صفحه 1 از 1

تقسیم فنر به قطعات تغییر ، ثابت k

ارسال شده: دوشنبه ۱۴۰۰/۳/۳۱ - ۰۷:۳۰
توسط rohamjpl
همیشه به ما آموزش داده شده است که ثابت فنر k یک ثابت است - یعنی برای یک فنر مشخص ، k بدون در نظر گرفتن آنچه که با فنر انجام می دهید ، همیشه یکسان خواهد بود.
استاد فیزیک دوستم یک مسئله عملی را ارائه داد که در آن یک فنر به طول L به چهار قسمت طول L / 4 بریده شد. او ادعا کرد که ثابت فنر در هر یک از فنرهای جدید بریده شده از فنر قدیمی (می داند) برابر است با korig / 4.
منظور من از خاصیت ذاتی رشته ، ثابت فنر نیست ، در واقع ، مدول E یانگ است ، که فقط به خصوصیات ماده یک بدن بستگی دارد اما به شکل آن بستگی ندارد.
$E = \frac{\text{tensile stress}}{\text{tensile strain}}
= \frac{\sigma}{\varepsilon}
= \frac{\text{force per area}}{\text{extension per length}}
= \frac{F / A}{x / l}
= \frac{F l }{x A}$
اکنون از این تعریف برای ساخت قانون هوک استفاده کنید:
$F = \frac{EA}{l} x = k x$
که در آن می بینیم
$k = \frac{EA}{l}$
حال در نظر بگیرید که چه اتفاقی می افتد هنگام تقسیم فنر. ما فقط طول فنر را تغییر می دهیم ، در حالی که A (همان سطح مقطع) و E (همان فنر ، همان مواد) را یکسان نگه می داریم. وقتی چهار برابر فنر کوتاهتر می کنیم ، در ذیل موارد زیر را داریم:
$k_\text{old} = \frac{EA}{l_\text{old}} = \frac{EA}{4 l_\text{new}} = \frac{1}{4} \frac{EA}{l_\text{new}} = \frac{1}{4} k_\text{new}$
توجه داشته باشید که این فرض یک نوار لاستیکی مانند تنظیم است ، جایی که ما فرض می کنیم فنر را می توان با یک نوار یکنواخت از مواد الاستیک مدل سازی کرد. اثبات دقیق تری از وابستگی ثابت فنر و طول فنر شامل هندسه فنر و گشتاورهای مختلف به عناصر فنر هنگام بارگیری است. با این حال ، همه این عارضه ها فقط فاکتورهای اضافی دیگری را به ثابت فنر ، که مستقل از طول فنر هستند ، می آورد.
مشتق ابتکاری از رابطه مدول و نیروی جوان
فکر کردم ممکن است درمورد اینکه چرا E برای برخی از انواع مواد همیشه ثابت است صحبت کنم. همه پیوندهای بین اتم ها را می توان به عنوان چشمه های ریزی دانست که در صورت جابجایی های کوچک از قانون هوک تبعیت می کنند.
به دلیل صرفه جویی در انرژی که قبلاً می دانیم ، اگر چندین فنر را به هم متصل کنیم ، ثابت ثابت فنر را تغییر خواهیم داد:
$k_\text{new} = k / n$که n تعداد چشمه ها و k ثابت چشمه پیوند است.
از این رو ، برای همان پسوند ، نیرو با طول فنر به شرح زیر مقیاس می شود:
$F = \frac{k x}{n} = k\frac{l_\text{unit}}{l}x = kxl_\text{unit} \times \frac{1}{l} = \text{const.} \times \frac{x}{l}$حال ، اتصال رشته ها به صورت موازی چطور؟ از بحث صرفه جویی در انرژی ، ما می دانیم که ثابت ثابت فنر پس از آن به روشی دیگر تغییر خواهد کرد:
$k_\text{new} = kn$جایی که n اکنون به سطح ماده مربوط می شود.
اکنون نیرو برای همان مقیاس های پسوند:
$F = knx = k\rho x \times A = \text{const.} \times Ax$جایی که ρ چگالی چشمه ها است.
فقط دو روش برای ترکیب رشته ها وجود دارد (به صورت موازی یا سری) ، بنابراین فرمول کلی نیرو باید به شکل زیر باشد:
$F = E \times \frac{A}{l} x$و می توانیم آن ثابت ناشناخته را مدول یانگ (Young) بنامیم ، كه می دانیم مختص ماده خواهد بود (یعنی ماهیت آن پیوندهای شیمیایی). بعلاوه ، به دلیل تجزیه و تحلیل ما در بالا ، ما می دانیم که برای یک ماده معین مقدار ناشاخته E مستقل از سطح مقطع ، طول یا امتداد فنر خواهد بود.
بنابراین با یک تفکر بسیار ساده و برخی دانش اساسی در زمینه بقا در مصرف انرژی ، می توانیم قانونی را که در قسمت اول توضیحات خود فرض کردم ، بازیابی کنیم.
اول از همه ، ثابت k فنر ویژگی ذاتی فنر نیست. تغییرات ثابت فنر برای هر قطعه برش خورده از فنر اصلی برای فهمیدن اینکه دقیقاً ثابت فنر (که به آن سختی نیز گفته می شود) k چیست و چگونه تغییر می کند ، باید درک کنیم که ثابت فنر در واقع به کدام پارامترها بستگی دارد. ثابت یا سختی فنر یک فنر پیچ خورده به این صورت است
$\boxed{k=\frac{\pi Gd^4}{64R^3n}}$
در کجا ، G مدول استحکام مواد فنر است
d قطر سیم فنر است
R میانگین شعاع سیم پیچ است
n تعداد موثر سیم پیچ درفنر است که مستقیماً با طول فنر سیم پیچ متناسب است یعنی n proportL
از فرمول اساسی فوق می توان نتیجه گرفت که ثابت فنر k به پارامترهای مختلفی وابسته است و فقط برای ماده داده شده G و قطر d سیم فنر ، میانگین شعاع سیم پیچ فنر R و تعداد موثر پیچ های n یعنی طول فنر L ثابت است. .
فرمول فوق به سادگی نشان می دهد که اگر سایر پارامترها (G ، d & R) ثابت نگه داشته شوند ، آنگاه
$k\propto \frac 1n\iff k\propto \frac1L$
حال ، چه اتفاقی می افتد که یک فنر قطعه قطعه شود؟
خاصیت ماده سیم فنر G ، شعاع میانگین سیم پیچ فنر R و قطر سیم d برای تمام قطعات فنر ثابت است ، به جز تعداد سیم پیچ ها یا پیچ های n یا طول L کاهش می یابد از این رو ثابت فنر (سختی) k برای هر قطعه افزایش می یابد.
بنابراین وقتی یک چشمه سختی و طول L به چهار قطعه از طول L / 4 برش داده می شود ، ثابت فنر هر قطعه جدید معادل $4k_{orig}$ می شود
از این رو ادعا می شود: $k_{new}=k_{orig}/4$ نادرست است.hope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile261 smile072