غلتک توپ در یک کاسه سهموی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3266

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

غلتک توپ در یک کاسه سهموی

پست توسط rohamavation »

من با یک مشکل فیزیک روبرو شدم که در مورد یک غلتک توپ در داخل یک کاسه سهموی (به عنوان مثال یک کاسه که هر مقطع از طریق راس می تواند یک شکل سهموی داده شده توسط $y = kx^2
$ ایجاد کند) را جویا می شد. قرار بود توپ از ارتفاع اولیه z0 آزاد شود و اجازه داده شود تا درون کاسه به عقب و جلو بچرخد.
در ابتدا ، من فکر کردم که حرکت برای هر جابجایی ساده هارمونیک است ، زیرا$U(x) = mgh = mgkx^2
$ ، و حرکت هارمونیک ساده با یک انرژی پتانسیل مشخص می شود که متناسب با مربع فاصله از یک نقطه تعادل است. با این حال ، کلید پاسخ گفت که حرکت واقعاً هارمونیکی ساده نبود (و به نظر می رسد توپ غلتکی فقط برای دامنه های حرکت کوچک باشد).
چرا حرکت با انرژی پتانسیل متناسب با مربع جابجایی از تعادل در این حالت هارمونیک ساده نیست؟
اگرچه انرژی پتانسیل شکل یکسانی دارد ، اما این یک حرکت ساده هارمونیکی نیست ، زیرا در یک نوسانگر هارمونیکی ساده ، توپ فقط در محور x حرکت می کند ، در حالی که در مشکل شما مجبور است کاسه بر روی محور z حرکت کند. . اگر لاگرانژی را برای مشکل شما یادداشت کنیم:$L = T - U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{z}^2) - mgz = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + (2kx\dot{x})^2) - mgkx^2 =
$
ما می توانیم از معادلات اویلر-لاگرانژ ببینیم:
$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}
$
که معادله حرکت توصیف مشکل شما این است:
$(1+4k^2x^2)\ddot{x}+4k^2\dot{x}^2x+2gkx=0
$
که کاملاً متفاوت از حرکت ساده هارمونیکی است.
برای سادگی من تصور کردم که این یک بدنه نقطه ای است و هیچ لحظه ای اینرسی ندارد بلکه یک توپ واقعی است که در داخل خز قرار دارد. در حالت دوم ، لازم است که لحظه اینرسی توپ را در نظر بگیریم ، که در نتیجه معادله حرکت کمی متفاوت خواهد بود.
من می خواهم رویکرد لاگرانژی دیگری ارائه دهم ، که سعی دارد مسئله معمولی آونگ را در مکانیک لاگرانژی نشان دهد. من فقط به این فکر کردم ، بنابراین امیدوارم این درست باشد ...
یک مسئله معمول در مکانیک لاگرانژی حل آونگ با طول رشته ثابت است ، l. مسیر توپ در انتهای رشته (در 2D) یک دایره است ، این یک مسیر شعاع ثابت است. ما مثال می زنیم که این را با نوشتن اول می دانیم
$L = T-U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + mgy
$
و سپس ایجاد تغییر در مختصات قطبی با استفاده از $x = rsinϕ$ و$ y = rcos$. اکنون اجازه دهید این کار را انجام دهیم ، به جز اینکه توپ ما منحنی های در حال حرکت با شعاع ثابت نیست ، بلکه منحنی های در حال حرکت با یک سهمی ثابت است. سپس ما از تغییر به مختصات سهموی ، $x = \sigma\tau
$ و $y = \frac{1}{2}(\tau^2 - \sigma^2)
$ استفاده خواهیم کرد. در اینجا منحنی های ثابت σ به صورت رو به بالا با سهموی روبرو هستند ، بنابراین اجازه می دهیم σ ما یک ثابت باشد. با این لاگرانژ ما می شود
$L = \frac{1}{2}m(\sigma^2+\tau^2)\dot{\tau}^2 - \frac{1}{2}mg(\tau^2 - \sigma^2)
$
سپس
$\frac{\partial L}{\partial \dot{\tau}}=m(\sigma^2 + \tau^2)\dot{\tau}\implies\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\tau}}=m[2\tau\dot{\tau}^2+(\sigma^2+\tau^2)\ddot{\tau}]

$\frac{\partial L}{\partial \tau}=m\tau\dot{\tau}^2-mg\tau
$بنابراین همه با هم می شوند
$m[2\tau\dot{\tau}^2+(\sigma^2+\tau^2)\ddot{\tau}]-m\tau\dot{\tau}^2+mg\tau=0
$نتیجه $\rightarrow \ddot{\tau}+\frac{g\tau+\tau\dot{\tau}^2}{(\sigma^2+\tau^2)}=0
$همچنین یک معادله محدودیت مربوط به ثابت σ ،$\;f=\sigma-a=0
$ وجود دارد که می تواند با ضریب lagrange برای استخراج نیروی عادی توپ استفاده شود. امیدوارم این کمک کند / درست است..I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260
تصویر

ارسال پست