ببینید سوال راحت نیست و احتیاج به محاسبات پیچیده ریاضی داره ولی به طور ساده من اینطور فکر میکنم آنها در حالی که مرکز چرخش در وسط قرار دارد به دور یکدیگر می چرخند. به آن نقطه barycentre گفته می شود. اگر ماه به طور ناگهانی به اندازه زمین باشد ، جزر و مد بزرگ می شود و مناطق وسیعی از زمین را باتلاقی می کند. انرژی حاصل از این امر چرخش زمین را کند می کند تا جایی که یک طرف آن همیشه رو به ماه باشد ، همانطور که یک طرف ماه همیشه رو به زمین است. به این حالت جزر و مد قفل شده می گویند. اگر فاصله بین آنها ثابت بماند ، مدار سریعتر خواهد بود. حدس می زنم کمتر از 17 روز در مقابل 28 فعلی باشد. بنابراین با نوسانات دمایی روز و شب روز ما 17 برابر بیشتر می شود. این باعث از بین رفتن بیشتر گونه های فعلی ما می شود. اما به اندازه کافی آهسته اتفاق می افتد که گونه های سازگار به آهستگی تصاحب می شوند. هر شب در نیمه شب یک ماه کامل و در ظهر یک ماه کامل وجود دارد ، اما فقط در آن طرف کره زمین است که ماه را می بیند.
آتشفشان ها و زمین لرزه ها به دلیل افزایش نیروی جزر و مدی دیوانه می شوند.
اگر قانون جاذبه $\displaystyle{F}_\text{gravity}=G\frac{M_{1}M_{2}}{R^{2}}$را بنویسید متوجه افزایش مشید جرم ها برابر و فاصله را خودتان تنظیم کنید.
اگر ماه ناگهان تا اندازه ای بزرگتر بزرگ شود ، جرم آن نیز افزایش می یابد. بگذارید بگوییم جرم آن 25٪ افزایش یافته است. یک ماه پرجرم تر بلافاصله سرعت چرخش خود را کاهش می دهد. شوک ناشی از این امر باعث از بین رفتن همه کوه ها و دهانه های موجود در ماه شده و سطح صاف و غبار سنگی به آن می بخشد. حتی ممکن است سطح را به گدازه مذاب ذوب کند. یک ماه پرجرم بیشتر جذب زمین می شود و حرکت خود را به سمت زمین آغاز می کند. زمین همچنین به سمت ماه پرجرمتر حرکت می کند. هرچه دو جهان به هم نزدیکتر می شدند ، حرکت زاویه ای مشترک آنها ثابت می ماند. این امر باعث می شود چرخش ماه به دور زمین سریعتر شود. (چرخش زمین "به دور ماه" نیز باید سرعت بیشتری بگیرد ، اما اجازه دهید وارد این مسئله نشویم.) اگر ما خوش شانس بودیم ، سرانجام سرعت جدید ، سریعتر و مداری ماه ، ماه را در یک مدار جدید سریعتر و نزدیک تر به ثبات می رساند. زمین. ممکن است به بالا نگاه کنیم تا ماه درخشان تری را ببینیم که خورشید را در آسمان عبور می دهد. جزر و مد اقیانوس ها هر چه بیشتر و کم می شوند ، و با هر بار چرخش غول ترسناک جدید ماه ، سواحل را دو برابر سیلاب و تخلیه می کنند. به همین دلیل ، فضای زندگی در زمین بسیار کوچکتر خواهد شد. کل مراحل احتمالاً چند روز طول می کشد. کسانی از ما که از این فاجعه جان سالم به در ببریم گاهی اوقات قادر به دیدن قسمت پشتی ماه خواهیم بود. اما مهم نیست ، زیرا هر دو طرف ماه پس از آن یکسان به نظر می رسند.
آیا آنها جزر و مد قفل می شوند؟ شاید. این بستگی به چگونگی نزدیک شدن به هم و سرعت چرخش آن زمان دارد. اگر شکل آنها نسبتاً نزدیک باشد و خیلی سریع نچرخد ، پس احتمال زیادی وجود دارد که نیروهای جزر و مدی که آنها را از هم دور می کند ، آنها را به سمت قفل جزر و مد سوق دهد. تا زمانی که آنها واقعاً چرخاننده سریعی نباشند ، آنقدر حرکت زاویه ای در سیستم وجود ندارد که نتوانند آن را قفل کنند. باید مدل سازی ریاضی انجام دهیم
در امتداد خط اتصال زمین و ماه ، باید 2 نقطه وجود داشته باشد که نیروی خالص با بزرگی به سمت زمین باشد که باعث می شود جمع شدن خالص برابر با ماه باشد. این نقاط همان چیزی است که من درک می کنم L1 و L2 است.$\frac{GM}{x^2}-\frac{Gm}{(R-x)^2}-w^2x=0.$ وارد مکانیک لاگرانژی نشویم من ساده تر بیان میکنم
اما من نکته دیگری مد نظر دارم حد رُش چیست؟ (Roche limit) در مکانیک سماوی حد رُش نقطهایست که گرانشی که یک قمر را منسجم نگه داشته است ضعیفتر از نیروهای کشندی یا جزر و مدی است که تلاش بر تکه تکه کردن آن دارند. به بیان دیگر، ماه میتواند تا فاصله ۱۸,۴۷۰ کیلومتری زمین نزدیک شود تا قبل از اینکه – بومممم.و برخورد کنه من روابط مینویسم و خودتون درمیابید تا چه فاصله و اندازه جرم چقدر باشه .حد روشه زمانی اعمال می شود که سیاره یا قمر نجومی مورد بحث به جای نیروهای الکترومغناطیسی توسط جاذبه نگه داشته شود. این مورد برای اجسام با قطر بزرگتر از حدود 500 کیلومتر است. برای قمرهای بسیار کوچکتر از سیاره ای که در حال چرخش هستند و با فرض اینکه ماه و سیاره چگالی تقریباً یکسانی دارند ، حد روشه حدود 2.44RP است ، جایی که RP شعاع سیاره است.$d = 2.44 R_P \left( \frac{\rho_P}{\rho_M} \right)^{1/3}$ جایی که $\rho_P$ چگالی سیاره و $\rho_M$ چگالی ماه است
شما بگویید هردو اندازه و جرم یعنی دوتا زمین دوره تناوب 24 $2\pi\sqrt{{(M+m)^2 r^3\over GM^3}}=T$ خوب $T=24h=86400s$و$M=m=5.972\cdot 10^{24} kg$و$G=6.67408\cdot 10^{-11}{m^3\over kg\cdot s^2}$و$\sqrt{{(2M)^2 r^3\over GM^3}}={T\over 2\pi}$و${4M^2 r^3\over GM^3}={T^2\over 4\pi^2}$در حالی که$(2M)^2=2^2M^2=4M^2$ دارم$r^3={T^2GM\over 16\pi^2}$که $r=\sqrt[3]{86400^2s^2\cdot 6.67408\cdot 10^{-11}{m^3\over kg\cdot s^2}\cdot 5.972\cdot 10^{24}kg\over 16\pi^2}$که میشه $r=26,609,700m=26,610km$ بزرگتر از 2800 کیلومتر هست.دوره ان ${\displaystyle P=2\pi \left({\frac {d^{3}}{GM_{M}}}\right)^{1/2}=2\pi \left({\frac {d^{3}}{(4/3)\pi GR_{M}^{3}\rho _{M}}}\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {6\pi }{G\rho _{m}}}}}$فقط به دانسیته وابسطه هست
کشش گرانشی ${\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}$ که میشه ${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$ پس شعاع معلوم R و فاصله مراکز دو جرم d من ${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}}F_{{\text{T}}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}$را مینویسم که با ${\displaystyle F_{\text{G}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}}$ برابر میزارم و d محاسبه میشه من میتونم به جای جرم فرمول دانسیته را بیارم ${\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}} $خوب برای ماه همین میارم ${\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}$در نهایت ${\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}$که حد Roche ساده بنویسم ${\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.26R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$خوب رابطه دقیقترش ${\displaystyle d=R_{M}\left(3\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{M}\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$
من بامکانیک لاگرانژی بگم دو نقطه L1 و L2 که $\ddot{\mathbf{r}} = - \omega^2 \mathbf{r}$ برای حرکت دایره ای با سرعت زاویه ای ω در اطراف مبدا هست وشتاب ناشی از گرانش از جرم نقطه ای روی جرم دیگر در موقعیت r توسط قانون مربع معکوس معمول داده می شود:$\ddot{\mathbf{r}} = -\frac{Gm}{\left\|\mathbf{r}\right\|^2}\hat{\mathbf{r}}$ حال یک سیستم دو بدنه با جرم های m1 و m2 در نظر بگیرید که به ترتیب فاصله r در مرکز مرکز جرم آنها (c.o.m.) به ترتیب در فاصله r1 و r2 از هم جدا شده اند
این یک سیستم یک بعدی است ، بنابراین می توانیم از بردارها به مقیاس های بزرگ تبدیل شویم. از تعریف مرکز جرم ، ما باید:$r_1 = \left(\frac{m_2}{m_1 + m_2}\right) r$و$r_2 = \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right) r$ برای مدار به دور مرکز جرم ، برابر کردن شتاب گرانشی با شتاب مورد نیاز برای حرکت دایره ای:$\omega^2 r_2 = \frac{G m_1}{r^2}$و سپس من بیان r2 از نظر r1 را با قانون سوم کپلر را مینویسم $\omega^2 = \frac{G\left(m_1 + m_2\right)}{r^3}$
بعد فاصله را تا نقطه L1 می یابیم ، جایی که نیروهای گرانشی اولیه و ثانویه با هم ترکیب می شوند تا شتاب مورد نیاز حرکت دایره ای را فراهم کنند. برابر کردن شتاب برای حرکت دایره ای با نیروهای گرانشی:
$\omega^2 \left(r_2 - h\right) = \frac{G m_1}{\left(r - h\right)^2} - \frac{G m_2}{h^2}$و جایگزینی ω نتایج:$\frac{\left(m_1 + m_2\right)\left(r_2 - h\right)}{r^3} = \frac{m_1}{\left(r - h\right)^2} - \frac{m_2}{h^2}$ سپس این را از نظر نسبت جرم $q = \frac{m_2}{m_1}$ و فاصله نسبی $z = \frac{h}{r}$دوباره بنویسید ، بدین ترتیب:$1 - z\left(1 + q\right) = \left(1 - z\right)^{-2} - qz^{-2}$ این منجر به یک معادله کوینتیک برای z می شود ، که باید عددی حل شود زیرا کوینتک های عمومی راه حل های جبری ندارند ( من قصد ندارم ادعا کنم که اثبات این موضوع را درک می کنم).به شرطی که در شرایطی قرار بگیریم که m1≫m2 ، که تقریب مناسبی برای سیارات منظومه شمسی است$\begin{aligned}
1 + q &\approx 1 \\
\left(1 - z\right)^{-2} &\approx 1 + 2z
\end{aligned}$
جایی که خط دوم تقریب دوجمله ای است. این می دهد:$1 - z \approx 1 + 2z - qz^{-2}$ تنظیم مجدد برای حل برای z:$z^3 \approx \frac{q}{3}$ سپس با استفاده از تعاریف z و q این حاصل میشه
$h \approx r \left(\frac{m_2}{3 m_1}\right)^{1/3}$ که فرمول معمول اندازه کره کره هیل است.خوب من به طور مشابه برای L2 ، نقطه لاگرانژ فراتر از ثانویه قرار دارد ، بنابراین معادله نیروی گرانش و حرکت دایره ای تبدیل می شود:$\omega^2 \left(r_2 + h'\right) = \frac{G m_1}{\left(r + h'\right)^2} + \frac{G m_2}{h'^2}$
جایی که h ′ فاصله از ثانویه تا نقطه L2 است.$1 + z'\left(1 + q\right) = \left(1 + z'\right)^{-2} + qz'^{-2}$
جایگزین در ω و بازنویسی از نظر q و $z' = \frac{h'}{r}$ کردم
باز هم این یک معادله کوینتیک برای $z'$ است ، اما ما می توانیم تقریب های مشابهی برای مورد L1 داشته باشیم:$\begin{aligned}
1 + q &\approx 1 \\
\left(1 + z'\right)^{-2} &\approx 1 - 2z'
\end{aligned}$که $1 + z' \approx 1 - 2z' + qz'^{-2}$و$h' \approx r\left(\frac{m_2}{3m_1}\right)^{1/3}$ بدست میاد
رهام حسامی دانشجوی ترم چهارم مهندسی هوافضا