پارادوکس دیورژانس $\frac{ \hat {\bf r}}{r^2} \equiv \frac{{\bf r}}{r^3}$

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 847

سپاس: 524

جنسیت:

تماس:

پارادوکس دیورژانس $\frac{ \hat {\bf r}}{r^2} \equiv \frac{{\bf r}}{r^3}$

پست توسط rohamjpl »

من تازه در مقدمه ای از الکترودینامیک گریفیت شروع کردم و در واگرایی $\frac{ \hat r}{r^2} \equiv \frac{{\bf r}}{r^3}$ برخورد کردم.
پارادوکس دقیقاً چیست؟ با نادیده گرفتن هر شهود جسمی پشت این امر (اتهام نقطه ای در مبدا) چگونه باید باور کنیم که منبع $\vec v$ از نظر ریاضی متمرکز شده است؟ یا اینکه مجبور هستیم که باور کنیم چون با قضیه واگرایی تناقضی وجود دارد؟
همچنین اگر $\vec v$ همان عملکرد بردار باشد اما برای شارژ نقطه ای نباشد ، وضعیت چگونه متفاوت خواهد بود؟ یا غیرممکن است؟پارادوکس دقیقاً چیست؟تصویر
تناقض این است که میدان بردار $\vec{v}$ در نظر گرفته شده است که نقاط دور از مبدأ است و بنابراین به نظر می رسد واگرایی غیر صفر دارد ، با این حال ، هنگامی که واگرایی را محاسبه می کنید ، صفر می شود.
چگونه باید باور کنیم که منبع $\vec{v}$ از لحاظ ریاضی در مبدأ متمرکز شده است؟
مهمترین نکته برای مشاهده این است که$\nabla \cdot \vec v = 0$ در همه جا به جز در مبدا. خطوط واگرایی که به نظر می رسد از اصل است. محاسبات ما نمی توانند این را حساب کنند ، زیرا$\vec v$ در $r = 0$ منفجر می شود. علاوه بر این ، معادله حتی برای r = 0 معتبر نیست. به عبارت دیگر ، $\nabla \cdot \vec v \rightarrow \infty$ در آن مرحله.
با این حال ، اگر قضیه واگرایی را اعمال کنید ، خواهید فهمید
$\int \nabla \cdot \vec v \ \text{d}V = \oint \vec v \cdot \text{d}\vec a = 4 \pi$
صرف نظر از شعاع کره ای که در مبدا قرار دارد ، باید انتگرال سطح را به صورت $4 \pi$ بدست آوریم. تنها نتیجه این است که این باید از نقطه r = 0 کمک شود.این به عنوان انگیزه ای برای تعریف عملکرد دلتای دیراک عمل می کند: تابعی که در همه جا از بین می رود به جز منفجر شدن در یک نقطه و دارای یک منطقه محدود در زیر منحنی است.hope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile260 smile261
آخرین ویرایش توسط rohamjpl شنبه ۱۴۰۰/۵/۲۳ - ۱۴:۵۱, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
ghm

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۲/۵/۹ - ۲۱:۰۸


پست: 167

سپاس: 130

جنسیت:

Re: پارادوکس دیورژانس $\frac{ \hat {\bf r}}{r^2} \equiv \frac{{\bf r}}{r^3}$

پست توسط ghm »

سلام مقدار دیورژانس یا حاصل انتگرال در شعاع صفر مبهم هست چون دیفرانسیل a به سمت صفر میره و شدت میدان به سمت بینهایت پس اگر از حد کمک بگیریم باید به 4pi برسیم.
که با در نظر گرفتن بار و ضریب گذردهی نشاندهنده میزان بار درون حجم بسته است.

و همونطور که گفتید این رفتار تابع دیراک رو به ما یاد اوری میکنه. حجم زیر سطح منحنی دیراک هم مبهم هست اما به صورت حدی مشخص هست.

در هر فضایی غیر از نقطه بار، که بار خارج از سطح بسته قرار گیرد، بردارهای میدان به صورتی نامتقارن روی کره شکل میگیرند که انتگرال گیری از تمامی قسمت های سطح آن دقیقا صفر میشود.
˙ ·٠•♥ السلام علی بقیه الله فی ارضه ♥•٠·˙

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 847

سپاس: 524

جنسیت:

تماس:

Re: پارادوکس دیورژانس $\frac{ \hat {\bf r}}{r^2} \equiv \frac{{\bf r}}{r^3}$

پست توسط rohamjpl »

توزیع احتمال چگونه می تواند متفاوت باشد؟به عنوان مثال چگونه می توان توزیع گاما را نزدیک به صفر (برای مجموعه ای مناسب از مقیاس و پارامترهای شکل ، مثلاً شکل = 0.1 و مقیاس = 10) واگرا کرد و مساحت آن همچنان برابر یک باشد؟
همانطور که من فهمیدم ، مساحت توزیع چگالی احتمال همیشه باید برابر یک باشد. اگر از توزیع دلتا dirac استفاده کنید ، که در صفر متغیر است اما در هر نقطه دیگر صفر است ، مساحتی برابر با یک دارید.
اگر بخواهید مساحت توزیع گامای واگرا را در نظر بگیرید ، می توانید آن را به عنوان مساحت توزیع دلتا دیراک ، بعلاوه چیزی بیشتر ، از آنجایی که بارکردن آن صفر در x ≠ 0 نیست ، بنابراین بزرگتر از یک باشد.دلتا Dirac در اینجا واقعاً زیاد مفید نیست زیرا توزیع گاما دارای چگالی پیوسته است ، در حالی که Dirac تقریباً تا آنجا که می توانید غیر مداوم است.
من درست حدس زدم که انتگرال یک چگالی احتمال باید یک باشد (من فقط به چگالی هایی که در محور مثبت تعریف شده است می چسبم) ،$\int_0^\infty f(x)\,dx =1.$
در حالت گاما ، چگالی f (x) به عنوان x → 0 متفاوت است ، بنابراین ما چیزی داریم که انتگرال نامناسب نامیده می شود. در چنین حالتی ، انتگرال به عنوان محدودیت تعریف می شود ، زیرا مرزهای ادغام به نقطه ای نزدیک می شوند که انتگرال تعریف نشده است ،
$\int_0^\infty f(x)\,dx := \lim_{a\to 0}\int_a^\infty f(x)\,dx,$
تا زمانی که این محدودیت وجود دارد
(اتفاقاً ، ما از همان سوء استفاده از نماد برای معنی دادن به نماد $\int^\infty$ استفاده می کنیم ، که به عنوان حد انتگرال$\int^b$ به عنوان $b\to\infty$ تعریف می شود ، تا زمانی که این محدودیت وجود داشته باشد. بنابراین در این مورد خاص در این صورت ، ما دو نقطه مشکل دار داریم - 0 ، جایی که انتگرال تعریف نشده است ، و ∞ ، جایی که نمی توانیم انتگرال را مستقیماً ارزیابی کنیم. ما باید در هر دو مورد با محدودیت کار کنیم.)
اجازه بدهید من آن را در این راه. اگر قبلاً تحلیل پیچیده ای مشاهده کرده اید ، همه اینها فقط نوعی قضیه باقی مانده است. اگر روی یک حلقه بسته ادغام شوید ، اگر اتفاق عجیبی در داخل رخ ندهد ، صفر می گیرید یا اگر تابع در داخل حلقه واگرا شود ، (احتمالاً) غیر صفر است ، یعنی یک قطب دارید. این دقیقاً همان چیزی است ، اما در 3 بعد ، با سطوح بسته به جای حلقه های بسته ، و با انتگرالهای شار به جای انتگرالهای پیچیده!
آیا قانون گاوس اشتباه است یا ممکن است $\int_s{\vec E} \cdot d\vec{s}=0$ دلالت بر $\vec E = 0$نداشته باشد؟
چگالی بار مشخص $\sigma(\theta)=k\cos(\theta)$ بر روی سطح پوسته کروی شعاع R. چسبانده شده است. پتانسیل حاصله را در داخل و خارج از کره پیدا کنید.
سوال با استفاده از چند جمله ای افسانه ای حل شد و پاسخ نهایی برای بالقوه در داخل کره این بود: $V(r,\theta) = \frac{kr}{3\epsilon_0}cos\theta$
این پاسخ نهایی گیج کننده است زیرا میدان الکتریکی داخل کره وابسته به r و θ است در حالی که میدان الکتریکی درون یک پوسته ، صرف نظر از اینکه بار در خارج چگونه است ، از قانون گاوس صفر است.
شک من:چرا میدان الکتریکی داخل صفر است؟
آیا قانون گاوس می تواند این را توضیح دهد یا در اینجا شکست می خورد؟
از آنجا که حل با استفاده از انتگرال سطحی معمولی نتیجه مشابهی را به من داد و از آن زمان به بعد. واگرایی درون پوسته صفر است ، من به این نتیجه رسیدم که چند جمله ای افسانه ای و قانون گاوس در شکل متفاوت درست است. بنابراین مشکل باید با شکل جدایی ناپذیر قانون گاوس باشد: $\int_s{\vec E}.d\vec{s} = \frac{q}{\epsilon_0}$
پاسخی که برای این شبهه دریافت کردم این است که "از آنجا که بارها به سطح چسبانده شده اند و به طور مساوی توزیع نشده اند ، لازم نیست میدان الکتریکی داخل صفر باشد."
این قانع کننده نیست زیرا اثبات قانون گاوس انتظار ندارد که اتهامات آزادانه جابجا شود. حضور نیروی خارجی که بتواند بارها را ثابت نگه دارد قضیه را تغییر نمی دهد. این است که می گویند تنها یک بار شارژ$q_i$ در خارج وجود دارد
سپس $\int_s{\vec E_i}.d\vec{s} = \frac{q_{inside}}{\epsilon_0}=0$
در صورت وجود بارهای بیشتر ، پس از هر توزیع ، میدان الکتریکی خالص $\vec E = \vec E_1 + \vec E_2+\vec E_3+...$
بنابراین شار خالص ،$\int_s{\vec E}.d\vec{s} = \int_s{\vec E_1}.d\vec{s}+\int_s{\vec E_2}.d\vec{s}+\int_s{\vec E_3}.d\vec{s}+. . .=0$
یا ممکن است که $\int_s{\vec E}.d\vec{s}=0$ دلالت بر $\vec E = 0$ نداشته باشد؟. قانون گاوس همیشه صادق است ، اما همیشه نمی توان از آن برای استنباط میدان الکتریکی استفاده کرد. مرحله مهم این است که
$\begin{align}
\oint \vec E\cdot d\vec S=\vert\vec E\vert S \tag{1}
\end{align}$
که تنها درصورتی صادق است که میدان در سطح گوس دارای قدر ثابتی باشد و عمود بر سطحی باشد که در آن تلاقی می کند.
به عنوان مثال ، اگر یک بار خارج از یک جعبه قرار دهید و$\oint \vec E\cdot d\vec S$ را در سطح محدود کننده جعبه محاسبه کنید ، این انتگرال 0 است زیرا هیچ بار خالص محصوری وجود ندارد ، اما این به معنی$\vec E=0$ در داخل جعبه به عنوان ( 1) نگه نمی دارد: با هندسه ساده میدان در هر نقطه از سطح جعبه قدر یکسانی ندارد.
به عبارت دیگر ، بله کاملاً ممکن است که 0 شار خالص$\oint \vec E\cdot d\vec S=0$ اما $\vec E\ne 0$ داشته باشیم.
یک وضعیت مشابه زمانی رخ می دهد که توزیع بار از تقارن خاصی برخوردار نباشد: یافتن سطحی که مقدار $\vec E$ بر روی آن ثابت باشد بسیار مشکل می شود و بنابراین از (1) برای استنباط میدان استفاده می شود.
در چنین مواردی برای محاسبات عملی باید از اصل روی هم قرار گرفتن استفاده کرد.$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0$
به این معنی نیست که $\mathbf{E}(P) = 0$ در هر نقطه. یک مثال متضاد بسیار ساده برای این منظور در نظر گرفتن یک میدان الکتریکی یکنواخت است که تمام فضا را پر می کند:$\mathbf{E}(P) := \mathbf{E}_0$
برای بردار میدان الکتریکی ثابت ، غیر صفر $\mathbf{E}_0$. دشوار نیست که ببینیم که کل جریان از طریق هر سطح بسته در اینجا باید صفر باشد ، زیرا خطوط میدان فقط خطوط بی نهایت مستقیم هستند که در آنها بردارهای $\mathbf{E}_0$ به هر نقطه در نقطه فضا در امتداد ، و از نظر هندسی ، هر مستقیم بی نهایت خطی که وارد سطح بسته و محدود می شود باید از آن خارج شود.
در واقع ، گرچه ممکن است قانون گاوس را برای یافتن میدان الکتریکی "مورد استفاده" قرار داده باشید ، اما اگر بیشتر دقت کنید متوجه می شوید که در هر مورد نوعی فرض اضافی ایجاد می شود ، مانند این که توزیع بار نوعی تقارن دارد. و اینکه این تقارن به میدان منتقل می شود - و آخرین نکته نیز بی اهمیت نیست: مجموع میدان مشکل قانون گاوس مورد علاقه خود را با میدان بالا در نظر بگیرید ، یعنی تصور کنید منبع شارژ شما در برخی از محیط های میدان الکتریکی محیط از قبل وجود داشته است. این فرضیه سازی ("دستباف") دقیقاً ضروری است زیرا قانون گاوس به خودی خود ناکافی است.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260
تصویر

ارسال پست