معادله اولر در اولین قانون ترمودینامیک

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 738

سپاس: 434

جنسیت:

تماس:

معادله اولر در اولین قانون ترمودینامیک

پست توسط rohamjpl »

معادله اولر در ترمودینامیک به شرح زیر است:
$U=TS-PV+\mu N$
اما قانون اول ترمودینامیک چنین می گوید
$dU=TdS-PdV+\mu dN$
اما من فکر می کنم که معادله اولر را می توان توسط نوشت
$dU=TdS+SdT-PdV-VdP+\mu dN+Nd\mu$
سپس ،$SdT-VdP+Nd\mu=0$
اما من فکر نمی کنم که این همیشه درست باشد.
من می بینم که فقط در صورت همگن بودن سیستم درست است. آیا می توانید نمونه ای از سیستم همگن و سیستم غیرهمگن را برای من بیاورید؟
معادله اولر نتیجه خاصیت گسترده انرژی $U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)= \lambda U(S,V,N)$ است.
$\begin{align}U(S,V,N)&=\Big(\frac{\partial{U}}{\partial{S}}\Big)_{N,V}S+\Big(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\Big)_{N,S}V+\Big(\frac{\partial{U}}{\partial{N}}\Big)_{S,V}N\\
&=TS-PV+\mu N\end{align}$
و قانون اول ترمودینامیک فقط گزاره ای است که می گوید انرژی صرفه جویی می شود. U (S ، V ، N) یک تابع حالت است و بنابراین dU (S ، V ، N) یک دیفرانسیل دقیق است ، می توان آن را به شکل زیر نشان داد.$\begin{align}dU(S,V,N)&= \Big(\frac{\partial{U}}{\partial{S}}\Big)_{N,V}dS+\Big(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\Big)_{N,S}dV+\Big(\frac{\partial{U}}{\partial{N}}\Big)_{S,V}dN\\&=TdS-PdV+\mu dN
\end{align}$ هم معادله اولر و هم قانون اول ترمودینامیک از نتایج منطقی خواص مختلف انرژی یعنی U (S ، V ، N) (قابلیت توسعه و صرفه جویی در انرژی) هستند و هر دو درست هستند.
همانطور که نتیجه گرفتم ، این منجر به $SdT-VdP+Nd\mu=0$ می شود که معادله گیبس-دوهم است. سوال من اثبات معادله گیبس-دوهم است.
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 738

سپاس: 434

جنسیت:

تماس:

Re: معادله اولر در اولین قانون ترمودینامیک

پست توسط rohamjpl »

انرژی قابل استفاده به‌ منظور تولید کارِ بدست آمده از یک واکنش، انرژی آزاد گیبس هستش که. در حقیقت اگر آنتالپی یک سیستم برابر با H و دما و آنتروپی آن به‌ترتیب برابر با T و s باشه
$G = H – T S$در یه واکنش $\Delta G = \Delta H – T \Delta S$اینطور نمایش میدند که تغییرات انرژی آزاد گیبس در هنگام تشکیل یک ترکیب، اجزا تشکیل‌دهنده آن را در پایدارترین حالت ترمودینامیکی قرار می‌دهد $\large {\Delta G ^ { \circ } = \sum \Delta G _ f \ { \text { products } } ^ { \circ } -\sum \Delta G _ f \ { \text { reactants } } ^ { \circ } }$ reactants به معنای واکنش‌دهنده‌ها و products به معنای فرآورده‌ها هست حالا انرژی آزاد هلمهولتز یک پتانسیل ترمودینامیکی است که کار مفید را در یک سیستم بسته ترمودینامیکی در شرایط همدما و هم‌حجم اندازه‌گیری می‌کند اگه حجم ثابت نباشد، بخشی از کار انجام شده را به عنوان کار مرزیBoundary Workدر نظر میتوان گرفت البته تو حجم ثابت بهتر نشون میده.${\displaystyle F \equiv U – T S}$ که F
: انرژی آزاد هلمهولتز که آن را با A نیز نشان می‌دهند و واحد آ ن در SI، ژول است.U : انرژی داخلی سیستم با واحد ژول T : دمای محیط اطراف با واحد کلوین که این دما را با «حمام گرمایی» (Heat Bath)، مدلسازی می‌کنند.S : آنتروپی سیستم با واحد ژول در SI حال بر اساس قانون اول ترمودینامیک در یک سیستم بسته، رابطه ${\displaystyle \mathrm {d} U =\delta Q \ +\delta W }$ برقرار هستش δQ، انرژی اضافه شده به سیستم به صورت گرما و δW ، کار انجام شده بر روی سیستم است. قانون دوم ترمودینامیک برای یک واکنش برگشت‌پذیر نیز ${\displaystyle \delta Q = T\,\mathrm {d} S}$ اینطور تعریف میکنم اگه تغییر برگشت‌پذیر داشته باشیم، کار انجام شده را می‌توان با رابطه ${\displaystyle \delta W = -p\,\mathrm {d} V}$طبق قانون اول ترمو${\displaystyle \mathrm {d} U = T\,\mathrm {d} S – p\,\mathrm {d} V}$ خوب قانون ضرب در مشتق انجام بدم$(d(T S) = T d S + S d T)$میشه ${\displaystyle \mathrm {d} (U – T S) = – S\,\mathrm {d} T -p\,\mathrm {d} V}$ خوب من انرژی آزاد هلمهولتز${\displaystyle \mathrm {d} F = – S\,\mathrm {d} T – p\,\mathrm {d} V}$ اوردم با تعریف قانون اول ترمو$d U = T d S – P d V$ خوب اگه فشار ثابت باشه $- P d V$ حذف شده به نامساوی کلازیوس $(d S > \dfrac{δ q}{ T })$ در حجم ثابت خواهیم رسید $\underset{ \text{} }{ dU-TdS \le 0 }$ حال ه تعریف انرژی هلمهولتز $\begin{equation}
\begin{array}{c}
{A \equiv U – T S} \\
{d A = d U – T d S – S d T}
\end{array}
\end{equation}$در دما و فشار ثابت $\underset{ \text{} }{ dA=dU-TdS \le 0 }$ حالا انرژی داخلی،‌ آنتروپی و کار نیز به درستی تعریف میشه . با استفاده از قانون پایستگی انرژی دارم ${\displaystyle \Delta U _ {\text{bath}}+\Delta U + W = 0}$ در حجم ثابت ومقدار گرمای منتقل شده به حمام گرمایی ${\displaystyle Q _ {\text{bath}}=\Delta U _ {\text{bath}}=-(\Delta U + W)}$ من تغییرات آنتروپی اعمال میکنم ${\displaystyle \Delta S_{\text{bath}}={\frac {Q_{\text{bath}}}{T}}=-{\frac {\Delta U+W}{T}}}$ با اعمال تغییرات کلی انتروپی ${\displaystyle \Delta S _ {\text{bath}}+\Delta S = -{\frac {\Delta U – T\Delta S + W}{ T }}}$از آن‌جایی که تغییرات آنتروپی همواره مساوی یا بزرگتر از صفر است، به نامساوی زیر می‌رسم${\displaystyle W \leq – \Delta F}$ کل کاری از یک سیستم در فرآیند همدما بدست میاد با کاهش انرژی آزاد محدود شده است و این افزایش انرژی آزاد در یک فرآیند برگشت‌پذیر، نیازمند انجام کار بر روی سیستم است. اگر هیچ کاری از سیستم حاصل نشود، مقدار آن صفر خواهد بود و به نامساوی زیر میرسم${\displaystyle \Delta F \leq 0}$ در نتیجه، برای یک سیستم در دما و حجم ثابت که نتواند کاری به غیر از $PV$ انجام دهد،‌ انرژی آزاد کل در طول یک تغییر خودبه‌خودی، همانطور که من گفتم ، کاهشی خواهد بود. این نتیجه گویی با رابطه $dF = −S dT − P dV$ در تضاد است چراکه با ثابت نگاه‌داشتن دما و حجم، $d F = 0$ و در نتیجه،
F مقداری ثابت خواهد داشت. در واقعیت چنین تضادی وجود ندارد. در یک سیستم تک‌جزئی، که رابطه $dF = −S dT − P dV$ محدود می‌شود، هیچ فرآیندی در دما و حجم ثابت قابل انجام نیست.برای اینکه فرآیندی در دما و حجم ثابت به طور خود به خودی انجام شود، باید حالت ترمودینامیکی فضای سیستم بزرگ‌تر شود یعنی تعداد ذرات j $(N_j)$ تغییر پیدا کند یعنی $\begin{equation}
d F=-S d T-P d V+\sum_{j} \mu_{j} d N_{j}
\end{equation}$ بازم برمیگردم ${\displaystyle F = U – T S}$ که در ترمودینامیک ${\displaystyle d F = -S \, d T – P\, d V + \mu \,d N}$ ${\displaystyle S = – {\bigg (}{\frac {\partial F }{\partial T }}{\bigg )}{\bigg |}_{ V , N },\quad P = – {\bigg (}{\frac {\partial F }{\partial V }}{\bigg )}{\bigg | } _ { T , N } ,\quad \mu ={\bigg (}{\frac {\partial F }{\partial N }}{\bigg )}{\bigg | } _ { T , V }}$ روابطی برای آنتروپی، فشار و پتانسیل شیمیایی بدست میاد
تصویر

ارسال پست