V از پیوستار را جدا کرد و به طور کلی فرض می کند که تحت تأثیر
یک میدان از نیروهای سطح در واحد سطح (کشش ها) ، نشان داده شده t ، که یک میدان سطحی است که در مرز خود تعریف شده است ویک رشته از نیروهای بدن (در واحد حجم) ، ، در قسمت داخلی آن مشخص شده است.بنابراین ، می توان فرض کرد که حفظ حرکت خطی برای بدن اعمال می شود (قانون دوم نیوتن را تعمیم می دهد)
$\frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t} = \mathbf{F}_{\text{body}} + \mathbf{F}_{\text{surface}} \tag{roham}$
که در آن حرکت کلی خطی در V به صورت تعریف شده است
$\mathbf{P} = \int_V { \rho \mathbf{u} \, \mathrm{d}V}$
و جایی که می توان کل نیروهای سطح و بدن را به عنوان محاسبه کرد
$\mathbf{F}_{\text{body}} = \int_V { \mathbf{f}_{\text{body}} \, \mathrm{d}V}, \quad \mathbf{F}_{\text{surface}} = \oint_S { \mathbf{t} \, \mathrm{d}S}$
بنابراین ، اصطلاح LHS و اولین اصطلاح RHS در معادله شما ، با قضیه حمل و نقل رینولدز ، با LHS در معادله (1) مطابقت دارد. در حالی که سومین اصطلاح در معادله شما اولین اصطلاح در RHS معادله است. (roham)علاوه بر این ، می توان ثابت کرد (به این مقاله در مورد مبانی نظریه مراجعه کنید) که باید یک میدان تنسور σ وجود داشته باشد به گونه ای که برای هر نقطه از مرز بدن (زیر دامنه) با یک n محلی معمولی کاملاً مشخص ، محلی مقدار بردار کشش (با گرفتن مقدار نرمال به گونه ای که به سمت خارج بدن نشان داده شود) توسط داده می شود
$\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{n} \tag{roham2}$
تنسور σ تنسور تنش کوشی است ، و می توان ثابت کرد که در نتیجه حفاظت محلی از حرکت زاویه ای ، باید متقارن باشد. بعلاوه ، در مایعات یک اصل فرعی پاسکال فرض می شود: تنش های طبیعی مولفه طبیعی کشش ها) به جهت بستگی ندارند.
حال ، توجه داشته باشید که از آنجا که مطابق معادله (roham2) تنشهای طبیعی مقادیر ویژه تنسور تنش هستند ، همه آنها باید برابر با یک میدان مقیاسی منفرد باشند ، که ما آن را به عنوان −p ، فشار (منهای) نشان می دهیم. علامت منفی از طبیعت فشاری نیرو حاصل می شود. با توجه به این ما$\mathbf{F}_{\text{surface, normal}} = \oint_S { (\mathbf{t} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n} \, \mathrm{d}S} = \oint_S { (\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{n}) \cdot \mathbf{n} \, \mathbf{\mathrm{d}S}} = - \oint_S { p \, \mathbf{\mathrm{d}S}}$
سطح سطحی ، نرمال جایی که $\mathbf{\mathrm{d}S} = \mathbf{n}\mathrm{d}S$ ، نرمال به گونه ای تعریف می شود که $\mathbf{F}_{\text{surface, normal}} + \mathbf{F}_{\text{surf}} = \mathbf{F}_{\text{surface}}$ (توجه داشته باشید که $\mathbf{F}_{\text{surf}}$ نیروهای برشی هستند
بنابراین ، اصطلاحی که در مورد آن پرسیدم با سهم نیروهای سطح نرمال در سرعت تغییر در حرکت خطی حجم در نظر گرفته شده مطابقت دارد.
فشار به عنوان ضریب لاگرانژ
در معادلات ناویر-استوکس غیرقابل تراکم ،$\begin{align*}
\rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\
\nabla\cdot\mathbf{u} &= 0
\end{align*}$
از اصطلاح فشار اغلب به عنوان ضریب لاگرانژ استفاده می شود که شرایط عدم انعطاف پذیری را اعمال می کند.
از چه لحاظ این درست است؟ آیا فرمولی از معادلات ناویر استوکس غیرقابل تطبیق به عنوان یک مسئله بهینه سازی مشروط به محدودیت عدم تراکم وجود دارد؟این مسئله با در نظر گرفتن معادلات ثابت استوکس به راحتی دیده می شود
$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\
\nabla \cdot u = 0$
که معادل مسئله است$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\
\text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$.
اگر لاگرانژی و سپس شرایط بهینه بودن این مشکلات بهینه سازی را یادداشت کنید ، متوجه خواهید شد که در واقع فشار چند برابر لاگرانژ است.
این معادل سازی بین مشکلات در هیچ طرح عددی مورد سو استفاده قرار نمی گیرد (که من از آن مطلع هستم) اما یک ابزار مهم در تجزیه و تحلیل است زیرا نشان می دهد که معادلات استوکس اساساً معادله پواسون در یک فضای فرعی خطی هستند. این مورد در مورد معادلات استوکس وابسته به زمان (که مربوط به معادله گرما در زیرفضا است) صدق می کند و می تواند به معادلات ناویر-استوکس گسترش یابد.
تصویر

ارسال پست