امواج و ذرات

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
abdossamad2021

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۲/۲۰ - ۱۶:۱۵


پست: 13



امواج و ذرات

پست توسط abdossamad2021 »

با سلام خدمت دوستان
من فصل ۴۶ کتاب هالیدی (ماهیت ماده) رو مطالعه می کنم یک سوال برام پیش اومده در قسمت امواج و ذرات چرا باید1=x.∆k∆ هر چقدر فکر کردم نتونستم متوجه شوم.
تصویر
https://pasteboard.co/KbAZkYF.jpg
تصویر اون بخش از کتاب را لینک کردم

همچنین سوال دیگه من اینه که آیا اصول در فیزیک قابل نقض هستند مانند اصل عدم قطعیت هایزنبرگ
با تشکر

niayesh

عضویت : شنبه ۱۴۰۰/۴/۲۶ - ۲۰:۰۴


پست: 1



Re: امواج و ذرات

پست توسط niayesh »

سلام خسته نباشید
دقیق نمیدونم و مطمئن نیستم ولی به نظرم تابع sinc است که در قسمت اصلی شکل تابع ضربه دیراک می شود که مساحت سطح زیر نمودار آن همواره یک است شما قسمت میانی شکل را بعنوان یک مستطیل در نظر بگیرید که عرض آن اپسیلون و طول یک بر اپسیلون باشد .https://mathoverflow.net/questions/3414 ... c-function

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 742

سپاس: 434

جنسیت:

تماس:

Re: امواج و ذرات

پست توسط rohamjpl »

من چون کوانتوم نخوندم چند مطلب ترجمه کردم و گذاشتم .من فقط از تابع دلتای دیراک،میدونم. مقدار این تابع، در هر جایی جز یک نقطه، صفر است و مقدار انتگرال آن در هر بازه‌ای که آن نقطه را شامل شود، برابر با ۱ است. چون درس های ما تابع دیراک امده و در «دینامیک سیالات محاسباتی کاربرد فراوانی داره معادلات حاکم بر جریان سیال مانند معادله پیوستگی، ناویر استوکس و انرژی بیان میشه
Δx Δk ≥ 1، Δp = ħΔk، Δx Δp ≥. مکانیک کوانتوم بیانگر این است که شناختن موقعیت و حرکت ذره در درجه دلخواه دقت غیرممکن استدر پایه و اساس مکانیک کوانتوم ، اصل عدم اطمینان هایزنبرگ وجود دارد. به بیان ساده ، این اصل بیان می کند که محدودیتی اساسی برای آنچه می تواند در مورد سیستم کوانتومی بداند وجود دارد. به عنوان مثال ، هرچه شخص دقیق تر از موقعیت ذره ای مطلع شود ، کمتر می تواند از حرکت آن مطلع شود و بالعکس
اصل عدم قطعیت هیچ ارتباطی با تشخیص احتمالی مکان و زمان و یا بعیدتر ، تشخیص قدرت حرکت انرژی ندارد. راهی برای دیدن این موضوع مشاهده اصلاح اصل عدم قطعیت در حضور حداقل طول است: به این مقاله ، معادله (1) مراجعه کنید. به نظر می رسد که اصل عدم اطمینان این است:
$\begin{equation}
\Delta x \Delta p=\frac{\hbar}{2}\left( 1+\beta (\Delta p)^2\right)
\end{equation}
{"roham hesami}$
با β یک ثابت متصل به تشخیص فضا است. در اینجا ، فضای گسسته است اما حرکت نمی کند.
اصل عدم اطمینان نه تنها یک اصل بلکه یک قضیه در ریاضیات مربوط به تبدیل فوریه است و از این رو هیچ ارتباطی با تشخیص Rn ندارد ، زیرا این یک تناقض است.ین یکی به دلیل ساده بودن برای تفسیر مناسب تر است: اگر ابتدا حرکت و سپس موقعیت را اندازه بگیرید ، نتیجه A را می گیرید ، اگر معکوس را انجام دهید نتیجه B را می گیرید ، و معلوم می شود B ≠ A. بنابراین ، اندازه گیری همزمان موقعیت و حرکت با وضوح دلخواه غیرممکن است. توجه داشته باشید که تحت این شکل ، این اصل عدم اطمینان را نمی توان به عنوان یک مکان مجزا از فضا و حرکت تفسیر کرد. مکان یک ذره مشخص و معین می باشد، در حالیکه موج، یک پدیده پخش شده در فضا است. بنابراین محدوده ای از مکان ها را در بر می گیرد ودر نتیجه نمی‌توان یک مکان مشخص را به موقعیت آن نسبت داد. از طرفی، اندازه حرکت یک موج، دقیق و معلوم است، در حالیکه اندازه حرکت یک ذره نا معین بوده و محدوده ای از مقادیر را دارد. بنابراین یک ذره نمی تواند به طور کامل فقط موج یا ذره باشد، بلکه در حقیقت مخلوطی از این دو می باشد. در نتیجه اصل عدم قطعیت پدیدار می شود. فرض کنید با یک تفنگ الکترونی الکترون ها را از درون یک شکاف کوچک شلیک نماییم. یک صفحه آشکارساز در پشت شکاف و در فاصله معینی از آن وجود دارد. این صفحه آشکارساز مکان الکترون های شلیک شده را مشخص می کند. اگر تابع موج الکترون را بدانید، می توانید احتمال برخورد الکترون در یک مکان خاص بر روی صفحه آشکارساز را محاسبه کنید.
در مرحله بعدی، شکاف را کوچک و کوچک تر کنید. پیش بینی می شود که در اثر این کوچکتر شدن شکاف ورودی، الکترون ها قسمت باریک تری از صفحه آشکار سازی را اشغال کنند. در ابتدا بر طبق انتظار، الکترون ها بخش باریکی از صفحه آشکارساز را اشغال کرده اند. اما نکته قابل توجه اینجاست که با کوچکتر شدن شکاف از یک مقدار مشخص، نتیجه برعکس می شود، بنابراین الکترون ها شروع به پخش شدن می کنند.
در این مرحله اصل عدم قطعیت وارد می شود. در واقع اگر شکاف باریک و باریک تر شود، عدم قطعیت در مورد مکان و موقعیت الکترون ها بر روی صفحه آشکار ساز، کاهش یافته، درحالیکه عدم قطعیت اندازه حرکت آنها افزایش پیدا کرده است. بنابراین الکترون ها محدوده بزرگتری از صفحه ی آشکار ساز را اشغال کرده و به اصطلاح پخش می شوند.
معادله زیر بیان ریاضی اصل عدم قطعیت هایزنبرگ می باشد. با توجه به معادله مشخص می شود كه نمی توان موقعیت و اندازه حركت ذرات را به طور همزمان و به صورت دقیق و بدون خطا تعیین كرد$\large \Delta { p } \Delta { x } \ge \dfrac { h } { 4 \pi }
$رابطه فوق را می‌توان بین انرژی و زمان برای الکترون نیز به صورت زیر بیان کرد:$\large \Delta { t } \Delta { E } \ge \dfrac { h } { 4 \pi }
$اگر یک ذره کاملاً در x = 0 محلی شده باشد ، تابع موج آن Ψ (x، t) باید یک تابع دلتای دیراک δ (x) باشد. بر این اساس ، تبدیل فوریه آن (p، t) برای همه p ثابت خواهد بود ، بنابراین حرکت ذره کاملاً نامشخص است. من حدس می زنم این همان چیزی است که اصل عدم قطعیت به ما گفت.بهتر است به جای تابع δ به برخی از عملکردهای موج نرمال فکر کنیم. همانطور که احتمالاً می دانید ، می توانید با محدود کردن یک بسته موج و استفاده از یک حد مناسب ، خودسرانه به یک تابع δ نزدیک شوید (برای مثال مشخص زیر را ببینید).
اکنون حق با شماست که می توانید ذرات خود را در یک منطقه دلخواه و باریک در حدود x = 0 قرار دهید. حتی می توانید آن را "ساکن" کنید به این معنا که میانگین (مقدار انتظار کوانتومی) حرکت آن صفر باشد و بماند. با این حال ، اصل عدم اطمینان به شما می گوید که هرگاه گسترش (پراکندگی) مختصات Δx بسیار کم باشد ، گسترش حرکت Δp بسیار زیاد خواهد شد. بنابراین ، حتی اگر ابتدا ذره را در یک بسته موج بسیار باریک قرار دهید ، با گذشت زمان به سرعت گسترش می یابد. در واقع ، این انعطاف پذیری سریعتر خواهد بود ، محلی سازی اولیه ذره تیزتر بود. اگر تابع موج در ابتدا گاوسی باشد ، برای یک ذره آزاد می توانید معادله شرودینگر را دقیقاً حل کنید و ببینید که تابع موج به صورت گاوسی باقی مانده است ، فقط عرض آن رشد می کند (به صورت مجانبی به صورت$ t√$). بنابراین بعد از مدتی ، در نتیجه همان اصل عدم اطمینان ، ذره دیگر محلی نمی شود.
حتی اگر ذره آزاد نباشد اما در برخی از پتانسیل ها حرکت کند ، ایجاد بسته موج اولیه در t = 0 بسیار باریک منجر به انتشار یکسان خواهد شد زیرا میانگین انرژی جنبشی (که اگر حرکت متوسط ​​صفر باشد با$\Delta p^2
$ متناسب است) بسیار زیاد است بالاتر از تغییر انرژی پتانسیل در اندازه بسته موج.
اگرچه یک استدلال در بحث فوق وجود دارد. اگر همزمان با محدود کردن بسته موج ، ذره را با پتانسیل قوی تر افزایش می دهید ، می توانید آن را به صورت محلی نگه دارید. نوسان ساز هارمونیک را که توسط هامیلتونی تعریف شده است ، به عنوان یک مدل در نظر بگیرید
$H=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2x^2.
$
مربوطهای منسجم بسته های موج گاوسی هستند که به لطف شکل خاص پتانسیل موضعی باقی می مانند: هر دو Δx و Δp مستقل از زمان هستند و صریحاً توسط
$\Delta x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}},\quad
\Delta p=\sqrt{\frac{m\hbar\omega}2}.
{"roham hesami}$
اگر اکنون محدودیت ω → take را بگیرید ، بسته Gaussian به صورت مجانبی به تابع δ می رود. این مربوط به ذره شما است که بینهایت نزدیک به x = 0 قرار دارد. جایزه این کار این است که شما باید پتانسیل را بی نهایت قوی ایجاد کنید ، که به طور همزمان ذره را با فرکانس نامحدود در اطراف منشا نوسان می دهد. بنابراین کاملاً نمی توانید بگویید که حرکت آن صفر است.
ناحیه تحت تکانه (دلتای دیراک)چرا سطح زیر تابع دلتای دیراک برابر با یک است و صفر نیست؟ آیا از آنجا که عملکرد متقارن است و سطح زیر هر طرف دیگری را لغو می کند ، نباید صفر باشد؟
دلتای دیراک هیچ عملکردی نیست ، بلکه یک توزیع است.
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(x) \, dx = f(0) \quad (*)
$
واضح است که هیچ تابعی δ نمی تواند به این هدف دست یابد.
به عنوان عملکردی خطی تفسیر می شود
$\langle \delta, f \rangle = f(0)
$
جایی که ⟨. ،.⟩ یک محصول اسکالر است ، به طور معمول شامل یکپارچه سازی است. این در تئوری توزیع ها کار می کند.
بنابراین نوعی مورد تردید است که در مورد تقارن δ حدس بزنیم ، که برای هر نقطه غیر از مبدا باید از بین برود و در مبدأ نمی تواند مقدار محدودی داشته باشد. ممکن است به تقارن توابع تقریب نگاه شود ، اما به اعتقاد من این امکان انتقال به تابع حد را ندارد.
اگر تعریف (∗) را به f (x) = 1 اعمال کنید ، با این کار پایان خواهید یافت
$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1
$
یک ضربه واحد یا تابع دلتای دیراک، تابعی است که $\delta(t) = 0
$و$t \neq 0
$و$\displaystyle \int^a_{-a}\delta(t) d t = 1
$و$a > 0
$تابع δ(t) را می‌توان به عنوان حد ضربه‌هایی با مساحت واحد مطابق شکل ۲ در نظر گرفت. وقتی ε→0، آن‌گاه ضربه باریک‌تر می‌شود (1ε→+∞)، اما مساحت زیر منحنی، همان 1 باقی می‌ماند.ورودی u(t)=δ(t-τ) (ضربه واحد در زمان t=τ) و یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI) را با شرایط اولیه صفر و خروجی y(t)=h(t−τ) در نظر بگیرید که در شکل ۳ نشان داده شده است. تابع h، پاسخ ضربه (Impulse Response) سیستم نامیده می‌شود.با داشتن پاسخ ضربه h سیستم، می‌توان پاسخ سیستم به هر ورودی دلخواه دیگر را به دست آورد. در واقع، با استفاده از خاصیت جابه‌جایی (Shifting Property) تابع δ، برای هر تابع f که در t=τ خوش‌رفتار (Well-behaved) باشد، داریم:$\large \begin {align}
\int ^ \infty _ { – \infty } f ( t ) \delta ( t – \tau ) d t = f ( \tau ) \tag {1}.
\end {align}
{"roham hesami}$پس این معادله معادله (1) گویای این واقعیت است که تابع دلتا مقدار
f را در t=τ جابه‌جا می‌کند. بنابراین، هر تابع منظم (Regular) را می‌توان با یک انتگرال کانولوشن از ضربه‌ها نمایش داد.محاسبه پاسخ سیستم به سایر ورودی‌ها دلخواه با پاسخ h، می‌توان سیگنال ورودیu‌ را به فرم انتگرال با خاصیت جابه‌جایی$\large \begin {align*}
u ( t ) = \int ^ \infty _ { – \infty } u ( \tau ) \delta ( t – \tau ) d \tau .
\end {align*}
{"roham hesami}$ اصل برهم‌نهی، پاسخ یک سیستم خطی به یک مجموع (یا انتگرال) ورودی، برابر با مجموع (یا انتگرال) پاسخ‌های مجزا به این ورودی‌ها است؛ یعنی:$\large \begin {align*}
u ( t ) & = \int ^ \infty _ { – \infty } u ( \tau ) \delta ( t – \tau ) d \tau \quad \\
y ( t ) & = \int ^ \infty _ { – \infty } u ( \tau ) \underbrace { h ( t – \tau ) } _ { \text {response to} \atop \text {$\delta(t-\tau )$ }} d \tau . \tag { 2 }
\end {align*}
{"roham hesami}$y(t) کانولوشن u و h است.طبق اصل برهم نهی، برای همه سیستم‌های خطی، پاسخ خالص که از دو یا چند ورودی همزمان ایجاد می‌شود، برابر با مجموع پاسخ‌های هر یک از ورودی‌ها به صورت مجزا است.
بنابراین، برای یک سیستم LTI با شرایط اولیه صفر، خروجی برابر با کانولوشن ورودی و پاسخ ضربه سیستم است$\large \begin {align*}
y ( t ) & = u ( t ) \star h ( t ) \\
& = h ( t ) \star u ( t ) \\
& \triangleq \int ^ \infty _ { – \infty } u ( \tau ) h ( t – \tau ) d \tau .
\end {align*}
{"roham hesami}$تبدیل لاپلاس دو طرفه تابع f(t) به صورت زیر است:$\large \begin{align*}
F ( s ) = \int ^ \infty _ { – \infty } f ( \tau ) e ^ { -s \tau } d \tau ,
\end {align*}
{"roham hesami}$که در آن، s∈C یک متغیر مختلط است.تصویر
hope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260
تصویر

ارسال پست