آیا ممان اینرسی تغییر می کند؟

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 632

سپاس: 392

جنسیت:

تماس:

آیا ممان اینرسی تغییر می کند؟

پست توسط rohamjpl »

من در حال حاضر در حال کار روی یک مشکل تمرین برای امتحان آینده ام هستم و در حین ممان سکون مشکل دارد.
اگر توپ دارای جرم m باشد و در یک دایره با سرعت $v_0$ در حال چرخش باشد ، می توانم حرکت زاویه ای آن را تعیین کنم.
$\vec{L}=m(r_0\times v_0)$
حال فرض کنید کسی رشته را بکشد تا زمانی که توپ با شعاع $\frac{r_0}{2}$به دور دایره بچرخد. سرعت آن چقدر است؟
من تصور کردم که حرکت زاویه ای حفظ شده است (من در این مورد مطمئن نیستم).
$\implies \vec{L_1}=\vec{L_2} \iff m(r_0\times v_0)=m(\frac{r_0}{2}\times v_1)$
$\iff r_0\times v_0=\frac{r_0}{2}\times v_1 \iff |r_0||v_0|\sin(\alpha)=|\frac{r_0}{2}||v_1|\sin(\alpha)$
من همچنین فرض کردم که زاویه بین هر r و v تغییر نخواهد کرد (همچنین در مورد آن مطمئن نیستم)
$\implies v_1=2v_0$
این بدان معنی است که نیمی از شعاع دو برابر سرعت را نشان می دهد. من تا حدودی از این موضوع گیج شده ام زیرا v = ωr به من می گوید سرعت باید نیمی از سرعت اصلی باشد مگر اینکه ω تغییر کند. این باعث می شود که به لحظه سکون برگردم. آیا وقتی توپ از $r_0$ به $\frac{r_0}{2}$ رسید ، ممان اینرسی یا گشتاور ماند تغییر کرد؟ این تغییر سرعت زاویه ای از زمان $\vec{L}=I\cdot \vec{\omega}$ را توضیح می دهد
چگونه می توان شتاب زاویه ای داخلی را محاسبه کرد؟ تغییر ممان اینرسی چگونه روی سرعت زاویه ای تأثیر می گذارد؟
جسمی که گشتاور اینرسی را تغییر می دهد همزمان سرعت زاویه ای را تغییر می دهد. از آنجا که تغییر سرعت زاویه ای با گذشت زمان شتاب زاویه ای است:$\ \vec \epsilon= \frac {d \vec \omega} {dt}$ و در اینجا هیچ تأثیر خارجی وجود ندارد و اثر نتیجه اعمال شی است. من آن را شتاب زاویه ای داخلی نامیدم.برای محاسبه شتاب زاویه ای داخلی باید از قانون حفظ حرکت زاویه ای استفاده کنیم:
$\ L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 \tag 1$
تصویر
بنابراین ما مشتق حرکت زاویه ای را می دانیم که می دانیم هم سرعت زاویه ای و هم لحظه اینرسی با گذشت زمان تغییر می کنند:
$\ \frac {dL} {dt} = \frac {d(I \omega)} {dt} = \frac {dI} {dt} \omega + I \frac {d\omega} {dt}=0 \tag roham2$
با این حال ، این الگو کار نمی کند و هنوز کامل نیست. با استفاده از (1) نسبت ها را می شماریم:
$\ \frac {\omega_1} {\omega_2} = \frac {mr_2^2} {mr_1^2} \tag roham3$
اکنون می توانیم سرعت های زاویه ای را محاسبه کنیم:$\ \omega_1 = \frac {r_2^2} {r_1^2} \omega_2 \tagroham 4$
اکنون می توانیم شتاب زاویه ای را حساب کنیم:$\ \epsilon = \frac {\omega_1 - \omega_2}{dt} = \frac {mr_1^4 \omega_1 - mr_2^4 \omega_2} {mr_1^2 r_2^2} = \frac {L (r_1^2 - r_2^2)} {mr_1^2 r_2^2} \tag roham5$
با دانستن اینکه $\ I_1 - I_2=-(I_2-I_1)$ می توانیم رکورد دیگری را اعمال کنیم:
$\ \epsilon = \frac {L (I_1 - I_2)} {I_1 I_2} = L \frac {(\frac {-dI}{dt})}{I_1I_2} \tag roham6$
ما تغییر ممان اینرسی را در طول زمان می شماریم:$\ \frac {dI}{dt} = - \epsilon \frac { (I_1 I_2)} {L} \tagroham 7$
اکنون آسان تر است (6): $\ \frac {d \omega} {dt} = - \frac {dI} {dt} \frac {\omega_1} {I_2} = = - \frac {dI} {dt} \frac {\omega_2} {I_1} \tag 8$
اکنون می توانیم فرمول (2) را تکمیل کنیم:$\ \frac {d \omega} {dt} I_2= - \frac {dI} {dt} \omega_1 \tag roham9$
یا$\ \frac {d \omega} {dt} I_1= - \frac {dI} {dt} \omega_2$
ما می دانیم که شتاب زاویه ای برابر ممان اینرسی ممانیا گشتاور نیرو است ، $\ \epsilon I =M$
بنابراین می توانیم فرمول (2) را به صورت زیر بیاورم
$\ \frac {dL} {dt} = \frac {dI} {dt} \omega_1 + I_2 \frac {d\omega} {dt}= M_I + M_\omega = 0 \tag {10}$
بنابراین ما در اینجا دو لحظه مخالف درون نیرو داریم (منبع آنها در داخل جسم است) که صفر است و شتاب زاویه ای غیر صفر دارد
تصویر

ارسال پست