انبساط حرارتی دیسک چرخان

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 612

سپاس: 311

جنسیت:

تماس:

انبساط حرارتی دیسک چرخان

پست توسط rohamjpl »

این سوال امروز در یک بخش بحث مطرح شد. من و برخی از دانشجویان دیگر مدتی فکرکردیم و بحث کردیم اما نتوانستیم نتیجه مطلوبی بگیریم.
تصور کنید که یک دیسک نازک از جرم M ، شعاع R و چگالی یکنواخت دارید که در محور تقارن خود با سرعت زاویه ای ω ثابت می چرخد. اصطکاک را نادیده بگیرید شما دیسک را در یک وان گرمایی غوطه ور می کنید که ΔT درجه گرمتر از دیسک است ، که باعث می شود اندازه دیسک با ضریب $\alpha > 0$ منبسط شود:$\Delta R = \alpha\,\Delta T\,R$ و از این رو اولین قدم در $\alpha \Delta T$ است
$\Delta R^2 \approx 2\alpha\, \Delta T\,R^2$ این به وضوح گشتاور اینرسی$I = \frac{1}{2}MR^2$ دیسک را افزایش می دهد.
سوال این است که اکنون تکانه زاویه ای L و انرژی E دیسک چه اتفاقی می افتد؟ اگر تصور کنید که L حفظ شده باشد زیرا (تا آنجا که من می بینم) هیچ گشتاور خارجی روی سیستم کار نمی کند ، ω با همان فاکتور I افزایش می یابد. اما این باعث کاهش کلی انرژی چرخشی $E = I\omega^2/2$ می شود. به نظر می رسد این ضد خلاف است - انرژی به نوعی برای فرار از دیسک نیاز دارد ، اما نمی تواند به داخل حمام حرارتی جریان یابد زیرا دومی در دمای مساوی یا بالاتر از دیسک است. اگر تصور کنید که L محافظت نشده باشد ، آیا افزایش یا کاهش می یابد و گشتاور مربوطه از کجا می آید یا به کجا می رود؟
این واقعا مشکل جالبی است. قبل از تغییر دمای دیسک ، توزیع جابجایی شعاعی u (r) و فشارها و تنش های همراه در جهت شعاعی و حلقه وجود دارد. بنابراین دیسک از ابتدا تغییر شکل می دهد و این در تعیین توزیع اولیه شعاع شعاعی و انرژی الاستیک ذخیره شده نقش دارد.
هنگامی که دما تغییر می کند ، توزیع جابجایی شعاعی دوباره تغییر می کند و تنش ها در نتیجه تغییر دما و کرنش شعاعی و حلقه ای ، بیش از آنهایی که از انبساط حرارتی غیرقانونی وجود دارند ، تغییر می کنند. این امر منجر به تغییر در انرژی الاستیک ذخیره شده دیسک می شود. بنابراین ، در حالی که تکانه زاویه ای دیسک ثابت خواهد ماند ، انرژی جنبشی آن تغییر خواهد کرد به طوری که مجموع انرژی جنبشی به علاوه انرژی الاستیک ذخیره شده قبل از افزایش دما ، همانند بعد از افزایش دما است.
اینها همه می توانند دقیقاً مدل شوند. اساس چنین مدلی اساساً تعیین توزیع جابجایی شعاعی u (r) قبل و بعد از آن است. جابجایی ها در جهت مماسی صفر خواهند بود و در جهت ضخامت می توان تنش صفحه را فرض کرد.
یک جرم M را در انتهای یک سیم الاستیک بدون جرم در نظر بگیرید که در یک دایره افقی با سرعت زاویه ای $omega_i$ حرکت می کند. سطح مقطع سیم A ، مدول الاستیک آن E ، ضریب انبساط خطی آن$\alpha$ و طول تمدید نشده آن $R_0$ است. در ابتدا ، طول سیم متصل به جرم چرخان $R_i$است. پس از ایجاد این حالت چرخش اولیه ، دمای سیم با ΔT افزایش یافته و در نتیجه ، طول آن به $R_f$ افزایش می یابد و سرعت زاویه ای آن به $\omega_f$ کاهش می یابد. با استفاده از تجزیه و تحلیل تنش-کرنش خطی (به عنوان مثال ، برای سویه های کوچک) ، (از نظر $R_0$ ، M ، E ، A ، α و $\alpha$) طول توسعه یافته اولیه $R_i$ ، طول طولانی نهایی $R_f$ و سرعت زاویه ای نهایی $\omega_f$ را پیدا کنید . همچنین نشان دهید که کاهش انرژی جنبشی جرم در نتیجه گرم شدن برابر با افزایش انرژی الاستیک ذخیره شده سیم است.تعادل نیرو بر روی جرم در حالت چرخش اولیه و در حالت گرم شده توسط:$k(R_i-R_0)=M\omega_i^2R_i\tag{1}$و$k(R_f-R_0-\alpha \Delta T R_0)=M\omega_f^2R_f\tag{2}$
$k=EA/R_0$. علاوه بر این ، حفظ حرکت زاویه ای نیاز به موارد زیر دارد:$\omega_fR_f^2=\omega_iR_i^2\tag{3}$
راه حل خطی (کرنش کوچک) این معادلات برای Ri ، Rf و ωf با استفاده از:$R_i=R_0\left(1+\frac{m\omega_i^2}{k}\right)\tag{4}$و$R_f=R_0\left(1+\frac{m\omega_i^2}{k}+\alpha \Delta T\right)\tag{5}$و$\omega_f=\omega_i(1-2\alpha \Delta T)\tag{6}$ تغییر در انرژی جنبشی جرم $\Delta (KE)$ توسط:$\Delta (KE)=\frac{M}{2}(\omega_f R_f)^2-\frac{M}{2}(\omega_i R_i)^2\tag{7}$ تغییر در انرژی الاستیک ذخیره شده سیم $\Delta (SE)$ توسط داده می شود
$\Delta (SE)=k\left[\frac{(R_f-R_0)^2}{2}-\frac{(R_i-R_0)^2}{2}-\frac{\alpha \Delta TR_0}{2}(R_f-R_i)\right]\tag{8}$
اگرمعادلات را جایگزین کنیم. 4-6 به 7 و 8 ، و اصطلاحات غیر خطی مرتبه بالاتر را نادیده می گیریم
$\Delta (KE) = M(\omega_iR_0)^2(\alpha \Delta T)\tag{9}$
$\Delta (SE) = -M(\omega_iR_0)^2(\alpha \Delta T)\tag{10}$
این تأیید می کند که کاهش انرژی جنبشی سیستم دقیقاً با افزایش انرژی الاستیک ذخیره شده سیستم جبران می شود. این روشی است که انرژی در سیستم حفظ می شود.
همین نتایج کیفی در مورد مشکل دیسک اعمال خواهد شد.تصویر
تصویر

ارسال پست