پارادوکس دیورژانس $\frac{ \hat {\bf r}}{r^2} \equiv \frac{{\bf r}}{r^3}$
ارسال شده: جمعه ۱۴۰۰/۵/۱۵ - ۰۸:۰۹
من تازه در مقدمه ای از الکترودینامیک گریفیت شروع کردم و در واگرایی $\frac{ \hat r}{r^2} \equiv \frac{{\bf r}}{r^3}$ برخورد کردم.
پارادوکس دقیقاً چیست؟ با نادیده گرفتن هر شهود جسمی پشت این امر (اتهام نقطه ای در مبدا) چگونه باید باور کنیم که منبع $\vec v$ از نظر ریاضی متمرکز شده است؟ یا اینکه مجبور هستیم که باور کنیم چون با قضیه واگرایی تناقضی وجود دارد؟
همچنین اگر $\vec v$ همان عملکرد بردار باشد اما برای شارژ نقطه ای نباشد ، وضعیت چگونه متفاوت خواهد بود؟ یا غیرممکن است؟پارادوکس دقیقاً چیست؟
تناقض این است که میدان بردار $\vec{v}$ در نظر گرفته شده است که نقاط دور از مبدأ است و بنابراین به نظر می رسد واگرایی غیر صفر دارد ، با این حال ، هنگامی که واگرایی را محاسبه می کنید ، صفر می شود.
چگونه باید باور کنیم که منبع $\vec{v}$ از لحاظ ریاضی در مبدأ متمرکز شده است؟
مهمترین نکته برای مشاهده این است که$\nabla \cdot \vec v = 0$ در همه جا به جز در مبدا. خطوط واگرایی که به نظر می رسد از اصل است. محاسبات ما نمی توانند این را حساب کنند ، زیرا$\vec v$ در $r = 0$ منفجر می شود. علاوه بر این ، معادله حتی برای r = 0 معتبر نیست. به عبارت دیگر ، $\nabla \cdot \vec v \rightarrow \infty$ در آن مرحله.
با این حال ، اگر قضیه واگرایی را اعمال کنید ، خواهید فهمید
$\int \nabla \cdot \vec v \ \text{d}V = \oint \vec v \cdot \text{d}\vec a = 4 \pi$
صرف نظر از شعاع کره ای که در مبدا قرار دارد ، باید انتگرال سطح را به صورت $4 \pi$ بدست آوریم. تنها نتیجه این است که این باید از نقطه r = 0 کمک شود.این به عنوان انگیزه ای برای تعریف عملکرد دلتای دیراک عمل می کند: تابعی که در همه جا از بین می رود به جز منفجر شدن در یک نقطه و دارای یک منطقه محدود در زیر منحنی است.hope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami
پارادوکس دقیقاً چیست؟ با نادیده گرفتن هر شهود جسمی پشت این امر (اتهام نقطه ای در مبدا) چگونه باید باور کنیم که منبع $\vec v$ از نظر ریاضی متمرکز شده است؟ یا اینکه مجبور هستیم که باور کنیم چون با قضیه واگرایی تناقضی وجود دارد؟
همچنین اگر $\vec v$ همان عملکرد بردار باشد اما برای شارژ نقطه ای نباشد ، وضعیت چگونه متفاوت خواهد بود؟ یا غیرممکن است؟پارادوکس دقیقاً چیست؟
تناقض این است که میدان بردار $\vec{v}$ در نظر گرفته شده است که نقاط دور از مبدأ است و بنابراین به نظر می رسد واگرایی غیر صفر دارد ، با این حال ، هنگامی که واگرایی را محاسبه می کنید ، صفر می شود.
چگونه باید باور کنیم که منبع $\vec{v}$ از لحاظ ریاضی در مبدأ متمرکز شده است؟
مهمترین نکته برای مشاهده این است که$\nabla \cdot \vec v = 0$ در همه جا به جز در مبدا. خطوط واگرایی که به نظر می رسد از اصل است. محاسبات ما نمی توانند این را حساب کنند ، زیرا$\vec v$ در $r = 0$ منفجر می شود. علاوه بر این ، معادله حتی برای r = 0 معتبر نیست. به عبارت دیگر ، $\nabla \cdot \vec v \rightarrow \infty$ در آن مرحله.
با این حال ، اگر قضیه واگرایی را اعمال کنید ، خواهید فهمید
$\int \nabla \cdot \vec v \ \text{d}V = \oint \vec v \cdot \text{d}\vec a = 4 \pi$
صرف نظر از شعاع کره ای که در مبدا قرار دارد ، باید انتگرال سطح را به صورت $4 \pi$ بدست آوریم. تنها نتیجه این است که این باید از نقطه r = 0 کمک شود.این به عنوان انگیزه ای برای تعریف عملکرد دلتای دیراک عمل می کند: تابعی که در همه جا از بین می رود به جز منفجر شدن در یک نقطه و دارای یک منطقه محدود در زیر منحنی است.hope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami