آیا اجسام به دور بردار گشتاور یا مرکز آن می چرخند؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3268

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

آیا اجسام به دور بردار گشتاور یا مرکز آن می چرخند؟

پست توسط rohamavation »

اگر یک کره دارای یک بردار گشتاور در نقطه A از آن خارج شود ، کره می تواند در مورد مرکز خود یا محور بردار گشتاور بچرخد؟اگر جسمی فقط به دلیل تأثیر گشتاور حرکت کند ، آنگاه در اطراف مرکز جرم می چرخد.
مکانی برای گشتاورها وجود ندارد ، فقط جهت هاست. شما معادلات حرکت را همانطور که در اینجا دیده می شود ، خواهید دید که مکان گشتاور وارد معادلات نمی شود. فقط محل استقرار نیروها.
در نتیجه شتاب مرکز جرم صفر است و فقط سرعت زاویه ای وجود خواهد داشت. بدن در اطراف مرکز جرم خود خواهد چرخید.
توجه داشته باشید که این دو عبارت معادل هستند:
یک نیروی خالص از طریق مرکز جرم (بدون گشتاور خالص در مورد مرکز جرم) کاملا یک جسم صلب (هر نقطه از بدن) را منتقل می کند.
گشتاور خالص هر نقطه از بدن (بدون نیروی خالص) کاملاً یک جسم صلب را درمورد مرکز جرم خود می چرخاند.
یک بدن سفت و محکم را در نظر بگیرید که دارای یک گشتاور لحظه ای خالص است$\vec{\tau}$ و روی آن اعمال شده است. حرکت هر نقطه A روی مرکز جرم نیست.
$0 = m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha}
\\ \vec{\tau} = I_c \vec{\alpha} - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A$
جایی که $\vec{c}$ بردار موقعیت مرکز ثقل نسبت به نقطه A است. اه حل در بالا است
$\vec{a}_A = \vec{c} \times \vec{\alpha}
\\ \vec{\tau} = I_c \vec{\alpha}- m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha}+ m \vec{c}
\times \vec{c} \times \vec{\alpha} = I_c \vec{\alpha}$
$\vec{\alpha} = I_c^{-1} \vec{\tau} \\ \vec{a}_A = \vec{c} \times I_c^{-1} \vec{\tau}$
از مطالب بالا بدیهی است که تنها نقطه A که حرکت نمی کند در $\vec{c}=0$ و تمام نقاط موازی با$\vec{\alpha}$ از طریق مرکز جرم است.حرکت از ابتدا به نیروهایی بستگی دارد که گشتاور از آنها بوجود می آید.
قانون دوم نیوتن باید در مورد مرکز جرم سیستم اعمال شود و البته با نیروی خالص محاسبه می شود.
بنابراین اگر این نیروی خالص هیچ چیز نباشد ، مرکز جرم یا نمی تواند تغییر مکان دهد یا به طور یکنواخت حرکت می کند (در این صورت تصور خواهیم کرد که مرکز جرم کره نسبت به ما ثابت است). بنابراین مرکز جرم - مرکز کره - باید در محور چرخش باشد. بنابراین محور چرخش از طریق مرکز کره است.
علاوه بر این ، در این حالت نیروی خالص صفر ، موقعیت دم یک بردار گشتاور معنای فیزیکی ندارد ، زیرا می توان نشان داد که گشتاور محاسبه شده ناشی از یک سیستم نیروها از جایی که فرد محاسبه می کند مستقل است (یعنی نقطه ای که شخص محاسبه می کند) لحظه های نیرو) ، حتی اگر گشتاورهای ناشی از هر نیرو به مقدار زیادی بستگی به محاسبه داشته باشد.
این تصور که می توان قانون دوم نیوتن را بر روی یک جسم صلب اعمال کرد و مسیر مرکز جرم بدن را محاسبه کرد به گونه ای که بدن یک نقطه باشد ، گاهی اوقات به عنوان قانون اول اویلر شناخته می شود.
قانون دوم اولر این است که گشتاور M و حرکت زاویه ای بدن صلب به طور مشابه با قانون دوم نیوتن مرتبط هستند ، به عبارت زیر:
$\mathbf{M} = \mathrm{d}_t \mathbf{L}$
و $\mathbf{L} = \mathbf{I}\, \vec{\omega}$ جایی که اکنون من لحظه تانسور اینرسی (ماتریس 3 × 3 متقارن) است به طوری که L همیشه با سرعت زاویه ای $\vec{\omega}$ هم جهت نیست. اگر نیروی خالصی وجود داشته باشد ، گشتاور خالص M به مکانی که محاسبه می شود بستگی دارد ، اما I و L نیز به همین ترتیب ، بنابراین توضیح حرکت البته از نقطه مرجع مستقل است ، زیرا برای فیزیک نیز باید باشد موضعی که انسان از آن توصیف می کند! علاوه بر این ، با چرخش بدنه توسط گشتاورهای خالص ، تغییر می کنم ، بنابراین انجام محاسبات دینامیک چرخش بدن سخت در یک قاب غیر اینرسی که با بدن می چرخد ​​مفیدتر است. اگر کادر در امتداد محورهای اصلی اینرسی ، یعنی بردارهای ویژه متعامد ماتریس اینرسی تراز شده باشد ، ماتریس اینرسی مورب می شود و قانون دوم اویلر ساده ترین بیان خود را از طریق معادلات اویلر به خود می گیرد. تمام تجزیه و تحلیل ها با منشأ در مرکز جرم بدن انجام می شود ، که به دلیل قانون اول اویلر مسیر آنها ساده است.
برای یک کره ، ماتریس اینرسی وقتی از طریق هر محور متعامد از طریق مرکز آن محاسبه می شود ، مورب و "مقیاسی" است (یعنی متناسب با ماتریس هویت) ، بنابراین ما رابطه ساده $\mathbf{M} = I \mathrm{d}_t \vec{\omega}$ داریم. حرکت زاویه ای و سرعت زاویه ای همیشه در یک راستا هستند. گشتاور چرخش حول یک محور آنی را از طریق مرکز جرم به وجود می آورد و اگر نیروها نامتعادل باشند ، این چرخش بر روی حرکت انتقال شتابان قرار می گیرد.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260
تصویر

ارسال پست